第八章_综合与探究_综合测试卷

第八章《综合与探究》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．小明玩一种的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数(颗)23456……对应所得分数(分)26122030……当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数为(B)A. 8颗B. 12颗C. 15颗D. 20颗2．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是(B)A. c＝3B. c≥3C. 1≤c≤3D. c≤33．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)(第3题图)A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位4．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(B)(第4题图)A. 40 m2B. 50 m2C. 80 m2D. 100 m2解：根据图象可得，休息后园林队2 h绿化面积为160－60＝100(m2)，∴每小时绿化面积为100÷2＝50(m2)．故选B.5．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连结ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，CE＝y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是(C)(第5题图)解：根据题意知，BF ＝1－x ，BE ＝y －1，且△EFB ∽△EDC ，则BF CD ＝BECE ，即1－x 1＝y －1y ，∴y ＝1x (0.2≤x ≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的反比例函数图象的一部分．选项A ，D 的图象都是直线的一部分，选项B 的图象是抛物线的一部分，选项C 的图象是反比例函数图象的一部分．故选C.6．设min{x ，y }表示x ，y 两个数中的最小值，例如min{0，2}＝0，min{12，8}＝8，则y ＝min{2x ，x ＋2}可以表示为(A )A. y ＝⎩⎨⎧2x （x ＜2），x ＋2（x ≥2）B. y ＝⎩⎨⎧x ＋2（x ＜2），2x （x ≥2）C. y ＝2xD. y ＝x ＋2解：根据已知，在没有给出x 的取值范围时，不能确定2x 和x ＋2的大小，所以不能直接表示为C ：y ＝2x ，D ：y ＝x ＋2.当x ＜2时，可得x ＋x ＜x ＋2，即2x ＜x ＋2，可表示为y ＝2x . 当x ≥2时，可得x ＋x ≥x ＋2，即2x ≥x ＋2，可表示为y ＝x ＋2. 故选A.7．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线；②直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2 相切于点(－2，1)；③直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2 相切，则实数k ＝ 2. 其中正确的命题是(B ) A. ①②④ B. ①③ C. ②③ D. ①③④解：∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故①正确；∵抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，开口向上，直线x ＝－2与y 轴平行，∴直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2 相交，故②错误；∵直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1，把b ＝－1代入14x 2－x －b ＝0得x ＝2，把x ＝2代入抛物线表达式可知y ＝1，∴直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)，故③正确；∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2 相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0有两个相等的实数根，Δ＝k 2－2＝0，解得k ＝±2，故④错误．故选B.8．如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA ＝OB ；再分别以点A, B 为圆心，以大于12AB 长为半径作弧，两弧交于点C . 若点C 的坐标为(m －1，2n )，则m 与n 的关系为(B )(第8题图)A. m ＋2n ＝1B. m －2n ＝1C. 2n －m ＝1D. n －2m ＝19．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为(C )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，103 B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，453 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，453 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，43(第9题图) (第10题图)10．如图，已知AB ＝10，点C ，D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2.P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长为(B )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，双曲线y ＝kx(k >0)与⊙O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为__4__．(第11题图)解：∵⊙O 在第一象限关于y ＝x 对称，y ＝kx (k >0)也关于y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)， ∴点Q 的坐标是(3，1)，∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.12．对正方形ABCD 进行分割，如图①，其中E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N ，G 分别是OB ，OD ，EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM 的面积为1，则“飞机”的面积为__14__.(第12题图)解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，故“飞机”的面积为1×2＋4×2＋2＋2＝14.故答案为14.13．阅读下列方法：为了找出序列3，8，15，24，35，48，…的规律，我们有一种“因式分解法”．如下表：项 1 2 3 4 5 6 … n值3815243548…分解因式：1×31×81×151×241×351×482×43×52×125×72×244×63×164×126×8因此，我们得到第n项是n(n＋2)，请你利用上述方法，说出序列：0，5，12，21，32，45，…的第n项是(n－1)(n＋3)．14．老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确．请写出满足上述所有性质的一个函数y＝(x－2)2＋1．15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B，BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边做▱A1B1A2C2，…；按此作法继续下去，则点C n的坐标是(－4n－13，4n)．(第15题图)16．如图是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°，折线NG－GH－HE－EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅直线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH.(1)如图①，若点H在线段OB上，则BHOH的值是__3__．(2)如果一级楼梯的高度HE＝(83＋2) cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3 cm，那么小轮子半径r的取值范围是_(11－33)_cm≤r≤8_cm．(第16题图)解：(1)如解图①，设⊙B 与HE 相切于点P ，连结BP 并延长，作OL ⊥BP 于点L ，交GH 于点M ，(第16题图解①)∴∠BPH ＝∠HPL ＝90°. ∵AO ∥GH ， ∴BL ∥AO ∥GH . ∵∠AOB ＝120°， ∴∠OBL ＝60°.在Rt △BPH 中，HP ＝3BP ＝3r ， ∴ML ＝HP ＝3r ， OM ＝r . ∵BL ∥GH . ∴BH OH ＝ML OM ＝3rr ＝3， 故答案为 3.(2)作HD ⊥OB ，设P 为切点，连结BP ，PH 的延长线交BD 延长线为点L ，(第16题图解②)∴∠LDH ＝∠LPB ＝90°， ∴△LDH ∽△LPB ，∴DL PL ＝DH PB .∵AO ∥PB ，∠AOD ＝120°， ∴∠B ＝60°， ∴∠BLP ＝30°， ∴DL ＝3DH ，LH ＝2DH . ∵HE ＝(83＋2) cm ∴HP ＝83＋2－r ，PL ＝HP ＋LH ＝83＋2－r ＋2DH ， ∴3DH 2DH ＋83＋2－r ＝DHr ， 解得DH ＝3＋12r －43－1.∵0 cm ≤DH ≤3 cm ， ∴0≤3＋12r －43－1≤3，解得(11－33) cm ≤r ≤8 cm. 故答案为(11－33) cm ≤r ≤8 cm.三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y (m 3)与时间t (min)之间的函数关系．(第17题图)(1)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y (m 3)关于时间t (min)的函数表达式． (2)问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 解：(1)排水阶段：设表达式为y ＝kt ＋b ， 图象经过(0，1500)，(25，1000)，则 ⎩⎨⎧b ＝1500，25k ＋b ＝1000，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1500. 故排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500. 清洗阶段：y ＝0，灌水阶段：设表达式为y ＝at ＋c ， 图象经过(195，1000)，(95，0)，则 ⎩⎨⎧195a ＋c ＝1000，95a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝10，c ＝－950， 故灌水阶段表达式为y ＝10t －950.(2)∵排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500； ∴y ＝0时，0＝－20t ＋1500，解得t ＝75， 则排水时间为75 min ，清洗时间为：95－75＝20(min)，∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500(m 3)， ∴1500＝10t －950，解得t ＝245，故灌水所用时间为：245－95＝150(min)．18．(本题6分)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：(第18题图)第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)．第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕点G 按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕点H 按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为多少？最大值为多少？ (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠．)解：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD ＝6，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，此时MN ＝4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2×(6＋4)＝20；当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最长，此时MN ＝42＋62＝213，此时，这个四边形的周长最大，其值为2×(6＋213)＝12＋413.19．(本题6分)给出下列命题：命题1：点(1，1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点； 命题2：点(2，4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点； 命题3：点(3，9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点；……(1)请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)． (2)证明你猜想的命题n 是正确的．解：命题n: 点(n , n 2) 是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点(是正整数)．(2)把⎩⎨⎧x ＝n ，y ＝n2代入y ＝nx ，左边＝n 2，右边＝n ·n ＝n 2， ∵左边＝右边， ∴点(n ，n 2)在直线y ＝nx 上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线y ＝n 3x 上，∴点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点，命题正确．20．(本题8分)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，将一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A ，B .(第20题图)(1)求证：MA ＝MB .(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连结OM ，如解图．(第20题图解)∵OP ＝OQ ，∴△OPQ 是等腰直角三角形． ∴OM ⊥PQ ，∠P ＝∠Q ＝45°. ∵M 是斜边PQ 的中点，∴MO ＝MQ ，∠MOA ＝∠MQB ＝45°.∵∠AMO ＋∠OMB ＝90°，∠OMB ＋∠BMQ ＝90°. ∴∠AMO ＝∠BMQ .在△AMO 与△BMQ 中，∵⎩⎨⎧∠MOA ＝∠MQB ，MO ＝MQ ，∠AMO ＝∠BMQ ，∴△AMO ≌△BMQ . ∴MA ＝MB .(2)由(1)知△AMO ≌△BMQ ，∴AO ＝BQ . 设AO ＝x ，则OB ＝4－x ，AO ＋OB ＝4.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋（4－x ）2＝2（x －2）2＋8. ∴当x ＝2时，AB 最小，其最小值为22， ∴△AOB 的周长的最小值为22＋4.21．(本题8分)对某一个函数，给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y ＝1x (x > 0)和y ＝x ＋1(－4 < x ≤ 2)是不是有界函数？若是有界函数，求边界值．(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤ x ≤ b ，b > a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围．(3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1?(第21题图)解：(1)y ＝1x (x >0)不是有界函数，y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)∵y ＝－x ＋1中y 随x 增大而减小， 当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，∴a ＝－1. 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1， ∴⎩⎨⎧－2≤－b ＋1≤2，b ＞a ，∴－1＜b ≤3. (3)若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x ＝0时，函数值小于－1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1.当x ＝－1时，y ＝1，即过点(－1，1)． 当x ＝0时，y 最小＝0，即过原点(0，0)．将点(－1，1)，(0，0)都向下平移m 个单位，得 (－1，1－m )，(0，－m )，∴34≤1－m ≤1或－1≤－m ≤－34， ∴0≤m ≤14或34≤m ≤1.22．(本题10分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，…(第22题图)(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数① 1 7 ② 2 12 ③ 3 17 ④ 4 __22__ ………猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__(用n 表示)； (2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__3__；图的对称中心的横坐标为__20133__.(第22题图) 解：(1)由题意，可知图①中特征点有7个； 图②中特征点有12个，12＝7＋5×1； 图③中特征点有17个，17＝7＋5×2； ∴图④中特征点有7＋5×3＝22个；由以上猜想：在图中，特征点的个数为：7＋5(n －1)＝5n ＋2.(第22题图解)(2)如解图，过点O 1作O 1M ⊥y 轴于点M ，又∵正六边形的中心角360°6＝60°，O 1C ＝O 1B ＝O 1A ＝2， ∴∠BO 1M ＝30°，∴O 1M ＝O 1B ·cos ∠BO 1M ＝2×32＝3， ∴x 1＝ 3.由题意，可得图②的对称中心的横坐标为12(23×2)＝23， 图③的对称中心的横坐标为12(23×3)＝33，图④的对称中心的横坐标为12(23×4)＝43， …∴图的对称中心的横坐标为12(23×2013)＝2013 3. 故答案为22，5n ＋2；3，2013 3.23．(本题10分)操作发现：(1)如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．(第23题图)问题解决：(2)保持(1)中的条件不变，若DC ＝2DF ，求ADAB 的值． 类比探求：(3)保持(1)中条件不变，若DC ＝nDF ，求ADAB 的值．解：(1)同意．理由：连结EF ，则∠EGF ＝∠D ＝90°，EG ＝AE ＝ED ，EF ＝EF . ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF . ∴GF ＝DF .(2)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y . ∵DC ＝2DF ，∴CF ＝x ，DC ＝AB ＝BG ＝2x . ∴BF ＝BG ＋GF ＝3x .在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2， 即y 2＋x 2＝(3x )2.∴y ＝22x . ∴AD AB ＝y2x ＝ 2.(3)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y . ∵DC ＝n ·DF ，∴DC ＝AB ＝BG ＝nx . ∴CF ＝(n －1)x ，BF ＝BG ＋GF ＝(n ＋1)x .在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即y 2＋[(n －1)x ]2 ＝[(n ＋1)x ]2. ∴y ＝2nx .∴AD AB ＝y nx ＝2n n (或2n)．24．(本题12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋c (a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H .(1)求a ，c 的值．(2)连结OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由．(3)现将一足够大的三角尺的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P .是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(第24题图)解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OA ＝12BC .又∵△ABC 的面积＝12BC ·OA ＝4，即OA 2＝4， ∴OA ＝2(负值舍去)，∴点A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)， ∴c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋2，有4a ＋2＝0，解得a ＝－12，∴a ＝－12，c ＝2.(2)△OEF 是等腰三角形． 理由如下：∵点A (0，2)，B (－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2.又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上， ∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)，∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m )2＋m ＋2. ∵抛物线过点C (2，0)，∴－12(2－m )2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6，∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10.当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10， ∴点E (10，0)，OE ＝10，易得顶点F (6，8)，OH ＝6，FH ＝8， ∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10. 又∵EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45， ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形． (3)点Q 的位置分两种情形． 情形一、点Q 在射线HF 上． 当点P 在x 轴上方时，如解图①.(第24题图解①)由于△PQE ≌△POE ，∴QE ＝OE ＝10.在Rt △QHE 中，QH ＝QE 2－HE 2＝102－42＝84＝221， ∴点Q (6，221)．当点P 在x 轴下方时，如解图②，有PQ ＝OE ＝10，(第24题图解②)过点P 作PK ⊥HF 于点K ，则有PK ＝6， 在Rt △PQK 中，QK ＝PQ 2－PK 2＝102－62＝8. ∵∠PQE ＝90°，∴∠PQK ＋∠HQE ＝90°. ∵∠HQE ＋∠HEQ ＝90°，∴∠PQK ＝∠HEQ . 又∵∠PKQ ＝∠QHE ＝90°， ∴△PKQ ∽△QHE ， ∴PK QH ＝QK HE ，即6QH ＝错误!，解得QH ＝3， ∴点Q (6，3)．情形二、点Q在射线AF上．当PQ＝OE＝10时，如解图③，有QE＝PO，∴四边形POEQ为矩形，∴点Q的横坐标为10，当x＝10时，y＝x＋2＝12，∴点Q(10，12)．当QE＝OE＝10时，如解图④.过点Q作QM⊥y轴于点M，过点E作x轴的垂线交QM于点N.(第24题图解)设点Q的坐标为(x，x＋2)，∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2.在Rt△QEN中，有QE2＝QN2＋EN2，即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±14.当x＝4＋14时，如解图④，y＝x＋2＝6＋14，∴点Q(4＋14，6＋14)，当x＝4－14时，如解图⑤，y＝x＋2＝6－14，∴Q(4－14，6－14)．(第24题图解⑤)综上所述，存在点Q1(6，221)，Q2(6，3)，Q3(10，12)，Q4(4＋14，6＋14)，Q5(4－14，6－14)，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．。