(完整版)无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
第七讲 分式方程和无理方程的解法
1
第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。
本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根。
一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程 2142122
4x x x x +-=+--。
2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 2
2
23()4011
x x x x --=--
【例3】解方程
22
22
8(2)3(1)
11
12
x x x
x x x
+-
+=
-+
．
【例4】解方程
1 x=
【例5】解方程
3 =
2．换元法解无理方程
【例6】解方程
2
3152 x x
++=
2。
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法
初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法
一、概念引入
1、无理式：像、这样根号下有未知数，且开方开不尽的根式称为无理式.
2、无理方程：含有无理式的方程称为无理方程.
二、无理方程的解法
例解方程：
无理方程常见的解法有两种.
第一种是利用“转化与化归” 的数学思想，把无理方程转化成我们以前学过的方程，也就是要把根号给去掉. 要去掉根号，就要用到开方. 怎么样通过开方把根号去掉？
这是我们要着重解决的问题！思路是，让根号单独在等号左端，其它的项都移到等号右端，就可以解决问题了.
解法一：移项，得
两边同乘-1，得
两边同时开平方，得
x²+17=(x²-3)²
即：
x²+17=(x²)²-6x²+9
所以
(x²)²-7x²-8=0
解之得
x²=-1 (舍去)，或x²=8
经检验：原方程的根为
无理方程的第二种方法是利用构造思想和换元思想.
主要是针对根号下的式子，要在根号外部造出一个和根号下的式子一模一样的式子，然后用一个字母替换整个根式.
解法二：
原方程可变为：
即
令则原方程化为：
t²-t-20=0
解之得：
t=-4(舍去)，或t=5
于是
经检验：原方程的根为
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无理方程的解法
第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，=4，x2=-7．所以x1=-7为增根，所以原方程的根为x=4．经检验知，x2说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程。
数学分享：巧妙的方法解无理方程式
数学分享：巧妙的方法解无理方程式
解无理方程式是数学中的一个难点,但有一些巧妙的方法来解决这个问题。
这些方法包括:
1. 代入法:将方程的一个分式分解因式,然后将分式代入到原方程中,逐步消去分母,直到方程变为有理数。
2. 消元法:通过将方程的一个部分或多项式因子化,将另一个方程的系数变成1,从而将两个方程合并成一个,进而求解方程。
3. 长除法:将原方程化为一个多项式,然后不断进行长除,直到商为1,然后将多项式继续化简,从而得到有理数解。
4. 同分法:将方程的两个部分相等,然后将分母提取公因数,从而得到一个新的方程,进而求解方程。
下面是一个使用代入法的无理方程式解决的例子:
3x^2 + 4x - 5 = 0
首先将方程的一个分式分解因式:
3x^2 + 4x - 5 = (3x + 1)(x + 5)
然后将分式代入到原方程中:
3(x^2 + 4x - 5) - 5(x^2 + 4x - 5) = (3x + 1)(x + 5) 化简得:
2x^2 + 11x - 10 = 0
然后使用已知条件,将系数变为1:
2x^2 + 11x - 10 = 2
接下来继续代入消元:
(2x + 1)(x - 5) = 0
将x - 5代入得:
2x + 1 = 0或x - 5 = 0
解得:
x = 1/2或x = 5/2
因此,方程的解为x=1/2或x=5/2。
谈无理方程的解法
谈无理方程的解法宿城区中扬中学 张家旭根号下含有未知数的方程叫无理方程。
解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。
由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。
但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。
现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。
一、观察法例1、 解方程 )2(5222+-=+x x解：无论x 取什么值时，522+x 恒为正，而)2(2+-x 恒为负，矛盾。
所以，此方程无解。
例2、 解方程 53-=-x x解：根据算术根的定义，要保证x -3有意义，必须要x ≤3，而要使53-=-x x 有意义，必须要使x ≥5，这显然矛盾。
所以，原方程无解。
例3、解方程 638=---x x解：要使8-x 有意义，x ≥8，要使x -3有意义，x ≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x 值。
故此方程无解。
例4、解方程x x x 21679-=-+-分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。
所以，由观察可得其解。
解：原方程可化为)7()9(79x x x x -+-=-+- 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。
所以，原方程的解为x=7。
注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。
这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。
二、直接平方法例5、解方程 x x x =-+2722解：移项得，=+x x 722x+2 两边平方整理得，0432=-+x x 解得，4,121-==x x经检验，42-=x 是增根。
所以，原方程的解为x=1 。
注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。
例6、解方程 1542=+--x x解：移项、两边平方并整理得，5210+=-x x 两边再平方并整理得， 080242=+-x x 解得x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。
高中数学中的无理数方程的解法
高中数学中的无理数方程的解法在高中数学中，我们经常会遇到各种各样的方程，其中有一类特殊的方程叫做无理数方程。
无理数方程是指方程中含有无理数的方程，例如根号2、根号3等。
解无理数方程是高中数学的重要内容之一，本文将介绍一些常见的无理数方程的解法。
一、一次无理数方程一次无理数方程是指方程中只含有一个无理数的方程，通常形式为ax+b=0，其中a和b是已知的有理数，x是未知的无理数。
解一次无理数方程的方法有两种：代入法和平方消去法。
代入法是将方程中的无理数代入到方程中，求解出有理数的值。
例如，对于方程根号2x+1=0，我们可以将根号2x代入到方程中，得到2x+1=0，进一步解得x=-1/2。
平方消去法是通过平方的性质来求解方程。
例如，对于方程根号3x+2=0，我们可以将方程两边平方，得到3x+2=0，进一步解得x=-2/3。
二、二次无理数方程二次无理数方程是指方程中含有二次无理数的方程，通常形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知的有理数，x是未知的无理数。
解二次无理数方程的方法有两种：配方法和求根公式。
配方法是通过配方将二次无理数方程转化为一次无理数方程，然后再采用一次无理数方程的解法进行求解。
例如，对于方程根号2x^2+3x-1=0，我们可以将方程两边平方，得到2x^2+3x-1=0，进一步解得x=(-3±根号17)/4。
求根公式是一种直接求解二次无理数方程的方法，根据二次无理数方程的一般形式ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±根号(b^2-4ac))/(2a)进行求解。
例如，对于方程根号3x^2+4x-2=0，我们可以使用求根公式，进一步解得x=(-2±根号(4+24))/6。
三、其他无理数方程除了一次和二次无理数方程，高中数学中还存在其他类型的无理数方程，例如分式无理数方程和高次无理数方程。
分式无理数方程是指方程中含有无理数的分式的方程，通常形式为ax+b/c=0，其中a、b和c是已知的有理数，x是未知的无理数。
无理方程解法
无理方程解法教学目标1. 理解无理方程的概念，会识别无理方程2. 掌握无理方程的基本解法,通过去根号转化成有理方程求解3. 理解解无理方程需要验根，并掌握验根的方法教学重难点1. 通过探索换元法解无理方程的原理,提高观察力和代数变形能力2. 通过代数变形合理化简无理方程教学内容知识梳理一.概念方程中含有根式,切被开放数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程. 整式方程和分式方程统称有理方程,有理方程和无理方程统称代数方程.二.解法基本思想:将无理方程转化为有理方程.基本方法:(1)两边平方法(2)换元法⎧⎨⎩两个根式互为倒数时根号外与根号内含未知数项的系数对应相等或成比例时验根:把解得的无理方程的根代入原方程检验,既要看每一个根式是否有意义,同时还要看方程左右两边是否相等,只有同时满足以上两点的根才是原方程的根,否则是增根.概念一.判断方程属于哪种类型73x =+22=6=1=+8=9=二.不解方程,判断无理方程解的情况8=-0=2x =-6=10= (6). 241=--+-x x三,填空题1.在一元一次方程,一元二次方程,分式方程,无理方程中必须验根的是______________2.1=的根是___________3.若关于x m =无实数解,则m __________k x =-的根是________=的根为________6.m =的根为1,2x =m 的值为______________7.满足34)1(342--=-x x x 的x 的值有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个两边平方法解下列方程(1) 2x =0=(3) 2)2x =3=x 1=- (6)6x -=(7) 2232=--+x x (8) 01582=++-+x x(9) 33x 2x 3=++- (10) 972=-++x x=换元法 1.解方程112421222+++=+x x x x 时，若设y x x =++1242，那么，原方程可变为关于y 的方程 。
分式方程和无理方程
分式方程和无理方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
解方程无理方程的解法与应用
解方程无理方程的解法与应用无理方程是指方程中包含有无理数的项或者是无理数的根的方程。
无理数是指无法用两个整数的比表示的数，如根号2、根号3等。
解无理方程需要采用一些特殊的方法和技巧，本文将讨论解无理方程的一些常见方法，并介绍无理方程在实际应用中的一些案例。
一、根号2问题的解法根号2是一个经典的无理数，它的值无法用有限小数或者分数来表示。
当我们遇到类似于"x^2=2"的方程时，需要利用开平方的性质来求解。
首先将方程转化为"x=根号2"的形式，然后将根号2的平方根转换为十进制数，最后得出方程的解为"x=±1.414"。
二、根号3问题的解法类似于根号2的问题，当遇到"x^2=3"这样的方程时，需要求解根号3的近似值。
通过计算，可以得出根号3的近似值为1.732，所以方程的解为"x=±1.732"。
三、分式无理方程的解法有时候，无理方程可能不仅包含根号，还可能包含有分式。
例如"1/x=根号3"这样的方程需要采用逆运算的方式来求解。
首先将方程转化为"x=1/根号3"的形式，然后利用有理化的方法，将分式转化为x=根号3/3。
所以方程的解为"x=根号3/3"。
四、无理方程的应用案例无理方程在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 建筑工程中的角度计算：有时候需要根据建筑的特殊需求计算出特定角度的大小，这就需要解一些含有无理数的方程来求解。
2. 自然科学研究中的模型建立：无理方程可以用来建立科学模型，例如物理学中的振动方程、光学中的折射方程等。
3. 金融领域中的风险评估：无理方程可以用来评估金融风险，帮助投资者做出更合理的决策。
总结起来，解方程无理方程的解法涉及到开平方、有理化等数学技巧，解出无理方程对于理解数学知识、解决实际问题起着重要的作用。
高次方程分式方程无理方程的解法
2
2
解得 a5 且 a7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
法 提
可把分式方程化为整式方程
炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3. 解分式方程时应注意检验
一化二解三检验
三、无理方程的解法
知
1、什么是无理方程
识 要
根号内含有未知数的方程叫无理方程. 点
2、无理方程的解法
我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方程转化为有理方程.
即 x25x6或 x25x4
解得：x 1 1 ,x 2 6 ,x 3 1 ,x 4 4
典
例2（2）解方程
型
(x 2 )x ( 1 )x ( 4 )x ( 7 ) 19例 题
解：原方程即
(x 2 5 x 1 4 )(x 2 5 x 4 ) 1 9
换元 令 x25x14t
原方程可化为 t(t18)19
方
1.可通过因式分解将高次方程转化为
法 提
炼
一次或二次方程
2.可通过换元将高次方程转化为 一次或二次方程
3. n次方程最多有n个实数根
二、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识 要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
例1（1）解方程 x34x23x0
典 型
例
解：因式分解
题
x(x24x3)0 x(x1)x (3)0
所以 x10,x21,x33
例1（2）解方程 x3 10
典 型
例
解： 因式分解
题
x3 1 (x 1 )x (2x 1 ) 0
第7讲 无理方程(讲义)解析版
第7讲 无理方程模块一：无理方程的概念和解法知识精讲1．无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2．解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3．解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．例题解析例1.下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=；（3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -=．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，12x =，可知（3）也是无理方程．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．例2.下列哪个方程有实数解（）A 0=B 30+=C 2=D x=-【难度】★【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A 选项，1x ³³无实数解；对B 330+³¹，可知方程无实数解；对C 选项，1040x x -³ìí--³î，x 无解，即方程无实数解；故选D ．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．例3.若方程1k +=有解，则k 的取值范围是________．【难度】★【答案】1k ³．【解析】移项得1k =-，方程有解，根据二次根式的非负性，可得10k -³，得1k ³．【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．例4.不解方程，说明下列方程是否有实数根：（10=；（2）2(()()a b a b a b -=-£．【难度】★【答案】（1）有唯一实数根12x =；（2）当a b <时，方程无实数根；当a b =时，方程有无数个实数根．【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：120120x x -³ìí-³î，即得x 的定义域为12x =，0==，即得方程有唯一实数根12x =；（2）当a b <0a b =-<，根据二次根式非负性，可知方程无实数根； 当a b =时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足240x x -³即可．【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定．例5.用换元法解方程231x x --=y =．则该方程转换整式方程是____________．【难度】★【答案】260y y --=．y =，可得2235x x y -=-，原方程即为251y y --=， 整理即为260y y --=．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．例6.解下列方程：（1x =；（23x =．【难度】★★【答案】（1）3x =；（2）5x =．【解析】（1）两边平方，得：223x x +=，整理得：2230x x --=，解得：13x =，21x =-，经检验，21x =-是原方程的增根，即原方程的根为3x =；（23x =+，两边平方得：()()()21263x x x -+=+，因式分解整理得：()()530x x -+=，解得：15x =，23x =-，经检验，23x =-是原方程的增根，即原方程的根为5x =．【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．例7.解下列方程：（1）10x =-；（2）()30x +=；【难度】★★【答案】（1）20x =；（2）1x =．【解析】（1）两边平方，得：()()24510x x +=-，整理得：224800x x -+=，解得：14x =，220x =，经检验，14x =是原方程的增根，即原方程的根为20x =； （2）由原式得：30x +=或10x -=，解得：11x =，23x =-， 经检验，23x =-是原方程的增根，即原方程的根为1x =．【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．例8.解下列方程：（11=+；（2）5x =．【难度】★★【答案】（1）x =；（2）4x =．【解析】（1）两边平方得：22721x x +=-+，整理得：260x --=，配方法解得：1x =2x =，经检验，2x =是原方程的增根，即原方程的根为x =（25x =-，两边平方得()24155x x -=-，整理得214400x x -+=， 解得：14x =，210x =，经检验，210x =是原方程的增根，即原方程的根为4x =．例9.133=．【难度】★★【答案】154x =-，254x =．a =1a =，原方程即为1133a a +=，解得：13a =，213a =，3=13=，解得：154x =-，254x =，经检验，154x =-，254x =都是原方程的根．【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系．例10.解方程：（1）2233x x +-=-； （2）3(5)2x x ++=．【难度】★★【答案】（1）192x =-，23x =；（2）15x =-，20x =．【解析】（1()0y y =³，得22239x x y +=-，原方程即2953y y --=-，整理得2560y y --=，解得：11y =-（舍），26y =，6=，平方整理得223270x x +-=，解得：192x =-，23x =，经检验，192x =-，23x =都是原方程的根；（2()0y y =³，得2251x x y +=-，原方程即()22312y y +-=，整理得23250y y +-=，解得：153y =-（舍），21y =，1=，平方整理得250x x +=，解得：15x =-，20x =，经检验，15x =-，20x =都是原方程的根．【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根．例11.解下列方程：（17=；（21=+．【难度】★★【答案】（1）12x =；（2）9x =+．【解析】（17=-，两边平方得4349x x +=-+-移项得42=，两边平方得39x -=，解得：12x =，经检验，12x =是原方程的根；（2）两边平方得2151x x -=+++7x =-，两边平方整理得218290x x -+=，配方法解得：19x =+，29x =-，经检验，29x =-是原方程的增根，即原方程的根是9x =+【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例12.=．【难度】★★★【答案】5x =．【解析】平方得2116x x x -+--=-24x =-，两边平方整理得2213150x x -+=，解得：132x =，25x =，经检验，132x =是原方程的增根，即原方程的根是5x =．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例13.解下列方程：2660x x ---=．【答案】x =()0y y =³，则有2222x x y --=，由此原方程可变形得：2236620x x x ----=，整理即为22320y xy x --=，因式分解法解得：123y x =-，2y x =23x =-x =，由23x =-，整理得2518180x x --=，解得：1x =，2x =经检验，1x =x =，可解得：1x =-，经检验，1x =-是原方程的增根，综上所述，原方程的根是x =【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验．模块二：无理方程的根的讨论知识精讲3．增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.例题解析例1.关于x 1=有一个增根x =4，求：（1）a 的值；（2）方程的根．【难度】★★【答案】（1）5a =；（2）20x =【解析】（1）移项，两边平方得：241x x a -=+++，移项得5x a =--，两边平方得：()()()224525x a x a x a +=---+，将4x =代入有()24412a a a +=++， 整理得22150a a --=，解得：13a =-，25a =，当25a =时，4x =是方程增根，当13a =-时，4x =不是方程增根，由此即得5a =；（2）将5a =代入上述平方整理的方程即有()()()245510525x x x +=---+，移项整理得224800x x -+=，解得：14x =，220x =，由题意可得14x =是原方程的增根，即得原方程的根是20x =．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．例2.2x m =-有一个根是1x =，求实数m 的值．【难度】★★【答案】0m =．【解析】因为方程有一个根是1x =，12m =-，平方整理得2240m m -=， 解得：10m =，22m =，经检验，22m =是方程的增根，应舍去，即得0m =．【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．例3.若关于x 20kx -+=有实数根，求k 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1k ³或0k <．()0a a =³，则有242a x -=，原方程即为24202a a k --×+=，整理即为22440ka a k ++-=，当0k =时，则有2a =-是增根，应舍去；当0k ¹时，分解因式得()()2220ka k a +-+=，解得：12a =-（舍），222k a k-=，因为方程有实数根，则应有2220k a k-=³，分类讨论得1k ³或0k <，即得k 的取值范围为1k ³或0k <．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．例4.若关于x 20x m ++=只有一个实数根，求m 的取值范围．【难度】★★★【答案】6m £．()0a a =³，则有23x a =-，原方程即为()2230a a m +-+=，整理即为2260a a m ++-=，因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足0a ³，则另一根必满足0a <，根据韦达定理可得：12602m a a -=£，得m 的取值范围是6m £．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．模块三：无理方程的应用知识精讲4．应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．例题解析例1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．【难度】★★【答案】24cm 和25cm ．【解析】设另外一条直角边长为xcm ，依题意可得756x ++=，解得：24x =，经检验，24x =是原方程的根且符合25cm =，即另两边长分别为24cm 和25cm ．【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．例2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．【难度】★★【答案】224m ．【解析】设原场地的边长为xm ，100.1cm m =，则扩大后场边长为()0.1x m +， 依题意得()225400.126000.6x x +=´+，整理得22754520x x --=，解得：115x =，2255x =-（舍），由此得原场地面积为2221600600245x m æö=´=ç÷èø．【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．例3.若Q 点在直线21y x =+上，且Q 到点P (0，2)，求Q 点的坐标．【难度】★★【答案】1355Q æö-ç÷èø，或()13Q ，【解析】设点()21Q x x +，=平方整理，得：25410x x --=，解得：115x =-，21x =，经检验，115x =-，21x =都是原方程的根，由此代入即得1355Q æö-ç÷èø，或()13Q ，．【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标．例4.1l 与2l 为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O 点同时出发，分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A 与B 地，一座学校座落于距1l 8千米，距2l 5千米的P 处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？是几千米？【难度】★★【答案】经过43h 两人距离学校路程相等．【解析】设经过th 两人距离学校距离相等，即AP BP =， 则有OA t =，8AM t =-，5=，平方整理得2340t t -=，解得：143t =，20t =，经检验，143t =，20t =都是原方程的根，但20t =不符合题意，应舍去，即经过43h 两人距离学校路程相等．【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系．例5.有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的89遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?【难度】★★★【答案】这群小蜜蜂共有72个．【解析】设这群蜜蜂共有x 个，根据蜂群总数，依题意可得8119x x +++=，平方整理得221536480x x -+=，解得：192x =，272x =，经检验，192x =是原方程的增根，即得这群小蜜蜂共有72个．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏．例6.m 、n 为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A 在公路n 上，距离公路m 为1千米．工厂B 距离公路m 为2千米，且距离公路n 为3千米，现在要在公路m 上选一个地址造一个车站P ，使它与A 、B 两厂的距离和为P 的位置?【难度】★★★【答案】车站P 在两公路交点上方211km 或2km 处．【解析】以直线n 为x 轴，以直线m 为y 轴，两直线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意有()10A ，，()23B ，，设点()0P x ，，=二次平方后，整理得：2112440x x -+=，解得：1211x =，22x =，经检验，1211x =，22x =都是原方程的根，即车站P 在两公路交点上方211km 或2km 处．【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．随堂检测1.下列方程是无理方程的是（）．A ．20x -+=B 9x+=C 2=-D 45x =【难度】★【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程，可知D 是无理方程，故选D ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．2.根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：（130+=；（20x +=；（34x =-；（4x +=．【难度】★【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解．【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1）330+³¹，故方程无实数解；对（2），由20x +³，即有2x ³-0x =-³，可知方程有实数解；对（3），6040x x -³ìí-³î，x 无解，即方程无实数解；对（4），3020x x -³ìí-³î，x 无解，即方程无实数解．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．3.4x =-的实数解为（）．A ．4x =B ．4x <C ．4x £D ．0x =【难度】★【答案】C44x x ==-=-，可知40x -£，得4x £，故选C ．4.用换元法解方程23640x x --+=时，y =．则该方程可转换成整式方程是_________．【难度】★【答案】23280y y --=．y =，可得:2224x x y -=-，原方程即为()234240y y --+=， 整理即为23280y y --=．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．5.解方程：（12x =；（2）2(3x =．【难度】★【答案】（1）1x =；（2）4x =．【解析】（1）移项两边平方得：()22272x x x +=+，整理得:2340x x +-=， 因式分解法解得14x =-，21x =，经检验，14x =-是原方程的增根， 即原方程的根为1x =；（2）移项得6x =-，两边平方得()()2436x x -=-，整理得:216480x x -+=， 解得:14x =，212x =，经检验，212x =是原方程的增根，即原方程的根为4x =．【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．6.(奉贤2018期末2)下列判断中，错误的是（ ）A. 方程是一元二次方程B. 方程是二元二次方程C. 方程3233x x x +-=+是分式方程D. 20x -=是无理方程【答案】D ；【解析】解：A 、方程x （x-1）=0是一元二次方程，不符合题意；B 、方程xy+5x=0是二元二次方程，不符合题意；C 、方程3233x x x +-=+是分式方程，不符合题意；D 20x -=是一元二次方程，符合题意，故选：D ．7.（闵行期末3）下列说法正确的是（A 4=的根是16x =±；（B x =的根是13x =，21x =-；（C 1x =+变形所得的有理方程是2211x x -=+；（D 10+=没有实数解．【答案】D ；【解析】A 、方程4=的根是16x =，故A 错误；B 、解方程x =得13x =，21x =-，经检验，得21x =-是增根，故原方程的根是3x =，故B 错误；C1x =+变形所得的有理方程是22121x x x -=++，故C 错误；D10+=没有实数解，所以D 正确；故答案选D.8.（崇明2018期中2）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A.2220x x ++=；B.111xx x =--；30+=；x =-.【答案】D ；【解析】A 、根的判别式小于零，故无实数根；B 、x=1是增根，故B 无实数根；C、330+³¹，故原方程无实数根；D 、可解得方程的根为1x =-，故有实数根；因此答案选D.9.（金山2019期末100=的解是_________________【答案】1x =；【解析】依题得10101010x x x x -=+=ìï-³íï+³î或，所以111x x x ==-ìí³î或，所以1x =.10.（松江2018期中20）解方程：3x =.【答案】2x =；【解析】解：原方程化为：3x -=，两边平方，得2(3)23x x -=-，整理，得28120x x -+=，解得122,6x x ==，经检验：12x =是原方程的根，26x =是增根. 所以原方程的根是2x =.11.7+=.【答案】16x =；【解析】解：移项，7=-，两边平方，得749x x -=-+，整理，4=，解得16x =，经检验16x =是原方程的根，故原方程的根是16x =.12.解方程：（110-=；（22-=．【难度】★★【答案】（1）11x =；（2）13x =，211x =．【解析】（11=，两边平方得2351x x +=+++，移项得3x =-，两边平方整理得210110x x --=，解得:111x =，21x =-，经检验，21x =-是原方程的增根，即原方程的根为11x =；（2）移项两边平方得2324x x +=-++，移项得1x =+，两边平方整理得214330x x -+=，解得:13x =，211x =， 经检验，13x =，211x =都是原方程的根．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．13.解方程：（1）241017x x -=；（2）22330x x +-=．【难度】★★【答案】（1）172x =，21x =-；（2）192x =-，23x =．【解析】（1()0y y =³，得22252x x y -=-，方程即()22217y y -+=，整理得22210y y +-=，解得:172y =-（舍），23y =，3=，平方整理得22570x x --=，解得：172x =，21x =-，经检验，172x =，21x =-都是原方程的根；（2()0y y =³，得22239x x y +=-，原方程即29530y y --+=，解得：11y =-（舍），26y =6=，平方整理得223270x x +-=，解得：192x =-，23x =，经检验，192x =-，23x =都是原方程的根．【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．14.有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木 板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．【难度】★★【答案】小木板面积为25602.5225m ．【解析】设小木板面积为2xm ，则大木板面积为()245x m +，由30.3dm m =，依题意可得0.3-=，移项整理得74.85=，即得：274.855602.5225x ==，经检验，5602.5225x =是原方程的根，即小木板面积为25602.5225m ．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．15.如果y 轴上一点P 到两点A （3，5）、B （-1，-2）的距离相等，求P 点的坐标．【难度】★★【答案】29014P æöç÷èø，．【解析】设点()0P x ，=， 平方得22103445x x x x -+=++，解得：2914x =，经检验，2914x =是原方程的根， 即29014P æöç÷èø，．【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．16.1-=．【难度】★★【答案】5x =．【解析】23x =-，根据题意，1=，23x +=-，1x =-，平方整理得250x x -=，解得：10x =，25x =，经检验，10x =是原方程的增根，即原方程的根是5x =．【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．17.712=．【难度】★★★【答案】7x =．()0a a =³1a =，原方程即为1712a a -=，解得：143a =，234a =-（舍）43=，解得：7x =，经检验，7x =是原方程的根．【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．18.已知a 为非负整数，若关于x 的方程240x a -+=至少有一个整数根， 求a 的值．【难度】★★★【答案】2a =或6a =．()0m m =³，则有21x m =-，原方程即为()22140m am a ---+=，得26201m a m -=³+，由0m ³，可得2620m -³，则有203m ££，因为x 为整数，则2m 为整数，同时a 为整数，则m 必为有理数，由此可得：0m =或1m =，当0m =时，得6a =；当1m =时，得2a =；综上，2a =或6．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算19.A 地在M 地的正北方向12千米处，B 地在M 地的正东方向12千米处，某人从B 地出发向正西方向行至C 地，再沿CA 方向到达A 地，这样比由B 地到M 地再到A 地的路程少4千米，求M 地与C 地之间的距离．【难度】★★★【答案】5MC km =．【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点M 为原点，则有()012A ，，()120B ，，设()0C a ，，根据两点间距离公式AC =，1241212a +-+=+8a =+，解得：5a =，经检验，5a =是原方程的根，即得5MC km =．【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题．。
无理方程的解法
无理方程的解法
无理方程解法包括以下几种方法：
1. 开平方法：对于形如$\sqrt{a+bx}=c$的无理方程，可先将其平方得到$a+bx=c^2$，进而解出$x=\dfrac{c^2-a}{b}$
2. 合并同类项：对于形如$\sqrt{ax^2+bx+c}+px+q=0$的无理方程，可以将方程展开并合并同类项，然后将含有无理数
$\sqrt{ax^2+bx+c}$的项移项，再两边平方，最后得到一个关于$x$的一元二次方程，即可以使用求根公式解出$x$的值
3. 倍角公式：对于形如$\sqrt{a\sin x+b\cos x}=c$的无理方程，可以使用倍角公式将$\sqrt{a\sin x+b\cos x}$化为形如
$\sqrt{a'\sin(2x+\alpha)}$的表达式，然后再使用开方法解出$x$的值
4. 代换法：对于形如$\sqrt[3]{ax^2+bx+c}=d$的无理方程，可以将$\sqrt[3]{ax^2+bx+c}$代入新变量$t$，得到一个关于$t$的一元方程$(t-d)^3=ax^2+bx+c$，可以解出$t$的值，进而解出$x$的值
5. 因式分解法：对于形如$\sqrt{a(x-b)(x-c)}=d$的无理方程，可以先将方程右侧的无理数平方，然后再将方程展开并化简得到一个关于$x$的一元二次方程
需要注意的是，解无理方程时要注意检查解的合法性，因为在开方、平方等过程中可能会存在增根、减根的情况。
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解题步骤去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号。
(最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)移项移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值;验根求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的'过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。
否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
注意(1)注意去分母时，不要漏乘整式项。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
(3)増根使最简公分母等于0。
(4)分式方程中，如果某为分母，则某应不等于0。
无理方程的几种简捷解法
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一种 化 简根 式的方法
( 江 苏 漂 阳 上 黄 中学 ) 杨 双 庚
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为 原 方程 解
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初中数学 无理数方程的解如何计算
初中数学无理数方程的解如何计算无理数方程是含有无理数的方程，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
解决无理数方程的关键是找到方程中无理数的近似解。
下面将介绍一些常见的无理数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和解决无理数方程。
一、平方根无理数方程平方根无理数方程是指含有平方根的方程。
例如，√x = 3是一个平方根无理数方程，其中√x是一个无理数。
1. 消去平方根法：对于方程√x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边平方，得到x = a^2。
例如，对于方程√x = 3，可以平方得到x = 3^2 = 9。
因此，方程的解是x = 9。
2. 迭代法：迭代法是一种逼近法，通过不断逼近无理数的近似值来解方程。
对于方程√x = a，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (x + a/x)/2，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：可以设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
- 迭代结果：最终得到的x值即为方程的近似解。
二、立方根无理数方程立方根无理数方程是指含有立方根的方程。
例如，∛x = 2是一个立方根无理数方程，其中∛x是一个无理数。
1. 消去立方根法：对于方程∛x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边立方，得到x = a^3。
例如，对于方程∛x = 2，可以立方得到x = 2^3 = 8。
因此，方程的解是x = 8。
2. 迭代法：对于立方根无理数方程，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (2*x + a/(x^2))/3，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种•解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法•常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等•本讲将通过例题来说明这些方法的运用.例1解方程卜冷-72X+8 = 0.解移项得73K-3-^+8=7気 79,两边平方后整理得J（強-3）（2蛊+ 8）=12,再两边平方后整理得2x + 3x-28= 0,所以x 1=4, X2=-7.经检验知，X2=-7为增根，所以原方程的根为x=4.说明用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.分折与解需要注恙旳是1缶曲*可盲成是2^*屈匸？这就启发找们是否可用“两项和的半方",即显全平方公式将方程的左端配方•将原方程变形为〔了/ +x) + Z X V3K 2 + x 十/二氛 (V3?+x+ x)^ = 3,所以_绮解得筍=-|由+3：=门得= d ，9经检验"原方程的根为籃严左两边平方得 3x 2+X =9"6X +x 2,两边平方得 3x 2 2+x=x + 6x + 9,解得"空浮.而当“卑7吋，dKQ,是闻虽故垃=辰 + 7K + 2 + 2^/x2+ 2K= 4 -|解考虑到辰• <772 = J宀加于是将方槎化为（X + 27x J+ 2x 4- x + 2）+ （五4-血+ 2） -6=0.即（長* J蛊+ 2）' +（丘+ J盘十2；-6 = 0,所以（■+■+ 2 -2）（+ 订芸+2十3）= 0・因为厶十4 Vs + 2 +了>0 > 0 u所以Jx-f-Vs'+2-2=0.移项得_ 2 = r 厶 + 2 ’平方后解得“卜经检脸.V是原方程的根.晶* JyT+ 社-2 = 4-y+ 2）.解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的•将原方程变形为x+ y + r -2^/7 -2^/y -1 -2VF-2 —0,& —2东4 1）十（y —] —27?^ + 1） +（5-2-2"戸+ 1）=0.配方得|（血_1）2 ——=0・利用非负数的性质得•丘二1,丽兀-],7E ---1.所以x=1，y=2，z=3.经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根.例6解方程经检验.X 忑是原方程的根.- 2x + 号+ - 2x-4 = IN ①解观察到题中两个根号的平方差是13,即(V3x a- 2H + - - 2忑一4)玄=13. ②②宁①便得- 2x4-9 - V^x3—4 = L ③由①，③得曲_2囂+9 T, 3K2-2z-40=0,所以乂 =耳「^ = 4.经检验"H L= -£ ,巧=4都是原方程的根.例7解方程V2?-] + ^/x2- ~ 2 * 3+ 3 + d 分析与解注意到2 2 2 2(2x -1)-(x -3x-2)=(2x +2x+3)-(x -x+2).设J2F _ [ = u r% _ 2 = v rJ2云4 2耳斗勺=科,-耳十2匸t,则u2_v2= w/-t 2, ①u+v=w+t. ②因为u+v=w+t=O无解，所以①*②得u-v=w-t .②+③得u=w,即+2K+ 3.解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.例8解方程例9解方程V2 + z = 1 ™ ・|解设R 予 贝=y 2-2・因此 原方程变为y = l-7/ _1-整理得y 3-1=(1-y)2, 即(y-1)(y 2+2)=0.解得y=1,即x=-1.经检验知，x=-1是原方程的根. 这道题也可设戶 二八・原方程化为整理得y 3-2y 2+3y=0.解得y=0,从而x=-1.2a - -/K- 2a E- 2a + 4 2a 2乳分析与解对于形式为比例式1=^的方程.若方程的一边或两B D 边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得两边平方得x + 2a x a 4as ■+ 4 x 2a x2- 4as + 4a 再用合分比定理得x J 十4/2a 4 ax化简得x2=4aT解得x=± 2a.经检验，x=± 2a是原方程的根.。
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无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．
例1 解方程
解移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x
1=4，x
2
=-7．
经检验知，x
2
=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
例2 解方程
方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
所以
两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，
两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，
即
所以移项得
解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．
xy=2．③例6 解方程
解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得
由①，③得
例7 解方程
分析与解注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．
设
则
u2-v2＝w2-t2，①
u+v=w+t．②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u-v=w-t．③②＋③得u=w，即
解得x=-2．
经检验，x=-2是原方程的根．
例8 解方程
整理得y3-1=(1-y)2，
即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．
经检验知，x=-1是原方程的根．
整理得y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．
例9 解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．。