常微分方程与差分方程
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3．C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3．D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．B.C 1 +C 2 cos2x．C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√D.C 1 +C 2 cos 2 x．解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当y＞0时的通解是y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷6
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷6(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=e x +e 2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x√C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r 2－6r+8=0得特征根r 1 =2，r 2 =4．又f 1 (x)=e x，λ=1非特征根，对应特解为y 1* =ae x；f 2 (x)=e 2x，λ=2为特征单根，对应特解为y 2* =bxe 2x．故原方程特解的形式为ae x +bxe 2x，选(B)．3.微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e －x sinx的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e －x (Acosx+Bsinx)B.e －x (Acosx+Bsinx)C.xe －x (Acosx+Bsinx) √D.e －x (Axcosx+Bsinx)解析：解析：特征方程r 2 +2r+2=0即(r+1) 2 =－1，特征根为r 1，2 =－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y * =xe －x (Acosx+Bsinx)．4.微分方程yˊ+=0的通解是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：原方程写成yyˊ+ =0，分离变量有y dy+e 3x dx=0．积分得2e 3x－，其中C为任意常数．5.微分方程yˊˊ－4yˊ+4y=x 2 +8e 2x的一个特解应具有形式(a，b，c，d为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x√C.ax 2 +bx+cx e 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为r 2－4r+4=0，特征根是r 1，2 =2．而f 1 =x 2，λ1 =0非特征根，故y 1* =ax 2 +bx+c．又f 2 =8e 2x，λ2 =2是二重特征根，所以y 2* =dx 2 e 2x．y 1*与y 2*合起来就是特解，选(B)．6.微分方程yˊˊ+yˊ+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：特征方程r 2+r+1=0，特征根为r 1，2= ．而f(x)= ，λ±iw= 是特征根，所以特解的形式为y *7.微分方程yˊˊ+2yˊ+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e －x +be x√D.axe －x +bx x解析：解析：特征方程为r 2 +2r+1=0，r=－1为二重特征根，而y * =ax 2 e －x +be x．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中C为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x 2 +xy)=0，积分得通解 3x 2 +xy=C，其中C为任意常数．9.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e 2x，其中C 1，C 2为任意常数）解析：解析：原方程是二阶常系数齐次线性微分方程．其特征方程为r 2－5r+6=0，即(r－3)(r－2)=0．解出特征根r 1 =3，r 2 =2，即得上述通解．10.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e x +1，其中C 1，C 2为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y 齐 +y *，其中y 齐是对应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r 2－2r+1=0，即(r－1)2 =0，特征根为r1，2 =1．故y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x，其中C1，C 2为任意常数．又据观察，显然y* =1与y 齐合并即得原方程通解．11.微分方程的通解 1包含了所有的解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2－1)dx=(x－1)ydy，经分离变量有，积分得通解y 2－1=C(x－1) 2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y 2－1≠0，、x－1≠0)．12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y－2x)dy的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C为任意常数）解析：解析：原方程化为．由通解公式得13.设一阶非齐次线性微分方程yˊ+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y 1 ，y 2 ，若αy 1 +βy 2 也是该方程的解，则应有α+β= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由yˊ 1 +P(x)y 1 =Q(x)及yˊ 2 +P(x)y 2 =Q(x)得 (αy 1 +βy 2 )ˊ+P(x)(αy 1 +βy2)=(α+β)Q(x)． 又因αy 1 +βy 2 满足原方程，故应有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．14.微分方程yˊˊ－7yˊ=(x－1) 2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y *=x(Ax 2+Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为r 2－7r=0，特征根r 1 =7，r 2 =0．而f(x)=x 2－2x+1，λ=0是特征根，所以特解如上所答．15.以y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：yˊˊ+4y=0）解析：解析：由特解y=cos2x+sin2x 知特征根为r 1，2 =±2i，特征方程是r 2+4=0，其对应方程即yˊˊ+4y=0．16.的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 x+C 3 x 2+C 4 e －3x，其中C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数）解析：解析：特征方程，r 4+3r 3=0，即r 3(r+3)=0．故通解如上．三、 解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
常微分方程与差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
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第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
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第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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第十章 常微分方程与差分方程
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定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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第十章 常微分方程与差分方程
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2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
第十二讲常微分方程和差分方程
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2 ( x) 的特解, 那么 y1* y2*就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
定理 3 设 y*是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x) 是几个函 数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f2 ( x) 而 y1* 与 y2* 分别是方程,
而 y1* 与 y2* 分别是方程,
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f2 x
的特解,
那么 y1*
y
* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
1.微分基本概念
最新常微分方程和差分方程
常微分方程和差分方程第十章常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象――变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢56仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.§10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例1设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为)(t x ，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因而t 时刻产品的销售的增长率dtdx 与)(t x 成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为N ，统计数据表明dt dx 与尚未购买产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比；则可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx -=， 其中k 为比例系数.可以求出该微分方程的解为kNt CeN t x -+=1)(，其中C 为积分常数.10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如：104+='x y ，654-=+x ydx xdy 是一阶的微分方程；6)(55+'+='''y x y 是三阶微分方程.微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为0),,(='y y x F 或),(y x f y ='；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的n 阶微分方程可表示为0),,,,()(='n y y y x F 或),,,,()1()(-'=n n y y y x f y .10.1.3 微分方程的解若把函数)(x y ϕ=代入微分方程使微分方程恒成立，则称)(x y ϕ=是该微分方程的一个解.例如：x x y 1022+=，51022++=x x y ，C x x y ++=1022（C 是任意常数）都是微分方程104+='x y 的解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610.1.4 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： C x x y ++=1022（C 是任意常数）是微分方程104+='x y 的通解，x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；而x x y 1022+=，51022++=x x y ，是微分方程104+='x y 的特解，x x y cos 5sin 3+=是微分方程0=+''y y 的特解.10.1.5 微分方程的通解与特解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.例如x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；加上条件10-==x y ，10='=x y 可确定11=C ，12-=C 从而得到x x y cos sin -=是微分方程0=+''y y 的特解；其中条件仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610-==x y ，10='=x y 是微分方程0=+''y y 的初始条件；把 ⎩⎨⎧='-==+''==1,1000x x y y y y 称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例2 验证 x e x c x c y 21cos sin 21++= (1) 是微分方程x e y y =+'' (2)的解.解 因为x e x c x c y 21sin cos 21+-=', x e x c x c y 21sin sin 21+--='', 故而x x x e e x c x c e x c x c y y =++++--=+''21cos sin 21sin sin 2121成立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解.解 将00==x y ，00='=x y 代入例1的y y ''',的表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-0210cos 0sin 0210sin 0cos 021021e c c e c c ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02102121c c ， 解得211-=c ，212=c ；故所求特解为x e x x y 21cos 21sin 21++-=.§10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),,(='y y x F (1)如果从(1)中能解出y '，则一阶微分方程可表示为),(y x f y =' (2)一阶微分方程有时也可以写成如下的形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P (3)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 如果一阶微分方程为)(x f dxdy =或dx x f dy )(=；则只需等式两边积分即得 ⎰+=C dx x f y )( 但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如y x dxdy 3=，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分dx y x ⎰3求不出来.为了解决这个困难，在方程的两端同乘以ydx ，使方程变为dx x ydy 3= .这样，变量y 与x 被分离在等式的两端，然后两端积分得C x y C dx x y dy +=⇒+=⎰⎰4341ln 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证). 本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如)()(y g x f dxdy = (4) 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56首先分离变量，即把dx x f ),(与dy y g ),(分别移到方程的两端：dx x f y g dy )()(= 再两端分别求积分即可求得微分方程的通解C dx x f y g dy +=⎰⎰)()(，其中C 是任意常数.注意：(1)在移项时0)(≠y g 才可以；如0)(=y g 则不妨设0y y =是0)(=y g 的零点，即0)(0=y g ，代入原方程可知常数函数0y y =显然是方程(4)的一个特解.(2)在上述的通解表示式中，⎰)(y g dy 与⎰dx x f )(表示的是一个原函数，而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.例1 求微分方程)1(322y x dxdy +=的通解. 解 分离变量可得dx x ydy 2231=+ 两端分别求积分得到通解C dx x y dy +=+⎰⎰2231即C x y +=3arctan仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 其中C 是任意常数.通解也可写为)tan(3C x y +=，其中C 是任意常数.例2 求微分方程dx xy ydy x ydy xdx 22334+=-的通解. 解 合并同类项得dy x y dx y x )1(3)4(22+=-(1)如果042≠-y ，分离变量得dy yy dx x x 22431-=+ 积分得1224ln 23)1ln(21C y x ++-=+ 其中1C 是任意常数.去对数得方程得通解为322)4(1y C x +=+其中C 是一个正的任意常数(12C e C =).例3 设一曲线经过点)3,2(，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为)(x y y =，则曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y xX y Y '=--由已知，当0=Y 时，x X 2=，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=-==32x y x y dxdy 此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为C xy =又因32==x y ，则6=C ，故所求的曲线为6=xy .二、齐次方程如果一阶微分方程),(y x f dxdy= 中的函数),(y x f 可以变为xy 的函数，即微分方程为)(x y g dx dy =的形式，习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程0)2()(222=---dy xy x dx y xy就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为)(21)(2222xy x yxy xy x y xy dx dy --=--=. 要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法. 设齐次方程为)(xyg dx dy = (5) 假设x yu =，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为x y u =，则ux y =，dxdy x u dx dy +=代入方程(5)可把原方程变为)(u g dx du x u =+即u u g dxdux-=)( 分离变量得xdxu u g du =-)(等式两端积分得C x dxu u g du +=-⎰⎰)(.记)(u G 为u u g -)(1得一个原函数，再把xyu =代入，则可得方程(5)的通解为C x u G +=ln )(，C 为任意常数.例4 解方程dxdyxy dx dy x y =+22. 解 原方程可变为1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy显然是齐次方程.故令xyu =，则 ux y =，dxdy x u dx dy += 于是原方程变为12-=+u u dx du x u即1-=u udx du x再分离变量，得xdxdu u =-)11( 两端积分，得x C u u ln ln =+-即C u ux +=ln ，以xy代换上式中的u 便得到原方程的通解为 C xyy +=ln注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.例5 求微分方程222y xy x dxdy++=的通解. 解 令y x u +=,则x u y -=，1-=dxdu dx dy 原方程化为21u dxdu=- 即dx u du=+12 两端积分，得c x u +=arctan把u 用y x +换回，得原方程的通解为)tan(c x y x +=+三、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+ (6) 称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果方程(6)中的0)(≡x Q ，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的.设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程0)(=+y x P dxdy(7) 的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得dx x P ydy)(-= 两端积分，得1C )(ln +-=⎰dx x P y或⎰-⋅=dx x P e y )(C ，(其中1C e C ±=)这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数c 换成x 的未知函数)(x u ，即作变换⎰-⋅=dx x P e u y )( （8）假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得)(x u 是什么问题也就解决了. 为此两边求导得⎰-⎰--'=dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()( (9) 将(8)式和(9)式代入方程(6)，得)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =+-'⎰-⎰-⎰-即)()(x Q e u dx x P ='⎰-⎰='dx x P e x Q u )()(C dx e x Q u dx x P +=⎰⎰)()(将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为))(()()(C dx e x Q e y dx x P dxx P +⎰=⎰⎰-(10)注意：公式(10)中的不定积分⎰dx x P )(和dx e x Q dx x P ⎰⎰)()(分别理解为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和dx e x Q e e c y dxx P dxx P dx x P ⎰⎰--⎰+⎰=)()()()( 不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取0C =即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例6 求方程23)1(12+=+-x x y dx dy 的通解.解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得))1(()12(23)12(C dx ex ey dxx dx x +⎰+⎰=⎰+-+--))1((22)1(ln 23)1(ln C dx ex ex x +⋅+=+-+⎰))1(()1(212C dx x x +++=⎰-))1(2()1(212C x x +++= 225)1()1(2+++=x C x由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例7 求微分方程0)(3=-+dy y x ydx的通解（设0>y ）.解 如将上述方程变形为03=--xy y dx dy 则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为03=--yx y dy dx 即21y x ydy dx =+ 这是一个把x 当因变量而y 当自变量的形如)()(y Q x y P dydx=+ (11) 的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为))(()()(C dy e y Q e x dy y P dyy P +⎰=⎰⎰-(12)故本问题的通解为)(121C dy ey ex dy ydyy +⎰=⎰⎰-积分得)41(14C y y x +=. 四、伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (13) 的微分方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以n y ，可得)()(1x Q y x P dx dy y n n=+--或)()()(1111x Q y x P y nn n =+'--- 于是令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+ 利用线性微分方程的求解公式，再把变量z 换回原变量可得伯努利方程（13）的通解为))()1(()()1()()1(1C dx e x Q n e y dx x P n dxx P n n +-⎰=⎰⎰----.例8 求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解 解 方程两端除以2y ，令1-=y z ，则原方程可变为x a xzdx dz ln -=- 再由线性微分方程的求解公式可得))(ln 2(2x aC x z -=再把变量z 换回原变量，可得原方程的通解为1))(ln 2(2=-x aC yx四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量)(t x 是时间t 的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率dtdx与销售量)(t x 及销售量接近于饱和水平的程度)(t x N -之积成正比(N 为饱和水平，比例常数为0>k )，且当0=t 时N x 41=.求： (1) 销售量)(t x ，(2) 销售量)(t x 的增长最快的时刻T . 解 1.由题意可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx-=，(0>k ) 此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得kdt x N x dx=-)(两端积分，得Nkt Ce xN x=- 从中解出)(t x ，得1)(+=Nkt NktCe NCe t x由N x 41)0(=得31=C ，故可得 Nkte Nt x -+=31)(2.对求一阶、二阶导数得22)31(3Nkt Nkte ke N dt dx --+= 32322)31()31(3Nkt Nkt Nkt e e e k N dt x d ---+--= 令022=dt x d ，得NkT 3ln =. 当T t <时022>dt x d ；当T t >时022<dt x d .故而当NkT 3ln =时)(t x 增长的速度是最快的.注：习惯上把)(x N kx dtdx -=，(0>k ) 称为Logistic 方程，该方程的解曲线Nkte N t x -=B 1)(＋称为Logistic 曲线.在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设t 年时教师人数为)(1t x ，科技管理人员人数为)(2t x ，又设一个教师每年平均培养α个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为)10(<<δδ，每年毕业生中从事教师职业的比率为)10(<<ββ，则根据已知可建立如下的微分方程111x x dtdx δαβ-= (14) 212)1(x x dtdx δβα--= (15)方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为t e C x )(11δαβ-=设m x =)0(1，则m C =1；得(13)的特解为t me x )(1δαβ-=将上式代入(15)式得t me x dtdx )(22)1(δαββαδ--=＋ 这是一个一阶线性微分方程，可求得其通解为t t me e C x )(221δαβδββ---+= 设n x =)0(2，则m n C ββ--=12；故得(14)的特解为 t t me e m n x )(21)1(δαβδββββ---+--=.若取1＝β，即毕业生全部充实教师队伍，则当+∞→t 时，+∞→)(1t x 而0)(2→t x ，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取0→β，即毕业生很少充实教师队伍，则当+∞→t 时，0)(1→t x 且0)(2→t x ，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例β十分重要.§10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程),,(y y x f y '=''在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、)(x f y =''型的微分方程微分方程)(x f y ='' (1)的右端仅含有自变量x ，求解时只需把方程(1)理解为)(x f y =''）（，对此式两端积分，得 1)(C dx x f y +='⎰同理，对上式两端再积分，得21))((C x C dx dx x f y ++=⎰⎰此方法显然可推广到n 阶.例1 求微分方程4sin +=''x x y的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得14sin cos C x x x x y +++-='2122cos sin )1(C x C x x x x y +++-+-=例2 求微分方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解.解 对给定的两端积分两次，得12sin 21C x e y x +-='由初始条件1)0(='y ，得211-=C .2221cos 41C x x e y x +-+=由初始条件0)0(=y ，得452-=C .故原方程满足初始条件的特解为4521cos 412--+=x x e y x二、),(y x f y '=''型的微分方程方程),(y x f y '='' (2)的典型特点是不显含未知函数y ，求解方法：作变量代换)(x P y ='，则)(x p y '=''，原方程可化为以)(x P 为未知函数的一阶微分方程),(p x f p ='设此方程的通解为),()(1C x x p ϕ=，得),(1C x y ϕ='再方程两端积分，得⎰+=21),(C dx C x y ϕ.例3 求微分方程02)1(2='-''+y x y x的通解.解 显然该方程不显含有未知函数y ，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为02)1(2=-+xp dxdp x 即 212xxdx p dp += 两端积分，得12ln )1ln(ln C x p ++=即)1(21x C p +=或)1(21x C y +='两端积分，得原方程的通解为231)3(C x x C y ++=. 例4 求微分方程x xe y xy +'=''1 满足e y y ='=)1(,2)1(的特解.解 显然该方程为),(y x f y '=''型，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为x xe p xp =-'1 这是一阶线性微分方程，易解得)(1C e x p x +=或)(1C e x y x +='因e y =')1(，得=1C 0，即x xe y ='两端积分，得2)1(C e x y x +-=又因2)1(=y ，可得原方程满足初始条件的特解为2)1(+-=x e x y三、),(y y f y '=''型的微分方程该方程),(y y f y '='' (3)类型的特点在于不显含自变量x ,求解方法：令p y ='，利用复合函数求导法则把y ''转化为因变量y 的函数，即dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 故方程(3)变为),(p y f dy dp p = 此方程为关于p y ,的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为),(1C y p ϕ=或),(1C y dxdy ϕ= 此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分方程2)(y y y '=''的通解.解 显然该方程为),(y y f y '=''型，故令)(x P y ='，则dydp p y =''，代入原方程得 2p dydp yp =即0)(=-p dydp y p (1) 如果0≠p 且0≠y ，则方程两端约去p 及同除y ，得ydy p dp = 两端积分，得1ln ln ln C y p +=即y C p 1=或y C y 1='再分离变量并积分，可得原方程的通解为x C e C y 12=.(2) 如果0=p 或0=y ，即C y =(C 为任意实数)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取01=C ).§10.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为)()()(x f y x Q y x P y =+'+'' (1)其中)(),(),(x f x Q x P 为已知的x 的函数.当方程右端函数0)(=x f 时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即0)()(=+'+''y x Q y x P y (2)当方程右端函数0)(≠x f 时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到n 阶线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x P y x P yx P y n n n n =+'+++-- . 定理1 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += (3)也是方程(2)的解，其中21,C C 为任意实数.(读者自证)此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结果看，该解包含了两个任意常数1C 和2C ，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程0=+''y y ，不难验证x y x y sin 5,sin 21==都是方程0=+''y y 的解，但其)()(2211x y C x y C y +=形式的解x C C y sin )5(21+=，这显然不是方程0=+''y y 的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事实上，x y sin 1=是二阶线性微分方程0=+''y y 的解，可以验证x y cos 2=也是方程0=+''y y 的解，那么两个解的叠加x C x C y cos sin 21+=是方程0=+''y y 的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比51sin 5sin 21==x x y y ，是常数，而后一组解的比x xx y y tan cos sin 21==，不是常数. 因而在)(),(21x y x y 是方程(2)的两个非零解的前提下，如果21y y 为常数，则)()(2211x y C x y C y +=不是方程(2)的通解(事实上21,y y 是相关联的)；如果21y y 不为常数，则)()(2211x y C x y C y +=是方程(2)的通解(事实上21,y y 是不相关联的).为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:设)(),(21x y x y 是定义在区间I 内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,k k ，使得在区间I 内恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称此两个函数)(),(21x y x y 在区间I 内线性相关，否则称线性无关.显然如果21y y 是常数，则21,y y 线性相关；21y y 不是常数，则21,y y 线性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理2 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(2)的通解，其中21,C C 为任意实数.下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理3 如果)(*x y 是方程(1)的一个特解，且)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，则)()(*x Y x y y += （4）是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得))(())(()(***Y y x Q Y y x P Y y ++'++''+[][]Y x Q Y x P Y y x Q y x P y )()()())(()(***+'+''++'+''= 因为)(*x y 是方程(1)的解， )(x Y 是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为)(x f ，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于)(x f ，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因为)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而)()(*x Y x y y +=也包含两个任意常数，从而得知)()(*x Y x y y +=是方程(1)的通解例如，方程x e y y 2=+''是二阶非齐次线性微分方程，其相应的齐次方程0=+''y y 的通解为x C x C Y cos sin 21+=，又容易验证x e y =*是方程x e y y 2=+''的一个特解，因此x e x C x C y ++=cos sin 21是方程x e y y 2=+''的通解.在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理4 如果)(),(*2*1x y x y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'')()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的特解，则)()(*2*1x y x y +是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.这一定理的证明较简单，只需将**+=21y y y 代入方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 便可验证。
微分方程与差分方程详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法，通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
常微分方程和差分方程
社会科学领域
将常微分方程和差分方程应用于 社会科学领域，如人口动力学、 经济学、社会学等。
交叉学科研究
结合其他数学分支和工程学科， 开展交叉学科研究，以解决复杂 系统的建模和预测问题。
THANKS
感谢观看
矩阵法
将差分方程转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解未知数，适用 于多变量差分方程。
差分方程的应用
01
经济预测
差分方程可以用于描述经济现象 的离散时间变化规律，如预测股 票价格、市场需求等。
02
03
生物学研究
工程问题
差分方程在生物学研究中被广泛 用于描述种群增长、基因遗传等 现象。
在控制工程、电路分析等领域， 差分方程被用于描述离散时间系 统的动态行为。
05
常微分方程和差分方程的未来发展
数值计算方法的改进
数值稳定性
研究和发展更稳定、更精确的数值计算方法，以 解决常微分方程和差分方程的数值求解问题。
多重网格方法
利用多重网格技术加速求解过程，提高计算效率 和精度。
自适应步长控制
根据求解过程的需要，动态调整步长，以实现更 高效的数值计算。
理论解的研究
微分方程的解法
分离变量法
将方程中的变量分离，转化为易于求解的一 阶微分方程。
积分因子法
通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为 低阶微分方程或一阶微分方程组。
参数方法
通过引入参数，将微分方程转化为易于求解 的参数方程。
幂级数法
将未知函数表示为幂级数，然后逐项求导， 代入原方程求解。
微分方程的应用
物理问题
间，f 表示经济模型。
实例三：生态问题中的常微分方程和差分方程
要点一
微分方程和差分方程简介
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
常微分方程与差分方程应用讲座心得
常微分方程与差分方程应用讲座心得本文介绍了常微分方程和差分方程的应用以及讲座心得。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《常微分方程与差分方程应用讲座心得》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《常微分方程与差分方程应用讲座心得》篇1常微分方程和差分方程是数学中非常重要的两个概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的问题，这些问题可以用常微分方程或差分方程来描述。
因此，掌握常微分方程和差分方程的应用是非常重要的。
在讲座中，我们学习了常微分方程和差分方程的基本概念以及应用。
我们了解到，常微分方程是用来描述自然现象的一种重要数学工具，它可以用来描述动态过程，比如流体力学、电磁学、经济学等等。
而差分方程则是用来描述离散时间的动态过程，它可以用来描述计算机科学、通信系统、自动控制等领域的问题。
在讲座中，我们还学习了如何使用 MATLAB 工具来求解常微分方程和差分方程。
我们通过实践例子，了解了如何使用 MATLAB 求解常微分方程和差分方程的数值解，以及如何使用 MATLAB 绘制数值解的图形。
通过这些实践例子，我们深刻地体会到了常微分方程和差分方程的应用和解决实际问题的重要性。
此外，我们还学习了如何判断常微分方程和差分方程的收敛性和稳定性。
我们了解到，在求解常微分方程和差分方程的数值解时，收敛性和稳定性是非常重要的指标。
通过判断收敛性和稳定性，我们可以及时调整计算参数，以得到更加精确的数值解。
总之，通过这次讲座的学习，我们深刻地认识到了常微分方程和差分方程的应用和重要性。
我们学会了如何使用 MATLAB 工具来求解常微分方程和差分方程的数值解，以及如何判断收敛性和稳定性。
这些知识对我们今后的学习和研究具有非常重要的意义。
《常微分方程与差分方程应用讲座心得》篇2在应用讲座中，我学习了常微分方程和差分方程的基本概念、求解方法和应用场景。
以下是我的心得体会：1. 常微分方程和差分方程是数学中非常重要的两个分支，它们在自然科学、工程技术、经济学、社会科学等领域都有广泛的应用。
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．A．ae2x+bx+cB．ax2e2x+bx+cC．axe2x+bx2+cxD．axe2x+bx+C正确答案：D解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2．y’’-4y=e2x 的特解形式为y=axe2x，y’’-4y=x的特解形式为y=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选D．知识模块：常微分方程与差分方程2．设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．A．C[φ1(x)+φ2(x)]B．C[φ1(x)-φ2(x)]C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)正确答案：C解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)=φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选C．知识模块：常微分方程与差分方程3．微分方程y’’-y’-6y=(x+1)e-2x的特解形式为( )．A．(ax+b)e-2xB．ax2e-2xC．(ax2+bx)e-2xD．x2(ax+b)e-2x正确答案：C解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1=-2，λ1=3，而-2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为x(ax+b)e-2x，选C．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．设y=y(x)满足△y=y△x+o(△x)且y(0)=1，则y(x)=________．正确答案：ex解析：由△y=△yx+o(△x)得=0，解得y=Ce-∫-dx=Cex，再由y(0)=1得C=1，故y(x)=ex．知识模块：常微分方程与差分方程5．设y=y(x)满足(1+x2)y’=xy且y(0)=1，则y(x)=________．正确答案：解析：将原方程变量分离得，积分得再由y(0)=1得y= 知识模块：常微分方程与差分方程6．设f(x)连续，且f(x)-2∫0xf(x-t)dt=ex，则f(x)=_________．正确答案：2e2x-ex解析：由∫0xf(x-t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du得f(x)-2∫0xf(u)du=ex，求导得f’(x)-2f(x)=ex，解得f(x)=[∫ex.e∫-2dxdx+C]e-∫-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，由f(0)=1得C=2，故f(x)=2e2x-ex．知识模块：常微分方程与差分方程7．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为_________．正确答案：x+C)cosx(C为任意常数)解析：通解为y=(∫cosxe∫tanxdxdx+C)e-∫tanxdx=(x+C)cosx(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程8．连续函数f(x)满足f(x)=3∫0xf(x-t)dt+2，则f(x)=________．正确答案：2e3x解析：由∫0xf(-t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du得f(x)=3∫0xf(u)du+2，两边对x求导得f’(x)-3f(x)=0，解得f(x)=Ce-∫-3dx=Ce2x，取x=0得f(0)=2，则C=2，故f(x)=2e3x．知识模块：常微分方程与差分方程9．的通解为______．正确答案：+Ce2y(C为任意常数)解析：由-2x=y2，则x=(∫y2.e∫-2dydy+C)e-∫-2dy=(∫y2.e-2ydy+C)e2y=+Ce2y(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程10．微分方程y2dx+(x。
差分方程与微分方程的一致性研究
差分方程与微分方程的一致性研究差分方程和微分方程是数学中两个重要的概念，它们分别研究了离散和连续变量之间的关系。
尽管它们在形式上有所不同，但在某些情况下，差分方程和微分方程之间存在着一致性。
本文将探讨差分方程和微分方程的一致性研究，并介绍一些相关的理论和应用。
差分方程是研究离散变量的数学方程，它描述了变量之间的差异和变化规律。
差分方程的一般形式可以表示为：\[x_{n+1}=f(x_n)\]其中，\(x_n\)表示第n个离散变量的值，\(f(x_n)\)表示变量之间的关系函数。
差分方程可以用于模拟离散系统的行为，例如人口增长、物种演化等。
微分方程则是研究连续变量的数学方程，它描述了变量之间的变化率和变化规律。
微分方程的一般形式可以表示为：\[\frac{dx}{dt}=f(x,t)\]其中，\(x\)表示连续变量的值，\(t\)表示时间，\(\frac{dx}{dt}\)表示变量的变化率，\(f(x,t)\)表示变量之间的关系函数。
微分方程可以用于描述连续系统的行为，例如物理系统的运动、化学反应等。
差分方程和微分方程在形式上有所不同，但它们在某些情况下可以相互转化，这就是差分方程与微分方程的一致性。
具体而言，当离散变量的变化趋势与连续变量的变化趋势相似时，差分方程可以近似地转化为微分方程，反之亦然。
一种常见的差分方程与微分方程的一致性研究是欧拉方法。
欧拉方法是一种用差分方程近似解微分方程的方法，它基于泰勒级数展开，将微分方程中的变化率近似为差分方程中的差商。
通过逐步迭代，欧拉方法可以得到微分方程的近似解。
欧拉方法在数值计算和模拟中有广泛的应用，例如天体力学、流体力学等领域。
除了欧拉方法，还有其他一些方法可以用于差分方程与微分方程的一致性研究。
例如，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为差分方程，而Z变换则可以将差分方程转化为微分方程。
这些变换方法在信号处理和控制系统中有重要的应用，例如滤波器设计、系统辨识等。
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注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 由差分的定义及性质可知， 不同定义形式之间可以相互转换。 不同定义形式之间可以相互转换。 是三阶差分方程； 如y x + 5 4 y x + 3 + 3 y x + 2 2 = 0是三阶差分方程；
虽然含有三阶差分， 3 y x + y x + 1 = 0，虽然含有三阶差分， 但实际上是二阶差分方 程，
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第十章 常微分方程与差分方程
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例5 分 析
设y = x 3，求3 y x .
y=x
3
= x( x 1)( x 2) + 3 x( x 1) + x
=x
(3 )
+ 3x
(2 )
+x
(1 )
借助公式 x ( n ) = nx ( n 1) 和差分的运算法则可求
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解. 通解中任意常数被初始条件确定后的解.
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第 U x , Z x 分别是下列差分方程的 解
y x +1 + ay x = f 1 ( x ), y x +1 + ay x = f 2 ( x ), y x +1 + ay x = f 3 ( x )
同样可定义三阶、 差分： 同样可定义三阶、四阶 LL 差分： 3 y x = ( 2 y x ), 4 y x = ( 3 y x )
高阶差分： 高阶差分：二阶及二阶 以上的差分 .
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第十章 常微分方程与差分方程
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3 2
例 1 求 ( x ), ( x ), ( x ) .
2x
2x
)
2
1
2
)]
)
2
= e 1 e
2
(
)
= e
2x
(e
1
.
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第十章 常微分方程与差分方程
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10.6.2 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 差分方程与差分方程的阶 定义
含有未知函数的差分 y x , y x , LL的函数方程
2
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下列等式是差分方程的有( 例 7 下列等式是差分方程的有 (
).
A.2y x = y x + x
B . 3y x = 3 y x + a x
C .2 y x = y x + 2 2 y x +1 + y x D . y x 2 y x 1 + 3 y x 2 = 4 由差分方程的定义有： 解 由差分方程的定义有： A, D是差分方程 .
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第十章 常微分方程与差分方程
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例 8 确定下列方程的阶 (1) y x + 3 x 2 y x +1 + 3 y x = 2
解 (1) Q x + 3 x = 3，
( 2) y x 2 y x 4 = y x + 2
是三阶差分方程； ∴ (1)是三阶差分方程；
称为差分方程 .
形式： 形式： F ( x , y x , y x , y x , L , y x ) = 0
2 n
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第十章 常微分方程与差分方程
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定义： 定义：
含有未知函数两个或两 个以上时期的符号 y x , y x + 1 , L的方程，称为差分方程 . 的方程，
= 6x (1) + 6x ( 0 ) = 6.
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第十章 常微分方程与差分方程
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例6 设y = e 2 x，求 2 y x . 解
y x = y x + 1 y x
=e
2( x +1)
=e
2
2x
(e
e
2
2x
1 ;
y x = ( y x )
= [e (e
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解. 阶数相同的差分方程的解.
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第十章 常微分方程与差分方程
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初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 往往根据事物在初始时刻所处状态， 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件. 差分方程所附加的条件.
(3) ( y x z x ) = y x +1z x + z x y x = y x z x + z x +1y x
y x z x y x y x z x z x + 1 y x y x + 1 z x (4) = = z z x z x +1 z x z x +1 x
可参照导数的四则运算法则学习
2
+ x + 1 x!
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)
第十章 常微分方程与差分方程
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例4 设y = x
(n)
= x ( x 1)( x 2)L ( x n + 1),
x ( 0 ) = 1，求 y x (即 ( x ( n ) )).
y x = ( x + 1)( n ) x ( n ) 解 = ( x + 1) x ( x 1)LL( x + 1 n + 1) x ( x 1) LL( x n + 2)( x n + 1)
( 2) Q x + 2 ( x 4) = 6，
∴ ( 2)是六阶差分方程 .
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2.差分方程的解 差分方程的解
代入差分方程后， 如果函数 y = φ ( x )代入差分方程后，方程 两 边恒等， 边恒等，则称此函数为 该差分方程的解 .
第十章 常微分方程与差分方程
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10.6
差分方程
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10.6.1 差分的概念及性质
1.差分的定义 差分的定义
取非负整数时， 设函数 y = f ( x ).当 x取非负整数时， 函数值可以排成一个数 列 : f ( 0)， f (1)， ， f ( x )， f ( x + 1)， L L 将之简记为 y 0， y1， y 2， ， y x， y x + 1 , K K 的差分， 称函数的改变量 y x + 1 y x 为函数 y的差分， 也称为一阶差分， 也称为一阶差分，记为 y x = y x + 1 y x .
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例 2 求下列函数的差分
(1) y = loga x; (2) y = sinax
解 (1)y x = y x + 1 y x
= log a ( x + 1) log a x 1 = log a (1 + ); x
( 2) y x = sin a ( x + 1) sin ax 1 a = 2 cos a ( x + ) sin . 2 2
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10.6.3 线性差分方程解的结构
n阶齐次线性差分方程的标准形式 阶齐次线性差分方程的标准形式
yx+n + a1( x) yx+n1 +L+ an1( x) yx+1 + an ( x) yx = 0
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证明（ ） 证明（3）
( yx z x ) = y x +1 z x +1 y x z x
= y x +1 z x +1 y x z x +1 + y x z x +1 y x z x = ( y x +1 y x )z x +1 + y x (z x +1 z x ) = z x +1 y x + y x z x
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解
y x = ( y x )
3
= ( x ( 3 ) + 3x ( 2 ) + x (1) )
= [3 x ( 2 ) + 6 x (1) + x ( 0 ) ]
= [3x + 6x + 1]
( 2) (1)
U x +1 + aU x = f 2 ( x ) Z x +1 + aZ x = f 3 ( x )
∴V x +1 + aV x = y x +1 + ay x + U x +1 + aU x + Z x +1 + aZ x = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x )