矩阵三角分解的充要条件_赵振虎

1995年9月
第19卷第3期
河北师范大学学报(自然科学版)
JournalofHebeiNormalUniversity(NaturalScienee)SeP.1995Vol.19No.3
矩阵三角分解的充要条件
赵振虎
(河北师范大学计算机科学系,。5。。16,石家庄。33岁,男,硕士)
摘要
是上三角阵.
关键词
分类号
提出并证明了A~乙U的充要条件,这里A是nxn矩阵,L是单位下三角阵,U
以7分解;高斯消去法,秩
0241.6
关于矩阵A的LU分解,众所周知的结果是:,阶方阵A可唯一地分解为双了乘积的
充要条件是A、(i一1,一,n一1)非奇异.其中A‘为A的顺序主子阵.现在去掉唯一性,讨
论A在什么条件下可分解为LU的乘积,本文的结果是:
定理方阵A存在双了分解的充要条件是A的各阶顺序主子阵A‘(i二1,…,。一l)
的秩与A的前i列元素组成的矩阵的秩相同.
证必要性设A~LU,因L为单位下三角阵,故L一’存在且L一’仍为单位下三角
阵.设L的i阶顺序主子阵为L‘(i~1,…,,一1),易知L一’的各阶顺序主子阵为L厂’.将
L一‘A一U甲成分块形式有L一’(及c)一(认w)·其中及,v‘分别是A,U的前‘列元素组
fL厂’01fA、1IU八
成的矩阵.因此L一‘B‘=v‘.再对上式分块如下!二二_}!_’卜!_’},故L厂’A‘~以.因一’---
一‘’一’一’LC、H」tD‘J、01’一此r(B.)一r(V‘)=r(U‘)~r(A‘),(i~1,…,。一l).
充分性用归纳法.记A为A(t),若时},~al,尹O,由高斯消去法,令
A
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消元成立.若可},一a,,~O,由r
a二璧,
」)~r(a,:)~0,A“’的第1列元素均为0.此时设
可A
Lf‘~E(E为,阶单位阵),则这时自然成立。
收稿日期:19,4一。5一且l;修回日期:1995一洲一17第3期赵振虎:矩阵三角分解的充要条件
使!l假设前i一1步消元成立,即存在单位下三角阵石
L‘一11““-1)-L
一…
““’:丁:
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1,L牙‘,…,L;一1,,
川),~·可止,
a分,…a允,
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~A“).
则第i步消元时,若昨,铸0,则由高斯消去法,令
、.
!l。
…
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1。+l…们.
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2...
…l‘.,.1.气一一一.L
则L盯‘A(i)一A(i+”完成了第i次消元.若昨,一。,如果此时a纷,、,…,心:,均为零,设石一‘
=E即可·否则设存在第i,行(i+1镇11簇。)有。扮护0.此时设工~右少,…L矛’,有工A~
A“,.对此式分块有忑(B‘C)~(v‘w),其中B、,v‘分别是A,A“,的前i列向量组成的矩
f工、O飞fA、、f口‘飞
阵.从而有工B‘一V、,对上式再分块如下},一~!!_一}一}_},其中L.是L的i阶顺序主
L七,打;t刀‘Jt户、J
子阵·它为一个i阶单位下三角阵,叹为A‘。的i阶顺序主子阵,它是一个i阶上三拿阵·
故艺‘A‘~U‘.由此可见,r(丑‘)=r(亡‘),:(八‘)~:(U‘).由充分性假设,:(八*)=

:(B‘),故有
r(v‘)~r(口‘).即A“,的前i列矩阵的秩等于A‘。的i阶顺序主子阵的秩.这样第11行是前
i行的线性组合(这里仅对A“,的前i列而言).设此时前i行的行向量分别是a,,a:,…,a‘,
则存在常数k‘,k:,…,k‘,使(o,…,o,a打户)~k;a,+kZa:+…+差、a‘·
‘列11
行行…‘}’
(L:‘’‘1一}
…一‘’一‘
则矩阵(L:’)‘,A“,的前i列元素中a尽消成了零,而其余元素均无变化·设这样的矩阵有k
个.令L.-‘~(L厂’)诬.…(右一‘)‘,,显然这样的L尸也是单位下三角阵,而且云一’A“,一A(‘斗”.
因此第f步消元也成立.由归纳法原理,、一l步消元均成立.故存在单位下三角阵石一’,
乙牙’,…,乙‘多,,使
L石一”,L尸:…Ll‘A“,二A帕.
令L~L;L:…L.,,U~A‘·,,则有A~刀1.这里L为单位下三角阵,U为上三角阵.得
谧河北师范大学学报(自然科学版)第19卷
证.
推论设A非奇异,则A可分解为A一LU的充分必要条件是A‘(i~1,…,n一1)非
奇异,且分解式唯一
证由上述定理充分性显然.
{浅
tC,
以下证必要性.把A一LU写成分块形式如下
LE
一一
BD
其中A:,L‘,U、(i一l,…,n一l)分别是A,L,U的
州
W,J
i阶主子阵.
乙U‘.因A非奇异,故U的对角元均不为零,因此U‘非奇异,从而
由矩阵分块乘法得A
A,非奇异.
最后要说明的一点是,由于定理充分性证明是构造性的,因此当A满足条件时,一定
可具体地找出其A一LU分解式,具体例子略.
参考文献
蒋尔雄,等.线性代数.北京:人民教育出版社,1978.巧9一163
曹志浩,等.矩阵计算和方程求根.北京:人民教育出版社,1979.6~7
斯图尔特GW.矩阵计算引论.上海:上海科学技术出版社,1980.115~116
TheSuffieientandNeeessaryCondition
fortheMatrixTriangularSeParation
ZhaoZhenhu
(DepartmontofCotnputer氏,enee,He反1NormalUniversity,050016,Shijiaz卜。一ang,PRC)
AbstraetInthisPaPer,wepresentandProofthesuffieientandneeessaryeondition
fortheA=Z之厂.where,A15an义nmatrix,L15anunitlowertriangularrnatrix,U15an
uPPertriangt一la:matrix.
KeywordsLUseParation;Gaussianelirnination;rank