湖南省益阳六中高一数学上学期第二次月考试卷(含解析)

2014-2015学年湖南省益阳六中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题．（本大题小共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3}．则满足A∪B=A的非空集合B的个数是( )A．1B．2C．7D．82．已知a n=2，a mn=16，则m的值为( )A．3B．4C．a3D．a63．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则g（x）=( )A．e x﹣e﹣xB．（e x+e﹣x）C．（e﹣x﹣e x）D．（e x﹣e﹣x）5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2+B．C．D．1+6．下列说法正确的个数是( )①平行于同一直线的两条直线平行②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行，则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行．A．1B．2C．3D．47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．5π8．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD，BC 所成的角为( )A．30°B．60°C．90°D．120°9．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为( )A．B．C．D．10．已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（0，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知球的半径为3，则该球的表面积为__________．12．幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），则f（）=__________．13．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是__________．14．一个正三棱锥的底面边长是6，高是，那么这个正三棱锥的体积为__________．15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为__________．三、解答题．16．设集合A={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，B={x|x2+3x﹣2a2+4=0}，且A∩B={1}，求A∪B．17．已知：函数f（x）定义在R上，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）是偶函数．18．求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．19．（13分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D．（2）平面MNP∥平面CC1D1D．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞1），求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f（x）是R上的增函数；（3）求该函数的值域．21．（13分）某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．（1）试求a的值；（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y（件）与每件销售x（元）满足关系y=﹣10x+800．设每天销售利润为W（元），求每天销售利润W（元）与每件销售x（元）之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？2014-2015学年湖南省益阳六中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题．（本大题小共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2，3}．则满足A∪B=A的非空集合B的个数是( )A．1B．2C．7D．8考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由已知集合A求出集合A的所有子集，然后根据题意求出满足A∪B=A的非空集合B的个数．解答：解：由集合A={1，2，3}，则集合A的所有子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．∵A∪B=A的非空集合B的个数，∴∅不合题意应舍去．故满足A∪B=A的非空集合B的个数是7个．故选：C．点评：本题考查了并集及其运算，考查了集合子集的求法，是基础题．2．已知a n=2，a mn=16，则m的值为( )A．3B．4C．a3D．a6考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂的性质得（a n）m=2m=16，解出即可．解答：解：∵（a n）m=2m=16，∴m=4，故选：B．点评：本题考查了指数幂的化简问题，是一道基础题．3．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得＞0，所以函数在（0，+∞）上单调增∵f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3＞0∴函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（2，3）故选C．点评：本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．4．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则g（x）=( )A．e x﹣e﹣xB．（e x+e﹣x）C．（e﹣x﹣e x）D．（e x﹣e﹣x）考点：偶函数；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．专题：计算题．分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．解答：解：∵f（x）为定义在R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）又∵g（x）为定义在R上的奇函数g（﹣x）=﹣g（x）由f（x）+g（x）=e x，∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x，∴g（x）=（e x﹣e﹣x）故选：D点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，是解答本题的关键．5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．6．下列说法正确的个数是( )①平行于同一直线的两条直线平行②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行，则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行．A．1B．2C．3D．4考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对四个选项逐一分析排查，找出正确的命题．解答：解：对于命题①关键平行线的传递性得到命题正确；②根据面面平行的性质和判断可得命题正确；③两条平行线中的一条和一个平面平行，另一条有可能在这个平面内，所以命题错误；④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，这条直线也可能在另一平面内，所以命题错误；所以正确命题的个数为2；故选B．点评：本题考查了空间线面关系和面面关系，考查了学生的空间想象能力．属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．5π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状和底面半径，高等数据是解答的关键．8．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD，BC 所成的角为( )A．30°B．60°C．90°D．120°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取AC中点G，连接EG、FG，可知∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在△EFG 中，由余弦定理可得cos∠EGF，结合角的范围可得答案．解答：解：取AC中点G，连接EG、FG，由三角形中位线的知识可知：EG BC，FG AD，∴∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在△EFG中，cos∠EGF===，∴∠EGF=120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°，故选：B点评：本题考查异面直线所成的角，涉及解三角形的应用，属中档题．9．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为( )A．B．C．D．考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：正方体的内切球的直径为：正方体的棱长，外接球的直径为：正方体的对角线长，通过正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．解答：解：正方体的内切球的直径为：正方体的棱长，外接球的直径为：正方体的对角线长，正方体的棱长为：1，所以内切球的半径为：；外接球的直径为：，半径为：，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：=故选B．点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为：正方体的棱长，外接球的直径为：正方体的对角线长，是解决本题的关键．10．已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，则函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，画出函数y=|2x﹣1|的图象，数形结合可得实数a的取值范围．解答：解：若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，则y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，函数y=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可得，当a∈（0，1）时，函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，故实数a的取值范围是（0，1），故选：D点评：本题主要考查方程个数的判断，将方程转化为函数，利用函数图象的交点个数，即可判断方程根的个数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知球的半径为3，则该球的表面积为36π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：直接利用球的表面积公式，即可求得结论．解答：解：根据球的表面积公式可得S=4π×32=36π故答案为：36π点评：本题考查球的表面积公式，解题的关键是记清球的表面积公式．12．幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），则f（）=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用幂函数的性质求解．解答：解：∵幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），∴2a=4，解得a=2，∴f（x）=x2，∴f（）=（）2=2．故答案为：2．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．13．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是相交、平行或异面．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：以正方体为载体，能判断出垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是相交、平行或异面．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB∩AD=A，AA1⊥AB，AA1⊥A1B1，AB∥A1B1，AA1⊥AD，AA1⊥A1B1，AD和A1B1是异面直线．∴垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是相交、平行或异面．故答案为：相交、平行或异面．点评：本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．一个正三棱锥的底面边长是6，高是，那么这个正三棱锥的体积为9．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：运用体积公式求解即可．解答：解：∵一个正三棱锥的底面边长是6，高是，∴这个正三棱锥的体积为×62×=3×=9，故答案为：9点评：本题考查了空间几何体的体积公式，属于计算题，难度不大．15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为{﹣1，0，}．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题考查集合间的包含关系，先将集合A，B化简，然后再根据B⊆A分类讨论．解答：解：集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，当a=0时，B=∅，B⊆A成立，当a≠0时，B={}，又由B⊆A，得=﹣1或=3，解得a=﹣1或a=综上a的取值集合为{﹣1，0，}故答案为：{﹣1，0，}．点评：易错点是化简集合B时没有注意a=0时B为∅的特殊情况．三、解答题．16．设集合A={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，B={x|x2+3x﹣2a2+4=0}，且A∩B={1}，求A∪B．考点：并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：由已知条件推导出a=±2：若a=2，则A={x|x2﹣2x+1=0}={1}，B={x|x2+3x﹣4=0}={﹣4，1}，从而能求出A∪B；若a=﹣2，则A={x|x2+3x﹣3=0}={﹣3，1}，B={x|x2+3x﹣4=0}={﹣4，1}，从而能求出A∪B．解答：解：∵A∩B={1}，∴由1∈B，得1+3﹣2a2+4=0，∴a2=4，∴a=±2①若a=2，则A={x|x2﹣2x+1=0}={1}，B={x|x2+3x﹣4=0}={﹣4，1}，∴A∪B={﹣4，1}②若a=﹣2，则A={x|x2+3x﹣3=0}={﹣3，1}B={x|x2+3x﹣4=0}={﹣4，1}，∴A∪B={﹣4，﹣3，1}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．17．已知：函数f（x）定义在R上，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）是偶函数．考点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法即可求f（0）；（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数．解答：解：（1）令x=y=0，则由f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）f（y）得f（0）+f（0）=2f（0）f（0）=2f（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1；（2）∵f（0）=1；∴令x=0得f（y）+f（﹣y）=2f（0）f（y）=2f（y），即f（﹣y）=f（y），即函数f（x）是偶函数．点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．18．求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．考点：平面与平面平行的性质．专题：证明题．分析：过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β 分别相交与AC和BD，由两个平面平行的性质定理可得BD∥AC，从而得到四边形ABCD是平行四边形，结论得证．解答：解：已知：如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．证明：∵AB∥CD，可过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交与AC和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD．点评：本题考查证明线线平行的方法，两个平面平行的性质定理的应用，过AB，CD可作平面γ 是解题的关键．19．（13分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D．（2）平面MNP∥平面CC1D1D．考点：平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．解答：证明：（1）连接AC，CD1，∵ABCD是正方形，N是BD中点，∴N是AC中点，又∵M是AD1中点，∴MN∥CD1，∵MN⊊平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D；（2）连接BC1，C1D，∵B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，∴P是BC1中点，又∵N是BD中点，∴PN∥C1D，∵PN⊊平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，∴PN∥平面CC1D1D，由（1）得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN=N，∴平面MNP∥平面面CC1D1D．点评：本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，是一道中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（a＞1），求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f（x）是R上的增函数；（3）求该函数的值域．考点：函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据指数函数的单调性的性质即可证明f（x）是R上的增函数；（3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域．解答：解：（1）函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；（2）f（x）===1﹣，∵a＞1，∴a x是增函数，a x+1是增函数，则是减函数，﹣为增函数，即f（x）=1﹣为增函数，即f（x）是R上的增函数；（3）∵f（x）===1﹣，a＞1，∴a x+1＞1，0＜，0＜＜2，﹣2＜﹣＜0，﹣1＜1﹣＜1，即﹣1＜y＜1，故函数的值域为（﹣1，1）．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据指数函数的性质是解决本题的关键．21．（13分）某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．（1）试求a的值；（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y（件）与每件销售x（元）满足关系y=﹣10x+800．设每天销售利润为W（元），求每天销售利润W（元）与每件销售x（元）之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由每件按30元销售，可获利50%，构造方程可求出a值；（2）结合销售量y（件）与每件销售x（元）满足关系y=﹣10x+800．可得每天销售利润W（元）与每件销售x（元）之间的函数解析式；进而利用二次函数的图象和性质，得到每件售价为多少时，每天获得的利润最大及最大利润．解答：解：（1）∵按30元销售，可获利50%，∴a（1+50%）=30，解得：a=20．（2）∵销售量y（件）与每件销售x（元）满足关系y=﹣10x+800，则每天销售利润W（元）与每件销售x（元）满足W=（﹣10x+800）（x﹣20）=﹣10x2+1000x﹣16000，故当x=50时，W取最大值9000，即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元．点评：本题考查函数模型的应用，以及一元二次函数，二次函数的应用，属于基础- 21 -。