17-18版 学生用书 第8章 第7节 抛物线
2018课标版文数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)7-第七节 抛物线
即[2 2 (2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
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方法指导 求抛物线焦点弦的三种方法: ①定义法:|AB|=x1+x2+p;
2p sin θ 1 k2 ③斜率法:|AB|= 2 ×2p(k为AB的斜率). k
②倾斜角法:|AB|= 2 (θ为AB的倾斜角);
OA · 点,坐标原点为O, =12. OB
(1)求抛物线的方程; (2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. 解析 (1)显然直线l的斜率存在.
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2-1 (2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一 点,|AF|= x0,则x0= ( A.1 B.2 C.4
5 4
) D.8
1 2
1 4
答案 A 由y2=x得2p=1,即p= ,因此焦点F ,设 ,0 ,准线方程为l:x=-
p 2
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考点二
抛物线的定义及其应用
典例2 (1)(2016江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的 焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为 ( )
B. ,1 1 2
A.(0,0)
C.(1, 2 )
D.(2,2)
(2)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1 上,则|MA|+|MF|的最小值是 .
y2 . , y 2p
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1-1 已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两 点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 ( A.18
2018届高考数学大一轮复习第八章解析几何第七节抛物线教师用书理201710142211
第七节抛物线☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及1.抛物线的定义、标准方程及性单几何性质(范围、对称性、顶点、离心2016，全国卷Ⅰ，10,5分(抛物线的几何性质)是高考考查的重点，直线与抛物)；2016，四川卷，8,5分(抛物线的几何性质)的位置关系是考查的热点；理解数形结合的思想；2016，浙江卷，9,4分(抛物线定义)2.考题以选择题、填空题为主，了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应2015，陕西卷，14,5分(抛物线标准方程)为中低档题。
微知识小题练自|主|排|查1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离- 1 -图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0p焦点F( ，0 )pF( ，0)－2pF(0，2 )pF(0，－2)离心率e＝1p 准线方程x＝－2px＝2py＝－2py＝2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口向右向左向上向下方向p 焦半径|PF|＝x0＋p|PF|＝－x0＋p|PF|＝y0＋p|PF|＝－y0＋注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。
微点提醒抛物线焦点弦的4个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则p2(1)x1x2＝，y1y2＝－p2。
42p(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)。
sin2α(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。
(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p。
小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－1P67练习T3(1)改编)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
1 2
对点训练3(1)已知抛物线y= 4 x 上的动点P到直线l:y=-3距离为d,A点坐标
为(2,0),则|PA|+d的最小值等于(
)
B.2+ 5
A.4
C.2 5
D.3+ 5
(2)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且
不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,
所以抛物线 C 的焦点坐标为
1
,0
2
.
规律方法 1.求抛物线方程的方法
(1)求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外,还可以利用统一
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式
可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)(2022河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距
离为
9
,O为坐标原点,则△POF的面积为
2
.
(2)(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且
为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',
由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+2 +x2+2 =x1+x2+p.
2017年数学 第七章 第7讲 抛物线 课件
2.(2015年陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点
(－1,1)，则抛物线焦点坐标为( B )
A.(－1,0)
B.(1,0)
C.(0，－1)
D.(0,1)
解析：由抛物线 y2＝2px(p>0)得准线 x＝－p2，因为准线经
过点(－1,1)，所以 p＝2，所以抛物线焦点坐标为(1,0).故选 B.
想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点P 到
其焦点的距离，进行转换再求解.
第十六页，编辑于星期六：二点 三十二分。
【互动探究】
2.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A)
11
A.2
B.3
C. 5
的几何性质
1.本节复习时，应紧扣抛物线的 定义、熟练掌握抛物线的标准方 程、几何图形、简单的几何性质
及其应用.要善于利用抛物线的 定义将抛物线上的点到准线的
距离和到焦点的距离进行转化. 2.由于高考对抛物线这一知识 点的要求属于“掌握”这一层 次，而且以抛物线为背景的试题 中渗透考查了数学的主要思想， 且高考的考查基于“多思少 算”的考虑，所以，以抛物线为 背景的解答题在高考中明显增 多，因此我们应重视这一知识点 的复习
答案：y2＝16x(或x2＝－8y) x＝－4(或y＝2)
第十一页，编辑于星期六：二点 三十二分。
【规律方法】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可
以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论， 先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.
第十二页，编辑于星期六：二点 三十二分。
2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程教学案新人教B版选修1-1
2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．知识点二抛物线的标准方程思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2 抛物线标准方程的特点？思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理 抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)焦点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2类型一 抛物线标准方程及求解命题角度1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程 例1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)．反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练1 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________， 准线方程为____________．命题角度2 求解抛物线标准方程例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．类型二 抛物线定义的应用例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172 B ．3 C. 5 D.921．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．84．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.37165．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．答案精析问题导学 知识点一思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线． 梳理 直线 知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向． 思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 24.跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5； 令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2， 即M (2,2)．跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离等于点P 到焦点F 的距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.]当堂训练 1．A 2.D3．C [如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋－32＝2.]5．解 由抛物线定义，设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.则该抛物线准线方程为x ＝p2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
第八章 第七节 抛物线-新人教版高中数学
该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅 速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用 于数学题目，体现了数学抽象的素养；代入数值进行计算，体现了数学运算的素养．
第八章 平面解析几何
第七节 抛物线
知识分步落实
焦点
相等 准线
F2p，0 y＝－p2
F0，－p2 y＝p2
考点分类突破
考点分类突破
微专题系列21
活用抛物线焦点弦的四个结论
微专题系列21
[核心素养]
数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题， 能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助 于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用 结论即为具体表现之一．
第8章 第7节双曲线
解析：由双曲线的定义得：|MF2|－|MF1|＝4. |NF2| － |NF1| ＝ 4.∴|MF2| ＋ |NF2| － (|MF1| － |NF1|) ＝ |MF2| ＋
|NF2|－|MN|＝8.
答案：8
第四章 第二单元
北师数学
第八章
解析几何
根据下列条件，求双曲线方程： (1)经过两点 A(－7，－6 2)，B(2 7，3)． x2 y2 (2)与双曲线 － ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3， 9 16 2 3)；
第四章 第二单元
北师数学
第八章
解析几何
整合主干知识
第四章 第二单元
北师数学
第八章
解析几何
1．双曲线的概念 把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大
于零且小于 |F1F2|) 的点的集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲
线的 焦点 ，两焦点间的距离叫 焦距 ． 集合P＝{m|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常 数且a＞0，c＞0： (1)当 a＜c 时，P点的轨迹是双曲线； ； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 抛物线 (3)当 a＞c 时，P点不存在．
x y 的半径 OA1 相等，又直线 F1B2 的方程为 ＋ ＝1，即 bx－ －c b bc cy＋bc＝0.所以 d＝ 2 2＝a，整理得 b2(c2－a2)＝a2c2，即 b ＋c (c2－a2)2＝a2c2，得 c2－a2＝ac. 5＋1 所以 e －e－1＝0，解得 e＝ 2 (负值舍去)．
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴
长) ，
第四章 第二单元
北师数学
第八章
解析几何
18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质(一)教学案新人教B版选修1_1
2．3.2 抛物线的几何性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考3 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：类型一 由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( ) A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.反思与感悟(1)抛物线的焦半径设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．类型三抛物线的实际应用例3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？反思与感悟 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O 的)1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 的值为________．4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．答案精析问题导学 知识点一思考1 范围、对称性、顶点、离心率．思考2 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考3 参数p (p >0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 梳理 (0,0) 1 题型探究例1 解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0)．直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12²|m2|²2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究B [因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12³4p ³2p ＝4p 2.]跟踪训练1 解 设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)．因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0， ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究解 由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得 ∠AA 1F ＝∠AFA 1， 又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1， 同理得∠OFB 1＝∠BFB 1， ∴∠A 1FO ＋ ∠B 1FO ＝90°， 即∠A 1FB 1＝90°.跟踪训练2 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0例3 解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图) 设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故16＝－2p ³(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航．设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2. 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．跟踪训练3 解 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2. 设D (5，b )，则B (10，b －3)， 把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝b ，100a ＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，b ＝－1，∴y ＝－125x 2.∵b ＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，10.2＝5.即再持续5小时水位到达拱桥顶． 当堂训练1．C 2.B 3.10 4.②⑤5．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .。
2017版高考数学课件：8.6 抛物线
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
4x, x 0, x 0.
0,
②在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
第二十五页，编辑于星期六：二十点 二十五分 。
由方程组
答案 y2=2x
解析 由已知条件知|FQ|=2,|PR|=2 ,所3 以|PF|=2,且点P的横坐标为 + p
2
1,根据抛物线的定义知|PF|=xP+
= p+1p+
22
=p+p 1,则由p+1=2,得p=1,所以
2
抛物线的方程为y2=2x.
2-2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点. 若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|= ( )
| MN | 5 | KM |
选C.
c
| O=A | =22,p=2,故
| OF | p
2
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十五分。
抛物线的标准方程及几何性质
典例2 (2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. | BF | 1 | AF | 1
B. | BF |2 1 | AF |2 1
C. | BF | 1 D. | AF | 1
第8章 第7节 抛物线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
基础个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内．
(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相__等__． (3)定点不__在__定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(2)设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则①x1x2＝p42，y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦 AB 的倾斜角)． ③以弦 AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过 焦点最短的弦．
可得 y2－2y＋2t＝0.
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入
C
的方程得
x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4
13. 3
►规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的 位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过 抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝ x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一 般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等 解法．
B． 13
C．2
3 3
D． 5
(2)如图，设 A(x0，y0)，
则|AF|＝2x0－p2， 又|AF|＝x0＋p2， ∴2x0－p2＝x0＋p2， ∴x0＝32p，y0＝ 23|AF|＝ 23·2p＝ 3p.
又 A32p，
3p在双曲线的一条渐近线上．
数学课件(新教材人教A版)第八章87抛物线
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
思维升华
求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
可得 2＋41m＝141，解得 m＝13.
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋ (y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为___3_4_－__4_.
圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2， 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)， 因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2 ＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2， 所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小， 如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆 的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即 －3－22＋3－02－2－2＝ 34－4，
A.2
√B.2 2
C.3
D.3 2
方法一 由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1. 设 Ay420，y0， 则由抛物线的定义可知|AF|＝y420＋1. 因为|BF|＝3－1＝2， 所以由|AF|＝|BF|，可得y420＋1＝2， 解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2). 不妨取A(1,2)， 则|AB|＝ 1－32＋2－02＝ 8＝2 2.
跟踪训练 1 (1)已知抛物线 y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点 F
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.3 抛 物 线 2.3.1
1
1
方程为x= .
2
4
1 8
第六页，编辑于星期六：三点 二十五分。
4.抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离是5,则P点坐标是
.
【解析】设P点的坐标为(x0,y0),由题意得x0+1=5,x0=4, 所以y02=16,y0=±4,所以P点坐标为(4,±4).
答案:(4,±4)
第七页，编辑于星期六：三点 二十五分。
第三十四页，编辑于星期六：三点 二十五分。
【解题探究】1.典例1中灯泡与反射镜顶点间的距离实际上是求抛物线
中的哪个值?
提示:焦点到顶点间的距离,即 .
p 2
第三十五页，编辑于星期六：三点 二十五分。
2.典例2中如何求抛物线的方程?如何判断货船在现在状况下能否直接或设法 通过该桥孔?
提示:利用条件“跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米”求抛物线 的方程;通过验证点(8,y)中y与船体高5米间的关系,判断该货船在现在状况 下能否直接或设法通过该桥孔.
2.3 抛 物 线
2.3.1 抛物线及其标准方程
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【知识提炼】
1.抛物线的定义
(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____
的点的轨迹.
相等
(2)焦点:____叫做抛物线的焦点.
(3)准线:_点__F__叫做抛物线的准线.
直线l
第二页，编辑于星期六：三点 二十五分。
将其代入y2=2px(p>0)得1=2pp× ,解得p= ,则B点到抛4物线准线4 的距
离为
4
2
p＋p＝3 p＝3 2 .
244 4
第三十二页，编辑于星期六：三点 二十五分。
2020届高考数学二轮教师用书：第八章第7节 抛物线
第7节 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 焦点 ，直线l 叫做抛物线的 准线 .2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ [小题查验]1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0)D ．(1,0)解析：D [因为抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)．故选D.]2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：B [由－p2＝－2，∴p ＝4，则方程为y 2＝8x .]3．(2019·吴忠模拟)抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．1 C.14D.18解析：D [由y ＝4x 2，有x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，即抛物线的焦点到准线的距离为18，故选D.]4．[教材改编]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]5．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ________ . 解析：设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9，∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：9考点一 抛物线的定义及应用(多维探究)[命题角度1] 到焦点与到定点距离之和最小问题1．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：D [过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．][命题角度2] 到点与准线的距离之和最小问题2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是 ________ .解析：依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形(图略)可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.答案：5[命题角度3] 到定直线的距离最小问题3．(2020·烟台模拟)已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2B ．234 C.181734 D.161534 解析：C [抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.]与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点二 抛物线的方程及性质(师生共研)[典例] (1)(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：A [由正弦函数图象可知T 2＝x 2－x 1＝3π4－π4＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.](2)(2020·银川质检)设点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，垂足为Q ，已知直线FQ 交y 轴于点A (0,2)且△PQF 的面积为10，则该抛物线的方程为 ________ .[解析] 根据题意作出如图所示的图象：其中，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，QE 为双曲线的准线，且准线方程为x ＝－p2，PQ ⊥QE ，A (0,2)． 设P (x 0，y 0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，|PQ |＝x 0＋p2. 在△QEF 中，O 为EF 的中点，则A 为QF 的中点， 即|QE |＝4，y 0＝4. ∵△PQF 的面积为10∴12⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2×4＝10，即x 0＝5－p2. ∵y 20＝2px 0∴42＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，即p 2－10p ＋16＝0. ∴p ＝2或p ＝8∴该抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝16x1．求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置． (2)再定形：即根据条件求p . 2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数． [跟踪训练](1)(2019·佛山质检)若抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点在直线x ＋2y －2＝0上，则p 等于( )A ．4B ．0C ．－4D ．－6解析：A [因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 又因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点在直线x ＋2y －2＝0上， 所以p2＋2×0－2＝0，∴p ＝4，故选A.](2)已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，P 是抛物线上一点，以P 为圆心|PF |为半径的圆被y 轴截得的弦长为26，则|PF |＝ ________ .解析：设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义知，|PF |＝p2＋x 0＝2＋x 0，点P 到y 轴的距离为x 0，由垂径定理可知，(x 0＋2)2＝x 20＋()62，解得x 0＝12，所以|PF |＝52. 答案：52考点三 直线与抛物线的位置关系(师生共研)数学运算——直线与抛物线综合问题中的核心素养以学习过的直线与抛物线的相关知识为基础，通过将已知条件代数化，并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．[典例] 已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．[解] (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法． 提醒 涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解． [跟踪训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ， 得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．2D.14解析：D [因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ， 则有14a ＝1，解得a ＝14.]2．(2020·永州模拟)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)经过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16 解析：D [x 2＝1p y ，过点(1,3)，则x 2＝13y ，p ＝16，所以焦点到准线的距离是16.故选D.]3．(2020·厦门质检)已知拋物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，|AB |＝6，则AB 中点到y 轴的距离是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B [由y 2＝4x ，得F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离x 1＋1，同理，|BF |等于B 到准线x ＝－1的距离x 2＋1，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝6，x 1＋x 2＝4，中点横坐标为x 0＝x 1＋x 22＝2，∴AB 中点到y 轴的距离是|x 0|＝2，故选B.]4．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .]5．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，O 为坐标原点，A 为抛物线C 上一点，若|AF |＝2，则△OAF 的面积为( )A.34B.32C. 3D.332解析：A [设A (x 0，y 0)，则由|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋12＝2，得x 0＝32，由A 点在抛物线C 上，可得|y 0|＝3，又|OF |＝12，所以S △OAF ＝12×|OF |×|y 0|＝34，故选A.]6．(2020·上海徐汇区模拟)已知抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则a ＝ ________ .解析：由题意，可知该抛物线的开口方向为y 轴的正半轴，其标准方程为x 2＝2py (p >0)，又其准线方程为y ＝－14，所以p 2＝14，则p ＝12，所以a ＝2p ＝1.答案：17．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________ .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝08．(2020·海南五校一模)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆(x －1)2＋y 2＝12作切线，切点分别为A ，B ，则四边形AFBM 面积的最小值为 ________ .解析：设M (x ，y )，连接MF ，则|MF |＝x ＋1，易知抛物线C 的焦点F (1,0)为圆的圆心，圆的半径r ＝|F A |＝22.因为MA 为切线，所以MA ⊥AF ，在Rt △MAF 中，|MA |＝|MF |2－r 2＝(x ＋1)2－12，易知△MAF ≌△MBF ，所以四边形AFBM 的面积S ＝|MA |r ＝(x ＋1)2－12×22，又x ≥0，所以x ＝0时面积取得最小值，所以S min ＝22×22＝12. 答案：129．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.10．设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4.于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1＝2＋2m＋1，x2＝2－2m＋1从而|AB|＝2|x1－x2|＝42(m＋1).由题设知|AB|＝2|MN|，即42(m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.。
18版：§9.7 抛物线（步步高）
1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离________的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的________，定直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0)D ．(1,0)2．(2016·张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．5．(2017·合肥模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．题型一 抛物线的定义及应用 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2017·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[5分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，[10分]而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．答案精析基础知识自主学习知识梳理1．相等焦点准线思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)√考点自测1．D 2.B 3.C 4.y2＝－8x或x2＝－y5．2题型分类深度剖析例1 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.跟踪训练1 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5. 例2 D [∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4， ∴b 2a 2＝3，ba ＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .例3 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2， 即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．跟踪训练2 (1)B (2)A [(1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图， 又可设A (x 0，22)， D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上， ∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b 2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即|MN ||AB |的最大值为33.] 例4 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.例5 (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．跟踪训练3 解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p. 由题设得p 2＋8p ＝54×8p， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)， |MN |＝ 1＋1m2|y 3－y 4| ＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2， 即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2 ＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
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（ p , 0 ）,准线L的方程为x= - p
2
2
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设点M（x,y）是抛物线上任意一 点，点M到L的距离为d。由抛物线的 定义，抛物线就是集合
P＝{M|MF|=d}。 转化出关于 x ．y的等式化简得抛 物线的方程
方程①叫做抛物线的标准方程．它 表坐示标的是抛（物2p ,0线）的,它焦的点准在线x方轴程的是正半x=轴- 2p上，
2 . 填空题: (1) 焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线 的标准方程为 y2 = 16x 或 x2 = -12x (2) 经过点（－8,8）的抛物线的标准方程为
y2 = -8x 或 x2 = 8y
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1 . 解：设直线与x轴，y轴交于点F1、F2 ， 将y＝0或x=0分别代入直线方程可解得 F1（4,0），F2（0,3），故所求抛物线 方程为： y2＝16x 或 x2＝-12y
2 . 解：因为点（－8,8）在第二象限，所以 抛物线开口向上或者开口向左，设抛 物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时， y=8得：P1＝4，P2＝4， 所以：所求抛物线方程为：
y2= - 8x 或 x2= 8y
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1 . 抛物线的定义 : 平面内与一个定点F和一条定直线L的
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
17-18版 第8章 第7节 抛物线
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抛物线的定义及应用
(1)(2014· 全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，点 A(x0，y0) 5 是 C 上一点，|AF|＝4x0，则 x0＝( A．1 C．4 ) B．2 D．8
a ，0，准线方程是 4
a x＝－4.(
) )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(
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(4)AB 为抛物线 y ＝2px(p>0)的过焦点
2
p F2，0的弦，若
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
p2 则 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( [ 答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
D．(0,1) p p 2 B [抛物线 y ＝2px(p>0)的准线为 x＝－2且过点(－1,1)，故－2＝－1，解得
p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
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5．(2016· 浙江高考)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是________．
(2)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
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18版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线课件理新人教版
(2)不妨设抛物线 C：y2＝2px(p>0)， 圆的方程为 x2＋y2＝r2(r>0)，∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，
4 p 抛物线的准线方程为 x＝－2，∴不妨设 Ap，2 2， p D－2， 5，∵点 4 Ap，2 p 2，D－2， 5在圆 x2＋y2＝r2 上，
2 y ＝8x， 2)，联立方程组 y＝2 2（x－2），
解得 B(1，－2 2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9， 所以 λ＝3.
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离 与到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动 圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
解
(1)由已知得
t2 M(0，t)，P2p，t， t2 N p ，t，
又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 p 故 ON 的方程为 y＝ t x，
将其代入 y2＝2px 整理得 px2－2t2x＝0，
2t2 2t2 解得 x1＝0，x2＝ p ，因此 H p ，2t.
x2 y2 c (1)∵ 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，∴a＝2， a b
2 2 p c2 a ＋b b 2 即a2＝ a2 ＝4，∴a＝ 3.x ＝2py(p＞0)的焦点坐标为0，2，
x2 y 2 b ax，即 y＝± 3x. a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝± p 2 2 由题意得 2＝2，解得 p＝8.故 C2 的方程为 x ＝16y. 1＋（ 3）
理得 k2x2 ＋ (4k2 － 8)x ＋ 4k2 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时，显然满足题意；当 k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2· 4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0 或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]
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第七节抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716 B.1516 C.78D.0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.] 3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B.y ＝－2 C ．x ＝－1D.x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝__________.22 [抛物线的准线方程为x ＝－p2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [设点M 的横坐标为x 0，则点M 到准线x ＝－1的距离为x 0＋1，由抛物线的定义知x 0＋1＝10，∴x 0＝9，∴点M 到y 轴的距离为9.]，点A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1 B.2 C ．4D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3 B.4 C ．5D.2＋1(1)A (2)A [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12， 因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (2017·郑州调研)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D.2C [∵FP →＝4 FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.]方程是( )【导学号：01772323】A ．x 2＝112yB.x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD.x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B.4 C ．6D.8(1)D (2)B [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝6x B.y 2＝8x C ．y 2＝16xD.y 2＝15x2(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |， 所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ， 所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)． 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2， 于是抛物线的准线x ＝－2.]☞角度(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，2分故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).8分 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.【导学号：01772324】(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0).10分故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12分[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．。