复变函数课件2-1
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复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
2-1复变函数的导数ppt课件
16
引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
17
2. 充要条件
说明: (1)当g'(z0 ) 0 而 f ' (z0 ) 0时，极限为无穷大。
(2)当 f ' (3) z
( z0
的) 情g'形(z0，) 可0用时，可1继把续问用题L’转Ho化sp为ita求l法则求0极的限极限
z
如: lim z sin 1 lim sin lim cos 1
23
例1 试证函数 f (z) （ znn为自然数）在复平面上处
处可导，且
f '(z) nzn1
证 用定义来证明．
对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有
于是，
在点z的导数存在且等于
由点 z 在复平面上的任意性，证得
上处处可导．
函数
在复平面解析．
． 在复平面
24
例2 设 f (z) z Re定z 义在复平面上，试证 f (于z)复 平面上仅在原点可导．
dw dz
z z0
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
17
2. 充要条件
说明: (1)当g'(z0 ) 0 而 f ' (z0 ) 0时，极限为无穷大。
(2)当 f ' (3) z
( z0
的) 情g'形(z0，) 可0用时，可1继把续问用题L’转Ho化sp为ita求l法则求0极的限极限
z
如: lim z sin 1 lim sin lim cos 1
23
例1 试证函数 f (z) （ znn为自然数）在复平面上处
处可导，且
f '(z) nzn1
证 用定义来证明．
对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有
于是，
在点z的导数存在且等于
由点 z 在复平面上的任意性，证得
上处处可导．
函数
在复平面解析．
． 在复平面
24
例2 设 f (z) z Re定z 义在复平面上，试证 f (于z)复 平面上仅在原点可导．
dw dz
z z0
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
课02-第一章复变函数2ppt课件
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
12
4. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
2
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
2 s i n s i n 2 ic o s s i n
22
22
2 s i 2 n s i 2 n ic o 2 s
30
2 s i 2 n cπ o 2 s isπ i n 2
因0 为 2 πs,in 0,
2 上式就 ei是 ei的 复三 数角 . 表示式
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
y
zz3 1o z 2
x
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
12
4. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
2
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
2 s i n s i n 2 ic o s s i n
22
22
2 s i 2 n s i 2 n ic o 2 s
30
2 s i 2 n cπ o 2 s isπ i n 2
因0 为 2 πs,in 0,
2 上式就 ei是 ei的 复三 数角 . 表示式
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
y
zz3 1o z 2
x
复变函数课件-2[1]1解析函数的概念与柯西——黎曼条件-PPT文档资料
![复变函数课件-2[1]1解析函数的概念与柯西——黎曼条件-PPT文档资料](https://img.taocdn.com/s3/m/db9ac82dbed5b9f3f90f1ca8.png)
某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之， 在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个 区域的一个更大的区域上解析； 注解5、解析性区域；
四则运算法则
如果 f ( z ) 和 g ( z ) 在区域 D 上解析 , 则
f( z ) f( z ) g ( z ) 、 f( z ) g ( z ) 、 ( g ( z ) 0 ) 在区 g ( z ) 域 D 上解析，并且有
( f ( z ) g ( z ))' f ' ( z ) g ' ( z ) [ f ( z ) g ( z )]' f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z )
'
f ( z ) g ( z )
f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z ) 2 [ g ( z )]
1、导数与微分
设函数 w f (z) 在点 z 的某邻域内有定义 0
的单值函数， z z 是邻域内任意一点，对 于 0
w f (z0 z) f (z0) ，如果极限 f (z0 z) f (z0) w lim lim z 0 0 z z z 存在（为有限的复数） A ，
u ( x x , y y ) u ( x , y ) a x b y o (| z |) ； 因此， u ( x ,y ) 及 v ( x ,y ) 在 ( x ,y ) 处可微，并有 C R 方 程成立： u v u v x y y x
则称函数 f( z ) 在 z 处可导， A 称为函数 f( z ) 0 dw 的导数，记为 f'( z ) ，或 , 即 0 dz z z 0
复变函数第二章(第三讲)
∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)
2-1复变函数
(1) lim f ( z ) ± g ( z ) = A+ Β = lim f ( z ) ± lim g ( z ) . z→z z→ z z→z
0 0 0
z → z0
z → z0
( 2 ) lim f ( z ) g ( z ) = AΒ = lim f ( z ) × lim g ( z ) . z→ z z→ z z→z
注 意 : 此 处 的 极 限 要 求 z 在 z0 的 δ 去 心 邻 域 中 沿 任 何 路 径
趋 向于 z0 时 的极限 存在 且相 等.
定义 2.1.4 设函数 w = f ( z ) 在区域 D 中有定义 , z0 ∈ D. 若
lim f ( z ) = f ( z0 )
z → z0
( 2.1.3 )
是W 平面上半径为 r02、中心在原点的圆内部区域
w w < r02 } . {
y
| z |= r0
（Z）
（ ） W v arg w = 2α
arg z = α
| w|= r02
2α
w0 = r02 e i 2α
o
α
z0 = r0 e iα
r0
x
o
u
π π ( 2 )因为ϕ = 2θ = 2α − < α ≤ , 所以 Z 平面上过原点 2 2 z = 0的射线 arg z = α 的象曲线是 W 平面上过原点 w = 0的
}
映射成 w 平面上的什麽点集?
ρ = r 2 , ϕ = 2θ. 1) 对于 z = r < r0 , 有ρ = w = z 2 = r 2 < r02 , 即其 (
象区域是
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
2-1复变函数课件 西安交通大学
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
复变函数课件(二)
f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
例题1
已 f ( z) = x2 − y2 + i2xy = u + iv， f ′( z) 知 求
解： 因为 u = x2 − y2 , v = 2xy 处处可微，且
∂u ∂v ∂u ∂v = 2x = , = −2y = − . ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
∂u ∂v ∂v ∂u 为 Cauchy-Riemann方 程 称 = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
即 = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 内 点( x,y) 解 ⇒ w D 一 析
u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
z
( ez+2kπi = eze2kπi = ez ( cos2kπ +i sin2kπ ) = ez , k ∈Z)
( lim ez = +∞ , lim ez = 0) (5)lime 不 在 z=x→+∞ 存 . z=x→−∞
z z→∞
2、 三角函数
e −e 定义： sin z = 2i
iz −iz
2
2 2 ∆w f (z + ∆z) − f (z) = = z + ∆z − z 解： ∆z ∆z ∆z (z + ∆z)(z + ∆z) − z z ∆z = = z + ∆z + z ∆z ∆z
所以
∆w z = 0: = ∆z → 0 (∆z → 0) ⇒ f ′(0) = 0 ∆z ∆w z ≠ 0 : 取∆z = ∆x → 0 ⇒ ∆z → z + z ∆w 取 z = i∆y →0 ⇒ ∆ →z − z ∆z 2
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
u x cos y sin
v
x sin
y
sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
(2) 若 f (z) 在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z) 是区域D内的 解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G, 且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上 解析.
由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
复变函数课件2-1解析函数的概念
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
课02-第一章(复变函数2)
它把 z 平面上的两族分别以直 线 y = ± x 和坐 标轴为渐近线的等轴双 曲线 x 2 − y 2 = c1 , 2 xy = c2 ,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u = c1 , v = c2 . (如下页图 如下页图) 如下页图
10
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
则 u + iv = ( x + iy )2 = x 2 − y 2 + 2 xyi ,
于是函数 w = z 2 对应于两个二元实变函 数 : u= x − y ,
1
2.单(多)值函数的定义 单 多 值函数的定义 值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义集合和函数值集合 定义集合和函数值集合: 定义集合和函数值集合
19
1.5 初等函数
复函的初等函数有： 复函的初等函数有： e z , Lnz , z α , sin z 等.
一、指数函数
1.指数函数的定义 指数函数的定义: 指数函数的定义
w = f (z) = e = e
z
x + yi
定义
= e (cos y + i sin y )
x
2.指数函数的性质 指数函数的性质: 指数函数的性质
15
三、典型例题
1 例1 对于映射 w = z + , 求圆周 z = 2 的象. z 解 令 z = x + iy , w = u + iv ,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u = c1 , v = c2 . (如下页图 如下页图) 如下页图
10
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
则 u + iv = ( x + iy )2 = x 2 − y 2 + 2 xyi ,
于是函数 w = z 2 对应于两个二元实变函 数 : u= x − y ,
1
2.单(多)值函数的定义 单 多 值函数的定义 值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义集合和函数值集合 定义集合和函数值集合: 定义集合和函数值集合
19
1.5 初等函数
复函的初等函数有： 复函的初等函数有： e z , Lnz , z α , sin z 等.
一、指数函数
1.指数函数的定义 指数函数的定义: 指数函数的定义
w = f (z) = e = e
z
x + yi
定义
= e (cos y + i sin y )
x
2.指数函数的性质 指数函数的性质: 指数函数的性质
15
三、典型例题
1 例1 对于映射 w = z + , 求圆周 z = 2 的象. z 解 令 z = x + iy , w = u + iv ,
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6
例3 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ 解
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z y
x 2yi lim z 0 x yi
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
21
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析.
( 2) 设函数 h g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 D 内解析.
以上定理的证明, 可利用求导法则.
22
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.
23
三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.
3
2 求 f ( z ) z 的导数. 例1
解
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) z lim z 0 z
当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时,
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使 z 0时, 极限值不同 , 故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
2
在定义中应注意:
z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 z0时, f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不w 的解析性. z
解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, (?) dz z
第一节
解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
2
z 0
2
lim (2z z ) 2 z .
( z 2 ) 2 z
4
*例2 讨论f ( z ) Im z的可导性. 解
f f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z z z z Im z Im z Im z Im z z z
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
2 2
2
18
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
例如 f ( z ) z 在 z0 0 处可导,
2
但在 z0 0 处不解析.
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26
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
16
2. 奇点的定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为
f ( z ) 的奇点.
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
y Im(x iy ) , x i y x i y
当点沿平行于实轴的方 向(y 0)而使z 0时,
5
y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0
z 0
因为 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z ( z )z ,
所以 lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
z 0
即f ( z )在 z0 连续.
[证毕]
11
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
17
例4
研究函数 f ( z ) z , g( z ) x 2 yi 和
2 2
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
19
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
8
该例题说明：连续不一定可导（ f ( z) x 2 yi 在复平面上处处连续却处处不可导）
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续. 证
根据在 z0 可导的定义,
的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求
导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
24
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z0 可导与在 z0 解析有无区别 ?
25
思考题答案
f ( z ) 在点 z0 解析必在 z0 可导, 反之不对.
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
12
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
15
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
(6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
13
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
14
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z z ,
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
0, 0,
使得当0 | z | 时,