2向量的正交规范化

ai12
ai
2 2
L
ain2
1
1 ai 2a j2 L aina jn
(i 0
1,2,L ,n) (i, j 1,2,L
,n)
.
22
正交矩阵的性质 ①正交矩阵的行列式等于1或-1. ②若A是正交矩阵，则 A1 AT 且 A1 也是正交矩阵. ③A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0，则α与任何向量都正交. ② 0.
③ 对于非零向量α与β， , .
2
10
2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
1
1 1
,
2
2
1 1
,2 , 1
1
2
01 ,
3
3
1 1
,3 , 1
1
2 ,3 2 , 2
2
1
3
2 2
, ,
3 2
2
1 2
2 1
,
20
2）标准化
1
1
1
令 i
1
i
i, 1
1 3
1 1
,
2
1 2
0 1
1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
②由非零向量α得到单位向量 0 1 的过程
称为把α单位化或标准化.
7
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为 cos , , 因此α与β的夹角为
arccos , ,0 .
8
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求, .
解 cos , 18 1
3
2 6
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
ห้องสมุดไป่ตู้
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
133页例5
23
2、正交矩阵的充要条件
① Ａ的列向量是标准正交组. ② Ａ的行向量是标准正交组.
注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间Rn
的一个标准正交基.
24
3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
y y, y yT y xT PT Px xT x x, x x .
5
２、性质 （1）正定性： （2）齐次性：
0;且 0 0； k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
, 2 2 2 , 即, 2 , ,
当且仅当α与β线性相关时，等号成立.
6
注
①当 0 时， 0
1
是α的单位向量.
注 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变.
25
判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 2
1
3
0
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
1
6
1 2
0
2 6
,
1
1 1
2
2 6
26
1
9
8 9
4 9
8 9
1 9
4 9
4 9
4 9
7 9
1
3
1 2
1
6
1 3
0
2
6
1 1 1
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1
4
1 2 ,2 3 ,1 1
1
1
0
使用施密特正交 化方法，使向量 组正交化
四、应用举例
16
1 1
例2
已知三维向量空间中，1
1 1
,
2
12
正交，
试求3 , 使1,2 ,3是三维向量空间的一个正交基.
解 设3 x1 x2 x3 T 0 则
1,3 1T3 0,2 ,3 2T3 0.
设
A
1T
T 2
1 1
1 2
1
1
则 3 满足 Ax 0 ，解方程组
17
A
1 1
1 2
1 1
1 0
0 1
1
2
一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
a1 a2
,
b1
b2
,
称实数
M M
an
bn
a1b1 a2b2 L anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
, a1 a2 L
b1
an
b2
M
T
.
bn
3
２、性质
6、标准正交基
若标准正交组 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
或规范正交基.
13
7、施密特（Schmidt）正交化法
设 1,2 ,L ,r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单
位向量1, 2 ,L , r ，使1, 2 ,L , r与 1,2 ,L ,r等价， 此问题称为把 1,2 ,L ,r 这组基规范正交化.
,
3
1 26
21 .
21
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足： AT A I 即A1 AT ,
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1,2 ,L ,n ), 则 AT A I
可表示为
1T
T 2
M
1
2
L
1
n
I
1 O
,
T n
1
其中
ai1a
j
这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组 或规范正交组.
11
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组.
定理 若向量β与 1,2 ,L ,s 中每个向量都正交，则 β与 1,2 ,L ,s 的任一线性组合也正交.
12
5、正交基
若正交向量组1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个正交基.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.