2向量的正交规范化
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是代数学中的一个重要概念，它在线性代数和矩阵理论中有着广泛应用。
二次型标准型和规范型是将一个任意的二次型通过线性变换化为一个简化的形式，使得我们可以更方便地研究和分析二次型的性质。
一个二次型可以表示为如下形式：$$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是变量，$a_{ij}$ 是常数。
二次型的标准型是指将二次型中的二次项化为平方和的形式。
对于一个二次型 $Q(x)$，假设其矩阵为 $A$，则存在一个非奇异矩阵 $P$，使得：$$P^TAP = D$$其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素称为二次型的标准型系数。
标准型的特点是二次型的二次项仅包含平方和，没有交叉项和混合项。
这样的形式更简单，更容易研究和分析。
为了得到二次型的标准型，需要进行正交变换。
正交变换可以通过选取一组特殊的基进行，其中基向量之间两两正交且模长为1。
设有一组基向量 $p_1, p_2, \dots, p_n$，构成正交矩阵$P = [p_1, p_2, \dots, p_n]$，则有 $P^TP = I$。
通过变换 $y = Px$，可以得到新的变量 $y$ 对应的二次型 $Q(y)$。
从而有：$$Q(y) = Q(Px) = x^TP^TAPx = x^TDx$$其中 $D = P^TAP$，$D$ 是一个对角阵，对角线上的元素就是二次型的标准型系数。
在二次型的标准型基础上，可以进一步进行规范化处理。
规范化处理是将标准型系数中的非零元素变为1或-1，以及调整它们的顺序。
具体步骤如下：1. 如果标准型系数中存在非零元素 $d_{ii}$，则可以将其除以本身的绝对值，将其变为1或-1。
2. 如果标准型系数中存在连续的非零元素 $d_{ii}$ 和 $d_{i+1, i+1}$，且它们同号，则可以将 $d_{i+1, i+1}$ 变为与$d_{ii}$ 同号，并将它直接相加；如果符号相反，则将它们的绝对值取为1。
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
高等代数第六章1
第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。
注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。
4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。
(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念 向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。
向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。
两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。
4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。
注 设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。
(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。
(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成 立，则称m ααα,,,21 线性无关。
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。
当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。
4.2 二次型的标准型与规范型
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
1-1-向量内积正交
这些基础知识在后面具体方法中都会用到，因此首先介绍这些内容。
本章介绍：向量的内积、正交等概念矩阵相似变换、正交变换概念标准特征问题基本性质向量正交化方法（G-S 方法）矩阵三角分解、QR 分解*（* 通过H 变换和Givens 变换实现QR 分解）第一章基础知识引言§1-1 向量的内积和正交一、线性空间子空间1、实数域：n 维实向量{x }的全体（集合）称为n 维线性空间，记为R n则复数域：n 维复向量{x }的全体，记为C n ，则{}nR x ∈{}nCx ∈均为线性空间第一节向量的内积和正交称为实空间。
另外：n m R⨯nm C⨯是m ×n 阶实矩阵集合。
[]A []A 是m ×n 阶复矩阵集合。
均为线性空间。
称为复空间。
nm R⨯nm C⨯和2、子空间的概念设有{}{}{}nm Rx x x ∈ 21个向量：nR 由这m 个向量的任何线性组合所构成的集合：称为的由{}{}{}m x x x 21所生成的子空间，记为{}{}()m x x span 1{}{}m x x 1()n m ≤称为子空间生成向量。
第一节向量的内积和正交{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑=R x x m i mi i αααα,,,211 生成/张成特别当{}{}m x x 1子空间的维数= mnR {}{}{}()m x x x span ,,21即是的一个m 维子空间。
二、向量的内积和正交1、向量内积的定义设有{}{}nRy x ∈,在实数域线性空间中定义内积：则{}{}(){}{}ii Ty x x y y x ∑==,nR 在中定义了内积的向量集合—称为n 维欧几里德空间（或称为内积空间）第一节向量的内积和正交线性无关时，①在复数域上两向量内积定义：则如设{}{}nCy x ∈,{}{}(){}{}ii Hy x x y y x ∑==,（复数域上n 维线性空间nC 内积定义）第一节向量的内积和正交时，就是常说的几何空间。
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
5.1向量组规范正交化
x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1
GS方法
x(i) j
rij
yi
以上过程，y1,y2,ym 向量的产生过程示意如下：
第 3 节
正 交 化 方 法
Gram—Schmidt
x1(1) , x2(1) , x3(1) , x4(1) ,, xm(1)
i=1
y1 , x2(2) , x3(2) , x4(2) ,, xm(2) 与 y1 正交！
yi
xi(i) rii
若 i = m 则过程结束,否则继续下列计算：
② 对 j = i+1 , i+2,…，m 计算内积
rij
(
x(i) j
, yi )
即消去后续向量与
yi
平行的分量
消去
x(i) j
中平行于 yi 的分量，使
x(i) j
与 yi 正交，即
x(i1) j
第 一 章基
础 知 识
Gram—Schmidt
2、三维向量组正交化
设 x1,x2,x3 是3个线性无关向量
①
y1
x1 x1 2
② ~y2 x2 (x2,y1)y1
y2
~y2 ~y2 2
③ ~y3 x3 (x3,y1)y1 (x3,y2)y2
y3
~y3 y3 2
④ 可验证：
(~y3,y1) 0 (~y3,y2) 0
Gram—Schmidt
正 交
⑥ 可验证： (~y2,y1) 0
化 方
(y2,y1) 0
法
证： y2 ,y1 x2,y1 x2,y1y1,y1
第
x2,y1 x2,y1 0 ？思考
一
章基
证毕
础 知 识
y1,y2
2020年考研数学线性代数大纲考点及常考题型(二)
2020年考研数学线性代数大纲考点及常考题型(二)研究生入学考试中，线性代数是数一、数二、数三考生研究生考试的公共内容，占22%(总分150分)，考察2个选择题(每题4分，共8分)、1个填空题(每题4分，共8分)、2个解答题(总分22分)。
线性代数相对考研数学高数来说，比较简单，要想取得好的成绩，线代争取不丢分。
下面结合大纲考点，已经对行列式、矩阵实行梳理，接来下梳理向量、线性方程组两个模块，希望对考生有所协助。
一、向量1、考试内容(1)向量的概念;(2)向量的线性组合与线性表示;(3)向量组的线性相关与线性无关;(4)向量组的极大线性无关组;(5)等价向量组;(6)向量组的秩;(7)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;(8)向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法;(9)向量空间及其相关概念;(10)n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积。
(其中9、10只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)2、考试要求(1)了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则;(2)理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的相关性质及判别法;(3)理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩;(4)理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;(5)了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.(6)了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;(7)了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.(其中5、6只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求)3、常考题型(1)判定向量组的线性相关性;(2)向量组线性相关性问题的证明;(3)向量组的线性表示问题;(4)向量组的极大线性无关组与向量组的秩;(5)过度矩阵与向量的坐标表示(数一考生要求、数二、数三考生不要求)二、线性方程组1、考试内容(1)线性方程组的克莱姆(Cramer)法则;(2)线性方程组有解和无解的判定;(3)齐次线性方程组的基础解系和通解;(4)非齐次线性方程组的解与相对应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系;(5)非齐次线性方程组的通解2、考试要求(1)会用克莱姆法则解线性方程组;(2)掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法;(3)理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;(4)(4)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;(5)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
《线性代数》考研辅导讲义3
《线性代数》考研辅导讲义3五.向量的内积与线性无关向量组的正交化 1.内积设1212(,,,),(,,,)TT n n x x x x y y y y == ,则1122(,)T n n x y x y x y x y x y =+++=向量x的长度x ===若1x =,称x 为单位向量.向量的单位化:(0)xx x≠. 若(,)0x y =,称x 与y 正交.2.标准正交向量组、标准正交基若向量组两两正交且不含零向量,称为正交向量组.若向量组12,,,m ααα 满足0,(,)1,i j i ji jαα≠⎧=⎨=⎩,称12,,,m ααα 为规范(标准)正交向量组.若该向量组为向量空间的一组基,称其为规范(标准)正交基. 3.线性无关向量组的正交规范化—Schmiditt 正交化过程设向量组12,,,m ααα 线性无关.令111222111132333121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m βαβαβαββββαβαβαβββββββαβαβαβαβββββββββ----==-=--=----则12,,,k ααα 与12,,,(1)k k m βββ≤≤ 等价,且12,,,m βββ 为正交向量组.4.正交矩阵及其性质 若T A A E =(1T A A -⇔=),称A 为正交矩阵.A 为正交矩阵A ⇔的行(或列)向量组为两两正交的单位向量,从而可作为n R 的一组基.若A 为正交矩阵,则1,T A A -也为正交矩阵,且1A =±若,A B 为同阶的正交矩阵,则AB 也是正交矩阵.典型例题一.向量组的线性相关性问题 例1n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是( D )(A)存在一组不全为零的数12,,,m k k k ,使得11220m m k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,m ααα 中任意两个向量线性无关.(C) 12,,,m ααα 中存在某一向量不能由其余向量线性表示. (D)12,,,m ααα 中任一向量都不能由其余向量线性表示.例2 设1234,,,αααα线性无关,则( C ) (A) 12233441,,,αααααααα++++线性无关.(B) 12233441,,,αααααααα----线性无关.(C) 12233441,,,αααααααα+++-线性无关. (D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.解 对(A):()12233441123410011100,,,(,,,)01100011αααααααααααα⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭. 又12233441100111000(,,,)401100011R αααααααα=⇒++++<. 等等. 一般地:对n 维向量组12,,,m ααα ,令1122231,,,m m βααβααβαα=+=+=+ ,则(1)当m 为偶数时,12,,,m βββ 必线性相关;(2)当m 为奇数时,如果12,,,m ααα 线性无关,则12,,,m βββ 也线性无关;如果12,,,mααα 线性相关,则12,,,m βββ 也线性相关.例3 设三维向量组123,,ααα线性无关,则向量组122331,,k αααααα---也线性无关的充分必要条件是 .解 方法一:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭,122331123123101,,,,110(1),,001k k kαααααααααααα----=⋅-=-≠-, 则1k ≠.方法二:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭()123,,K ααα=.因为123,,ααα线性无关,所以()123,,3R ααα=,则122331,,k αααααα---也线性无关()122331,,3R k αααααα⇔---=()3 1.R K k ⇔=⇔≠例4 若向量组123,,ααα线性无关,向量组124,,ααα线性相关,则( C ). (A) 1α必可由234,,ααα线性表示. (B) 2α必不可由134,,ααα线性表示.(C) 4α必可由123,,ααα线性表示. (D)4α必不可由123,,ααα线性表示.解4α必可由12,αα线性表示,则4α必可由123,,ααα线性表示..例5 设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关,则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充分必要条件是( D ).(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示.(B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示. (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价. (D)矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价.解 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等. 例6 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα===(1) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为12,αα的线性组合.解 方法一:设1122330x x x ααα++=,即()112323,,0x x x ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其系数行列式111123513D t t==-,(1)当0D ≠即5t ≠时,齐次线性方程组只有零解,此时向量组123,,ααα线性无关;(2)当5t=时,齐次线性方程组有非零解,此时向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,系数矩阵1323111101,123012213000r x x A x x t -⎛⎫⎛⎫=-⎧ ⎪ ⎪=→⇒⎨⎪ ⎪=-⎩ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令31x =,则121,2x x ==-,所以123312202αααααα-+=⇒=-+.方法二:123111,,123513t tααα==-,所以(1)当5t≠时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当5t =时, 向量组123,,ααα线性相关; (3) 当5t =时,以下同方法一.方法三:123,,ααα线性相关123(,,)3R ααα⇔<.123111111(,,)12301213005rA t t ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,(1) 当5t ≠时, 123(,,)3R ααα=,向量组123,,ααα线性无关;(2) 当5t=时, 123(,,)23R ααα=<,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,123111101(,,)012012000000rr A ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则121,2,x x =⎧⎨=-⎩所以31122122x x ααααα=+=-.例7 已知三个向量组(Ⅰ)123,,ααα;(Ⅱ)1234,,,αααα;(Ⅲ)1235,,,αααα的秩分别为()()3,()4R R R I =II =III =,证明向量组12345,,,k ααααα-的秩为4.( 0k ≠)证 方法一:()()3,R R I =II =则123,,ααα线性无关,且1234,,,αααα线性相关,故存在123,,λλλ,使得4112233αλαλαλα=++.要证12345(,,,)4R k ααααα-=,只需证12345,,,k ααααα-线性无关.设有1234,,,x x x x ,使得112233445()0x x x x k ααααα+++-=,则11412242334345()()()0x x x x x x kx λαλαλαα+++++-=.因为()4R III =,所以1235,,,αααα线性无关,则11422433440,0,0,0.x x x x x x kx λλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩因为1231000100001000k kλλλ=-≠-,所以齐次线性方程组只有零解,即12345,,,k ααααα-线性无关,则12345(,,,)4R k ααααα-=.方法二:同一得: 4112233αλαλαλα=++,则451122335k k ααλαλαλαα-=++-,所以1212345123512353100010(,,,)(,,,)(,,,)00100k K k λλαααααααααααααλ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪-⎝⎭. 因为1235(,,,)4,()4R R K αααα==,所以12345(,,,)4R k ααααα-=.方法三:同一得:4112233αλαλαλα=++,则4114422433123451*********()12351235(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)c c c k c c c c k k k λλλααααααααλαλαλαααααααααα-÷----=++-→-→所以123451235(,,,)(,,,)()4R k R R ααααααααα-==III =.例8 设()m n R A n ⨯=,n 维列向量组12,,,()s s n ααα≤ 线性无关,证明向量组12,,,s A A A ααα 线性无关.证 设11220s s x A x A x A ααα+++= ,即1212(,,,)0s s x xA x ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为()m n R A n ⨯=,则1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ;又12,,,s ααα 线性无关,则120s x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以12,,,s A A A ααα 线性无关.例9 设A为n 阶正定矩阵, 123,,ααα是非零的n 维列向量,且0()T i j A i j αα=≠,证明:123,,ααα线性无关.证 设1122330x x x ααα++=,则1122330x A x A x A ααα++=,从而111122133()()()0T T T x A x A x A αααααα++=,即111()0Tx A αα=.因为A 为正定矩阵,且10α≠,则110T A αα>,所以10x =.同理可证20x =,30x =.例10 设A 为三阶矩阵,三维列向量123,,ααα线性无关,且11232123232,,A A A αααααααααα=++=+=+,求A.解123123110(,,)(,,)211302A A A αααααα⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭,即123123110(,,)(,,)211302A αααααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则123123123110,,,,211,,302A ααααααααα⋅=⋅=-.因为123,,ααα线性无关,则123,,0ααα≠,所以1A =-.【注意】如果已知123,,ααα,则可求出A :1123123110(,,)211(,,)302A αααααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例11 设A 为三阶矩阵,有三个不同的特征值123,,λλλ,对应的特征向量依次为123,,ααα.令123βααα=++,证明: 2,,A A βββ线性无关.证12311223A A A A βαααλαλαλα=++=++, 2222112233()A A A ββλαλαλα==++21122123221232331(,,)(,,)1(,,)1A A K λλβββαααλλαααλλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭因为123,,λλλ互不相同,所以123,,ααα线性无关.又21122221313223311()()()01λλλλλλλλλλλλ=---≠, 所以()3R K =,则2(,,)3R A A βββ=,即2,,A A βββ线性无关.二.线性表示问题例12 设三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,问λ取何值时: (1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)β不能由123,,ααα线性表示.解 方法一:2123111,,111(3)111λαααλλλλ+=+=++,(1)当0λ≠且3λ≠-时, β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2)当0λ=时,12311101110(,,|)1110000011100000r αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)当3λ=-时, 123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.方法二:12321110(,,|)111111λαααβλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭2223111000032rλλλλλλλλλλ+⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪----⎝⎭.(1) 当20,30λλλ≠⎧⎨--≠⎩即0λ≠且3λ≠-时, 123123(,,)(,,|)3R R ααααααβ==,所以β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) 当0λ=时,1231110(,,|)00000000rαααβ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3) 当3λ=-时,1231129(,,|)033120006rαααβ-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.例13 证明:12,,,s ααα (其中10α≠)线性相关⇔存在i α(1)i s <≤使得iα可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一的.证 必要性:其思路是求向量组的一个极大无关组的排除法. 因为10α≠,所以1α线性无关.考虑12,αα:若12,αα线性相关,则2α可由1α线性表示,且表示式唯一; 若12,αα线性无关,考虑123,,ααα:若123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表示,且表示式唯一; 若123,,ααα线性无关,考虑1234,,,αααα: 依次类推,得因为12,,,s ααα 线性相关,类似可得存在i α,使得121,,,i ααα- 线性无关,而12,,,i ααα 线性相关,所以i α可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一. 充分性:设i α可由121,,,i ααα- 线性表示,则12,,,i ααα 线性相关,所以12,,,s ααα 线性相关.三.向量组的秩与向量组的极大无关组有关问题例14 求向量组123451124313612,,,,1510613110a c ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩和一个极大无关组.解1234511243112431361202431(,,,,)15106100011311000203r A a c a c ααααα----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,(1)当2,3a c ==时, 12345(,,,,)3R ααααα=,一个极大无关组为: 124,,ααα;(2)当2a ≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1234,,,αααα; (3)当3c≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1245,,,αααα.进一步, 当2,3a c ==时,把其余向量用该极大无关组线性表示:123451000201201(,,,,)0001100000r A ααααα-⎛⎫⎪-⎪=→← ⎪⎪⎝⎭行最简形则322αα=, 51242αααα=--+.例15 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,证明:(1)若()R A n =,则()()R AB R B =; (2)若()R B n =,则()()R AB R A =.(即左乘列满秩矩阵或右乘行满秩矩阵,则矩阵的秩不变)证 (1)方法一:()R A n =,则存在m 阶可逆矩阵P ,使得1A PA O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1A 为n 阶可逆矩阵,则11A A B PABB O O ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R PAB R A B R B ===.方法二:因为()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤,所以()()()n R B n R AB R B +-≤≤, 即()()R AB R B =.方法三:因为()R A n =,所以线性方程组0ABx =与0Bx =同解,(事实上:(1) 0Bx =,则()00ABx A Bx A ===;(2)0ABx =,即()0A Bx =,因为()R A n =,则0Bx =.)所以()()m R AB m R B -=-, 得()()R AB R B =.同理可证(2).例16 设111212122212,0,0,1,2,,.n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b A a b i n a b a b a b ⎛⎫⎪⎪=≠≠= ⎪⎪⎝⎭(1)求()R A ;(2)证明:存在数λ,使得A A k k 1-=λ.解 令()()1212,,,,,,,TTn n a a a b b b αβ== ,则T A αβ=.(1)A O ≠,则1()min{(),()}1()1R A R R R A αβ≤≤≤⇒=;(2)11()()()k T k T T k A A βααββα--==,令T λβα=即可.四.向量空间的有关问题(数学二、三、四不做要求)例17 设V 是向量组123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--所生成的向量空间,求dim V 及V 的一个规范正交基.解123115115111013(,,)24800031900r A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,则()2dim 2R A V =⇒=,且12,αα为V的一个基.将12,αα正交单位化得V 的一个规范正交基:12,2,1,5,3)T T εε==--.例18 向量空间V 的两个基分别为12341123223433444(),,,;(),,,ααααβαααβαααβααβαI II =++=++=+=.(1)由基()II 到基()I 的过渡矩阵B ;(2)在基()I 与基()II 下有相同坐标的全体向量.解 (1)12341234123410001100(,,,)(,,,)(,,,)11100111P ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则112341234(,,,)(,,,)P ααααββββ-=, 所以11000110001101011B P -⎛⎫⎪-⎪== ⎪-⎪-⎝⎭.(2)设向量1211223344123434(,,,)x x x x x x x x ξαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭,则ξ在基()I 下的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以1234()00,x Px P E x x x x x k =⇒-=⇒====,则 12344000,k k k R ξααααα=⋅+⋅+⋅+=∈.例19 求向量(1,2,1,1)T ξ=在基底1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)T T T T ηηηη==--=--=--下的坐标.解 方法一:设ξ的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1234(,,,)x ξηηηη=,所以112345111(,,,)(,,,)4444T x ηηηηξ-==--. 方法二:注意到1234,,,ηηηη为正交基.设11223344x x x x ξηηηη=+++,则11111111(,)5(,)(,)(,)4x x ξηξηηηηη=⇒==,同理:324234223344(,)(,)(,)111,,(,)4(,)4(,)4x x x ξηξηξηηηηηηη====-==-.【注意】若1234,,,ηηηη为正交规范基,则ξ在1234,,,ηηηη的坐标为(,),1,2,3,4.j j x j ξη==例20 设12,αα线性无关, 12,ββ线性无关,且12,αα分别与12,ββ正交,证明: 12,αα,12,ββ线性无关.证 令112211220x x y y ααββ+++=,因为12,αα分别与12,ββ正交,则111212121222(,)(,)0,(,)(,)0.x x x x αααααααα+=⎧⎨+=⎩ 又12,αα线性无关,,所以11122122(,)(,)0(,)(,)αααααααα≠,则120x x ==.同理可证:120y y ==.所以12,αα,12,ββ线性无关.。
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
张喜林制2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算考点知识清单1．如果两个向量的基线 ，则称这两个向量互相垂直．2．如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为____．在____下分解向量，叫做正交分解． 3．设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则1a = =2,a4．在直角坐标系中，设点A 的坐标为（x ，y ），则=+=21ye xe OA ，即点A 的位置向量的坐标为5．设,),,(),,(2121R b b b a a a ∈==λ则=+b a =-b a , =a λ 6．已知),(),,(),,(2211y x M y x B y x A 是AB 的中点，则=x =y 7．若),,(),,(2211y x B y x A 则=要点核心解读1．两个向量互相垂直的概念如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．2．正交分解如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，奄正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后同学们会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单 3．向量的直角坐标在直角坐标系xOy 内（如图2-2 -2 -1），分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量⋅21,e e 这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底2121,}.,{e e e e 分别是与x 轴和y 轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．在坐标平面xOy 内（如图2-2 -2 -1)，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对),,(21a a 使得,2211e a e a a +=),(21a a 就是向量a 在基底,{1e }2e 下的坐标，即⋅=),(21a a a 其中1a 叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，2a 叫做a 在y 轴上的坐标分量．4．如何求向量B A a =的坐标如图2 -2 -2 -1，分别过向量B A 的始点和终点作x 轴、y 轴的垂线，设垂足分别为⋅2211B A B A 、、、 坐标分量1a 为向量11B A 在x 轴上的坐标，坐标分量2a 为向量22B A 在y 轴上的坐标，显然⋅===)1,0(),0,1(),0,0(021e e设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知.sin ||,cos ||21θθa a a a ==5．向量的直角坐标的意义在直角坐标系中（如图2 -2 -2 -2所示），一点A 的位置被点A 的位置向量所唯一确定，设点A 的坐标为（x ，y ），容易看出．),,(21y x ye xe OA =+=即点A 的位置向量的坐标（x ，y ），也就是点A 的坐标；反之点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量的坐标，由上面的分析，符号（x ，y ）在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点（x ，y ），或向量(x ，y). 6．几点注意的地方(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量,a =点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y).(2)两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，如A(3，5)，B(6，8)，);3,3(=∴A 若C （-5，3），D （-2，6），),3,3(=,=显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．(4)向量的表示方法细分起来有三种：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．这三种表示法各具优点，因此在推导一些结论时，三种表示方法相互转化，要认真加以理解． 7．向量的直角坐标运算(1)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a +=+⋅+)22b a 即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和． (2)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a -=-).22b a - 即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差． (3)若),,(),,(2211y x B y x A 则).,(B 1212y y x x A --=即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．(4)若,),,(21R a a a ∈=λ则⋅=),(21a a a λλλ即向量和数的乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积． 8．中点公式设线段AB 两端点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，则其中点M （x ，y ）的坐标计算公式为：⋅+=+=2,22121y y y x x x 推导如下：如图2 -2 -2 -3，设点),(y x M 是线段AB 的中点，则⋅+=)B (21O OA OM 上式换用向量的坐标，得=),(y x )],,(),[(212211y x y x +即 ⋅+=+=2,22121y y y x x x 典例分类剖析考点1 平面向量的坐标表示[例1] 已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且=,2,3C =求M 、N 及的坐标． [解析] 由A 、B 、C 三点的坐标易求得CB 、CA 的坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出M 、N 的坐标，),4,3(),1,3(),4,2(----C B A).3,6(),8,1(==∴⋅====∴)6,12(2),24,3(3CB CN CA CM设),,(y x M 则),4,3(++=y x,3=⎩⎨⎧=+=+∴,244,33y x ⎩⎨⎧==∴,20,0y x ⋅∴)20,0(M同理可求),2,9(N 因此).18,9(-=⋅-=∴)18,9(),2,9(),20,0(N M[点拨] 向量的坐标是向 量的代数表示形式，它只与起点、终点相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个．在求解时，应将向量的坐标看做一个“整体”，运用方程思想求解，向量的坐标运算是向量中最常用的也是最基本的运算，必须灵活应用．1．(1)在直角坐标系xOy 中，a 、b 如图2 -2 -2 -4所示，若,4||=a ,3||=b 分别求出：①a 与b 的坐标；②BA 的坐标．(2)（2010年青岛部分中学统考题）若向量)43,3(2--+=x x x a 与AB 相等，其中),2,3(),2,1(B A 则=x(3)已知0是坐标原点，点A 在第一象限，,34||=,60 =∠xOA 则向量的坐标为考点2 平面向量的坐标运算[例2] 已知),16,8(),8,2(-=--=+b a b a 求a 和b ．[解析] 直接利用向量的和、差及数乘坐标运算，通过解方程组加以解决，解法一：设),,(),,(q p b n m a ==则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--=+=+.16,8,8,2q n p m q n p m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=.12,5,4,3q p n m所以⋅-=-=)12,5(),4,3(b a 解法二：);4,3()]()[(21-=-++=b a b a a ).12,5()]()[(21-=--+=b a b a b[点拨] 以上两种解法都是通过解方程得到解决的，解法一侧重于解以坐标为主体的方程；解法二侧重于寻求向量之间的关系，解向量方程．解法二采用“整体法”处理向量的问题，更显得简捷、明了．2．(1)已知),1,2(),2,1(=-=b a 求：.3121;3;32b a b a b a --+③②① (2)已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且,3CA CM =,2CB CN =求M 、N 的坐标及.51AB MN + 考点3 用基底表示向量[例3] 已知四点)2,3()1,2()2,1(C B A 、、-和.2(-D ),3试以A A 、为基底表示.B ++ [解析] 先求A ++的坐标，再由平面向量基本定理，设,n m AD +=++然后列出关于m ，n 的方程组，解方程组求m ，n 的值，进而得基底表示式．[答案] 由已知可得，,3(),4,2(),3,1(-===⋅-=-=)1,5(),2,4(),5B⋅-=-+-+-=++∴)8,12()1,5()2,4()5,3(B假设),,(BD D R n m AC n AB m CD A ∈+=++则),4,2()3,1()8,12(n m +=-即,2()8,12(n m +=-⋅+)43n m⎩⎨⎧=+-=+∴,843,122n m n m 解得⎩⎨⎧-==.22,32n m 故.2232AC AB -=++[点评]利用坐标运算由基底表示另一向量的问题，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法列方程组，求线性系数即可得表示式．3．若向量=-==c b a ),1,1(),1,1(),2,1(-则c 等于( )．b a A 2321.+-b a B 2321.- b a C 2123.-- b a D 2123.+- 考点4 坐标运算的综合运用[例4] 已知向量),,(y x u =与向量)2,(x y y -=ν的对应关系用)(u f =ν表示 ． (1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有=+)(nb ma f )()(b nf a mf +成立； (2)设),0,1(),1,1(==b a 求向量)(a f 与)(b f 的坐标；(3)求使q p q p c f 、((),()(=为常数）的向量c 的坐标．[解析] 由已知条件知，必须将向量用坐标表示，通过坐标运算来解决问题． (1)证明：设),,(),,(2121b b b a a a == 则),,(2211nb ma nb ma nb ma ++=+⋅--++=+∴)22,()(112222nb ma nb ma nb ma nb ma f ),2,()(),2,()(122122b b b n b nf a a a m a mf -=-= ⋅--++=+∴)22,()()(112222nb ma nb ma nb ma b nf a mf)()()1(b nf a mf ma f +=±+∴成立．(2)解：),1,1()112,1()(=-⨯=a f⋅-=-⨯=)1,0()102,0()(b f(3)解：设),(y x c =则),,()2,()(q p x y y c f =-=⎩⎨⎧=-=∴,2,q x y p y 即⎩⎨⎧=-=,,2p y q p x ⋅-=∴),2(p q p c[点拨] 本题是一道向量知识与函数知识相结合的题目，主要以函数映射的知识为载体考查了向量坐标的运算．向量坐标的引入使向量运算代数化，使向量与函数、数列、不等式、三角、解析几何等知识的结合非常密切, 这是近几年高考命题的一个亮点．4．平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点C 满足,0μλ+=C 其中,1=+μλ求点C 的轨迹方程．学业水平测试1．以下命题错误的是( )．A ．若将),(00y x =平移，使起点M 与坐标原点0重合，则N 点坐标为),(00y x),(.00y x MN B =的相反向量的坐标为),(00y x --C ．若),(00y x =与y 轴垂直，则必有00=yD ．若),(00y x =是一个单位向量，则0x 小于l 2．已知),2,3(),1,5(---B A 则=-21( )． )1,8.(A )21,4.(-B )1,8.(-C )1,8.(--D3．在以下向量中，单位向量有( )．①);sin ,(cos θθ-=a );5lg ,2lg (=b ②);2,2(xxc -=③④⋅-=),1(x xd A.l 个 B.2个 C.3个 D.4个4．若B ),5,2(-=点的坐标是（1，-3），则A 点的坐标为5．设,),,1(),5,(),3,4(c b a y c x b a =+-==-=则=),(y x6．已知三个力),(),5,2(),4,3(321y x F F F =-==的合力.0321=++F F F 求3F 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．已知向量),1,0(),0,1(==j i 对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x 、y ，使得);,(y x a =②若),,(),(,22112211y x y x a R y x y x =/=∈、、、则,21x x =/且;21y y =/ ③若,0,=/∈a R y x 、且),,(y x a =则a 的起点是原点O ； ④若,0,=/∈a R y x 、且a 的终点坐标是（x ，y ），则).,(y x a = 在以上四个结论中，正确的结论共有( )． A ．1个 B.2个 C.3个 D ．4个2．已知向量),2,1(=m 把m 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则m 的坐标是( )．)4,0.(A )4,2.(B )2,1.(C )3,3.(D3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,7),4,2(---（),3,4(),5--则第四个顶点一定不是( )．)12,5.(--A )2,9(-⋅B )4,1.(c )3,7(--⋅D4．已知□ABCD 中，),3,2(),7,3(-==AB AD 对角线BD AC 、交于点O ，则C 的坐标为( )．)5,21.(-A )5,21.(B )5,21.(--c )5,21.(-D5．（2010年山东高考题）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的),,(),,(q p b n m a ==令⋅-=Θnp mq b a 下列说法错误的是( )．A ．若a 与b 共线，则0=Θb a a b b aB Θ=Θ.C ．对任意的,R ∈λ有)()(b a b a Θ=Θλλ 2222||||)().(b a b a b a D =⋅+Θ 6．（2004年安徽高考题）已知向量集合+==)2,1(|{a a M {)5,4()2,2(N },),4,3(μλλ+--===∈a a R，},R ∈μ则=N M（ ）)}1,1.{(A )}2,2(),2,1{(--⋅B )}2,2.{(--C ∅.D7．（2008年安徽高考题）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若),3,1(),4,2(==则等于( )．)4,2(--⋅A )5,3(--⋅B )5,3(⋅C )4,2(⋅D8．（2006年福建高考题）已知,0.,3||,1||=⋅==点C 在AOB ∠内，且.30o AOC =∠设、m n m O (0=+=,）R n ∈则nm等于( )． 31.A 3.B 33.C 3.D 二、填空题（5分x4 =20分）9．已知,a AB =且),2,41(),4,21(B A 又,21=λ则a λ等于 10．若作用在坐标原点的三个力),5,2(),4,3(21-==F F ),1,3(3=F 则作用在原点的合力321F F F ++的坐标为11.已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，=∠=xOA ,34||,60 则向量的坐标 12．已知),sin ,(cos ),cos ,(sin 21θθθθ==e e 且1e 和2e 是一组基底，则角θ的集合为三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-2 -2 -5，已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、(3，4).求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点．14．已知点)8,2(),2,1(B A -,31,31AC -==及求点C 、D 和的坐标．15．已知点),10,7(),45(),3,2(C B A ⋅若∈+=λλ(),R 试求A 为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？又λ为何值时，点P 在第三象限内？16．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及,A t O +=求：(l)t 为何值时，P 在x 轴上?P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)0、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由，。
向量正交与函数正交
一、向量正交定义：两向量內积为0（详见线性代数）
在n维空间中两个向量的正交是用内积这个概念来定义的：设向量X=(x1,x2,...,xn),向量Y=(y1,y2,...,yn)，则向量X与向量Y正交定义为其内积 X*Y=x1*y1+x2*y2+...+xn*yn=0。
二、函数正交：函数数的正交是向量正交概念的推广。
一个函数f(x)
可以视之为无穷维向量。
设f(x),g(x)是定义在[a,b]区间的两个可积函数, f(x),g(x)中的自变量等同于(有限维)向量中分量的那个下标：向量X中分量的下标取1,2,..,n这些离散值,而f(x)中的x 是连续取[a,b]中所有的值的,即从a到b之间有无穷多个下标，因此f(x)是无穷维向量。
只有当积分为0 时，也即 <f,g>=0时，才称两函数正交；。
线性代数4.3向量的正交性
b1 , a2 b2 a2 c2 a2 b1 b1 , b1 a
3
b1 a1
b3
a3 c31 c32 b1 , a3 b2 , a3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
c3
c32 c31 b2
c2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1 0 1 1 1 e1 , e2 , e3 , e4 0 0 1 1 0 0 0 1
量组．
P.108 定理8 证明 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零
向量集，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1 1 例 已知3维向量空间R3中两个向量 a1 1 , a 2 2 1 1
1 等价于求方程组 Ax 1 1 2 x1 1 0 x2 1 0 x3
两个向量正交化公式
两个向量正交化公式
向量正交化是线性代数中的一项重要操作，它将两个向量变成
相互垂直的向量。
通过正交化，我们能够更好地理解和处理向量
之间的关系，以及解决相关问题。
在向量正交化中，有一个常用的公式可以帮助我们实现这一目标。
这个公式被称为正交化公式，它可以将一个向量投影到另一
个向量所在的直线上，从而得到相互垂直的向量。
假设我们有两个向量A和A，我们想要将它们正交化。
首先，
我们需要计算向量A在向量A上的投影。
这可以通过以下公式来实现：
P = (P·P/|P|^2) * P
其中，A·A表示向量A和向量A的内积，|A|^2表示向量A的模
的平方，A表示向量A在向量A上的投影。
我们可以计算得到的投影向量A与向量A之间的差向量，这个
差向量即为我们想要得到的正交向量。
正交向量与原始向量的内
积为零，即它们相互垂直。
采用上述公式进行向量正交化的过程，可以帮助我们解决很多
实际问题。
例如，在计算机图形学中，正交化可用于将向量分解
为垂直于视点的投影和平行于视点的投影，进而实现透视效果。
在信号处理和通信领域，正交化可用于分解信号，提取其中的有
用信息。
同时，在线性回归中，通过正交化可以得到无相关性的
预测变量，提高模型的准确性和鲁棒性。
正交化公式是一种重要工具，能帮助我们处理向量之间的关系，并应用到多个领域中。
通过使用这个公式，我们可以将任意两个
向量正交化，从而获得相互垂直的向量，更好地应对各种问题。
schmidt正交化是高等代数
schmidt正交化是高等代数摘要：1.简介2.Schmidt 正交化的概念3.Schmidt 正交化的详细步骤4.Schmidt 正交化的应用5.总结正文：1.简介Schmidt 正交化是高等代数中的一种线性变换，用于将一组向量正交化。
在机器学习和数据挖掘领域，Schmidt 正交化常用于降低数据维度，提高计算效率。
本文将介绍Schmidt 正交化的概念、详细步骤以及应用。
2.Schmidt 正交化的概念Schmidt 正交化是一种将一组向量正交化的方法。
给定一组n 个向量a1, a2,..., an，通过施加线性变换，使得这组向量变为相互正交的向量b1,b2,..., bn。
其中，正交化的目的是将原始向量空间中的向量转换为标准正交基，从而简化计算过程。
3.Schmidt 正交化的详细步骤Schmidt 正交化的详细步骤如下：(1) 选取需要规范化的向量：从原始向量组中选取3 个需要规范化的向量。
(2) 计算特征值和特征向量：求解线性方程组，得到特征值和对应的特征向量。
(3) 对特征向量进行单位化处理：将特征向量除以特征值，得到单位化的特征向量。
(4) 对原始向量进行正交化：将原始向量分别与单位化的特征向量做内积，得到正交化后的向量。
(5) 对正交化后的向量进行排序：按照内积的大小对正交化后的向量进行排序。
4.Schmidt 正交化的应用Schmidt 正交化在机器学习和数据挖掘领域有广泛应用，如在主成分分析（PCA）中，通过将原始数据向量正交化，可以降低数据维度，减少计算复杂度。
此外，在奇异值分解（SVD）中，Schmidt 正交化也起到关键作用，将矩阵分解为正交矩阵与非负矩阵的乘积。
5.总结本文介绍了Schmidt 正交化的概念、详细步骤以及应用。
Schmidt 正交化作为一种有效的线性变换方法，在高等代数、机器学习和数据挖掘等领域具有重要意义。
二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系
二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系二次型的标准型正交变换和非正交变换之间有一定的关系，下面将从二次型、正交变换和非正交变换三个方面进行详细介绍。
首先，我们来回顾一下二次型的定义和性质。
给定一个n阶实对称矩阵A，二次型定义为：\[Q(x) = x^TAx\]其中，x是n维向量。
二次型的值与x的取值有关，可以看作是x 在由矩阵A确定的二次曲面上的一个点。
二次型的正负和零可以反映二次曲面在原点附近的凹凸性质。
其次，我们来介绍正交变换和非正交变换的含义。
给定一个n维向量x，如果存在一个正交矩阵P使得Px=y，其中y是一个新的n维向量，则称变换P是一个正交变换。
正交变换可以保持向量的长度和夹角不变。
正交变换的特点是，变换前后的向量可以通过P的转置即P 的逆矩阵来互相转换，同时逆矩阵等于转置矩阵。
非正交变换则是指任意不是正交变换的线性变换。
非正交变换可以改变向量的长度和夹角。
非正交变换前后的向量不能通过逆矩阵来互相转换。
接下来，我们将介绍二次型的标准型正交变换。
给定一个二次型Q(x) = x^TAx，我们希望通过一个正交变换P将其转换为标准型，即：\[Q(x) = x^TAx = y^TDy\]其中D为对角矩阵，y为新的向量。
这样的转换可以将原二次型的各个变量之间的关系化为对角矩阵中各项之间的关系。
标准型正交变换的具体过程如下：1.找到矩阵A的特征值和特征向量。
设A的特征值为λ1,λ2, ..., λn，对应的特征向量为p1, p2, ..., pn。
2.将特征向量按列排列组成一个矩阵P = [p1, p2, ..., pn]。
3.计算矩阵P的逆矩阵P^{-1}。
4.将矩阵A对角化，得到对角矩阵D = P^{-1}AP。
其中D的对角线上的元素就是A的特征值。
可以证明，经过标准型正交变换后的二次型与原二次型具有相同的凹凸性质，只是变量之间的关系发生了变化。
对于一般的二次型，我们可以通过标准型正交变换将其简化为易于理解和计算的形式。
向量的正交规范化
1
2 2
, ,
r 2
2
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
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1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1
4
1 2 ,2 3 ,1 1
1
1
0
使用施密特正交 化方法，使向量 组正交化
四、应用举例
16
1 1
例2
已知三维向量空间中，1
133页例5
23
2、正交矩阵的充要条件
① Ａ的列向量是标准正交组. ② Ａ的行向量是标准正交组.
注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间Rn
的一个标准正交基.
24
3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
y y, y yT y xT PT Px xT x x, x x .
ai12
ai
2 2
L
ain2
1
1 ai 2a j2 L aina jn
(i 0
1,2,L ,n) (i, j 1,2,L
,n)
.
22
正交矩阵的性质 ①正交矩阵的行列式等于1或-1. ②若A是正交矩阵，则 A1 AT 且 A1 也是正交矩阵. ③A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0，则α与任何向量都正交. ② 0.
③ 对于非零向量α与β， , .
2
10
2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
,
3
ห้องสมุดไป่ตู้1 26
21 .
21
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足： AT A I 即A1 AT ,
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1,2 ,L ,n ), 则 AT A I
可表示为
1T
T 2
M
1
2
L
1
n
I
1 O
,
T n
1
其中
ai1a
j
1 1
,
2
12
正交，
试求3 , 使1,2 ,3是三维向量空间的一个正交基.
解 设3 x1 x2 x3 T 0 则
1,3 1T3 0,2 ,3 2T3 0.
设
A
1T
T 2
1 1
1 2
1
1
则 3 满足 Ax 0 ，解方程组
17
A
1 1
1 2
1 1
1 0
0 1
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
1
1 1
,
2
2
1 1
,2 , 1
1
2
01 ,
3
3
1 1
,3 , 1
1
2 ,3 2 , 2
2
1
3
2 2
, ,
3 2
2
1 2
2 1
,
20
2）标准化
1
1
1
令 i
1
i
i, 1
1 3
1 1
,
2
1 2
0 1
6、标准正交基
若标准正交组 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
或规范正交基.
13
7、施密特（Schmidt）正交化法
设 1,2 ,L ,r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单
位向量1, 2 ,L , r ，使1, 2 ,L , r与 1,2 ,L ,r等价， 此问题称为把 1,2 ,L ,r 这组基规范正交化.
②由非零向量α得到单位向量 0 1 的过程
称为把α单位化或标准化.
7
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为 cos , , 因此α与β的夹角为
arccos , ,0 .
8
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求, .
解 cos , 18 1
1
2
一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
a1 a2
,
b1
b2
,
称实数
M M
an
bn
a1b1 a2b2 L anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
, a1 a2 L
b1
an
b2
M
T
.
bn
3
２、性质
这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组 或规范正交组.
11
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组.
定理 若向量β与 1,2 ,L ,s 中每个向量都正交，则 β与 1,2 ,L ,s 的任一线性组合也正交.
12
5、正交基
若正交向量组1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个正交基.
注 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变.
25
判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 2
1
3
0
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
1
6
1 2
0
2 6
,
1
1 1
2
2 6
26
1
9
8 9
4 9
8 9
1 9
4 9
4 9
4 9
7 9
1
3
1 2
1
6
1 3
0
2
6
1 1 1
3
2 6
5
２、性质 （1）正定性： （2）齐次性：
0;且 0 0； k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
, 2 2 2 , 即, 2 , ,
当且仅当α与β线性相关时，等号成立.
6
注
①当 0 时， 0
1
是α的单位向量.