九年级数学上学期课时知识同步测试28
初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.1圆的概念和性质练习题-普通用卷
初中数学冀教版九年级上册第二十八章28.1圆的概念和性质练习题一、选择题1.在以下所给的命题中，正确的个数为()①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列说法中，不正确的是()A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形B. 圆的每一条直径都是它的对称轴C. 圆有无数条对称轴D. 圆的对称中心是它的圆心3.直径为1的圆的周长是()π B. π C. 2π D. 4πA. 124.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，点D是弧ACB上的动点(不与A、B、C重合)，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，则EF长度()A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定5.在平面直角坐标系中，⊙C的圆心坐标为(1,0)，半径为1，AB为⊙C的直径，若点A的坐标为(a,b)，则点B的坐标为()A. (−a−1,−b)B. (−a+1,−b)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)6.到圆心的距离不大于半径的点的集合是()A. 圆的外部B. 圆的内部C. 圆D. 圆的内部和圆7.下列说法中，不正确的是()A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧8.下列叙述中不正确的是()A. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B. 圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C. 连接圆上两点的线段叫弦D. 圆上两点间的部分叫弧9.半径为5的圆的一条弦长不可能是()A. 3B. 5C. 10D. 1210.已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A. 2B. 4C. 6D. 811.自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征()A. 圆是轴对称图形B. 圆是中心对称图形C. 圆上各点到圆心的距离相等D. 直径是圆中最长的弦12.下列图中的四个角，为圆心角的是()A. B. C. D.二、判断题13.分辨是非，请用“√”表示对，用“×”表示错。
冀教版数学九年级上第28章《圆》测试(含答案及解析)
冀教版数学九年级上第28章《圆》测试（含答案及解析）时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分1.如下图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，那么ON=()A. 5B. 7C. 9D. 112.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30∘，⊙O的半径为5cm，那么圆心O到弦CD的距离为()cmA. 52B. 3cmC. 3√3cmD. 6cm3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延伸AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，衔接BD，∠GBC=50∘，那么∠DBC的度数为()A. 50∘B. 60∘C. 80∘D. 90∘4.如图，半径OD与弦AB相互垂直，垂足为点C，假定AB=6，CD=2，那么⊙O的半径为()A. 5B. 54C. 134D. 45.如图，AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点D在AC的延伸线上，衔接BD交⊙O于点E，假定∠AOB=3∠ADB，那么()A. DE=EBB. √2DE=EBC. √3DE=DOD. DE=OB6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=2√2，以BC的中点O为圆心⊙O区分与AB，AC相切于D，E两点，那么DE⏜的长为()A. π4B. π2C. πD. 2π7.如图，将半径为2，圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘，点O，B的对应点区分为O′，B′，衔接BB′，那么图中阴影局部的面积是()A. 2π3B. 2√3−π3C. 2√3−2π3D. 4√3−2π38.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，衔接AC、BC，点D是BA延伸线上一点，且AC=AD，假定∠B=30∘，AB=2，那么CD的长是()A. √5B. 2C. 1D. √39.如图，四边形ABCD内接于⊙O，假定四边形ABCO是平行四边形，那么∠ADC的大小为()A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘10.如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延伸线区分相交于点E，F，假定∠A=55∘，∠E=30∘，那么∠F=()A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 55∘二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕11.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，假定∠ABD=62∘，那么∠BCD=______．12.如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点区分为A，B.衔接OA，OB，AB，PO，假定∠APB=60∘，那么△PAB的周长为______．13.圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的正面积等于______(结果保管π)．14.如图，圆周角∠ACB=130∘，那么圆心角∠AOB=______．15.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.假定∠CAD=30∘，那么∠BOD=______ ∘.16.如图，等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC区分交于D、E两点，那么劣弧DE⏜的长为______．17.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45∘，假定点M、N区分是AB、AC的中点，那么MN长的最大值是______．18.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，衔接AC，BC，假定∠AOB=120∘，那么∠ACB=______度.19.如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160∘，那么∠BCD的度数为______．20.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠COD=90∘，那么图中阴影局部的面积为______ ．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕21.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O区分与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)假定AD=5√3，∠CDF=30∘，求⊙O的半径．22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，衔接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延伸线相交于点P．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．23.如图，CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90∘．(Ⅰ)证明：直线AB是⊙O的切线；(Ⅱ)当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，衔接AC、BC，假定∠BAC=30∘，CD=6cm．(1)求∠BCD的度数；(2)求⊙O的直径．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕25.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；(3)假定CD=1，EH=3，求BF及AF长．26.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延伸线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假定AE=6，∠D=30∘，求图中阴影局部的面积．答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. C5. D6. B7. C8. D9. C10. C11. 28∘12. 3√313. 10π14. 100∘15. 12016. π17. 5√2218. 6019. 100∘20. π421. 解：(1)衔接OD，∵BD=CD，OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，那么DF为圆O的切线；(2)∵DF⊥AC，∠CDF=30∘，∴∠C=60∘，∵OD//AC，∴∠ODB=∠C=60∘，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=60∘，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90∘，∴∠BAD=30∘，设BD=x，那么有AB=2x，依据勾股定理得：x2+75=4x2，解得：x=5，∴AB=2x=10，那么圆的半径为5．22. (1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90∘，衔接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90∘，即OD⊥BC，∵PD//BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；(2)证明：∵PD//BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180∘，∠ACD+∠ABD=180∘，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90∘，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=5√2，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC =BDAC，那么PB=DC⋅BDAC =5√2×5√28=254．23. (Ⅰ)证明：衔接OE，CE，OB，∵DC为圆O的直径，∴∠DEC=90∘，即∠CEB+∠AED=90∘，∴2∠AED+∠2∠CEB=180∘，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90∘，∴∠A+∠ABC=90∘，∵∠A+2∠AED=90∘，∴∠ABC=2∠AED，∴∠ABC+2∠CEB=180∘，∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180∘，∴∠CEB=∠ECB，∴BC=BE，在△OEB和△OCB中{BE=BC OE=OC OB=OB，∴△OEB≌△OCB，∴∠OEB=∠ACB=90∘，即OE⊥AB，∴AB是⊙O切线．(Ⅱ)解：∵BE=BC=1，AB=2+1=3，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC=√32−12=2√2，∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90∘，∴△AEO∽△ACB，∴OEBC =AEAC，∴OEBC =2√2=√22，∴tan∠OBC=OCBC =OEBC=√22．24. 解：(1)∵直径AB⊥CD，∴B^C=B^D，∴∠DCB=∠CAB=30度；(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm，在Rt△ACE中，∠A=30∘，∴AC=6cm，∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AB=ACcos∠A =6cos30∘=4√3(cm)．25. 证明：(1)如图，衔接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90∘，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE//BC，∴∠AEO=∠C=90∘，∴AC是⊙O的切线；(2)如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180∘，∠HFE+∠BDE=180∘，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=90∘EC=EH，∴△CDE≌△HFE(AAS)，∴CD=HF．(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF=√32+12=√10，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90∘，∴∠EHF=∠BEF=90∘，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴EFBF =HFEF，即√10BF=1√10，∴BF=10，∴OE=12BF=5，OH=5−1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=45，∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA =45，∴5OA =45，∴OA=254，∴AF=254−5=54．26. (1)证明：衔接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90∘，∴∠OCD=90∘，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30∘，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30∘，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30∘，∠OCD=90∘，∴∠DOC=60∘，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影局部的面积为8√3−8π3．【解析】1. 解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90∘，AB=24，∴AN =12，∴ON =√OA 2−AN 2=√132−122=5， 应选A ．依据⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，可以求得AN 的长，从而可以求得ON 的长．此题考察垂径定理，解题的关键是明白垂径定理的内容，应用垂径定了解答效果． 2. 解：衔接CB ．∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴圆心O 到弦CD 的距离为OE ；∵∠COB =2∠CDB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠CDB =30∘， ∴∠COB =60∘； 在Rt △OCE 中，OC =5cm ，OE =OC ⋅cos∠COB ， ∴OE =52cm ．应选A ．依据垂径定理知圆心O 到弦CD 的距离为OE ；由圆周角定理知∠COB =2∠CDB =60∘，半径OC 的长，即可在Rt △OCE 中求OE 的长度．此题考察了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合运用.解答这类题一些先生不会综合运用所学知识解答效果，不知从何处入手形成错解． 3. 解：如图，∵A 、B 、D 、C 四点共圆， ∴∠GBC =∠ADC =50∘， ∵AE ⊥CD ， ∴∠AED =90∘，∴∠EAD =90∘−50∘=40∘， 延伸AE 交⊙O 于点M ， ∵AO ⊥CD ，∴CM ⏜=DM⏜， ∴∠DBC =2∠EAD =80∘． 应选：C ．依据四点共圆的性质得：∠GBC =∠ADC =50∘，由垂径定理得：CM ⏜=DM⏜，那么∠DBC =2∠EAD =80∘．此题考察了四点共圆的性质：圆内接四边形的恣意一个外角等于它的内对角，还考察了垂径定理的运用，属于基础题．4. 解：连结OA ，如图，设⊙O 的半径为r ， ∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =8，在Rt △OAC 中，∵OA =r ，OC =OD −CD =r −2，AC =3， ∴(r −2)2+32=r 2，解得r =134．应选C ．连结OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，依据垂径定理失掉AC =BC =12AB =3，再在Rt △OAC 中应用勾股定理失掉(r −2)2+32=r 2，然后解方程求出r 即可．此题考察了的是垂径定理，依据题意作出辅佐线，结构出直角三角形，应用勾股定理求解是解答此题的关键．5. 解：衔接EO．∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，∴∠B+∠D=3∠D，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，∴∠DOE=∠D，∴ED=EO=OB，应选D．衔接EO，只需证明∠D=∠EOD即可处置效果．此题考察圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅佐线，应用等腰三角形的判定方法处置效果，属于中考常考题型．6. 解：衔接OE、OD，设半径为r，∵⊙O区分与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=12AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45∘，∵BC=2√2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE⏜=90π×1 180=π2应选：B．衔接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45∘，从而可知半径r的值，最后应用弧长公式即可求出答案．此题考察切线的性质，解题的关键是衔接OE、OD后应用中位线的性质求出半径r的值，此题属于中等题型．7. 解：衔接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120∘的扇形OAB绕点A逆时针旋转60∘，∴∠OAO′=60∘，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60∘，OO′=OA，∴点O′中⊙O上，∵∠AOB=120∘，∴∠O′OB=60∘，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120∘，∵∠AO′B′=120∘，∴∠B′O′B=120∘，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30∘，∴图中阴影局部的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB −S△OO′B)=12×1×2√3−(60⋅π×22360−1 2×2×√3)=2√3−2π3．应选：C．衔接OO′，BO′，依据旋转的性质失掉∠OAO′=60∘，推出△OAO′是等边三角形，失掉∠AOO′=60∘，推出△OO′B是等边三角形，失掉∠AO′B=120∘，失掉∠O′B′B=∠O′BB′= 30∘，依据图形的面积公式即可失掉结论．此题考察了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅佐线是解题的关键．8. 解：衔接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘．∵∠B=30∘，∴∠BAC=60∘．∵AC=AD，∴∠D=∠ACD=30∘．∵OC=OB，∠B=30∘，∴∠DOC=60∘，∴∠OCD=90∘．∵AB=2，∴OC=1，∴CD=OCtan30∘=√33=√3．应选D．衔接OC，先依据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90∘，再由∠B=30∘得出∠BAC=60∘，依据AC=AD可知∠D=∠ACD，由三角形外角的性质得出∠D=∠ACD=30∘，再由OC= OB，∠B=30∘得出∠DOC=60∘，故可得出∠OCD=90∘，再由AB=2可知OC=1，依据锐角三角函数的定义即可得出结论．此题考察的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．9. 解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC=∠AOC；∵∠ADC=12β，∠ADC=α；而α+β=180∘，∴{α+β=180∘α=12β，解得：β=120∘，α=60∘，∠ADC=60∘，应选：C．设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得{α+β=180∘α=12β，求出β即可处置效果．该题主要考察了圆周角定理及其运用效果；应结实掌握该定理并能灵敏运用．10. 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCF=∠A=55∘，∵∠CBF是△ABE的一个外角，∴∠CBF=∠A+∠E=85∘，∴∠F=180∘−∠BCF−∠CBF=40∘，应选：C．依据圆内接四边形的性质求出∠BCF，依据三角形的外角的性质求出∠CBF，依据三角形内角和定理计算即可．此题考察的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的恣意一个外角等于它的内对角是解题的关键．11. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵∠ABD=62∘，∴∠A=90∘−∠ABD=28∘，∴∠BCD=∠A=28∘．故答案为28∘．依据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB=90∘，再应用互余计算出∠A= 90∘−∠ABD=28∘，然后再依据圆周角定理求∠BCD的度数．此题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．12. 解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60∘，∴∠APO=30∘，△PAB是等边三角形，∴PA=√3AO=√3，∴△PAB的周长=3√3．故答案为：3√3．依据切线的性质失掉OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，依据直角三角形的性质失掉PA=√3AO=√3，于是失掉结论．此题考察了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13. 解：依据圆锥的正面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．依据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接应用圆锥的正面积公式求出它的正面积．此题主要考察了圆锥正面积公式.掌握圆锥正面积公式：S侧=πrl是处置效果的关键．14. 解：∵2∠ACB=260∘，∴∠AOB=360∘−260∘=100∘．故答案为100∘．依据圆周角定理即可得出结论．此题考察了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．15. 解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90∘，∵∠CAD=30∘，∴∠OAD=60∘，∴∠BOD=2∠BAD=120∘，故答案为：120．依据切线的性质求出∠BAC=90∘，求出∠OAD=60∘，依据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．此题考察了切线的性质和圆周角定理，能依据定理得出∠BAC=90∘和∠BOD=2∠BAD 是解此题的关键．16. 解：衔接OD、OE，如下图：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60∘，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60∘，∴∠DOE=60∘，∵OA=12AB=3，∴DE⏜的长=60π×3180=π；故答案为：π．衔接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60∘，求出∠DOE=60∘，再由弧长公式即可得出答案．此题考察了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是处置效果的关键．17. 解：如图，∵点M，N区分是AB，AC的中点，∴MN=12BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，衔接BO并延伸交⊙O于点C′，衔接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90∘．∵∠ACB=45∘，AB=5，∴∠AC′B=45∘，∴BC′=ABsin45∘=√22=5√2，∴MN最大=5√22．故答案为：5√22．依据中位线定理失掉MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．此题考察了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时分MN的值最大，难度不大．18. 解：∵∠AOB=120∘，∴∠ACB=120∘×12=60∘，故答案为：60．依据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考察了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．19. 解：∵∠BOD=160∘，∴∠BAD=12∠BOD=80∘，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘，故答案为：100∘．依据圆周角定理求出∠BAD，依据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180∘，即可求出答案．此题考察了圆内接四边形的性质，处置此题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180∘．20. 解：∵弦CD//AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=∠COD360⋅π⋅(AB2)2=90∘360×π×(22)2=π4．故答案为：π4．由CD//AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，依据扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD.此题属于基础题，难度不大，处置该题型标题时，经过火割图形找出面积之间的关系是关键．21. (1)衔接OD，由BD=CD，OB=OA，失掉OD为三角形ABC的中位线，失掉OD 与AC平行，依据DF垂直于AC，失掉DF垂直于OD，即可得证；(2)由直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，应用两直线平行同位角相等求出∠ODB的度数，再由OB=OD，应用等边对等角求出∠B的度数，设BD=x，应用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解失掉x的值，即可确定出圆的半径．此题考察了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解此题的关键．22. (1)由直径所对的圆周角为直角失掉∠BAC为直角，再由AD为角平分线，失掉一对角相等，依据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直失掉OD与PD垂直，即可得证；(2)由PD与BC平行，失掉一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换失掉∠P=∠ACD，依据同角的补角相等失掉一对角相等，应用两对角相等的三角形相似即可得证；(3)由三角形ABC为直角三角形，应用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，失掉DB=DC，依据(2)的相似，得比例，求出所求即可．此题考察了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解此题的关键．23. (I)衔接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90∘，依据切线的判定推出即可；(II)证△AEO∽△ACB，推出OEBC =AEAC，求出OEBC=√22，解直角三角形求出即可．此题考察了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的运用，主要考察先生综合运用性质停止推理和计算的才干．24. (1)由垂径定理知，B^C=B^D，∴∠DCB=∠CAB=30∘；CD=3，AB是直径，∴∠ACB=90∘，(2)由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=12再求出AC的长，应用∠A的余弦即可求解．此题应用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．25. (1)衔接OE，由于BE是角平分线，那么有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么应用内错角相等，两直线平行，可得OE//BC；又∠C=90∘，所以∠AEO=90∘，即AC是⊙O的切线；(2)连结DE，先依据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．(3)先证得△EHF∽△BEF，依据相似三角形的性质求得BF=10，进而依据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．此题主要考察了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等.要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，衔接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．26. (1)衔接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而失掉OC//AE，于是失掉OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)区分求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，应用S阴影=S△COD−S扇形OBC即可失掉答案．此题主要考察了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度普通．。
人教版九年级数学上册28章锐角三角函数单元测试
人教版九年级数学上册28章锐角三角函数单元测试锐角三角函数单元测试〔总分值100分，考试时间60分钟〕学校____________ 班级__________ 姓名___________一、选择题〔每题4分，共40分〕1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，那么以下三角函数表示正确的选项是〔〕A．12tan5B=B．12cos13A=C．5tan12A=D．12sin13A=2.假定锐角α满足cosα＜2且tanαα的范围是〔〕A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°3.抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为点C，衔接AC，BC，那么tan∠CAB的值为〔〕A．12B．CD．24.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，sin A=23，那么弦AB的长为〔〕AB．C．4 D．35.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=AB的长为〔〕A．3B．6C．3+D．第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．假定AC=，∠C=45°，tan∠ABC=3，那么BD的长为〔〕A ．2B ．3C ．D ．7. 一座楼梯的表示图如下图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，CA =4米，楼梯宽度1米，那么地毯的面积至少需求〔 〕米2．A ．4sin θB ．4cos θC ．4(4)tan θ+D ．(4+4tan θ)第7题图 第8题图8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，E 为AB 上一点且AE :EB =4:1，EF ⊥AC 于F ，衔接FB ，那么tan ∠CFB 的值等于〔 〕A ．3B ．3C ．3D ．9. 如图，在Rt △BAD 中，延伸斜边BD 到点C ，使DC =12BD ，衔接AC ，假定tan B 53=，那么tan ∠CAD 的值为〔 〕A ．3B ．5C ．13D ．15第9题图 第10题图 第12题图10. 如图，⊙O 的直径AB =4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC =5，那么AD 的长为〔 〕A ．65B ．85CD 二、填空题〔每题3分，共15分〕11. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，假设3a b 〔∠A ，∠B ，∠C 的对边区分为a ，b ，c 〕，那么sin A =___________．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线OC 将△COA 折叠，使点A 落在点D 处，假定CD 恰恰与MB 垂直，那么tan A 的值为_________．13. 如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2 cm ．假定按相反的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，那么OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为__________cm ．〔结果准确到0.1 cm ，参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75︒≈︒≈︒≈，，〕第13题图 第14题图14. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，以点A 为圆心，BC 长为半径作弧交AB 于点D ，区分以点A ，D 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧交于点E ，衔接AE ，DE ，那么∠EAD 的余弦值是____________．15. △ABC 中，tan B =23，BC =6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD :CD =2:1，那么△ABC 面积的一切能够值为______________．三、解答题〔本大题共5个小题，总分值45分〕16. 〔6分〕计算：〔1〕01(2016)(sin 60)|tan 30--+︒-︒-〔2〕α是锐角，且sin(15)2α+︒=，0114cos ( 3.14)tan ()3αα--π-++的值． 17. 〔7分〕维护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超越30 cm ，图1是一位同窗的坐姿，把她的眼睛B 、肘关节C 和笔端A 的位置关系笼统成图2的△ABC ，BC =30 cm ，AC =22 cm ，∠ACB =53°，她的这种坐姿契合维护视力的要求吗？请说明理由．〔参考数据：sin530.8cos530.6tan53 1.3︒≈︒≈︒≈，，〕图1 图218. 〔8分〕如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC =90°，AB =10，D 为△ABC 外一点，衔接AD ，BD ，过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于点E ．〔1〕假定△ABD 是等边三角形，求DE 的长；〔2〕假定BD =AB ，且tan ∠HDB 34=，求DE 的长． 19. 〔12分〕如图，甲船以每小时海里的速度向正南方向飞行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线飞行，当甲船飞行20分钟抵达A 2时，乙船飞行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距H E D CB A〔1〕判别△A 1A 2B 2的外形，并给出证明；〔2〕求乙船每小时飞行多少海里？20. 〔12分〕【效果发现】 如图1，点E ，F 区分在正方形ABCD 的边BC ，CD上，∠EAF =45°，试判别BE ，EF ，FD 之间的数量关系，并说明理由． 【类比引申】如图2，四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB =AD ，∠B +∠D =180°，点E ，F 区分在边BC ，CD 上，那么当∠EAF 与∠BAD 满足___________________关系时，图1中的结论仍成立．【探求运用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD ．AB =AD =80米，∠B =60°，∠ADC =120°，∠BAD =150°，路途BC ，CD 上区分有景点E ，F ，且AE ⊥AD ，DF =1)米，现要在E ，F 之间修一条蜿蜒路途，求这条路途EF 的长．〔结1.41 1.73≈≈〕FE DC B A图1图2图3北乙甲105°120°B 1B 2A 2A 1。
人教九年级数学同步测控28-2-1 解直角三角形
28.2.1解直角三角形知能演练提升1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是()A.已知BC=3,∠C=90°B.已知∠C=∠B=45°C.已知∠C=90°,∠A=2∠BD.已知∠C=90°,∠A=38°,BC=52.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于点F,连接FB,则tan∠CFB的值等于()A.√33B.2√33C.5√33D.5√33.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.247B.√73C.724D.134.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,AD=10√33cm,则BC=cm.5.小敏想知道校园内一棵大树的高度,如图,她测得CB=10 m,∠C=50°,请你帮她算出树高AB约为 m.(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)6.如图,某建筑物BC直立于水平地面,AC为9 m,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20 cm,则此阶梯最少要建阶.(最后一阶的高度不足20 cm时,按一阶算,√3取1.732)7.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2√3,则AB的长为.8.如图,在两面墙之间有一个底端在点A的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D.已知∠BAC=65°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE为3√2 m,求点B到地面的垂直距离BC.(精确到0.1 m.参考数据:sin 65°≈0.906)★9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan∠ABD=cos∠DAC.(1)求证:AC=BD;(2)若sin C=12,BC=12,求AD的长.13知能演练·提升 1.D2.C 设EB=1,则AE=4,BC=52,AC=5√32. ∴CF=√32.∴tan ∠CFB=5√33. 3.C 由题意知DE 是AB 的垂直平分线,故设BE=AE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,BE 2=BC 2+CE 2,即x 2=62+(8-x )2,解得x=254,则CE=74. 因此tan ∠CBE=CEBC=724. 4.5√3 由题意,cos ∠CAD=AC AD =10√33=√32,∴∠CAD=30°.∴∠BAC=60°. ∴tan ∠BAC=BCAC =BC5=tan 60°=√3, ∴BC=5√3 cm .5.12 AB=BC ·tan C=10×tan 50°≈12(m).6.267.3+√3 如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°, ∴CD=BD.∵∠A=30°,AC=2√3, ∴CD=√3,∴BD=CD=√3.由勾股定理得 AD=√AC 2-CD 2=3, ∴AB=AD+BD=3+√3.8.解 在Rt △ADE 中,DE=3√2 m,∠DAE=45°,∴sin ∠DAE=DEAD ,∴AD=6 m .又AD=AB ,在Rt △ABC 中,sin ∠BAC=BC AB,∴BC=AB ·sin ∠BAC=6·sin 65°≈5.4(m). ∴点B 到地面的垂直距离BC 约为5.4 m .9.(1)证明 ∵tan ∠ABD=AD BD ,cos ∠DAC=AD AC,且tan ∠ABD=cos ∠DAC ,∴AD BD =ADAC ,∴AC=BD.(2)解 由sin C=ADAC =1213,可设AD=12k ,AC=13k (k>0),∴DC=√AC 2-AD 2=5k.由(1)知BD=AC=13k ,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴k=2,3∴AD=12×2=8.3。
人教版九年级数学上28.2解直角三角形同步测试初三数学
一、基础知识1、直角三角的边角关系：如图，在Rt△ABC 中，∠A、∠B为锐角，∠C=90º,它们所对的边分别为a,b,c，其中除直角∠C 外，其余的5个元素之间有以下关系：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90º；（3）边角之间的关系：sinA=cosB=ac ，cosA=sinA=bc，tanA=ab，tanB=ba.2、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.提示：（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素.（知二求三）（2）解直角三角形，就是把所有未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.3、解直角三角型的类型与解法：二、重难点分析重点：直角三角形的解法．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．注意：当问题中给出角的三角函数值时，要注意在直角三角形中应用，若没有直角三角形，要构造直角三角形.例1：Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10，，解这个直角三角形．【点评】在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．例2、如图，在等腰三角形ABC中，底边BC为5，α是底角且tanα＝，求AC．∴AC＝AB＝．【点评】解答本题的关键是作等腰三角形ABC底边上的高AD，构造出直角三角形．三、中考感悟1、（2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则AB的长为。
2、（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3，求sinC的值．4四、专项训练 （一）基础练习1、在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是（ ）A. c=a ·sinAB.c=sin aAC. c=a ·cosAD. c=cos aA【解析】正确计算sinA 、cosA 即可求得a 、c 的关系，即可解题．在Rt△ABC中，sinA=a，c【答案】B3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，，则下底BC的长为。
最新人教版九年级上册数学同步作业课件第二十三章旋转第28课时中 心 对 称
(3)如答图KH23-28-1，连接EC. 在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS). ∴AB=EC，AD=ED. ∵在△ACE中，|AC-AB|＜AE＜AC+AB， ∴2＜AE＜8. ∴1＜AD＜4.
谢谢
时，四边形ABFE为矩形.
(C )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4. 如图KH23-28-4，△ABC与△DEC关于点C成中心对称， 若AB＝2，则DE＝____2____. 5. 如图KH23-28-5，在平面直角坐标系xOy中，若点B与 点A关于点O中心对称，则点B的坐标为___(_2_，__-_1_)___.
6. 如图KH23-28-6，△ABC与△A′B′C′关于点O成中 心对称，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°， ∠BAC=___5_5____°.
【B组】 7. 如图KH23-28-7，△ABO与△CDO关于O点成中心对称， 点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝EB.
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称， ∴BO＝DO，AO＝CO. ∵AF＝CE，∴AO-AF＝CO-CE. ∴FO＝EO. 在△FOD和△EOB中,
∴△FOD≌△EOB(SAS). ∴FD＝EB.
8. 如图KH23-28-8，矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点 A成中心对称，试判定四边形BDB′D′的形状，并说明 你的理由.
解：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于 点A成中心对称， ∴AB=AB′，AD=AD′. ∴四边形BDB′D′是平行四边形. 又∵DD′⊥BB′，∴四边形BDB′D′是 菱形.
【C组】 9. 如图KH23-28-9，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并 延长到点E，使DE=AD，连接BE. (1)哪两个图形成中心对称？ (2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积； (3)已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
冀教版九年级数学上册《28.2过三点的圆》同步测试题带答案
冀教版九年级数学上册《28.2过三点的圆》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（）A．(1,−1)B．(1,0)C．(2,0)D．(2,1)3．三角形的外心具有的性质是（)A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内4．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（）A．①B．②C．③D．④5．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）A．(3,5)B．(−3,5)C．(−1,7)D．(1,−3)6．设Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（）A．5B．10C．2√7D．5或2√77．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（）A．外心B．垂心C．重心D．内心8．如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（）A．4B．5C．6D．79．已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=6，AC=8，则△ABC外接圆的半径为（）A．3B．4C．5D．不确定10．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．(5，2)B．(2，3)C．(1，4）D．(0，0)二、填空题11．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,−1)、B(−2,5)、C(4,−6)，则A、B、C这三个点确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．12．如图，在△ABC中，BC=3cm，△BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同⌢上，若点P是BC⌢的一个动点，则△ABP面积的最大值是．时也在AB三、解答题14．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．15．如图，在△ABC中BC=16，AB=AC=10．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）（2）求（1）中所作外接圆的半径R．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．（1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为______，⊙M的半径为______；（2）△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标是______；⌢的长是______．（3）⊙M中AC17．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若△ABC的外接圆为△O，判断点D与△O的位置关系，并说明理由．参考答案1．D2．C3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．C10．A11．可以12．√3．13．8√5−814．解：如图所示．连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以OA的长度为半径，O 为圆心作圆，则⊙O即为所求15．（1）解：如图所示：∴⊙O即为所求；（2）解：如图所示：∵OA⊥BC于D，且OB=OA，BC=16，AB=10∴BD=12BC=8在Rt△ABD中∠ADB=90°，则AD=√AB2−BD2=√102−82=6在Rt△BOD中∠DOB=90°，则OB2=OD2+BD2设OB=R，则OD=R−6，即R2=(R−6)2+64，解得R=253∴（1）中所作外接圆的半径R=253．16．（1）(5,5)；√29（2）(7,0)（3）√29π217．（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：由图可知：AB=AC，△BAC=90°∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：点D在△O上，理由如下：△ABC的外接圆如图∵OD=OA∴点D在△O上．则点D与△O的位置关系是：点D在△O上．。
最新人教版九年级全一册数学同步知识点测试第28课时 与二次函数相关的综合题
(x-1)2-
∴M
抛物线的对称轴为直x-4=0.解得x1=4,x2=-2. ∴A(-2,0),C(4,0). 令x=0,则y= ×02-0-4=-4. ∴B（0，-4）. 如答图K22-28-1，作MD⊥AC于点D，则D（1，0）. S四边形ABMC=S△AOB+S四边形OBMD+S△CMD= ×2×4+
×
×1+
×3=15.
∴四边形ABMC的面积为15.
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课堂5分钟
第二十二章 二次函数
第28课时 与二次函数相关的综合题
1.（20分）二次函数y=x2+bx+c的图象如图K22-28-1.若点 A(0,y1)和B(－3,y2)在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是 （A ） A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．无法确定
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2. （20分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图K2228-2，下列说法正确的是（ C ） A．ab＜0 B．c=2 C．b2＞4ac D．b+2a=0
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3. (60分)如图K22-28-3，已知抛物线y= x2-x-4与x轴的两个 交点为A,C（A在左边），与y轴的交点为B，顶点是M. （1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC的面积.
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解：（1）y= x2-x-4= (x2-2x)-4= (x2-2x+1-1)-4=
冀教版数学九年级上册第二十八章+圆检测题参考答案.docx
第二十八章 圆检测题参考答案1.B 解析：选项A 中有4条对称轴，选项B 中有6条对称轴, 选项C 中有3条对称轴，选项D 中有2条对称轴，故选B.2.D 解析：因为圆心角的顶点必须在圆心，所以A 、B 、C 均不正确，故选D ．3.A 解析：①②③④均正确.4.A 解析：∵ OA ⊥OB ，∴ ∠AOB =90°，∴ ∠ACB =12∠AOB =45°.故选A ．5.D 解析：由垂径定理知，A 、C 正确；再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，知B 正确.6.A 解析：只有（5）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三个点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形．7.D 解析：∵ OM =ON ，∴ ∠N =∠M =50°.再根据三角形的内角和是180°，得 ∠MON =180°−50°×2=80°．8.B 解析：∵ O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，∴ 弧AB 的长为90180π×6=3π.9.C 解析：22120612cm 360S⨯π⨯==π扇形（）. 10.C 解析：根据圆周角定理得∠BOC =2∠A =45o ,所以CE =4sin 45o =2422⨯=,根据垂径定理得CD =2CE =42. 11.30 解析：由垂径定理得BE =√3,∠OEB =90º.又OB =2, ∴ OE =1,∴ ∠BOE =60º，∴ ∠BCD =30º. 12.36° 解析：由题意知B ADC ∠=∠=54°． 又∵弦AB 是直径，∴ ACB ∠=90°， ∴BAC B ∠+∠=90°，∴∠BAC =90°-54°=36°. 13.2 解析：如图，连接OB .' 2230,BCD ︒∠=Q 245.BOD BCD ︒∴∠=∠= ,AB CD ⊥Q1122222BE AE AB ∴===⨯=（cm ）, △BOE 为等腰直角三角形，∴ OB =22=BE cm ，故⊙O 的半径为2 cm. 14.弧AB =弧CD 或AB =CD (答案不唯一)15.35 解析：∵ AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.∵ ∠CAB =55°，∴ ∠B =90°−∠CAB =35°， ∴ ∠ADC =∠B =35°．故答案为35．16.2π cm 解析：因为此题中每一条弧所对的圆心角是90º，弧所在的圆的半径是2 cm ，所以所得到的两条弧的长度之和为2×90180π×2=2π(cm ). 17.6π 解析：连接OC ，OD ，CD.∵ AB 为半圆O 的直径，点C 、D 是半圆的三等分点， ∴ ∠AOC =∠COD =∠DOB =60°. 又∵ OC =OD ， ∴ ∠OCD =∠ODC =60°，OC =OD =CD =12AB =6 cm. ∴ ∠AOC =∠DCO .∴ CD ∥AB .∴ △ACD 的面积与△OCD 的面积相等.∴ 阴影部分的面积S 阴影=S 扇形OCD =60360π×62=6π (cm 2)． 18.2π cm 解析：如图所示，连接AO 、BO ， ∵ ∠ACB =30º，第13题答图∴∠AOB=2∠ACB=2×30º=60º.∴弧AB的长为60180π×6=2π(cm)．19.解：过点O作OH⊥CD，垂足为 H.∵AE=2，EB=6 ，∴OA=OB=4,OE=2.∵∠DEB=30°，∴OH=1，HD==∴CD=20.解：S=12×2×2−90π×12360−45π×12360−45π×12360=2−π2,即阴影部分的面积为2−π2.21.解：∵∠BAC=120o，AB=AC，∴∠BCA=30o.又∵ BD为直径，∴∠BAD=90o，∴∠DAC=30o.∵∠BDA=∠BCA=30o，∴∠BDA=∠DAC，∴ BD//AC，∴四边形ABDC是等腰梯形，∴BC=AD=6.22.解：如图所示，作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高.设圆心O到BC的距离为d，则依据垂径定理得BD=4,d2=52−42=9，所以d=3.当圆心在三角形内部时,BC边上的高为5+3=8 ；当圆心在三角形外部时,BC边上的高为5−3=2.23.证明：∵AB=AC，∠ACB=60º，∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC，∴弧AB=弧BC=弧AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.24.解：连接OC.∵∠AOB=90º，∠B=20º，∴∠A=70º.∵OA=OC，∴∠OCA=70º，∴∠COA=180º−70º−70º=40º，∴弧AC的长为40180π×18=4π.25.解：如图所示，过点O作OE⊥AB于E.∵弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离OE=3 cm，∴依据垂径定理得AE=4 cm.在Rt△AOE中,由勾股定理得OA=5 cm，即⊙O的半径为5 cm.26.解：（1）如图①所示，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90︒.在Rt△ABE中，∵ sin B=AE AB，∴AE=AB·sin B=sin 45︒==3.在Rt△ABE中，∵∠B=45︒，∴∠BAE=45︒.∴BE=AE=3.E第25题答图OA BD在Rt △ACE 中，∵ tan ∠ACE =AEEC， ∴ EC=3tan tan60AE ACE ==∠︒∴ BC =BE +EC =3.① ②（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵ ∠EAC =30︒，EC，∴ AC =方法1：如图①所示，连接AO 并延长交⊙O 于点M ，连接CM . ∵ AM 为直径，∴ ∠ACM =90︒.在Rt △ACM 中，∵ ∠M =∠D =∠ACB =60︒，sin M =ACAM， ∴ AM =sin AC M=4. ∴ ⊙O 的半径为2.方法2：如图②所示，连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，则AF =12AC.∵ ∠D =∠ACB =60︒，∴ ∠AOC =120︒.∴ ∠AOF =12∠AOC =60︒. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AFAO， ∴ AO=sin AF AOF ∠2，即⊙O 的半径为2.27．解：（1）由已知，BC 为⊙O 的直径，得∠CAB ＝∠BDC ＝90°. 在Rt △CAB 中，BC ＝10，AB ＝6, ∴ AC ＝.86102222=-=-AB BC ∵ AD 平分∠CAB ， ∴ 弧CD ＝弧BD ， ∴ CD ＝BD.在Rt △BDC 中，BC ＝10，CD 2＋BD 2＝BC 2， ∴ BD 2＝CD 2＝50，∴ BD ＝CD ＝52. （2）如图，连接OB ，OD .∵ AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°， ∴ ∠DAB ＝21∠CAB ＝30°， ∴ ∠DOB ＝2∠DAB ＝60°. 又∵ ⊙O 中OB ＝OD ， ∴ △OBD 是等边三角形. ∵ ⊙O 的直径为10， ∴ OB ＝5，∴ BD ＝5.第27题答图第26题答图初中数学试卷桑水出品。
人教九年级数学同步测控28-2-2 应用举例(2)
28.2.2应用举例(2)知能演练提升1.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=3√5 m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端点B与点A有一条彩带相连,若AB=10 m,则旗杆BC的高度为()A.5 mB.6 mC.8 mD.(3+√5)m2.如图,客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行,在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°,测得C处的方位角为南偏东25°,航行1小时后到达C处,在C处测得A的方位角为北偏东20°,则C到A的距离是()A.15√6 kmB.15√2 kmC.15(√6+√2)kmD.5(√6+3√2)km3.如图,一艘船向正北方向航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B处,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里.(结果保留根号)4.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角∠ABC为74°,坝顶到坝脚的距离AB为6 m.为了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,则AD的长为m.(精确到0.1 m)5.如图,在某海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北方向500 m处,当该军舰从B处向正西方向行驶至C处时,发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均保留根号)6.如图,为增强抗洪能力,沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2 m,坡度由原来的0.5∶1改为0.4∶1,已知坝高为6 m,坝长为50 m.(1)求加宽部分横断面ABCD的面积.(2)完成这一工程至少需要填方多少立方米?★7.科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.知能演练·提升1.A2.D由题意得∠ACB=25°+20°=45°,∠ABC=180°-80°-25°=75°,BC=30 km.如图,过点B作BD⊥AC于点D,则∠CBD=45°,且BD=CD=15√2 km,∴∠ABD=30°.∴AD=BD·tan 30°=5√6(km),∴AC=AD+CD=(5√6+15√2)km.3.6√3过点S作AB的垂线,垂足为C.设此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离SC为x海里,列出关于x的方程是√33−√3=12,解得x=6√3.4.2.4如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.在Rt△ABE中,sin∠ABE=AEAB,∴AE=AB·sin∠ABE=6sin 74°≈5.77(m).cos∠ABE=BEAB,∴BE=AB·cos∠ABE=6cos 74°≈1.65(m).∵AH∥BC,∴DF=AE≈5.77(m).在Rt△BDF中,tan∠DBF=DFBF,∴BF=DFtan∠DBF ≈5.77tan55°≈4.04(m).∴AD=EF=BF-BE≈4.04-1.65≈2.4(m). 5.解由已知,可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=500 m.因为tan∠ACB=ABBC,所以BC=ABtan∠ACB =500tan30°=500÷√33=500√3(m).因此该军舰行驶的路程为500√3 m .6.解 (1)如图,分别过点A ,D 作AE ⊥BC 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,则AE=DF=6 m .∵AE ∶BE=0.5∶1,DF ∶CF=0.4∶1, ∴BE=12 m,CF=15 m . ∵EF=AD=2 m,∴CE=CF+EF=15+2=17(m), ∴CB=CE-BE=17-12=5(m).∴S 梯形ABCD =12(AD+BC )·AE=12×(2+5)×6=21(m 2).(2)完成这一工程至少需要填方21×50=1 050(m 3). 7.解 如图,过点B 作BH ⊥AC 于点H ,在Rt △ABH 中,AB=4 km,∠BAH=60°, sin 60°=BHAB =√32,∴BH=√32AB=√32×4=2√3(km).在Rt △CBH 中,∠CBH=45°,BH=2√3 km,cos 45°=BH BC =√22,∴BC=√2BH=√2×2√3=2√6(km).答:B ,C 两地的距离为2√6 km .。
九年级数学上学期课时同步测试28
第二十四章质量评估试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图1，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( A ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12图1图22．如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝36°，则∠A 的度数为( D ) A ．36° B ．56° C ．72° D ．144°3．如图3所示，正三角形ABC 内接于圆O ，动点P 在圆周的劣弧AB ︵上，且不与A ，B 重合，则∠BPC 等于( B ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°【解析】 本题考查正三角形与圆周角的性质，由△ABC 为正三角形得∠CAB ＝60°，由圆周角的性质得∠BPC ＝∠BAC ＝60°.图3图44．一个点到圆的最大距离为11 cm ，最小距离为5 cm ，则圆的半径为( B ) A ．16 cm 或6 cm B ．3 cm 或8 cm C ．3 cm D ．8 cm5．如图4，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ，若∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，∠EDF 等于( B ) A ．45° B ．55° C ．65° D ．70°6．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，AB ＝8 m ，∠CAD ＝30°，则大棚高度CD 约为( B )图5A ．2.0 mB ．2.3 mC ．4.6 mD ．6.9 m【解析】 在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AC ，∴AC ＝2CD .设CD ＝x m ，则AC ＝2x m ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x .∵CD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×8＝4(m)，∴3x ＝4，x ＝433≈2.3，故选B.7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图6所示)，那么B 点从开始至结束所经过的路径长度为( B ) A.3π2 B.4π3 C ．4 D ．2＋3π2【解析】 B 点经过的路径长度是两条弧长之和，这两条弧所对的圆心角都为120°，所在圆的半径为1，即2×120π×1180＝43π，选B.图6图78．如图7所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为( A )A.4π3－ 3B.4π3－2 3 C.4π3－32 D.4π39．如图8，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°图8图910．如图9，P A ，PB 切⊙O 于点A ，B ，P A ＝10，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于C ，D 两点，则△PCD 的周长是( C ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．22 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图10所示，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，若∠C ＝∠D ＝∠E ，则∠A ＋∠B ＝__135°__.【解析】 因为AB 是直径，∠D ＝∠E ，所以AC ︵＝BC ︵，且它们的度数为90°，又∠C ＝∠D ，所以DE ︵的度数也为90°，所以∠A 与∠B 所对弧的度数和为180°＋90°＝270°，故∠A ＋∠B ＝135°.图10图1112．如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是__50°__．13．如图12，⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是__3__cm__．图12第13题答图【解析】 P 到圆心O 的最短距离即为O 到AB 的垂线段的长，此时OP ⊥AB 于P ，OP ＝OA 2－AP2＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝3(cm)．图1314．如图13，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是．【解析】 如图，连接OA ，OD ，过O 作OF ⊥AB ，OG ⊥CD ，垂足分别为F ，G ，AB ＝CD ＝CE ＋DE ＝1＋3＝4，所以DG ＝AF ＝2，OF ＝EG ＝3－2＝1，所以OA ＝AF 2＋OF 2＝22＋12＝ 5.图1415．如图14，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD ︵上异于点A 、D 的一点．若∠C ＝40°，则∠E 的度数为__40°__． 16.图15如图15，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2__．(π≈3.14，结果精确到0.1) 【解析】 由题意可得，AB ＝A ′B ＝22＋32＝13， ∠ABA ′＝90°，S 扇形BAA ′＝90π×（13）2360＝13π4，S △BA ′C ′＝12BC ′×A ′C ′＝3，则S 阴影＝S 扇形BAA ′－S △BA ′C ′＝13π4－3≈7.2 故答案为7.2. 三、解答题(共66分)17．(8分)如图16，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC ＝5 cm ，弦DE ＝8 cm ，求直尺的宽．图16解：过点O 作OM ⊥DE 于点M ，连接OD ， 则DM ＝12DE .∵DE ＝8 cm ，∴DM ＝4 cm.在Rt △ODM 中，∵OD ＝OC ＝5 cm ， ∴OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)， ∴直尺的宽度为3 cm.18．(9分)如图17，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，D 为⊙O 上一点，AD 与OC 相交于点E ，且∠DAB ＝∠C .求证：OC ∥BD .图17证明：∵AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AB ，∴∠DAB ＋∠CAE ＝90°. ∵∠DAB ＝∠C ，∴∠C ＋∠CAE ＝90°， ∴∠CEA ＝90°，即OC ⊥AD .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AD ，∴OC ∥BD .19．(9分)如图18，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，直线BD 与⊙O相切，∠DAB＝30°.(1)求∠B的度数；(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．图18第19题答图解：(1)连接OD，∵直线BD与⊙O相切，∴∠ODB＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°；(2)连接CD，∠COD＝∠OAD＋∠ODA＝30°＋30°＝60°，又OC＝OD∴△OCD是等边三角形，即：OC＝OD＝CD＝5＝OA，∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，∴OB＝10，∴AB＝AO＋OB＝5＋10＝15.20．(10分)如图19，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D.点E为⊙O上一点．连接ED并延长与BC的延长线交于点F，连接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.解答下列问题．(1)求证：直线FB是⊙O的切线；(2)若BE＝ 3 cm，则AC＝________cm.图19解：(1)∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°.则在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°.∴∠ADE＝∠ABE＝30°.∴∠FDC＝∠ADE＝30°.∴∠ACB＝∠FDC＋∠F＝30°＋15°＝45°.∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝90°.∴AB⊥BC，又∵AB为⊙O直径，∴直线FB是⊙O的切线；(2)2 2.21．(10分)如图20所示，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝30°，∠D＝30°.图20(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AC＝6，求AD的长．【解析】(1)点A在⊙O上，连接OA，只需证明DA⊥OA即可．(2)由已知得∠AOC ＝2∠B＝60°，即△AOC为等边三角形，故AO＝AC.在Rt△AOD中，由∠D＝30°，求AD长．解：(1)证明：如图所示，连接OA.∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6.∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝12，∴AD＝OD2－OA2＝122－62＝6 3.22．(10分)已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，连接AB.(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；①②图21(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB 的大小．解：(1)∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°.又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.(2)如图，连接AD.∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA.又BD＝MA，∴四边形MADB 是平行四边形． ∵MA ＝MB ，∴四边形MADB 是菱形， ∴AD ＝BD .又AC 为直径，BD ⊥AC ，∴AB ︵＝AD ︵，∴AB ＝AD ＝BD ， ∴△ABD 是等边三角形，∴∠D ＝60°， ∴在菱形MADB 中，∠AMB ＝∠D ＝60°.23．(10分)如图22，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE . (1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝1，BC ＝23，求由劣弧BC ，线段CE 和BE 所围成的图形面积S .图22解：(1)连接OC . ∵OC ＝OB ，OD ⊥BC ， ∴∠COD ＝∠BOD . 又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ， ∴△OCE ≌△OBE . ∴∠OCE ＝∠OBE . ∵CE 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥CE . ∴∠OCE ＝90°. ∴∠OBE ＝90°. ∴OB ⊥BE . ∴BE 与⊙O 相切．(2)设⊙O 的半径长为r ，则OD ＝r －1，OB ＝r .∵OC ＝OB ，OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×23＝ 3.在Rt △OBD 中，由勾股定理得(r －1)2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2. ∴OD ＝1，OB ＝2.∴∠BOD ＝60°.在Rt △OBE 中，BE ＝2 3.∴S △OBE ＝12×OB ×BE ＝12×2×23＝2 3.∵△OCE ≌△OBE ，∴S △OCE ＝S △OBE ＝2 3.∴S 四边形OBEC ＝4 3.∵∠COD ＝∠BOD ，∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∴S 扇形OBC ＝120360·π·22＝43π.∴S ＝S 四边形OBEC －S 扇形OBC ＝43－43π＝123－4π3.。
新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《28.2 过三点的圆》
新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《28.2 过三点的圆》一.填空题1．经过两点M，N可以作______个圆，圆心在______．2．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作______个．二.选择题3．下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径B．直径C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点4．根据下列条件，A，B，C三点能确定一个圆的是（）A．AB=2，BC=2，AC=4 B．AB=4.5，BC=5.5，AC=10C．AB=4，BC=3，AC=5 D．AB=﹣1，BC=+1，AC=25．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点7．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形有且只有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形8．直角三角形的外心在（）A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点9．在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，则△ABC的外心在（）A．△ABC的内部B．△ABC的外部C．△ABC的边上D．不确定10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆的半径为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块12．如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点三.非选择题13．一只猫观察到一老鼠洞的三个出口，它们在同一平面上，但不在同一直线上，这只猫应蹲在______，才能最省力地顾及到三个洞口．14．如图，已知直线l和A，B两点，求作经过A，B两点的圆，使圆心在直线l上．15．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．16．已知直线l：y=x+4和点A（0，4），B（﹣4，0），设点C为直线l上一点，判断A，B，C是否在同一个圆上．17．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．。
冀教版九年级数学上册第28章测试题及答案
冀教版九年级数学上册第28章测试题及答案28.1 圆的概念及性质一.选择题1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧4．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多B．篮球多C．一样多D．不能确定5．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等6．生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（）A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理7．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题8．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）9．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．10．在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分．三．解答题（共4小题）11．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．12．如图AB=3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．13．已知点P、Q，且PQ=4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．14．已知线段AB=3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．答案1.B2.C3.B4.C5.B6.A7.B8. 70°9. 半径10. 9211.解：连结OC，如图，∵CE=AO，OA=OC，∴OC=EC，∴∠E=∠1，∴∠2=∠E+∠1=2∠E，∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，∴∠E+2∠E=75°，∴∠E=25°．12.解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：13.解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．14.解：如图：阴影部分就是到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形28.2 过三点的圆一.选择题1．根据下列条件，A，B，C三点能确定一个圆的是（）A．AB=2，BC=2，AC=4 B．AB=4.5，BC=5.5，AC=10C．AB=4，BC=3，AC=5 D．AB=﹣1，BC=+1，AC=22．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M3．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点4．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形有且只有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形5．直角三角形的外心在（）A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点6．在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，则△ABC的外心在（）A．△ABC的内部B．△ABC的外部C．△ABC的边上D．不确定7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆的半径为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm8．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块9．如图，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB的中点B．BC的中点C．AC的中点D．∠C的平分线与AB的交点二.非选择题10．经过两点M，N可以作______个圆，圆心在______．11．如图，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作______个．12．一只猫观察到一老鼠洞的三个出口，它们在同一平面上，但不在同一直线上，这只猫应蹲在______，才能最省力地顾及到三个洞口．13．如图，已知直线l和A，B两点，求作经过A，B两点的圆，使圆心在直线l上．14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．15．已知直线l：y=x+4和点A（0，4），B（﹣4，0），设点C为直线l上一点，判断A，B，C是否在同一个圆上．16．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．答案2. C 2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.B9.A10.无数MN的垂直平分线上11. 312. 12.这三个出口所在圆的圆心上13.解：（1）连接AB ；（2）作AB 的垂直平分线，交直线l 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆，即得经过A,B 两点的圆.图略.14.解：（1）①作AB ，AC 的垂直平分线，交于点O ； ②以O 为圆心，AO 长为半径作圆，即得花坛的位置.(作△ABC 的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心) （2）由题意知圆形花坛的直径为BC 的长，BC=106822=+(米).所以花坛的半径为5米，所以小明家圆形花坛的面积为25π米2.15. 解：由题意知A,B 在直线l 上，所以点A,B,C 在直线l 上，所以A ，B ，C 不在同一个圆上. 16. 解：（1）作AB,AC 的垂直平分线，它们的交点即为该轮的圆心，图略. (2)R=325cm. 28.3 圆心角和圆周角一.选择题 1．下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数是圆心角的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C=30°，则∠ABD 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°3．如图，D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°6．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．37．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°8．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（）A．m B．180°﹣C．90°+D．9．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=110°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°二.非选择题10．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D=______．11．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器______台．12．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=12cm，弦BC=16cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD 的长．13．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B两点），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，求y与x的函数关系式．14．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于点D，求证：BE=CF．15．如图，⊙C经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于A﹑D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为（2，0），求点D的坐标和圆心C的坐标．16．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点C是劣弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．答案1. A2.D3.B4.B5.C6.C7.D8.B9.A 10. 150° 11. 312.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴AD=DB=22AB. ∵AC=12 cm ，BC=16 cm ，∴AB=20 cm. ∴AD=102cm.13. 解：连接AQ.∴∠AQP=x°.∵AB 是直径，∴∠AQP+∠PQB=90°，即x+y=90. 14. 证明：∵AE 是圆O 的直径，∴∠ABE=90°. ∵AF ⊥BC ，∴∠CBA+∠BAF=90°. 又∵∠EBC+∠CBA=90°，∴∠EBC=∠BAF.又∵∠EBC=∠EAC ，∴∠EAC=∠BAF ，∴∠BAE=∠FAC ，∴BE=CF. 15. 解：连接OC ，OA ，过点C 作CE ⊥OD 于点E. ∵∠OBA=30°，∴∠OCA=60°. 又∵点A(2，0)，所以OC=CA=OA=2. ∵∠COA=60°，∴∠DOC=30°，∴EC=21OC=1，∴EO=3，OD=32. ∴点D(0，32)，C(1，3).16. 解：（1）∵α=35°，OA=OB ，∴∠AOB=110°，∴β=180°-21×110°=125°.(2) β=90°+α.证明如下：∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=α，∴∠AOB=180°-2α. ∠ACB=180°-21∠AOB=90°+α.即β=90°+α. 28.4 垂径定理一、选择题1. 已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ） A. 2cm B.cm C.cm 或cm D.cm 或cm2. 如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 3. 如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是（ ）A. CE=DEB. AE=OEC. BC=BDD. △OCE ≌△ODE 4. 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 85. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为，则a 的值是（ ）A. 4B.C.D.6. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A. 5B. 7C. 9D. 117. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A. 3B. 2.5C. 4D. 3.58. ⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A. B. C. D. 39. 已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A. 3B. 3C.D.10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD 的距离为（）A. cmB. 3cmC. 3cmD. 6cm二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为_____________．12. 如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为___________．13. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为____________．14. 如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA 的余弦值为___________．15. 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于____________°．16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=_______．17. 如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA 的值是______________．18. 如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=__________．三、解答题19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．20. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．21. 如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA•PB=PC•PD.（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD.（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．22. 如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE.（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由.（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．23. 如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若tan∠C=，求弦MN的长．答案1.C 【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=cm.故选C.2.B 【解析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选B．3.B 【解析】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B．4.D 【解析】∵CE＝２，DE＝８，∴CD＝１０，∴OB=OC=5，∴OE=OC-CE=3，∵CD⊥AB，∴∠OEB=90°，AB=2BE，∴BE==4，∴AB=8.故选D．5.B 【解析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图.∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．6.A 【解析】∵ON⊥AB，∴AN=AB=12，∴在Rt△AON中，ON===5.故选A.7.C 【解析】试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AP=AB=×6=3，利用勾股定理得OP==4.故选C．8.C 【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．故选C．9.C 【解析】试题分析：作出图形如图，连接OB，AO并延长交BC于点H，则AC⊥BC且BH=CH，∠OBH=300.∵⊙O的面积为2π，∴.∴.∴.∴.故选C．10.A 【解析】试题分析：连接BC，根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC=5，即可在Rt△OCE中求OE=．故选A.11.1012.【解析】试题分析：根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA=.13.【解析】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得r=．14.【解析】如图，连接AM.∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2.∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°.由射影定理得：BM2=AB•CB，∴BM=4，cos∠MBA==.15. 60 【解析】∵点A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=AC=2.,∴∠BAC=60°.16.【解析】如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴OE==，∴BE=OB﹣OE=．17.【解析】试题分析：作OM⊥AB于M，如图所示：则AM=BM=AB=4cm，∴OM===（cm），∵PM=PB+BM=6cm，∴tan∠OPA===．18.【解析】如图，连接BD.∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC=6.由勾股定理得：AE=.∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°.由射影定理得：AB2=AE•AD，∴AD==，∴OC= AD=.19.解：（1）作OE⊥AB.∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE=，AE=，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．20.解：连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C.又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC.∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC＝60°.21.(1)证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴P A⋅PB=PC⋅PD.(2)证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，∴FP=FC，∴∠C=∠CPF.又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°，∴∠DPE+∠D=90°，∴EF⊥AD;(3)解：作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,∴OM ² =() ²−4 ² =4,ON² () ²−3 ² =11，∵AB⊥CD,∴四边形MONP是矩形，∴OP==.22.(1)证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE.(2)解：四边形BFCD是菱形．∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE.在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形.∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形.(3)解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．23.解：（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，即.又OA=3，AC=2，∴OB=3，∴，∴OD=5.（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，∵tan∠C=，即=，∴设OE=，则CE=，在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即，解得，在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即，解得ME=2．∴MN=4，∴弦MN的长为4．28.5 弧长和扇形面积的计算55552.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（）A．6厘米B．12厘米C．厘米6434.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π5.若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（）A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm 6.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，那么扇形的弧长为（）A ．4B ．2C ．4πD ．2π7.一个商标的图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，AB=8cm，BC=4cm ，以点A 为圆心，A D 长为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积是（ ） A ．（4π+8）cm 2B ．（4π+16）cm 2C ．（3π+8）cm 2D ．（3π+16）cm 28.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m 2 B .6π m 2 C.12 m 2 D .12π m 2 9.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( )A.aB.33a C.3a D.415a10.在Rt △ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 11.制作一个底面直径为30 cm 、高为40 cm 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为( )A .1 425π cm 2B .1 650π cm 2C .2 100π cm 2D .2 625π cm 2 12.在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．13.如图，⊙O 过△ABC 的顶点A 、B 、C ，且∠C=30°，AB=3，则弧AB 的长为__________.14.如图，将半径为1、圆心角为︒60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为_________.15.已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为_________． 16.如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是 .17.如图，已知点A 、B 、C 、D 均在以BC 为直径的圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC=120°，四边形ABCD 的周长为10，则图中阴影部分的面积为___________.18．如图，将绕点逆时针旋转到使A 、B 、C’在同一直线上，若，，则图中阴影部分的面积为 cm 2．第17题图 第18题图19.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm ，高为________ cm ，侧面积为________ cm 2.[来源:学§科§网]20.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm 2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).21.如图，在△ABC 中，AB=4cm ，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ． （1）求弧CE 的长； （2）求CF 的长．22.如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？ABC △B A BC ''△90BCA ∠=°304cm BAC AB ∠==°，′23.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧⌒BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ ADB＝30°.（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.24.一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面圆的半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.答案1.B2.A3.D4.D5.C6.C7.A8.B9.D 10.A 11.A 12. 1 13.π14.π3415. 54π 16. 150° 17.3 18. 4π 19. 5 12 65π 20. 300π 21.解：(1)∵∠B=30°，∠C=45°，∴∠A=180°-30°-45°=105°. 过点A 作AD ⊥CB 于点D. 由题意知AD=21AB=2(cm). ∵∠C=45°，AD ⊥CB ，∴AD=CD=2cm ，∴AC=22cm. ∴弧CE=π62718022π105=⨯(cm).（2）连接AF.∵∠C=45°，∴∠CFA=45°.由（1）知AC=22 cm ，∴CF=4 cm. 22.解：过点B 作BG ⊥AD 于点G.由题意知BE=DG=2米，AB=3米，AD=3+0.5=3.5（米）， ∴AG=AD-DG=3.5-2=1.5（米）. ∵AG=21AB ，∴∠BAG=60°.∴∠BAF=120°， ∴该秋千所荡过的圆弧长为6.3π21803π120≈=⨯（米）. 23.解：（1）∵BC ⊥OA ，OA 是半径，∴弧BA=弧AC. ∵∠ADB=30°，∴∠AOC=60°.(2)由（1）知弧BC 的圆心角为120°. ∵BC=6 cm ，∴CE=3cm.又∵∠AOC=60°，∴OC=23cm ，OE=3cm.∴阴影部分的面积为33-π43621360)3(2π1202=⨯⨯-⨯（cm 2）.24.解：（1）∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴r lπ2180π180=，得2=r l .即圆锥母线与底面圆的半径的比是2:1.（2）由（1）知圆锥母线与底面圆的半径的比为2:1，∴锥角为60°. （3）∵圆锥的高为33cm ，∴圆锥底面圆的半径为3cm ，圆锥母线为6cm. ∴圆锥的全面积为).π(cm 2763π2213π22=⨯⨯⨯+⨯。
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25．1.2 概率 [见A 本P54]
1．掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是( D )
A ．正面一定朝上
B ．反面一定朝上
C ．正面比反面朝上的概率大
D ．正面和反面朝上的概率都是0.5
2．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为( D )
A.12
B.15
C.23
D.13
3．下列试验中，概率最大的是( D )
A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率
B ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1～6)，掷出的点数为奇数的概率
C ．在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为方块的概率
D ．三张同样的纸片，分别写有数字2，3，4，洗匀后背面向上，任取一张恰好为偶数的概率
4．某校九年级(3)班有男生26人，女生22人，班主任向全班发放准考证时，任意抽取的第一张是女生的准考证的概率为( B )
A.12
B.1124
C.1324
D.1113
【解析】 本题考查概率的简单计算，此题所求的概率为22
26＋22＝1124
. 5．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题，供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是( C )
A.110
B.19
C.18
D.17
【解析】 前两位选手分别抽走了2号题，7号题，还有8个号，故抽到8号题
的概率为P (抽到8号题)＝18.
6．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是( B )
A.110
B.15
C.25
D.45
7．“校园手机”现象受到社会普遍关注．某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查，并绘制了扇形统计图(如图25－1－6)．从调查的学生中，随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是__9%__．
图25－1－6
8．在六盘水市组织的 “五成连创”演讲比赛中，小明等25人进入总决赛，赛
制规定，13人早上参赛，12人下午参赛，小明抽到上午比赛的概率是__1325__．
9．小芳同学有两根长度为4 cm ，10 cm 的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择(如图25－1－7所示)，从中任选一根，能钉成三角形相框
的概率是__25__．
图25－1－7
图25－1－8
10．[2018·湘西]小明把如图25－1－8所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏(每
次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率是__1
4__．
11．有一组卡片，颜色、大小均相同，分别标有0～11这12个数字，现在将它们背面向上任意颠倒次序，然后放好后任意抽取一张，求：
(1)P(抽到两位数)；
(2)P(抽到一位数)；
(3)P(抽到的数是2的倍数)；
(4)P(抽到的数大于10)．
解：(1)1
6
(2)5
6
(3)1
2
(4)1
12
12．从－1，0，1
3，π，3中随机任取一数，取到无理数的概率是__
2
5__．
13．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为
a，则使关于x的分式方程1－ax
x－2
＋2＝
1
2－x
有正整数解的概率为__
1
4__．
【解析】解分式方程得x＝
2
2－a
，当a＝－3，0，1，5时，x的值分别为2
5
，1，
2，－2
3
，其中x＝2是增根，故概率为1
4.
14．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现在袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中
摸出一个球是黄球的概率不小于1
3.问至少取出了多少黑球？
解：(1)摸出一个球是黄球的概率P＝
5
5＋13＋22
＝1
8.
(2)设取出x个黑球．由题意，得5＋x
40≥
1
3.
解得x≥25
3.
∴x 的最小正整数解是x ＝9.
即至少取出9个黑球．
15．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.
(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；
(2)设组中最多有n 个三角形，求n 的值；
(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率． 解：(1)设三角形的第三边长为x ，
∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，
∴7－5＜x ＜5＋7，∴2＜x ＜12，
∴其中一个三角形的第三边的长可以为10.
(2)∵2＜x ＜12，它们的边长均为整数，
∴x ＝3或4或5或6或7或8或9或10或11，
∴组中最多有9个三角形，∴n ＝9.
(3)∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，
∴该三角形周长为偶数的概率是P ＝49.
16．已知不等式组：⎩⎨⎧3x ≥6，2x －8≤0.
(1)求满足此不等式组的所有整数解；
(2)从此不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是多少？ 解：(1)解不等式3x ≥6得x ≥2，
解不等式2x －8≤0得x ≤4，
所以原不等式组的解集为2≤x ≤4，
所以此不等式组的所有整数解为2，3， 4.
(2)从2，3，4中任意取出一个数，一共有3种情况，其中取出偶数的可能情况有2，4两种，所以P(取出偶数)＝2
3.
17．某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其他均相同，打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．
(1)在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率．
(2)若规定：取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数)，则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
(3)请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．
解：(1)是20的倍数或者能整除20的数有7个，则P＝7 50.
(2)不公平，无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为P ＝1，即100%，而很明显抽到其他序号时，其他学生被抽中的概率不为100%.
(3)先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．(保证每位学生每次被抽到的概率都是1
50)。