2017_2018学年高中数学第3章概率3.3几何概型教学案(含答案)苏教版必修3

2017-2018学年高中数学苏教版3教学案：复习课(三)概率含解析

复习课（三) 概率古典概型古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属容易或中等，处理的关键在于用枚举法找出试验的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事件．还要注意理解事件间关系，准确判断两事件是否互斥，是否对立，合理利用概率加法公式及对立事件概率公式．错误!1．事件(1)基本事件在一次试验中可能出现的每一个可能结果．(2)等可能事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(3)互斥事件①定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1,A2，…,A n彼此互斥．②规定:设A，B为互斥事件,若事件A，B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.(4)对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作错误!。

2．概率的计算公式(1）古典概型①特点：有限性,等可能性．②计算公式：P(A)＝错误!。

（2)互斥事件的概率加法公式①若事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A,B 分别发生的概率的和即P（A＋B）＝P(A）＋P(B）．②若事件A1，A2，…，A n两两互斥．则P（A1＋A2＋…＋A n）＝P(A1）＋P（A2)＋…＋P（A n）．（3）对立事件计算公式：P(A)＝1－P(A)．［典例］（1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．（2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．（3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2 ,点数之和为偶数的概率记为p3，则p1，p2，p3从小到大依次为________．（4）（天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．①应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数为________．②将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5,A6.从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．则编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到概率为________．［解] （1)记3件合格品为a1,a2,a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1,a2），(a1，a3），(a1，b1），（a1，b2），(a2,a3），(a2，b1），(a2，b2），（a3,b1）,（a3,b2)，(b1，b2)}，共10个基本事件．记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1），（a1，b2），(a2，b1），(a2，b2）,(a3，b1），(a3，b2)},共6个基本事件．故其概率为P（A）＝错误!＝0。

2017-2018学年高中数学第3章概率章末小结与测评教学案苏教版必修3

第3章概率一、随机事件及概率1．随机现象在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果．2．事件的分类(1)必然事件：在一定条件下，必然发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，肯定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )≈m n.(2)概率的性质：①有界性：对任意事件A ，有0≤P (A )≤1.②规范性：若Ω、∅分别代表必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1；P (∅)＝0.二、古典概型1．基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果．2．等可能事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．3．古典概型(1)特点：有限性，等可能性．(2)概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n .即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. 三、几何概型(1)特点：无限性，等可能性．(2)概率的计算公式：在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度. 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．四、基本事件1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．(2)规定：设A ，B 为互斥事件，若事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A ＋B .2．互斥事件的概率加法公式(1)若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)若事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥．则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .(2)性质：P (A )＋P (A )＝1，P (A )＝1－P (A )．(考试时间：90分钟试卷总分：120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列事件属于必然事件的有________．①长为2，2，4的三条线段，组成等腰三角形②电话在响一声时就被接到③实数的平方为正数④全等三角形面积相等解析：①2＋2＝4，不能组成三角形，为不可能事件；②为随机事件；③中0的平方为0，为随机事件；④为必然事件．答案：④2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________．解析：共出现4种结果其两正面向上只有1种，故P ＝14. 答案：143．在坐标平面内，已知点集M ＝{(x ，y )|x ∈N ，且x ≤3，y ∈N ，且y ≤3)}，在M 中任取一点，则这个点在x 轴上方的概率是________．解析：集合M 中共有16个点，其中在x 轴上方的有12个，故所求概率为1216＝34. 答案：344．某人随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．解析：随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中共有6种情况，而将标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中有B ，A ，C ；B ，C ，A ；A ，C ，B ；C ，A ，B ，共4种情况，因此所求概率等于23.答案：235．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．解析：以上事件为互斥事件，故命中6环以下(含6环)的概率为1－0.5－0.2－0.1＝0.2.答案：0.26．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．解析：出现奇数点或2点的概率为P ＝12＋16＝23. 答案：237．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为________．解析：所有基本事件为：123，132，213，231，312，321共6个．其中“从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册”包含2个基本事件，故P ＝26＝13. 答案：138．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，那么任意x 0∈[－5，5]使f (x 0)≤0的概率为________．解析：f (x )＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－5，5]，区间长度为10， ∵f (x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－94≤0， ∴－1≤x 0≤2，区间长度为3，∴概率为310. 答案：3109．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________．解析：甲不输为两个事件的和事件，其一为甲获胜(事件A )，其二为甲获平局(事件B )，并且两事件是互斥事件．∵P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝90%－40%＝50%.答案：50%10．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为6的概率是________．解析：掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，故所得的点数之和为6的概率是P ＝536.答案：53611．从分别写有ABCDE 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________．解析：随机抽取两张可能性有 AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，BA ，CA ，DA ，EA ，CB ，DB ，EB ，DC ，EC ，ED ，共20种．卡片字母相邻：AB ，BA ，BC ，CB ，CD ，DC ，DE ，ED 共8种．∴概率为820＝25. 答案：2512．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为2 cm 的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆全部覆盖的概率为________．解析：铁片整体随机落在纸板内的测度D ＝πR 2＝64π；而铁片落下后把小圆全部覆盖的测度d ＝πr 2＝π，所以所求的概率P ＝d D ＝π64π＝164.答案：16413．(安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 答案：91014．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A 包含(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即事件A由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23. 答案：23二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)除了电视节目中的游戏外，我们平时也会遇到很多和概率有关的游戏问题，且看下面的游戏：如图所示，从“开始”处出发，每次掷出两颗骰子，两颗骰子点数之和即为要走的格数．(1)在第一轮到达“车站”的概率是多少？(2)假设你想要在第一轮到电信大楼、杭州日报或体育馆，则概率是多少？解：(1)第一轮要到“车站”，则必须掷出的点数之和为5，而用2颗骰子掷出5会有4种结果，假定一颗骰子为红色，另一颗骰子为蓝色，则有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)4种组合，而抛掷两颗骰子共有36种可能结果，所以第一轮到达“车站”的概率为436＝19. (2)需要掷出的点数之和为6或8或9，而要得出这3种结果共有下列14种组合：(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，(6，2)，(5，3)，(4，4)，(3，5)，(2，6)，(6，3)，(5，4)，(4，5)，(3，6)，所以到达这一区域的概率为1436＝718. 16．(辽宁高考)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815. 17．(本小题满分12分)某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A ；根据对立事件的概率公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.18．(本小题满分14分)一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5.(1)从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；(2)若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测，这10个球的弹性得分如下：8.7，9.1，8.3，9.6，9.4，8.7，9.7，9.3，9.2，8.0，把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B ，Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)…}，共包含20个基本事件；其中B ＝{(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)}，包含6个基本事件，则P (B )＝620＝310.(2)样本平均数为x ＝110(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋9.3＋9.2＋8.0)＝9，设B 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则包含{8.7，9.1，9.4，8.7，9.3，9.2}6个基本事件，所以P (B )＝610＝35.。

2017-2018学年苏教版高中数学必修3全册课导学案含答案

2017-2018学年数学苏教版必修3全册导学案目录1.1算法的含义导学案练习1.2.1顺序结构导学案练习1.2.2选择结构导学案练习1.2.3循环结构导学案练习1.3基本算法语句导学案练习1.4 算法案例（2）导学案练习1.4算法案例（1）导学案练习1.4算法案例（3）导学案练习2.1抽样方法（一）导学案练习2.1抽样方法（三）导学案练习2.1抽样方法（二）导学案练习2.2总体分布的估计（一）导学案练习2.2总体分布的估计（二）导学案练习2.3总体特征数的估计（一）导学案练习2.3总体特征数的估计（二）导学案练习2.4线性回归方程（一）导学案练习 2.4线性回归方程（二）导学案练习 3．1．1 随机现象导学案练习3．1．2 随机事件的概率导学案练习 3．2 古典概型（一）导学案练习 3．2 古典概型（二）导学案练习3．3 几何概型（一）导学案练习3．3 几何概型（二）导学案练习3．4 互斥事件及其发生的概率（一）导学案练习3．4 互斥事件及其发生的概率（二）导学案练习第一章算法初步1.1算法的含义【新知导读】1．什么是算法？试从日常生活中找3个例子，描述它们的算法.2．我们从小学到初中再到高中所学过的许多数学公式是算法吗？【范例点睛】例1．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤.从下列选项中选出较好的一种算法A.第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播.B.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播.D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶.思路点拨：从四个答案所给出的步骤是否合理、最少需要花费多少时间入手，进行判断.易错辨析：选择A很大程度上是受人们的通常的习惯所影响，即起床后首先应该洗脸刷牙再做其他的事情.方法点评：作为完成过程的算法来说，要讲究一个优劣之分，也即完成这个过程用时最少的是一个好算法，所以.应选C.例2．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元.你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？思路点拨：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元.这种算法最少要称1次，最多要称7次，是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：1．把银元分成3组，每组3枚.2．先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平平衡，则假银元就在未称的第3组里.3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元.方法点评：经分析发现，这种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法.从以上两个问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好.在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作. 【课外链接】1．设计一个算法，求840与1764的最大公因数.思路点拨：该算法是在对自然数进行素因数分解的基础上设计的.解答这个问题需要按以下思路进行.首先，对两个数分别进行素因数分解：75328403⨯⨯⨯=， 2227321764⨯⨯=.其次，确定两数的公共素因数：7,3,2.接着,确定公共素因数的指数:对于公共素因数22,2是1764的因数,32是840的因数,因此22是这两个数的公因数,这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样,可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样,就确定了840与1764的最大公因数为847322=⨯⨯【随堂演练】1.算法是指（） A ．为解决问题而编写的计算机程序 B.为解决问题而采取的方法和步骤 C ．为解决问题而需要采用的计算机程序 C.为解决问题而采用的计算方法 2．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）（A ）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达（B ）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 （C ）方程x 2-1=0有两个实根（D ）求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=３,再求3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为153．方程⎩⎨⎧=+=+1043732y x y x 的解集是_______________4.买一个茶杯1.5元，现要写出计算买n 个茶杯所需要的钱数的一个算法，则这个算法中必须要用到的一个表达式为_______________ 5．设计算法,判断97是否为素数.6．设计算法,求1356和2400的最小公倍数.7．有两个瓶子A 和B ，分别盛放醋和酱油，要求将它们互换（即A 瓶原来盛醋，现改盛酱油；B 瓶则相反）8．设计算法,将三个数按从大到小的顺序排列.9．有13个球看上去一模一样，但其中一个质量不同（它比其他12个略重），现在有一个天平（没有砝码），要求给出一种操作方法，把这个球找出来.参考答案 1.1算法的含义【新知导读】1.对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法 2.是【随堂演练】1.B 2.C 3.⎩⎨⎧==12y x 4.1.5n5．S1 对两个数分别进行素因数分解：1356＝22×3×113 2400=25×3×52S2 确定两数的所有素因数:2,3,5,113S3 确定素因数的指数:2的指数为5,3的指数为1,5的指数为2, 113的指数为1 S4 输出结果[1356,2400]=25×3×52×113. 6. S1 引入第三个空瓶即C 瓶； S2 将A 瓶中的醋装入C 瓶中； S3 将B 瓶中的酱油装入A 瓶中； S4 将C 瓶中的醋装入B 瓶中； S5 交换结束。

3.3《几何概型》教案(苏教版必修3).

内容：3． 3几何概型教课目的：1、知识与技术：（1）正确理解几何概型的观点；（2）掌握几何概型的概率公式：P（ A） = d的测度；D的测度（3）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；（4）会利用平均随机数解决详细的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教课，经过师生共同研究，领会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，领会数学知识与现实世界的联系，培育逻辑推理能力；（2）经过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成着手、动脑的优秀习惯。

3、感情态度与价值观：本节课的主要特色是随机试验多，学习时养成好学谨慎的学习习惯。

教课要点：几何概型的观点、公式及应用；教课难点：利用计算器或计算机产生平均随机数并运用到概率的实质应用中．教课过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心” ．奥运会的竞赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假定射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人商定在8： 00 至 9： 00 之间到某地址约会，规定先到的人等十分钟后走开，问两人能会面的概率是多大？二、建构数学从上边的剖析能够看到，关于一个随机试验，我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地取一点，该地区中每一点被取到的时机都同样。

一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述地区内的某个指定地区中的点．这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等．用这类方法办理随机试验，称为几何概型．在几何地区Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个地区内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：d的测度Ｐ（Ａ）＝．这里要求Ｄ的测度不为０，此中“测度”的意义依Ｄ确立，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例 1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思虑：由此例可知，豆子落入圆内的概率P( A)，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟4撒豆子的试验，以此来预计圆周率，请你设计出有关算法。

【拔高教育】2017_2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3

3.3 几何概型学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？梳理 (1)几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？梳理几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.知识点三用模拟方法估计概率 1．随机数的产生(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．(2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．2．用模拟方法估计概率的步骤：(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．类型一几何概型的概念例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率． 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．反思与感悟如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________．命题角度3 与体积有关的几何概型例4 三棱锥D —ABC 的体积为V ，在其内部任取一点P ，求三棱锥P —ABC 的体积小于13V 的概率．反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．1．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．其中，是几何概型的为________．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．答案精析问题导学知识点一思考出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积梳理(1)无限多个(2)相等知识点二思考由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．知识点三1．(1)RAND (2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a题型探究例1 解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．跟踪训练1 解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝T1TT1T2＝2 15.引申探究1．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝TT2T1T2＝13 15 .2．解由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 跟踪训练2 解记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －ra.例3 解如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)，F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFES 正方形ABCD＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4.跟踪训练349π解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π. 例4 解如图，设三棱锥D —ABC 的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则V D —ABC ＝13Sh ＝V .设平面EFG 是距底面ABC 的距离为13h 的平面，则点P 落在平面EFG 与平面ABC 之间时，可以保证三棱锥P —ABC 的体积小于13V .由于三棱锥D —EFG 的底面EFG 的面积为49S ，高为23h ，因此V D —EFG ＝13×49S ·23h ＝827V ，因此所求概率P ＝V －827VV＝1927. 跟踪训练4233π解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.当堂训练 1．①③解析 ①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)． 2.12解析向△ABC 内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3.13解析记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13.4.15。

【精品学习】高中数学第三章概率3.3几何概型2教案苏教版必修3

3.3 几何概型（2）教学目标：1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；2．了解测度的简单含义；3．了解几何概型的概率计算公式；4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题．教学重点：测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，立体图形的测度就是其体积等．教学难点：如何确定事件的测度（是长度还是面积、体积等）．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、知识回顾1．复习与长度有关的几何概型．有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？二、学生活动从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.三、建构数学古典概型与几何概型的对比.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( 四、数学运用1．例题.与面积(或体积)有关的几何概型例1 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解：取出10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)===变式训练：1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm 的小圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为.8132979222=- 探究提高：几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.与角度有关的几何概型例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．解：在AB 上截取AC ′＝AC ，故AM ＜AC 的概率等于AM ＜AC ′的概率．记事件A 为“AM 小于AC ”， A C B C ’222)(=='==ACAC AB C A AB AC A P 答：AM ＜AC 的概率等于22．思考：在等腰直角三角形ABC 中，过点C 在∠C 内作射线CM ，交AB 于M ，求AM 小于AC 的概率．此时的测度是作角是均匀的，就成了角的比较了． P （A ）＝43283'==∠∠ππACB ACC D d 例3 课本的例4．可化为几何概型的概率问题例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率.思维启迪：在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间,y 轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ,y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x －y |≤15所对应的图中阴影部分表示.以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： .167600302526003604560)(222=-=-==S S A P A 所以，两人能会面的概率是.167 2．练习.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达A CB MC’是等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ,则0≤x ＜24，0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<->-<≤<≤44,240,240x y x y y x 或设“两船无需等待码头空出”为事件A ,.362524242020212)(=⨯⨯⨯⨯=A P 则（2）当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x －y ≥2或y －x ≥4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域 .2882215764422424222221202021)(.24,240,240==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤B P y x x y y x 或五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2．把基本事件转化为与之对应的区域D ；3．把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4．利用几何概型概率公式计算．。

2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版

3.3 几何概型1．了解几何概型的概念及基本特点．(重点) 2．熟练掌握几何概型的概率公式．(重点、难点)3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．(重点、易混点) 4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点)[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材P 106～P 107“例1”上边的内容，并完成下面的问题． 1．几何概型的定义设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个； (2)每个基本事件出现的可能性都相等． 3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．( ) (2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( )(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解．( )【解析】 (1)√.由几何概型的特点可知正确． (2)√.由几何概型的定义知正确．(3)√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型](1)． (2)某市公交车每隔10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客能搭上车的概率为________．【精彩点拨】利用测度为长度的几何概型求解．【自主解答】 (1)设“X ≤1”为事件A ，则事件A 发生表示X ∈[－2,1]，由题意知，D 测度为区间[－2,3]长度3－(－2)＝5，d 的测度为区间[－2,1]长度1－(－2)＝3，即X ≤1的概率为P (A )＝d D ＝35.(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D ＝10 min ，而事件B 的区域长度为d＝1 min ，故P (B )＝d D ＝110，即乘客能搭上车的概率为110.【答案】 (1)35 (2)1101．解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A (B )包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解．2．求测度为长度的几何概型的步骤．(1)确定几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．(2)确定事件A 发生时对应的区域d ，判断d 的边界点是问题的关键． (3)利用几何概型概率公式求概率．[再练一题]1．在两根相距8 m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3 m 的概率是________．【解析】记“灯与两端距离都大于3 m”为事件A ，由于绳长8 m ，当挂灯的位置介于中间的2 m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P (A )＝28＝14.【答案】 14机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.图331【精彩点拨】判断为几何概型→求出图形的面积→利用公式求概率【自主解答】圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.【答案】2π解决此类问题的关键是：根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.[再练一题]2．如图332，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________.【导学号：11032066】图332【解析】由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝1－π4.【答案】 1－π41111M ，求使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率．【精彩点拨】先判断为测度是体积的几何概型，然后由体积关系转化为点M 到平面ABCD 的距离的问题处理．【自主解答】设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M ABCD ＝ 13·S 正方形ABCD ·h ＜16，S 正方形ABCD ＝1，所以h ＜12，所以只要点M 到平面ABCD 的距离小于12即可．因为所有满足M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以平面ABCD 为底面，高为12的长方体，其体积为12.又正方体的体积为1，所以使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.在几何概型中，如果试验的结果所组成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积，然后利用公式求概率.[再练一题]3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．【解析】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.【答案】127[探究共研型]探究1 【提示】几何概型涉及到的测度有长度、面积、体积与角度，“测度”的意义要依据D 来确定，当D 分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．当几何概型中的线在一个定角内运动时，测度可能为长度或角度．探究2 问题1：在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM <AC 的概率；问题2：在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作射线CM ，交AB 于点M ，求AM <AC 的概率．以上两问题中涉及的测度一样吗？概率分别是多少？【提示】两问题中的测度不一样，问题1中是长度，而问题2中为角度．由几何概型知，问题1中的概率为22，问题2中的概率为34. 过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【导学号：11032067】【精彩点拨】判断为几何概型→确定测度类型→计算测度→ 代入公式求解【自主解答】设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦．显然当弦为CD 时其长度就是△BCD 的边长，弦长大于|CD |等价于圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概型的概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12.在利用几何概型求概率时，关键要明确题目的类型，即是长度型、角度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内.[再练一题]4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．【解析】如图，过点D 作l ∥BC 交AC 于点E .由题知AD AB ＝34.而P 为△ABC 内任意一点，则使S △PBC ＞S4的点落在△ADE 中，∴P ＝S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2＝916.【答案】9161．如图333，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．图333【解析】由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23S 正＝83. 【答案】 832．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(整点报时)，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为________．【解析】记“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，则事件A 发生．由几何概型求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.【答案】 163．如图334，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一个顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．图334【解析】设正方形边长为a ，则S正方形＝a 2，S扇形＝14πa 2，则扇形外正方形内的面积为S ＝S 正方形－S 扇形＝a 2－π4a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2，故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2a2＝1－π4＝4－π4.【答案】4－π44．在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________．【解析】当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16.【答案】π165．用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．【解】设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生等价于OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1.则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3＝1－127＝2627.故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.。

2017-2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3

3.3 几何概型学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？梳理 (1)几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？梳理几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.知识点三用模拟方法估计概率 1．随机数的产生(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．(2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．2．用模拟方法估计概率的步骤：(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．类型一几何概型的概念例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率． 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．反思与感悟如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________．命题角度3 与体积有关的几何概型例4 三棱锥D —ABC 的体积为V ，在其内部任取一点P ，求三棱锥P —ABC 的体积小于13V 的概率．反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．1．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．其中，是几何概型的为________．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．答案精析问题导学知识点一思考出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积梳理(1)无限多个(2)相等知识点二思考由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．知识点三1．(1)RAND (2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a题型探究例1 解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．跟踪训练1 解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝T1TT1T2＝2 15.引申探究1．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝TT2T1T2＝13 15 .2．解由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 跟踪训练2 解记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －ra.例3 解如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)，F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFES 正方形ABCD＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4.跟踪训练349π解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π. 例4 解如图，设三棱锥D —ABC 的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则V D —ABC ＝13Sh ＝V .设平面EFG 是距底面ABC 的距离为13h 的平面，则点P 落在平面EFG 与平面ABC 之间时，可以保证三棱锥P —ABC 的体积小于13V .由于三棱锥D —EFG 的底面EFG 的面积为49S ，高为23h ，因此V D —EFG ＝13×49S ·23h ＝827V ，因此所求概率P ＝V －827VV＝1927. 跟踪训练4233π解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.当堂训练 1．①③解析 ①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)． 2.12解析向△ABC 内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3.13解析记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13.4.15。

高中数学第3章概率 3.3 几何概型(2)教案苏教版必修3

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：（问题导入）下图是卧室和书房地砖的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室（书房）设计思路二：（情境导入）在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00 至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全相同，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留的可能性相同，对于这样一个随机事件的概率，有如下的结论：对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件的概率模型，它的特点是：（1）试验中所有可能出现的结果，也就是基本事件有无限多个.（2）基本事件出现的可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，这就是几何概型.几何概型的概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 P(A)= 的测度的测度D d . 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.对于导入思路二：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.（2）几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . （3）几何概型的特点：1°试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. 2°每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图所示），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，豆子落入圆中的概率应该等于圆面积与正方形面积的比.解：记“豆子落入圆内”为事件A ，则 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件的概率类型虽然每一个事件的发生都是等可能的，但是几何概型是有无数个基本事件的情形，古典概型是有有限个基本事件的情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：（1）在Excel 软件中，选定A1，键入“=（rand （）-0.5）*2”.（2）选定A1，按“ctrl+C”.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V”.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上的均匀随机数.（3）选定D1，键入“=power（A1，2）+ power （B1，2）”；再选定D1，按“ctrl+C”；选定D2～D1 000，按“ctrl+V”，则D 列表示A 2+B 2.（4）选定F1，键入“=IF（D1＞1，1，0）”；再选定F1，按“ctrl+C”；选定F2～F1 000，按“ctrl+V”，则如果D 列中A 2+B 2＞1，F 列中的值为1，否则F 列中的值为0.（5）选定H1，键入“FREQUENCY（F1：F10，0.5）”，表示F1～F10中小于或等于0.5的个数，即前10次试验中落到圆内的豆子数；类似的，选定H2，键入“FREQUENCY（F1：F20，0.5）”，表示前20次试验中落到圆内的豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY（F1：F50，0.5）”，表示前50次试验中落到圆内的豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次试验中落到圆内的豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY（F1：F500，0.5）”，表示前500次试验中落到圆内的豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY（F1：F1 000，0.5）”，表示前1 000次试验中落到圆内的豆子数.（6）选定I1，键入“H1*4/10”，表示根据前10次试验得到圆周率π的估计值；选定I2，键入“H2*4/10”，则I2为根据前20次试验得到圆周率π的估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π的估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π的估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π的估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π的估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.分析：在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度.那么原问题就转化为求AM 小于AC′的概率.所以，当点M 位于下图中的线段AC′上时，AM ＜AC ，故线段AC′即为区域d.区域d 的测度就是线段AC′的长度，区域D 的测度就是线段AB 的长度.解：在AB 上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A . 答：AM 小于AC′的概率为22. 变式训练：若将例2改为：如下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率.解：此时，应该看作射线CM 落在∠ACB 内部是等可能的.公式中的区域D 是∠ACB（内部），而区域d 求法应该与原题是一样的，即在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度（如图），那么区域d 就是∠ACC′（内部）.从而区域d 的测度就是∠ACC′的度数，区域D 的测度就是∠ACB 的度数.∠ACC′=2135245180︒=︒-︒=67.5°，所以所求事件的概率为43905.67=︒︒=∠'∠ACB C AC . 点评：由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.此题可参考习题3.3的第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到下午 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响.求二人能会面的概率.分析：两人相约的时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达的时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示的是一个带状的，位于正方形内的图形，由于两人到达的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的，符合几何概型的条件.二人会面的条件是：|X －Y|≤1,故正方形的面积为5×5=25，阴影部分的面积为5-2×21×42=9.二人能会面的概率为259. 点评：建立适当的数学模型，是解决几何概型问题的关键.对于“碰面问题”可以模仿本题建立数学模型.例 4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色的靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)编号在6到9之间的区域；(3)编号为奇数的区域.（每一个小区域的面积相同）分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子的每一个位置的可能性相同，因此，符合几何概型的特点.解：假设靶子的每一个区域的面积为1个单位，则靶子所在圆的面积为28个单位.（1）记事件A 为“飞镖扎在编号为25的区域”，则P(A)= 281. （2）记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间的区域”，则P(B)=71284=. （3）记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数的区域”，则P(C)=212814=. 答：（1）飞镖扎在编号为25的区域的概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间的区域的概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数的区域的概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供的信息进行分析，寻找适当的解题方法，是解决本题的要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子的概率是多少?分析：病种子在这1 L 种子中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子的概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器的任何一个位置，而且在每一个位置的可能性相同，符合几何概型的特点，所以运用几何概型概率的计算方法来解决本题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？分析：由于两人到达和离开的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达或离开的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：如图，以横坐标x 表示报纸送到时间，纵坐标y 表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以 P(A)=2226023060 =87.5%. 点评：建立适当的数学模型，该模型符合几何概型的特点，这是解答本题的关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X 是0到1之间的均匀随机数，Y 也是0到1之间的均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y ＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟的方法：（1）选定A1，键入函数“=rand（）”；（2）选定A1，按“ctrl+C”，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V”.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上的均匀随机数.用A 列的数加7表示父亲离开家的时间，B 列的数加6.5表示送报人送到报纸的时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B ＞-0.5，则表示父亲在离开家前能得到报纸.（3）选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C”，选定D2D50，按“ctrl+V”.（4）选定E1，键入函数“=FREQUENCY（D1：D50，-0.5）”，E1表示统计D 列中小于或等于-0.5的数的个数，即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.（5）选定F1，键入“=（50-E1）/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸的频率.下面是我们在计算机上做的50次试验，得到的结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形的两直角边的长都是0到1之间的随机数，试求斜边长小于34的事件的概率.分析：由于直角边的长是0到1之间的随机数，因此设两直角边的长分别为x,y ，而x,y 满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，x,y 可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示的图形的任何一个位置，而且在每个位置的可能性相同，满足几何概型的特点.解：设两直角边的长分别为x,y ，则0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，如右图，样本空间为边长是1的正方形区域，而满足条件的事件所在的区域的面积为649)43(412ππ=⨯⨯.因此，所求事件的概率为P=6491649ππ=. 点评：根据已知条件，构造满足题目条件的数学模型，再运用几何概型的概率计算方法来计算某个事件发生的概率，是一种常用的求解概率问题的方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面的概率.分析：当两人到达碰面地点的时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点的时间.解：运用转盘模拟的方法.具体步骤如下：（1）做两个带指针（分针）的转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；（2）每个转盘各转m 次，并记录转动得到的结果，以第一个转盘的结果x 表示甲到达碰面地点的时间，以第二个转盘的结果y 表示乙到达碰面地点的时间；（3）统计两人能碰面（满足|x －y|<20）的次数n ；（4）计算m n 的值，即为两人能碰面的概率的近似值（理论值为95）. 点评：实施模拟的方法除了转盘模拟的方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：（1）新建一个电子表格文件，在A1的位置输入：=RAND( ) 60，产生一个0到60的随机数x ；（2）将A1位置处的表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60的随机数y ；（3）在C1的位置处输入：=IF （A1-B1<=-20，0，IF （A1-B1<20，1，0），判断两人能否碰面（即是否满足|x －y|<20），如果是，就返回数值1，否则返回数值0；（4）将第一行的三个表达式复制100行，产生100组这样的数据，也就是模拟了100次这样的试验，并统计每次的结果；（5）在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面的频率，即事件“两人能碰面”发生的概率的近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA 落在∠xOT 内}.因为射线OA 落在∠xOT 内是随机的，也就是射线OA 可以落在∠xOT 内任意一个位置，这符合几何概型的条件，区域d 的测度是60，区域D 的测度是360，根据几何概型的概率计算公式，得P(A)=6136060=. 5.运用计算机模拟的结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题的背景，判断是否符合几何概型的特点，如是则选择符合题意的“测度”，运用求几何概型概率的方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题的模拟方法来模拟得到问题的近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题的概率，以及运用模拟的方法求某一个事件的概率的近似值.结合上节课的内容可以知道，几何概型的概率问题仍然是随机事件的概率，与古典概型的区别是古典概型所含的基本事件的个数是有限个，而几何概型所包含的基本事件的个数是无限的.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：（1）与长度有关的几何概型；（2）与面积有关的几何概型；（3）与体积有关的几何概型；(4)与角度有关的几何概型.其中我们对与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型的又一随机事件的概率模型，在解决实际问题时首先根据问题的背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者的区别在于构成该事件的基本事件的个数是有限个还是无限个.在使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用的方法.习题详解习题3.31.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上的位置是随机的，也就是说灯挂在绳子上的位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型的条件，根据P=的长度的长度L l ，得P(A)= 3162=. 答：灯与两端距离都大于2 m 的概率为13.2.记A={所投的点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入大正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入小正方形内的概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积的比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投的点落入小正方形内的概率为94. 3.记A={所投的点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入矩形内的任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入梯形内部的概率应该等于梯形面积与矩形面积的比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投的点落在梯形内部的概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机的，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型的条件，根据几何概型的求概率计算公式，得P(A)=ππ21121)21(22=⋅⋅. 答：乘客到达站台立即乘上车的概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点”的概率比较困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，再求“硬币落下后与格线有公共点的概率”.解：因为直径等于2 cm 的硬币投掷到正方形网格上是随机的，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型的条件.要求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，根据几何概型的求概率计算公式： P(A)=的测度的测度D d ，因为每个小正方形的边长都等于6 cm ，硬币的直径为2 cm ，设有n 个小正方形，则区域d 的测度为n·π·12，区域D 的测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点”的概率为366122ππ=⋅⋅⋅n n ，而事件“硬币落下后与格线有公共点”是“硬币落下后与格线无公共点”的对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点”的概率为1－36π. 答：硬币落下后与格线有公共点的概率为1－36π. 6.贝特朗算出了三种不同的答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗的解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆的内接等边三角形（如图1）.因为三角形内角A 所对的弧，占整个圆周的31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦的长度才能超过正三角形的边长a ，故所求概率是31. 解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直径PQ.过点P 作圆的内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 的中点M （如图2）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦，如果通过MN 线段的，其弦心距均小于QN ，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21. 解法三：任取一弦AB.作圆的内接等边三角形的内切圆（如图3），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的21，它的面积是大圆的41，设M 是弦AB 的中点，显然，只有中点落在小圆内时，AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是41.图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格的理论基础，这样，对同一问题可以有不同的看法，以致产生一些奇谈怪论.。

高中数学第3章概率3.3几何概型教学案苏教版必修

几何概型[新知初探]1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的特征(1)在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个．(2)在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．[点睛](1)判断一个随机试验是否为几何概型时，两个条件“无限性”与“等可能性”的验证缺一不可．(2)注意几何概型与古典概型的区别，前者基本事件有无限个，而后者只有有限个．(3)在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．3．几何概型的计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．下列概率模型：①从1～10中任意取一个整数，求取到5的概率； ②从区间[1,10]内任意取一个数，求取到5的概率； ③一枚硬币连掷三次，求出现一次正面朝上的概率；④一个十字路口的交通信号灯中，红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为30秒、50秒、60秒，求某辆车到达路口遇见绿灯的概率．其中是几何概型的是________(填序号)．答案：②④2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为________．答案：0.753．在边长为4的正方形中有一个半径为1的圆，向这个正方形中随机投一点M ，则点M 落在圆内的概率为________．答案：π16[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，则一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率为__________．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，一维几何概型即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23 (2)13[活学活用]1．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率 P ＝2－12－12＝23. 答案：232．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使AM ＞AC 的概率．解：如图所示：设事件D 为“作射线CM ，使AM ＞AC ”．在AB 上取点C ′，使AC ′＝AC .∵△ACC ′是等腰三角形， ∴∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，∠BCC ′＝90°－75°＝15°，∠ACB ＝90°， ∴P (D )＝∠BCC ′∠ACB ＝16.[典例] (1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通二维几何概型信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．(2)设关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.①若a 是从0,1,2,3这四个数中任取一数，b 是从0,1,2这三个数中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．②若a 是从[0,3]中任取一数，b 是从[0,2]中任取一个数，则此方程有实根的概率为________．[解析] (1)由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)①此题是古典概型，所有基本事件为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共12个．要使方程有实根则Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∴a ≥b ，符合此条件的基本事件有(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共8个．故所求概率为812＝23.②该试验的全部结果所构成的区域为如图所示：即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件的区域为图中阴影部分OABC 所示，即{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． ∴所求的概率P ＝S 四边形OABC S 四边形OABD ＝3×2－12×223×2＝23.[答案] (1)1－π4 (2)①23 ②231.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π2．已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2)，b ∈(0,2)，则函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数的概率为________．解析：该问题是几何概型，试验的全部结果构成的区域为如图所示正方形OABC ，要使f (x )在[1，＋∞)上单调增，则b2a≤1，即b ≤2a .符合此条件的点(a ，b )对应的区域为图中阴影部分，即直角梯形OABD 又S 正方形OABC ＝4，S 梯形＝12×(1＋2)×2＝3.故所求概率P ＝34.答案：34[典例] 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . (1)求点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率；(2)求点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率；(3)求使四棱锥M -ABCD 的体积小于16a 3的概率．[解] (1)棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3. 由正方体的性质可知VB 1-A 1B C 1＝16a 3，∴点M 落在三棱锥B 1-A 1BC 1内的概率为P ＝VB 1-A 1BC 1V ＝16. (2)∵两平行平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离为a ，∴点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a 3的概率为13.(3)设点M 到平面ABCD 的距离为h .由题意，得13a 2h ＜16a 3，∴h ＜a2.∴使四棱锥M ABCD 的体积小于16a 3的概率为12.三维几何概型用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．解：设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝⎛⎭⎫r R 3＝1－127＝2627. 故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.[层级一学业水平达标]1．某交通路口的红绿灯闪亮时间如下，红灯28秒，黄灯2秒，绿灯30秒，则赶到路口恰好能通过的概率为________．解析：3028＋2＋30＝12.答案：122．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么落在△ABD 内的概率为________．解析：这是一个几何概型(如图)．∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，即所求事件的概率为12.答案：123．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，故P (A )＝2400＝0.005. 答案：0.0054. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为________．解析：试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23. 答案：235．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.[层级二应试能力达标]1. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.答案：832. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于________．解析：△ABE 的面积是矩形ABCD 的面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.答案：123．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由题意知m ＞0，则由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，所以满足|x |≤m 的概率为m －－m4－－2＝2m 6＝56，解得m ＝52. 答案：524．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)解析：根据几何概型的面积比，①游戏盘的中奖概率为38；②游戏盘的中奖概率为13；③游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4；④游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π.故①游戏盘的中奖概率最大．答案：①5．设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A )＝________.解析：如图所示，△DPQ 为圆内接正三角形，当C 点位于劣弧PQ 上时；弦DC ＞PD ；∴P (A )＝13.答案：136．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离都超过1的概率为________．解析：由题意，蚂蚁若要距离三角形的三个顶点的距离都超过1，则蚂蚁应在图中阴影部分爬行，故P ＝6－12π6＝1－π12.答案：1－π127．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8. 如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：如图所示，不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②.由①－②，得S 3＝S 4.又由图可知S 3＝S 扇形E OD ＋S 扇形C OD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π. 答案：1－2π9．正方形ABCD 的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于或等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图①，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内(包括边界)运动时，△AMB 的面积大于或等于14，由几何概型的概率公式，知P ＝S 矩形CEFD S 正方形＝12.(2)如图②，以AB 为半径作弧，M 在阴影部分(包括边界)时，AM 长度大于或等于1，由几何概型的概率公式，知P ＝S 阴影S 正方形ABCD＝1－π4.10．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈R时，求P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈Z时，求P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解：(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y －2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝6 25.。

高中数学第3章概率3.3几何概型教材梳理导学案苏教版必修

3.3 几何概型庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集，事件“点取自g”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关.如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应），那么事件A 的概率规定为：P(A)=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为A ，则P(A)=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型.辨析比较几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例.误区警示当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间即0到32 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 之间的时间段内按错键.P （A ）=4513032. 误区警示此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件A 对应的区域是0到32 min 的时间段，而不是21 min 到32 min 的时间段. 例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_________.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3.图3-3-2如图3-3-2所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件A ：“此二人会面”问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA =102-(10-3)2=51.故所求概率为P(A)=10051=ΩμμA 答案：10051 深化升华把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰RT△ABC 中，在斜边AB 上取一点M ，求AM 的长小于AC 的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点M 随机地落在线段AB 上，线段AB 为试验所有结果构成的区域D ，当点M 位于图中线段AC′上时，AM ＜AC ，线段AC 即为构成事件的区域d.方法一:在AB 上截取AC′=AC，于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A , 即AM 的长小于AC 的长的概率为22. 方法二:视射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上取AC′=AC，则∠ACC′= 245180︒-︒=67.5° . 故所求的概率为43905.67=. 误区警示背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究问题我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.。

高中数学第3章概率 3_3 几何概型互动课堂学案苏教版必修31

3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D 内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,D确定,当D分别是线段、平面图形和.几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因D的“测度”.当区域d的“测P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1.（2）求古典概型概率的步骤：①求区域D的“测度”；②求区域d的“测度”；③代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x 表示乘客到车站的时刻,以t 表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t-5,t ］内来到车站,于是D={x|t-5＜x≤t}.若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t}据几何概率公式得P （A ）=53=的长度的长度D d =0.6规律总结（1）把所求问题归结到x 轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A 发生的区域,从而求得d 的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内.案例2 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x 轴表示甲船到达的时间,y 轴表示乙船到达的时间,则（x,y ）表示的所有结果是以24为边长的正方形.0＜y-x ＜6,即图中阴影部分,则D 的面积为242,d 的小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；x,y ）就对应于图中正方形内的任一点.,分别计算面积即可.,求它们可以构成三角形的概率. ,因为是长度,所以应有x ＞0,y ＞0且x+y ＜a,即x 、y 的值在以（0,a ）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x 和y 都小于2a ,且x+y ＞2a (如图阴影部分). 又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的41,故能够形成三角形的概率为41. 解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF 的面积占△ABC 的面积的41.因为从△ABC 内任意一点P 到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于2a ,P 点必须落在阴影部分即△DEF 内（DM=2a ）.所以符合题意要求的情况占全部情况的41,即所求概率为41.解法三：如下图,作一边长为a 的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的41.令AB 上距离底边为x 的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y ＜2a ,z ＜2a ）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的41. 所以所求的概率为41.规律总结解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x 1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x 1*(b-a)+a,就可以得到［a,b ］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b ］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.③由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3 ］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A 发生的频率.【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1 m}.①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND.②经过伸缩变换,a=a 1*3.③统计出试验总次数N 和［1,2］内的随机数个数N 1.④计算频率f n (A)=N 1/N 即为概率P （A ）的近似值.规律总结用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A 及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x 与x 轴,x=±1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.］上的均匀随机数,a 1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］N 1（满足条件b ＜2a 的点（a,b ））.. P=4S . ∴N N 1≈4S . ∴S≈N N 14即为阴影部分面积的近似值. 规律总结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L 的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 L 水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（） A.0 B.0.1 C.0.01 D.1解析：1个细菌在1 L 的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1 L 的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P （A ）=LL A 11.0 全部的体积的体积发生事件=0.1. 答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（） A.50 B.100 C.150 D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=21=圆的面积红色区域面积,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是21,则落在红色区域的支数=200支×21=100支. 答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A 发生.①P（A ）=22a a π=圆的面积三角形的面积=π1. ②P（A ）=圆的面积三个扇形的面积=83.秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.,属于几何概型. 52=；（3）P=全部时间不是红灯亮的时间=全部时间黄灯或绿亮的时间=537545=. 7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A.31B.21C.32D.97 解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为31. 答案：A8.圆O 有一内接正三角形,向圆O 随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______. 解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O 随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比. 答案：π433 9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A 发生,所以 P(A)=2226023060-=87.5%.10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT 落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA 落∠xOT 内的概率.分析：以O 为起点作射线OA 是随机的,因而射线OA 落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关,符合几何概型的条件.解：设事件A“射线OA 落在∠xOT 内”.事件A 的角度是60°,区域D 的角度是360°,所以,由几何概率公式得P （A ）=6136060=. 11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件A ：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x 1=RAND,y 1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x 1*24,y=y 1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N 和满足条件-4≤x -y≤6的点（x,y ）的个数N 1.（4）计算频率f n (A)=NN 1,即为概率P （A ）的近似值. 12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.解析：设事件A ：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x 1=RAND,y 1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x 1*4-2,y=y 1*2.（3）统计出试验总数N 和满足条件x 2+y 2＜4的点（x,y ）的个数N 1.（4）计算频率f n (A)=NN 1,即为概率P （A ）的近似值. 半圆的面积为S 1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得P （A ）=4π,所以N N 1=4π.所以N N 14即为π的近似值. 13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log 3x 与x=3及x 轴围成的图形）的面积.解析：设事件A ：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x 1=RAND,y 1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x 1*3,y=y 1*3.得到两组［0,3］的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N 和满足条件y ＜log 3x 的点（x,y ）的个数N 1.（4）计算频率f n (B)=NN 1,即为频率P （A ）的近似值. 设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P （A ）=9S . 所以N N 1=9S ,故S=N N 19即为阴影部分面积的近似值.。

高中数学第3章概率3.3几何概型(1)教案苏教版必修3

3.3 几何概型 1整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P(豆子落入圆内)=.（3）启发引导学生探究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应.若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上.由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的.线段AB长5，线段AM、BN长为1，则线段MN长为3解：P（T）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P（A）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件A，就可与几何区域D中的子区域d表示了，如下图：试验：从D中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d；事件未发生：所取的点不属于 d.这样事件A的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A)=子区域d的长度/区域D的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子区域d的面积/区域D的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)= .这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A的概率用子区域d的大小与几何区域D大小的比值来表示是合理的.当子区域d和几何区域D是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d和几何区域D是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d和几何区域D是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域d的测度/区域D的测度.由于几何区域d是几何区域D的子集，于是我们有0≤ｄ的测度≤Ｄ的测度，在不等式两侧同时除以D的测度（一般假定其为正数）则有，即0≤P≤1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(A)＝0时，d 的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d的测度必须等于D的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“４点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例 2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d，所有的1升水看成区域D，记事件A为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则P(A)==0.1.答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例 3 将正方形ABCD等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形ABCD内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解： (1)记事件A为“点落在红色区域”，假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(A)=.(2)记事件B为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(B)=.(3)记事件C为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(C)=.点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例 4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x）小时，乙到的时间为（9＋y）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即小时，所以在|x－y|≤时，两人才能会面.由于|x－y|≤是两条平行直线x－y=,y－x=之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1－)×(1－)=()2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1－()2=，因此所求的概率为.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例 1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=.点评：本题中“测度”为长度.例 2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A、B、C的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域A或B的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域C的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析：由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A、B、C，设正三角形的面积为S，则三个小三角形的面积（也就是区域A、B、C的面积）都是正三角形面积的，即每个小三角形的面积都是，所以，P(A)=P(B)=P(C)=.在靶子2中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A1、B1、C1，设圆的面积为S1，则区域A的面积为，区域B、C的面积为，因此，P(A1)=，P(B1)=P(C1)= .(2)记事件D为“在靶子1中，分别投中区域A或B”，所以，P(D)=.(3)记事件E为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有P(E)=.点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例 3 如图，正方形ABCD内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R，正方形ABCD的边长为x，由平面几何知识可知：x2=(R－)(R+)，得x2=R2.记该点“落入正方形内”为事件A，则P(A)=≈0.51.点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积.例 4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件A“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为.点评：在本题中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答：1.C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出 2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是［o,a］，只有当r＜OM≤ａ时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：P（获得购物券）=；P（获得100元购物券）=；P（获得50元购物券）=；P（获得20元购物券）=.4. 设x和y为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里0＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y ＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示.因此P(r)=.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题.具体地说，如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率.如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无数个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率.第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向L上任意投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率为P=；（2）设平面图形s是平面图形S的一部分，向图形S上任意投一点，若投中图形s上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s在图形S上的相对位置无关，则点投中图形s 的概率为P=；（3）设空间几何体v是空间几何体V的一部分，向几何体V上任意投一点，若投中几何体v上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v在几何体V上的相对位置无关，则点投中几何体v的概率为P=.作业课本习题 3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的概率计算公式中的“测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些是可以转化为上述量的具体问题，要会转化.。

高中数学第三章概率3.3几何概型1教案苏教版必修

3.3 几何概型（1）教学目标：1．了解随机数的概念和意义；2．了解用模拟方法估计概率的思想；3．了解几何概型的基本概念、特点和意义；4．了解测度的简单含义；5．了解几何概型的概率计算公式．教学重点：几何概型的特点：（1）基本事件有无限多个；（2）基本事件发生是等可能的．教学难点：几何概型的概率计算公式的推导．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、问题情境问题1：取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12．2cm ，运动员在70m 外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（1）能用古典概型描述事件的概率吗？为什么？（2）试验中的基本事件是什么？（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？（4）符合古典概型的特点吗？二、学生活动问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．三、建构数学对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域3m内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验,称为几何概型．几何概型的特点：(1)基本事件有无限多个；(2)基本事件发生是等可能的．一般地,在几何区域D 中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率：.D的测度d的测度P(A)=四、数学运用1．例题．例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m 的概率．解：记“灯与两端距离都大于3m ”为事件A ，由于绳长8m ，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）= 82=41．例2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．事件A,记“豆子落在圆内”为:解.a a πππ===22圆的面积P(A)正方形面积44答:豆子落入圆内的概率为4数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．如果向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，那么当n 很大时，比值n m，即频率应接近于 P(A)，于是有由此可得 4πm n ≈2．练习．（1）在数轴上，设点x ∈[－3，3]中按均匀分布出现，记a ∈(－1，2]为事件A ，则P （A ）=（）A ．1B ．0C ．12 D ．13（2）在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？（3）在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻2a().m P A n≈探，钻到油层面的概率是多少？（4）如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率．（5）在正方形ABCD内随机取一点P，求∠APB ＞90°的概率．22)2(21)(aaDdAPπ==的测度的测度解：.8π=变式：∠APB ＝90°？.0)(2===aDdBP的测度的测度结论：概率为0的事件可能发生！五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．古典概型与几何概型的对比．相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型的概率公式．积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP=)(3．几何概型问题的概率的求解．（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（2）D的测度不为0，当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积．BCDPBCADP（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域D内随机取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第3章概率3.3几何概型(2)教案苏教版必修3

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：（问题导入）下图是卧室和书房地砖的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室（书房）设计思路二：（情境导入）在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00 至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全相同，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留的可能性相同，对于这样一个随机事件的概率，有如下的结论：对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件的概率模型，它的特点是：（1）试验中所有可能出现的结果，也就是基本事件有无限多个.（2）基本事件出现的可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，这就是几何概型.几何概型的概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 P(A)= 的测度的测度D d .这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.对于导入思路二：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.（2）几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . （3）几何概型的特点：1°试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. 2°每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图所示），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，豆子落入圆中的概率应该等于圆面积与正方形面积的比.解：记“豆子落入圆内”为事件A ，则P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件的概率类型虽然每一个事件的发生都是等可能的，但是几何概型是有无数个基本事件的情形，古典概型是有有限个基本事件的情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：（1）在Excel 软件中，选定A1，键入“=（rand （）-0.5）*2”.（2）选定A1，按“ctrl+C”.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V”.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上的均匀随机数.（3）选定D1，键入“=power（A1，2）+ power （B1，2）”；再选定D1，按“ctrl+C”；选定D2～D1 000，按“ctrl+V”，则D 列表示A 2+B 2.（4）选定F1，键入“=IF（D1＞1，1，0）”；再选定F1，按“ctrl+C”；选定F2～F1 000，按“ctrl+V”，则如果D 列中A 2+B 2＞1，F 列中的值为1，否则F 列中的值为0.（5）选定H1，键入“FREQUENCY（F1：F10，0.5）”，表示F1～F10中小于或等于0.5的个数，即前10次试验中落到圆内的豆子数；类似的，选定H2，键入“FREQUENCY（F1：F20，0.5）”，表示前20次试验中落到圆内的豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY（F1：F50，0.5）”，表示前50次试验中落到圆内的豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次试验中落到圆内的豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY（F1：F500，0.5）”，表示前500次试验中落到圆内的豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY（F1：F1 000，0.5）”，表示前1 000次试验中落到圆内的豆子数.（6）选定I1，键入“H1*4/10”，表示根据前10次试验得到圆周率π的估计值；选定I2，键入“H2*4/10”，则I2为根据前20次试验得到圆周率π的估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π的估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π的估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π的估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π的估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.分析：在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度.那么原问题就转化为求AM 小于AC′的概率.所以，当点M 位于下图中的线段AC′上时，AM ＜AC ，故线段AC′即为区域d.区域d 的测度就是线段AC′的长度，区域D 的测度就是线段AB 的长度.解：在AB 上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM <AC′)=22=='AB AC AB C A . 答：AM 小于AC′的概率为22. 变式训练：若将例2改为：如下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率.解：此时，应该看作射线CM 落在∠ACB 内部是等可能的.公式中的区域D 是∠ACB（内部），而区域d 求法应该与原题是一样的，即在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度（如图），那么区域d 就是∠ACC′（内部）.从而区域d 的测度就是∠ACC′的度数，区域D 的测度就是∠ACB 的度数.∠ACC′=2135245180︒=︒-︒=67.5°，所以所求事件的概率为43905.67=︒︒=∠'∠ACB C AC . 点评：由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.此题可参考习题3.3的第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到下午 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响.求二人能会面的概率.分析：两人相约的时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达的时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示的是一个带状的，位于正方形内的图形，由于两人到达的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的，符合几何概型的条件.二人会面的条件是：|X －Y|≤1,故正方形的面积为5×5=25，阴影部分的面积为5-2×21×42=9.二人能会面的概率为259. 点评：建立适当的数学模型，是解决几何概型问题的关键.对于“碰面问题”可以模仿本题建立数学模型.例 4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色的靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)编号在6到9之间的区域；(3)编号为奇数的区域.（每一个小区域的面积相同）分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子的每一个位置的可能性相同，因此，符合几何概型的特点.解：假设靶子的每一个区域的面积为1个单位，则靶子所在圆的面积为28个单位.（1）记事件A 为“飞镖扎在编号为25的区域”，则P(A)= 281. （2）记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间的区域”，则P(B)=71284=. （3）记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数的区域”，则P(C)=212814=. 答：（1）飞镖扎在编号为25的区域的概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间的区域的概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数的区域的概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供的信息进行分析，寻找适当的解题方法，是解决本题的要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子的概率是多少?分析：病种子在这1 L 种子中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子的概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器的任何一个位置，而且在每一个位置的可能性相同，符合几何概型的特点，所以运用几何概型概率的计算方法来解决本题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？分析：由于两人到达和离开的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达或离开的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)=222602 3060=87.5%.点评：建立适当的数学模型，该模型符合几何概型的特点，这是解答本题的关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间的均匀随机数，Y 也是0到1之间的均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟的方法：（1）选定A1，键入函数“=rand（）”；（2）选定A1，按“ctrl+C”，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V”.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间，B列的数加6.5表示送报人送到报纸的时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，则表示父亲在离开家前能得到报纸.（3）选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C”，选定D2D50，按“ctrl+V”.（4）选定E1，键入函数“=FREQUENCY（D1：D50，-0.5）”，E1表示统计D列中小于或等于-0.5的数的个数，即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.（5）选定F1，键入“=（50-E1）/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸的频率.下面是我们在计算机上做的50次试验，得到的结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形的两直角边的长都是0到1之间的随机数，试求斜边长小于34的事件的概率.分析：由于直角边的长是0到1之间的随机数，因此设两直角边的长分别为x,y ，而x,y 满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，x,y 可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示的图形的任何一个位置，而且在每个位置的可能性相同，满足几何概型的特点.解：设两直角边的长分别为x,y ，则0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，如右图，样本空间为边长是1的正方形区域，而满足条件的事件所在的区域的面积为649)43(412ππ=⨯⨯.因此，所求事件的概率为P=6491649ππ=. 点评：根据已知条件，构造满足题目条件的数学模型，再运用几何概型的概率计算方法来计算某个事件发生的概率，是一种常用的求解概率问题的方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面的概率.分析：当两人到达碰面地点的时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点的时间.解：运用转盘模拟的方法.具体步骤如下：（1）做两个带指针（分针）的转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；（2）每个转盘各转m 次，并记录转动得到的结果，以第一个转盘的结果x 表示甲到达碰面地点的时间，以第二个转盘的结果y 表示乙到达碰面地点的时间；（3）统计两人能碰面（满足|x －y|<20）的次数n ；（4）计算m n 的值，即为两人能碰面的概率的近似值（理论值为95）. 点评：实施模拟的方法除了转盘模拟的方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：（1）新建一个电子表格文件，在A1的位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60的随机数x ；（2）将A1位置处的表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60的随机数y ；（3）在C1的位置处输入：=IF （A1-B1<=-20，0，IF （A1-B1<20，1，0），判断两人能否碰面（即是否满足|x －y|<20），如果是，就返回数值1，否则返回数值0；（4）将第一行的三个表达式复制100行，产生100组这样的数据，也就是模拟了100次这样的试验，并统计每次的结果；（5）在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面的频率，即事件“两人能碰面”发生的概率的近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA 落在∠xOT 内}.因为射线OA 落在∠xOT 内是随机的，也就是射线OA 可以落在∠xOT 内任意一个位置，这符合几何概型的条件，区域d 的测度是60，区域D 的测度是360，根据几何概型的概率计算公式，得P(A)=6136060=.5.运用计算机模拟的结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题的背景，判断是否符合几何概型的特点，如是则选择符合题意的“测度”，运用求几何概型概率的方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题的模拟方法来模拟得到问题的近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题的概率，以及运用模拟的方法求某一个事件的概率的近似值.结合上节课的内容可以知道，几何概型的概率问题仍然是随机事件的概率，与古典概型的区别是古典概型所含的基本事件的个数是有限个，而几何概型所包含的基本事件的个数是无限的.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：（1）与长度有关的几何概型；（2）与面积有关的几何概型；（3）与体积有关的几何概型；(4)与角度有关的几何概型.其中我们对与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型的又一随机事件的概率模型，在解决实际问题时首先根据问题的背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者的区别在于构成该事件的基本事件的个数是有限个还是无限个.在使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用的方法.习题详解习题3.31.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上的位置是随机的，也就是说灯挂在绳子上的位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型的条件，根据P=的长度的长度L l ，得P(A)= 3162=. 答：灯与两端距离都大于2 m 的概率为13.2.记A={所投的点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入大正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入小正方形内的概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积的比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投的点落入小正方形内的概率为94. 3.记A={所投的点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入矩形内的任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入梯形内部的概率应该等于梯形面积与矩形面积的比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投的点落在梯形内部的概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机的，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型的条件，根据几何概型的求概率计算公式，得P(A)=ππ21121)21(22=⋅⋅. 答：乘客到达站台立即乘上车的概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点”的概率比较困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，再求“硬币落下后与格线有公共点的概率”.解：因为直径等于2 cm 的硬币投掷到正方形网格上是随机的，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型的条件.要求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，根据几何概型的求概率计算公式： P(A)=的测度的测度D d ，因为每个小正方形的边长都等于6 cm ，硬币的直径为2 cm ，设有n 个小正方形，则区域d 的测度为n·π·12，区域D 的测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点”的概率为366122ππ=⋅⋅⋅n n ，而事件“硬币落下后与格线有公共点”是“硬币落下后与格线无公共点”的对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点”的概率为1－36π. 答：硬币落下后与格线有公共点的概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同的答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗的解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆的内接等边三角形（如图1）.因为三角形内角A 所对的弧，占整个圆周的31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦的长度才能超过正三角形的边长a ，故所求概率是31. 解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直径PQ.过点P 作圆的内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 的中点M （如图2）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦，如果通过MN 线段的，其弦心距均小于QN ，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21. 解法三：任取一弦AB.作圆的内接等边三角形的内切圆（如图3），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的21，它的面积是大圆的41，设M 是弦AB 的中点，显然，只有中点落在小圆内时，AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是41.图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格的理论基础，这样，对同一问题可以有不同的看法，以致产生一些奇谈怪论.。