一阶系统的瞬态响应

Ts 1
R s +

1 Ts 1
Y s
反馈后系统的闭环传递函数为：
1 (s) Ts 1 1 1



Ts 1
K 1 ' T T s 1 s 1 1
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3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
[方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。
一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位 置误差随时间减小，最后趋于零。 输出量和输入量之间的位置误差：
e ( t ) 1( t ) y ( t ) e
t T
稳态位置误差 ：
lim e ( t ) lim e
t t t T
0
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调整时间ts :假设系统的误差 带宽度为,则根据调整时间的 定义有: t
s
y ( ) %
( 2或5)
1 % 1 e
T
得：
4T ， 2 t s T ln % 3T ， 5
t
0 td
ts
峰值时间tp 和超调量d%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线， 没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。
时间t 输出量 斜率
0 0 1/T
T 2T
3T 0 . 950
… … …

0 . 632
0 . 865
1 .0 0 .0
0 . 368 / T 0 . 135 / T 0 . 050 / T
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
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3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
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3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点
结论一：一阶系统对输入信号导数的响应，等于一阶系 统对该输入信号响应的导数。 结论二：这个性质是线性定常系统的一个重要特性，适 用于任何阶的线性定常系统，而线性时变系统和非线
性系统则不具有这个特性。
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变换 为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s
t T

1
2

1 s
2

T s

T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位斜坡响应 ：
y ( t ) t T (1 e ), t 0
0 .1 1 e
t1 T
0 .9 1 e

t2 T
解得：t 1 0 . 10536 T
t 2 2 . 30259 T
所以上升时间tr为： t r t 2 t1 2 . 197 T
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
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y (t )
y ()
t /T
1 e
，t 0
t /T
t
t /2
2
t T Te
2 2
，t 0
t /T
t / 2 Tt T (1 e
)， t 0
单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信 号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响 应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。
K s
1
K s

1
s K
1

1 Ts 1
式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 T K 常数越小。
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3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当一阶系统的输入信号为单位脉冲信号r(t)=d(t)，其拉氏变 换为R(s)=1，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1
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3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图：
0
t
单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响 应； 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系 统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢， 单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度 越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升 越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统 为惯性环节或非周期环节。
误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差 越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越 高。
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3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
系统的输入量和输出量之间的位置误差为：
e ( t ) r ( t ) y ( t ) T (1 e
t T
3.2.1 一阶系统的数学模型
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由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：
T dy ( t ) dt y (t ) r (t )
R(s ) E (s )
-
K s
Y (s )
典型的一阶系统的结构图如图所示。 其闭环传递函数为：
1
(s) Y (s) R (s)
y(t) 1 2 3 y(t)=t
一阶系统的单位斜坡响应曲线 ： 曲线1表示输入单位斜坡信号 r(t)=t，曲线2和曲线3分别表示系 统时间常数等于T和2T时的单位 斜坡响应曲线。
0
t
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y(t)
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1 2 3 y(t)=t
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
0
t
一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总是存在位置误差， 并且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于常值T。位置
)
系统的稳态位置误差为 ：t
lim e ( t ) lim T (1 e
t t T
)T
单位斜坡响应曲线的斜率为：
y ( t ) 1 e
t T
显然在t=0时其斜率为零，并且随时间的增加斜率变大， 最大斜率为1。
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3.2.5 一阶系统的单位加速度响应

t T
一阶系统的单位阶跃响应曲线 ：
y(t) 1 1 2 曲线1 曲线2 时间常数为T 时间常数为2T
0
t
显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数 规律单调上升并最终趋于1的曲线。
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y(t) 1 1
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3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
2
曲线1 曲线2
时间常数为T 时间常数为2T
由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒
所以：ts=3T=0.3秒（0.05）
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R(s )
100 s
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为k
100 (s) Y (s) R (s) 1 s 100 s k 1 k 0 . 01 k
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3.2 一阶系统的瞬态响应
3.2.1
3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7
一阶系统的数学模型
一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位加速度响应 一阶系统的瞬态性能指标 减小一阶系统时间常数的措施
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y (t )
y ()
延迟时间td ：延迟时间定义为 输出响应第一次达到稳态值的 50%所需的时间。 t 由： 0 .5 1 e T
d
y ( ) %
( 2或5)
得：
t d 0 . 693 T
t
0 td
ts
上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间 为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:
当一阶系统的输入信号为单位加速度信号r(t)=t2/2，其拉氏 变换为R(s)=1/s3，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s 1
3

1 s
3

T s
2

T s
2

T
2
s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位加速度响应 ：
y (t ) 1 2 t Tt T (1 e
t T

1 Ts 1

1/T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应 ：
y (t ) 1 T

e
，t 0
y(t) T 1 1/2T 曲线1 曲线2 2 0 时间常数为T 时间常数为2T
一阶系统的单位脉冲响应曲线 ： 一阶系统的单位脉冲响应曲线为 单调下降的指数曲线，时间常数 T越大，响应曲线下降越慢，表 明系统受到脉冲输入信号后，恢 复到初始状态的时间越长。单位 脉冲响应的终值均为零 。