八年级上册数学第十二章
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形之垂直模型(含答案)
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形之垂直模型（含答案）1.三垂直模型（1）如图，已知矩形中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，，且ABCD EF EC ⊥，，矩形的周长为32cm ，求AE 的长．EF EC =4DE cm =ABCD EF DCBA【答案】6cm ．（2）已知：如图，在ABC 中，，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，V 90ACB ∠=︒CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC．【答案】易证，所以．Rt CEF Rt BCA ∆∆≌AB CF =（3）如图，在中，,，CF 交AB 于点E ，，Rt ABC △AC BC =90ACB ∠=︒BD CF ⊥，若，，求CF 的长.AF CF ⊥5DF =3AF =【答案】易证：，∴，．Rt ACF Rt BCD ∆∆≌3CD AF ==8CF CD DF =+=2.在中，，，直线经过点，且于，ABC △90ACB ∠=︒AC BC =MN C AD MN ⊥D 于．BE MN ⊥E （1）当绕点旋转到图1的位置时，请你探究线段、、之间的数量关系；MN C DE AD BE （2）当绕点旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明．图1NMABCDE图2MNABCDE图3NMAC D E 【答案】（1）三垂直模型，易得，所以有；ACD CBE ≅△△DE AD BE =+（2）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE AD BE =-（3）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE BE AD =-3.已知等腰中，为直角，为的中点，于点G ．求证：Rt ABC △C ∠M BC CD AM ⊥．∠=∠AMC DMBB EB BC【答案】如图，过作，交延长线于．⊥CD E三垂直模型，易证：，≌∆∆Rt CBE Rt ACMM BC=∵为的中点，∴，．∠=∠=AMC ECM BM BE∠=∠∵，而，∴．∠=︒EBD MBDMBD∠+∠=︒4590MBD EBD≌E DMB AMC∆∆BD BED BMD又为公共边，∴，∴．∠=∠=∠4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．∠=∠=∠BEC CFAα（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段α∠=︒120BE、AF、和EF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．∠=︒-180BCAα【答案】（1），；（2）成立．BE CF =EF BE AF =-5.（1）如图1，在中，，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有ABC △AB AC =，其中α为任意锐角或钝角，请证明DE 、BD 、CE 三条线段的BDA AEC BAC α∠=∠=∠=数量关系．（2）在（1）的基础上，D 、E 是直线m 上两个动点（D 、A 、E 三点不重合），点F 是的平分线上一点，且、均为等边三角形，连接DF 、EF ，判断BAC ∠ABF △ACF △的形状，并证明．DEF △图1图2【答案】（1）∵，，易证,BDA AEC BAC α∠=∠=∠=AB AC =ADB CEA ≅△△∴，． BD AE AD CE ==，DE BD CE =+（2）是等边三角形．由（1）知：DEF △，∴，ADB CEA ≅△△ BD EA DBA CAE =∠=∠， 又∵、均为等边三角形，∴，ABF △ACF △60ABF CAF ∠=∠=︒，FBD FAE ∠=∠∴,，，∴，等边．DBF EAF ≅△△DF EF =BFD AFE ∠=∠60DFE ∠=︒DEF △6.如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交 于Rt ABC ∆AD BC BE ABC ∠AD BE ，于，求证：．O EF AD ⊥F AF OD =【答案】如图，过作．O OG AB ⊥∵，，∴．12∠=∠OD BC ⊥OG OD =∵，，∴．190AEO ∠+∠=︒290BOD ∠+∠=︒AEO BOD ∠=∠而，∴，∴．BOD AOE ∠=∠AEO AOE ∠=∠AE AO =∵，∴．EF DC ∥AEF C ∠=∠∵，，90C CAD ∠+∠=︒90GAO CAD ∠+∠=︒∴，故．C GAO ∠=∠AEF GAO ∠=∠∴，，∴．Rt AEF Rt OAG ∆∆≌OG AF =AF OD =（也可以过E 作BC 的垂线，按照模型来证明．）7.如图1，在中，，，垂足为D ．AF 平分，交Rt ABC △90ACB ∠=︒CD AB ⊥CAB ∠CD 于点E ，交CB 于点F ．图1 图2（1）求证：．CE CF =（2）将图1中的沿AB 向右平移到的位置，使点落在BC 边上，其它ADE △'''A D E △'E 条件不变，如图2所示．试猜想：与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．'BE 【答案】（1）在中，；在中，Rt AED △90EAD AED ∠+∠=︒Rt ACF △；90CAF AFC ∠+∠=︒又有，∴，则有．CAF EAD ∠=∠AFC AED CEF ∠=∠=∠CE CF =（2）如图，过点E 作于G ，易证：，∴，EG AC ⊥''CEG BE D ≅△△'CE BE =由（1）中的结论，可得：．'CF BE =E‘图2G A ′FE CBA8.如图1，已知ABC 是等边三角形，点D 是边BC 的中点，∠ADE =60°，且DE 与V ∠ACB 的外角平分线CE 相交于点E ．过点作交于点，则有D DF AC ∥AB F ，易证：ADE 是等边三角形．那么请问：ADF EDC ≅△△V （1）若D 是线段BC 上(B 、C 点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），试判断ADE 的形状，并说明理由．V （2）若D 是BC 的延长线上（C 点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2 图3【答案】（1）等边三角形；（2）成立，过点作交的延长线于点，则有，即证．D DF AC∥AB F AFD DCE≌∆∆9.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点VD，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．【答案】;710.如图，已知中，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为Rt ABCV90ACB∠=o CE AD⊥E．，交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．BF ACPABC DEF 【答案】∵，，∴，．90ACB ∠=oBF AC P 90ACD CBF ∠=∠=o90ADC CAD ∠+∠=o∵，∴，∴．CE AD ⊥90FCB ADC ∠+∠=oCAD FCB ∠=∠又∵AC =CB ，∴，∴DC =FB ．ADC CFB ≅V V ∵D 是BC 的中点，∴BC =2BF ，即AC =2BF ．11.如图，中，，，D 是AB 上任意一点， 交CDABC △AC BC =90ACB ∠=︒AE CD ⊥延长线于E ，于F ．求证：．BF CD ⊥EF BF AE =-F E D CBA【答案】三垂直模型，易证：，则CE =BF ，AE =CF ，∴EF =CE -CF =BF -AE ．ACE CBF ≅V V 12.（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且ABC △AB AC =D E F AB BC AC ，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．BD CE =DEF B ∠=∠BDE △FEDCBA(2)如图，在等边ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠ADE =60°，DE 交∠C 的外角平分线于V E ，则ADE 是____________三角形．V 【答案】（1）；（2）等边．CEF 13.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，∠ABC 的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，M 是CG 上一点且满足CM =DG . 求证：EM //AB .【答案】提示：过点作的垂线．G BC 14.八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：(1)如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM =AN ，连接BN 、CM ，发现BN =CM ，当M 、N 改变位置且保持BM =AN 时，∠NOC 保持不变，请猜测∠NOC 的度数：∠NOC =______度．(2)如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、DM ，那么AN =DM ，且∠DON =_______度．(3)如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、EM ，那么AN =EM ，且∠EON =________度．(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________________.【答案】(1); (2) ；(3)；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角60︒90︒108︒n ()2180n n-︒。
八年级数学上册第十二章知识点
八年级数学上册第十二章知识点一、三角形的定义和分类1.三角形的定义：由三条线段组成的封闭图形称为三角形，简称三角。
2.三角形的分类：（1）按照边长的关系分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
（2）按照角度的大小关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
（3）按照角度的性质分为等角三角形和不等角三角形。
3.三角形的性质：（1）三角形的三条边和三个角度都有对应关系，即一条边对应一个角度，一个角度对应一条边。
（2）三角形内部的任意一点到三角形三个定点的距离之和等于三边长。
（3）三角形内部的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
（4）三角形内部的任意一条高线将三角形分成两个面积相等的三角形。
二、勾股定理和三角函数1.勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
即：c2=a2+b2，其中c为斜边，a、b为直角边。
2.三角函数：（1）正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的正弦值等于对边与斜边的比值。
即：$\\sin\\theta=\\dfrac{\\text{对边}}{\\text{斜边}}$。
（2）余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的余弦值等于邻边与斜边的比值。
即：$\\cos\\theta=\\dfrac{\\text{邻边}}{\\text{斜边}}$。
（3）正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角$\\theta$，它的正切值等于对边与邻边的比值。
即：$\\tan\\theta=\\dfrac{\\text{对边}}{\\text{邻边}}$。
三、三角函数的计算和使用1.计算正弦、余弦和正切：（1）已知一个角$\\theta$和一条边，可以利用三角函数计算另一个角和两条边。
（2）已知两条边，可以利用三角函数计算另一个角和另一条边。
（3）已知三个角，可以利用三角函数计算三条边。
2.应用三角函数：（1）求角度：利用正弦、余弦和正切可以求出角度。
八年级数学上册知识点总结(第十二单元)
第十二章全等三角形编者：肖潇全等三角形1. 全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，如△ABC与△A′B′C′全等，且A和A′，B 和B′分别是对应顶点，记作△ABC≌△A′B′C′，读作△ABC全等于△A′B′C′。
3. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
三角形全等的判定三角形全等的条件边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边、直角边（HL）1. 三边对应相等的两个三角形全等.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.11三角形全等条件的选择，其基本思路如下：已知条件可选择的判定方法一边和一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS书写格式：在证明三角形全等的过程中应该指明在哪对三角形中，将证明三角形全等的条件用大括号括起来，并在最后全等后的括号里写上你所用的判定方法。
例如：在△ABC和△A′B′C′中AB＝A′BC＝B′AC＝A′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）重点题：Page 18 题3；Page 19 题12；Page 20 题4,8；Page 21 题12；Page 22 题4；Page 23 题14,15,16；Page 24 题3,6,10角平分线的性质（1）掌握角平分线的作法（见课本19页）（2）角平分线的性质22角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
技巧：凡是遇到关于角平分线的题，首先就应该想到过角平分线上一点作角的两边的垂线段。
作垂线段的格式一般是：过某一点作“什么”垂直于“什么”于点“什么（垂足）”，一定要指明垂足。
八年级上册数学笔记第十二章
以下是八年级上册数学第十二章的笔记，主要涉及轴对称、等腰三角形和直角三角形等知识点：
一、轴对称
1. 轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 轴对称的性质：
●对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
●对应线段相等、对应角相等。
二、等腰三角形
1. 等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。
2. 等腰三角形的性质：
●两腰相等，两底角相等。
●三线合一：底边上的中线、高、角平分线三线合一。
3. 等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。
三、直角三角形
1. 直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2. 直角三角形的性质：
●直角三角形中，直角所对的两腰相等。
●直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和（勾股定理）。
3. 直角三角形的判定：如果一个三角形中有一个角为直角，那么这个三角形是直角三角形。
四、数学思想方法
1. 分类讨论思想：对于复杂的问题，根据具体情况进行分类讨论，化繁为简。
2. 化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，从而解决问题。
3. 数形结合思想：将数学中的数量关系与几何图形结合起来，通过直观的图形来理解数量关系，从而解决问题。
l八年级上册数学第十二章知识点
l八年级上册数学第十二章知识点在八年级上册数学中，第十二章主要涉及三角形、相似形和勾股定理等内容，这些知识点都是数学学习中非常重要的一部分，下面就具体来介绍一下这些知识点的相关内容。
一、三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，也是数学中应用最广泛的图形之一。
在第十二章中，我们主要探讨了三角形的性质和分类。
三角形按照边的长度和角的大小，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形等四种类型。
其中，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形则是有一个内角为90度的三角形。
此外，在学习三角形的过程中，我们还了解了三角形的内角和外角之和，即一个三角形内角之和为180度，外角之和为360度。
二、相似形相似形指形状相似但大小不同的两个图形。
在学习相似形时，我们主要了解了相似比和相似形的性质。
相似比是指相似图形之间对应线段的比值，也就是各边长度比例的比值。
相似形则具有完全相同或近似相同的形状，但大小不同。
在实际应用中，相似形非常重要，因为相似形的存在，可以在不知道一个图形具体大小的情况下，通过已知信息来解决问题。
例如，在建筑设计中，可以通过两个相似三角形的相似比来求出实际建筑物的高度和长度等信息。
三、勾股定理勾股定理是一个历史悠久的定理，通过数学证明已经被证明是正确的。
在第十二章中，我们主要学习了勾股定理的基本原理和应用。
勾股定理指的是在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
勾股定理的应用非常广泛，在数学和物理等领域都有重要的作用。
例如，在航空航天领域中，通过勾股定理来计算太空船的速度和飞行轨迹等信息。
总之，在八年级上册数学中的第十二章，三角形、相似形和勾股定理等知识点，是我们日常生活和数学学习中非常重要的一部分。
希望学生们能够认真学习这些知识点，理解其基本原理和应用方法，为今后的学习和生活奠定坚实的数学基础。
八年级数学上册第12章一次函数12.2一次函数
探究 新知 (tànjiū)
例1 在同一平面直角坐标系中画出下列(xiàliè)函数的图象.
y1x 2
yx y 3x
第五页，共十四页。
探究 新知 (tànjiū)
解：列表(liè ： biǎo)
x
…
0
y1x
…
0
2
y=x
…
0
y=3x
…
0
1
…
1 2
…
1
…
3
…
第六页，共十四页。
课堂 小结 (kètáng)
（1）y=-x-4
（2） y 5x2 6
（3）y 8
x
（4）y=-8x
第十页，共十四页。
随堂练习(liànxí)
4.写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例 函数？
（1）电报收费(shōu fèi)标准是每个字0.1元，电报费y（元） 与字数x（个）之间的函数关系；
（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃， 则气温x（℃） 与高度y（km）的关系；
月份的水费.
第十二页，共十四页。
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
12.2 一次函数。一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数， k≠0．。上面两个函数关系式的等号右边都是关于自变量的一次整式,这样的函数解析(jiě xī)式称为一次函数.。正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．。解：列表：。 随堂练习。4.写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数。（1）电报 收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系
叙述.
第二页，共十四页。
人教版八年级上册数学第十二章课件PPT
形状相同
大小相同
两个图形全等，它们的形状 一定相同 ，大小一定相等！
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
E
A PC M
D
A
BN
B
C
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
A
B
D
A
B
C
D
C
E
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
点重B合和的点角E叫，做点对C和应点角F。；
A
D
B
CE
F
“全等”你用能符否号直“接≌ 从”记表作示
图∆A中B的C△≌A∆BDC和EF△中DE判F全断等出，所 记读有对作作的应::△△对角AA应 ？BBCC顶≌全点△等D于、E△F对D应EF边和
记两个三角形全等时，通常 注意 把表示对应顶点的字母写在
△ABC≌△DCB
O
B
C
如图, △ABD ≌ △EBC
1、请找出对应边和对应角。
AB 与 EB、BC BD、AD EC，
C
∠A ∠BEC、∠D ∠C、∠ABD ∠EBC
2、如果AB=3cm,BC=5cm,
求BE、BD的长.
DE
B
解：∵△ABD ≌ △EBC
∴AB=EB，BC=BD
A
∵AB=3cm,BC=5cm
第十二章 全等三角形
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
思考:他们能完全重合吗?
下列各组图形的形状 与大小有什么特点？
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A 3 3B 5C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等C解析：C【分析】 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 、3的平方根是3的逆命题是：3是3的平方根，是假命题；B 、5是无理数的逆命题是：无理数是5，是假命题；C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．3．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ C 解析：C【分析】 根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．【详解】解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，∴△BFD ≌△CDE ，∴∠BFD=∠EDC ，∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，∴∠B=∠EDF ，又∵∠B=∠C=18019022A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-∠， 故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．4．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD B解析：B【分析】 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED △≌△是解题的关键．5．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④D解析：D【分析】 易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 6．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，∠C＝40°B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°B解析：B【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4B解析：B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1 2×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．9．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．10．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL C解析：C【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，②再分别以F、E为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点M，③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选：C．【点睛】本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．二、填空题11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC 上，DE⊥AB于点E，DC=DE，∠A=32°，则∠BDC的度数为________．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线再求出∠ABD的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9解析：61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，∴∠CBA=58°，∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBD，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E 利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积【详解】解：过点D 作DE ⊥B 解析：120【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，可求出四边形ABCD 的面积．【详解】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DE ＝DC ＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ， ＝12AB•DE ＋12BC•CD ， ＝12×12×8＋12×18×8， ＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．13．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE ，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A解析：6【分析】根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．【详解】解：∵CF ∥AB ，∴∠DAE=∠FCE ，又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，∴△AED ≌△CEF ，∴AED CEF SS =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形， 故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ． 14．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠解析：55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15， 故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB解析：24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，∴DE=CD=4，∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12×12×4=24． 故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于MEN ⊥AD 于NEF ⊥BC 于H 如图先计算出∠EAM=75°则AE 平分∠EAD 根据角平分线的性质得EM=EN 再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH 则EN=EH 于是根据角平分解析：15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12∠DAC=15°． 【详解】解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴112ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，∴ 11301522DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．【点睛】本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．18．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE ＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S △ABC=12×3×9-7.5=6 cm 2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．19．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等（也可添加其它条件解析：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC【分析】要判定△ABC ≌△FDE ，已知∠A=∠F ，AC=FE ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C =∠E ，利用ASA 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】增加一个条件：∠C =∠E ，在△ABC 和△FDE 中，C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE(ASA)；或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且DC⊥ACDE⊥AB∴DE=DC∵S△ABD=20cm2AB=10cm∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案．【详解】解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵S△ABD=20cm2，AB=10cm，∴1•AB•DE=20，2∴DE=4cm，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：CD=2BE．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF，再利用“角边角”证明△AFB≌△ADC可得CD=BF，利用“角边角”证明△BCE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF，整理即可得证．【详解】证明：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．22．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．23．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．解析：（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)． 【分析】 （1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90 ，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1 ．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），∴ AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE 的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(32，52)．②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．根据①同理可得：52AP =，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32-)．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．25．已知4,BC BA BC =⊥，射线CM BC ⊥，动点P 在BC 上，PD PA ⊥交CM 于D ．（1）如图1，当3,1BP AB ==时，求DC 的长；（2）如图2，连接AD ，当DP 平分ADC ∠时，求BP 的长．解析：（1）3；（2）2【分析】（1）根据同角的余角相等证得∠1=∠3，再利用AAS 证明()ABP PCD AAS ∆≅∆，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）过P 作PH AD ⊥于H ，利用角平分线的性质进行解答即可．【详解】解：（1）如图，∵AP PD ⊥，∴1290∠+∠=︒，∵PC CD ⊥，∴2390∠+∠=︒∴13∠=∠，∵3,4BP BC ==，∴1PC BC BP =-=，又∵1AB =，∴AB PC =，又∵AB BP ⊥，∴90B C ∠=∠=︒，∴()ABP PCD AAS ∆≅∆，∴3CD BP ==；（2）作PH AD ⊥于H ，如图2，∵DP 平分ADC ∠，∴∠1=∠2，∵90C ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HDP=∠CDP ，∴PH PC =，又∵1390∠+∠=︒，2490∠+∠=︒，∴34∠=∠，又∵90B ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HAP=∠BAP ，∴PH BP =， ∴122BP PC BC ===． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线灵活运用角平分线的性质是解答的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 27．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．解析：逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．【详解】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt BCE 与Rt CBD △中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，∴DCB EBC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．28．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解析：（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．。
八年级上册数学笔记第十二章
八年级上册数学笔记第十二章第十二章：统计与概率一、统计统计是指收集、整理、分析数据，并从中提取出有关规律性的结论和信息的一门学科。
在日常生活和工作中，我们常常需要进行统计，以便更好地了解某个领域的情况，做出科学和准确的决策。
以下是统计中常用的一些概念和方法。
1. 数据的收集数据的收集是统计的第一步。
主要有两种方式进行数据收集：直接观察和问卷调查。
直接观察是指通过实地观察和记录来收集数据，而问卷调查则是通过向被调查对象发放问卷，让其填写问题并回答的方式进行数据收集。
2. 数据的整理与处理收集到的数据需要进行整理和处理，以便更好地进行分析和总结。
常用的数据整理方法有：分类、汇总和整合。
同时，对数据进行图表化处理也是常见的方法，例如绘制折线图、柱状图、饼状图等。
3. 频数和频率在统计中，频数指某个特定数值或数值区间出现的次数，频率则是指频数与总次数的比值。
频数和频率可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
4. 平均数、中位数和众数平均数是指一组数据的数值之和除以数据的个数，中位数是指将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值，众数则是指一组数据中出现次数最多的数值。
平均数、中位数和众数可以帮助我们了解数据的集中趋势。
二、概率概率是指某一事件发生的可能性大小。
在数学中，我们通过数字来表示概率的大小，通常介于0到1之间。
以下是概率中常见的一些概念和方法。
1. 试验和样本空间试验是指为了研究某个问题而进行的一系列操作，样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，而样本空间则是{正面，反面}。
2. 事件和事件的概率在试验的过程中，我们可以关注一些特定的结果，称为事件。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
例如，抛一次硬币结果为正面的事件的概率可以表示为P(正面)。
3. 等可能事件和互斥事件等可能事件指每个事件发生的可能性相等，例如抛硬币的结果是正面或反面。
互斥事件指两个事件不能同时发生，例如抛硬币的结果不可能既是正面又是反面。
2022年八年级数学上册 第十二章 全等三角形知识点归纳 (新版)新人教版
第十二章：全等三角形12.1全等三角形〔1〕、全等图形：形状、大小相同的图形能够完全重合；〔2〕、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；〔3〕、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；〔4〕、平移、翻折、旋转前后的图形全等；〔5〕、对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；〔6〕、对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；〔7〕、对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；〔8〕、全等表示方法：用“ 〞表示，读作“全等于〞〔注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上〕〔9〕、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；12.2三角形全等的判定〔1〕假设满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；〔2〕三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；〔“边边边〞或“SS〞S〕②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；〔“边角边〞或“SAS〞〕③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；〔“角边角〞或“ASA〞〕④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；〔“角角边〞或“AAS〞〕⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；〔“斜边直角边〞或“HL〞〕注：①证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；②经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；③三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么这个三角形的形状、大小就确定了；〔用“SSS〞解释〕12.3角的平分线的性质〔1〕、角的平分线的作法：课本第19页；〔2〕、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；〔3〕、证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证；③经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程；〔4〕、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；〔利用三角形全等来解释〕〔5〕、三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；练习题：5．△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，那么∠F=〔〕A．35° B．45° C．55° D．70°【考点】全等三角形的性质．6．如图，∠ABC=∠DCB，以下所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是〔〕A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD【考点】全等三角形的判定．7．以下条件中能判定△ABC≌△DEF的是〔〕A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF【考点】全等三角形的判定．8．如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，那么∠DEC等于〔〕A．7.5°B．10° C．15° D．18°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．9．如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：①△ACE≌△DCB；②CM=CN．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．10．如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD 交BE于点N，求证：〔1〕∠BDN=∠BAM；〔2〕△BMN是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．11．：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．求证：∠B=∠EAC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．参考答案与试题解析5.【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∵∠A=100°，∴∠D=100°，∵∠E=35°，∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=45°，应选B．6.【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；应选：D．7.【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔AAS〕，故本选项正确；应选D．8.【解答】解：∵AC=AB，∴∠B=∠C，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+α，∴∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=∠C+α，即∠AED=∠AED+α﹣30°+α，∴2α=30°，∴α=15°，∠DEC=α=15°，应选C．9.【解答】证明：①∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，，∴△ACE≌△DCB〔SAS〕，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=∠ECB=60°，∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC，在△EMC与△BNC中，，∴△EMC≌△BNC〔ASA〕，∴CM=CN．10.【解答】证明：〔1〕∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC〔SAS〕∴∠BDN=∠BAM；〔2〕∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∵∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，，∴△MBE≌△NBC〔ASA〕，∴BM=BN，∠MBE=60°，∴△BMN为等边三角形．11.【解答】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=CB．∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD〔SAS〕．∴∠B=∠EAC〔全等三角形的对应角相等〕．。
人教版八年级上册数学 第十二章全等三角形
第十二章全等三角形1.理解和掌握全等三角形的概念,明确对应边、对应角、对应顶点等相关概念.2.掌握两个三角形全等,对应边相等、对应角相等的性质.3.探索并掌握两个三角形全等的条件,并能根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”判定两个三角形全等.4.能够画已知角的平分线并掌握角平分线的性质定理和判定定理.1.通过观察、试验、归纳、类比、推理获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.2.在教学中,注重所学内容与现实生活的联系;注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程.1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真学习的态度,激发学生的学习热情.2.利用小组合作的学习方法,让学生多进行交流,多种感官参与教学,使学生主动探索、发现规律、归纳概括、形成能力,养成学数学、爱数学的情感.中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似,本章将以三角形为例研究全等.全等三角形研究的问题和研究方法将为后面学习相似提供思路,而且全等是一种特殊的相似,全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,主要包括用分析法分析条件与结论的关系,用综合法书写证明格式,以及掌握证明几何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是学习等腰三角形、四边形、圆等内容的基础.本章分为三节,主要介绍了全等三角形的概念、性质、判定方法,以及如何利用三角形全等进行证明.第12.1节首先介绍了现实世界中的全等现象,然后从“重合”的角度引入了全等形的概念,在此基础上给出了全等三角形的概念,接着由全等三角形的概念导出了全等三角形的性质.第12.2节由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发,引出判定两个三角形全等的方法.第12.3节首先由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图,然后探究并证明了角的平分线的性质,同时总结了证明一个几何命题的一般步骤,最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理.本章将重点研究三角形全等的判定方法,并在其中渗透了研究几何图形的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题,又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题,在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边和角的等量关系、折纸情境等内容,推理论证的难度比《三角形》一章增大了.【重点】1.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.2.角平分线的性质及判定.3.证明的基本过程.【难点】1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.2.角平分线的性质和判定的正确运用.3.用综合法证明的格式.1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识,本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法,用几何思想贯穿全章的教学.2.让学生充分经历探究过程.本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动,包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动.教学中可以让学生充分经历这个探究过程,在明确探究目标、形成探究思路的前提下,按计划逐步探索两个三角形全等的条件.本章在编排中将画图与探究三角形全等的条件结合起来, 既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等,又有用技术手段根据已知数据画三角形.教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值,让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等,在活动中发现结论.3.重视对学生推理论证能力的培养.本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要章节,主要包括证明两个三角形全等,通过证明三角形全等,进而证得两条线段或两个角相等.教学中要在学生已有推理论证经验的基础上,利用三角形全等的证明,进一步培养学生推理论证的能力.按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标,本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系,书写严谨的证明格式,从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤.12.1全等三角形1.掌握好全等形及全等三角形的定义.2.理解对应顶点、对应边、对应角的含义.3.掌握全等三角形的性质.1.教学时结合实际图片或学生自己动手制作的图片,使学生更加容易接受本节的知识,也能从中体会到数学的乐趣及数学与生活实际的联系.2.通过对一个图形的平移、翻折、旋转等动态变换,使学生的思维更具动态,形成空间观念,对以后的图形观察与总结具有更好的指引作用.1.在全等形的引入中,通过一些实际生活的图片,让学生感受到数学来源于生活实际,又反作用于生活实际.2.在学习中,同学之间以及小组之间相互研讨,可促进学生的团队意识,以及认识合作的价值.【重点】掌握好全等三角形的定义及利用全等三角形的性质解决问题.【难点】全等三角形性质的应用.【教师准备】全等的三角形纸板.【学生准备】剪刀、三角形纸板.导入一:(老师手拿两个全等的三角形纸板,可先分开操作,然后把两个三角形进行重合操作,目的是让学生看出这两个三角形是能够完全重合在一起的)【师】同学们,你能发现这两个三角形有什么关系吗?【生】这两个三角形是完全重合的.【师】这就是我们今天要学习的全等形中的一种,全等三角形.(同时教师手写板书)[设计意图]本节的内容,对于学生来说还是比较容易接受的,所以此设计比较简捷,单刀直入,可以节省时间,直入主题.导入二:【师】同学们,这节课我们先做个游戏,把你们准备好的剪刀与三角形纸板拿出来,先取一张纸,将准备好的三角形纸板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,观察一下,有什么特点?同桌之间互相配合完成,再一起讨论得到的三角形与原三角形之间的关系.[设计意图]同桌之间通过互相帮助,动手探索,既能增强他们的合作意识、团队精神,又能在动手操作中感受到数学的乐趣,增强对全等三角形的认知与理解.导入三:(老师拿出一块硬纸板)同学们请看,每组的两个图形有什么特点?它们的形状、大小一样吗?它们能互相重合吗?[设计意图]这两个问题和实际生活的联系比较密切,引起了学生认知的需要,激发了学生的求知欲,使之在思维情境中进入最佳的学习状态.这就为学生认识和探索全等三角形的性质做了铺垫.一、全等三角形的相关概念1.全等形的概念思路一【师生活动一】多找一些学生举例子.(此过程中,有些学生举的例子是不正确的,如有的学生可能会说“双胞胎”,可先让学生说说此例子是否正确,让学生们一起讨论,然后老师给出正确的指引及错误的原因,对学生的不同回答,只要合理,就给予认可)[设计意图]帮助学生准确地理解定义,以及感受数学知识的严谨性.【师生活动二】(1)上面同学们举的这些例子,有什么共同的特征?(2)有人用“全等形”一词描述上面的图形,你认为这个词是什么含义?同学们畅所欲言,最后老师给出全等形及全等三角形的定义,为了加深理解,可通过列举反例强调定义的条件.全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.思路二【学生活动一】把一块三角形样板按在纸板上,画下图形,照图形裁下来.【问题思考】裁下来的纸板和样板的形状、大小完全一样吗?把样板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?用同一张底片冲洗出来的两张照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗?【学生回答后总结】能够完全重合的两个图形叫做全等形.[设计意图]从学生熟悉的图形和例子引出全等形的概念,可以排除学生对几何的畏惧心理,增强他们的自信心,在教学过程中要强调“重合”的重要性,使全等形的概念的引入显得更加自然.【学生活动二】观察黑板上的两个三角形ΔDEF和ΔABC.【思考】如果把ΔDEF放到ΔABC上,两个三角形可以重合吗?可以重合的三角形称为什么?【生答】全等三角形.[设计意图]通过这个活动及时巩固全等形的概念,同时也为后面的内容做铺垫,起承上启下的作用.[拓展延伸]两个三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同,和位置无关.2.全等三角形的相关定义【师生活动一】老师演示以下三种情况:(1)将ΔABC沿直线BC平移得到ΔDEF;(2)将ΔABC沿BC翻折180°得到ΔDBC;(3)将ΔABC绕点A旋转180°得到ΔAED.【议一议】各图中的两个三角形全等吗?它们能完全重合,我们就说它们是全等三角形,其中能重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如上图中的甲,ΔABC与ΔDEF全等,我们就记作ΔABC≌ΔDEF,符号“≌”读作“全等于”,当两个三角形全等时,我们就用它来表示.其中点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点;AB与DE,BC与EF,AC与DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.同学们,能不能对上述的图乙,图丙,分别说出它们的记法、读法,以及其中的对应顶点、对应边、对应角.当学生回答两个三角形全等的书写时,教师注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上.【师生活动二】【师】由上述的演示可以看出,一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.在上述三种变换中,怎么能快速地找到对应顶点、对应边、对应角呢?请同学们讨论.[设计意图]学生进行讨论,各抒己见,此过程中学生说的不一定对,在互相的讨论、交流中,学生慢慢地纠正自己的错误,接受别人的好的方法,这样能更加深入地了解与掌握找全等三角形的对应点、对应边、对应角的方法.【师最后总结】在全等三角形中,找出对应角和对应边,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.全等三角形的面积一定相等,但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.[知识拓展]找对应元素的常用方法有两种:(一)从运动角度看1.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度后能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法:沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据元素位置来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.3.公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角.4.全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角).二、全等三角形的性质学生们纷纷发言,在此过程中,老师引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系,得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.[知识拓展](1)全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等;(3)平移、翻折、旋转前后的图形全等.三、例题讲解如图所示,ΔOCA≌ΔOBD,C和B,A和D是对应顶点.(1)ΔOCA≌ΔOBD说明这两个三角形可以重合,那么通过怎样的变换可以使这两个三角形重合?(2)说出这两个三角形中相等的边和角.解:(1)将ΔOCA翻折可以使ΔOCA与ΔOBD重合.(2)∠C=∠B,∠A=∠D,∠AOC=∠DOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.如图所示,已知ΔABE≌ΔACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.〔解析〕对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将ΔABE和ΔACD从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找,有相等元素,它们就是对应元素,再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.解:对应角为∠BAE和∠CAD.对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD.1.能够完全重合的图形叫做全等形.能够完全重合的三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等.3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.1.如图所示,ΔABC≌ΔDEF,则此图中相等的线段有()A.1对B.2对C.3对D.4对解析:因为ΔABC≌ΔDEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因为BC=EF,即BE+EC=CF+EC,所以BE=CF,即有4对相等的线段.故选D.2.如图所示,ΔACB≌ΔA'CB',∠A'CB=30°,∠ACB'=110°,则∠ACA'的度数是()A.20°B.30°C.35°D.40°解析:∵ΔACB≌ΔA'CB',∴∠ACB=∠A'CB',∴∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB,即∠ACA'=∠BCB',∵∠A'CB=30°,∠ACB'=110°,∴∠ACA'=(110°-30°)=40°.故选D.3.如图所示,找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.解:三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.4.如图所示,已知ΔABC≌ΔADE,试找出对应边、对应角.解析:方法1:可以发现∠A是公共角,在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角,∠ACB与∠AED是对应角.所以对应边为AB与AD,AC 与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED.方法2:沿A与BC和DE的交点O的连线将ΔABC翻折180°后,它正好和ΔADE重合,这时就可以找到对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED.解:对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED.12.1全等三角形一、全等三角形的相关概念二、全等三角形的性质例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页练习第1,2题.【选做题】教材第33页习题12.1第3,4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各组图形中是全等图形的是()2.下列各组图形中,是全等形的是()A.对应钝角相等的两个等腰三角形B.两个含60°角的直角三角形C.边长为3和5的两个等腰三角形D.腰对应相等的两个直角三角形3.如图所示,ΔABC≌ΔBAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4 cm,那么AC 的长是()A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.无法确定4.如图所示,RtΔABC≌RtΔDEF,则∠D的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°【能力提升】5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ΔABC≌ΔBAD.求证:(1)OA=OB;(2)∠OCD=∠ODC.6.如图所示,ΔABC≌ΔAEC,B和E是对应顶点,∠B=30°,∠ACB=85°,求ΔAEC各内角的度数.【拓展探究】7.如图所示,已知ΔABD≌ΔACE,且点E在BD上,CE交AB于点F,若∠CAB=20°,求∠DEF的度数.【答案与解析】1.B(解析:根据全等图形的定义可得.)2.D3.B(解析:∵ΔABC≌ΔBAD,点A与点B,点C与点D是对应顶点,∴AC=BD,又∵BD=5 cm(已知),∴AC=5 cm.故选B.)4.A(解析:∵RtΔABC≌RtΔDEF,∴∠D=∠A.∵在RtΔABC中,∠A+∠B=90°,且∠B=60°,∴∠A=30°,∴∠D=30°.故选A.)5.证明:(1)∵ΔABC≌ΔBAD,∴∠CAB=∠DBA,∴OA=OB. (2)∵ΔABC≌ΔBAD,∴AC=BD,又∵OA=OB,∴AC-OA=BD-OB,即OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.6.解:∵ΔABC≌ΔAEC,∴∠ACE=∠ACB,∠EAC=∠BAC,∠E=∠B,又∵∠B=30°,∠ACB=85°,∴∠E=30°,∠ACE=85°,∴∠EAC=65°.7.解析:根据全等三角形的性质求出∠C=∠B,再根据三角形内角和定理和对顶角相等求出∠BEF=∠CAB=20°,代入∠DEF=180°-∠BEF即可求出∠DEF.解:∵ΔABD≌ΔACE,∴∠C=∠B,∵∠BFE=∠CFA,∠CAF=180°-∠C-∠CFA,∠BEF=180°-∠B-∠BFE,∠CAB=20°,∴∠BEF=∠CAB=20°,∴∠DEF=180°-∠BEF=180°-20°=160°.本节内容与图形是紧密相连的,图形也是学生非常喜欢的,所以本节课的引入,重点以图形为主,既让学生感受到学数学的乐趣,又引发了学生学习本节课的信心,并且对学生更加热爱生活、找到数学与生活实际的联系起到了非常重要的作用.本节课的另外一个特点是图形的平移、翻折与旋转,要求学生具有空间想象能力,这既是数学的美,也是一些学生感到吃力的地方,为了突破难点,在教学设计上,引入了几何画板,进行动态演示,让学生能在非常生动、精彩的课件中找到自信,另外,也为他们日后的学习起到了重要的铺垫作用.本节课中,全等形、全等三角形的定义都是比较浅显的,学生们非常容易接受,本节的难点是全等三角形的书写及找出对应边、对应角,在突破难点上,讲解没有达到非常生动.让学生在非常欢乐的气氛中达到难点突破是我们的教学目标.为了能突破难点,在设计上可先让学生拿着自己制作好的两个全等三角形进行平移、翻折与旋转,观察前后的变化,同时写出每次变换后的对应边、对应角,可同桌之间互相考察,也可一名学生指派另一名学生答题,然后老师再用几何画板进行动态演示,把实际操作逐步变为头脑中的印象,最后达到不用任何辅助手段就能在头脑中达到上述目的.练习(教材第32页)1.解:图(2)中,AB和DB,BC和BC,AC和DC是对应边;∠A和∠D,∠ABC和∠DBC,∠ACB和∠DCB是对应角.图(3)中,AB和AD,BC和DE,AC和AE是对应边;∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E是对应角.2.解:相等的边:AC=DB,OA=OD,OC=OB;相等的角:∠A=∠D,∠C=∠B,∠AOC=∠DOB.习题12.1(教材第33页)1.解:AC和CA是对应边;∠B和∠D,∠BAC和∠DCA,∠BCA和∠DAC是对应角.2.解:其他对应边:AN和AM,BN和CM,其他对应角:∠ANB和∠AMC,∠BAN和∠CAM.3.解:∵三角形内角和为180°,∴a所对的角为180°-60°-54°=66°,又∵两个三角形全等,∴∠1=66°.4.解:(1)其他对应边:EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他对应角:∠E和∠N,∠FGE和∠MHN. (2)因为ΔEFG ≌ΔNMH,所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=3.3 cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以线段NM的长度是2.1 cm,线段HG的长度是2.2 cm.5.解:∠ACD和∠BCE相等.因为ΔABC≌ΔDEC,所以∠ACB=∠DCE.又因为∠ACB=∠ACE+∠BCE,∠DCE=∠ACD+∠ACE,所以∠ACD=∠BCE.6.解:(1)对应边:AE和AD,AC和AB,EC和DB;对应角:∠A和∠A,∠AEC和∠ADB,∠ACE和∠ABD. (2)因为ΔAEC≌ΔADB,所以∠ACE=∠ABD.又因为∠1=∠2,所以∠ACE+∠2=∠ABD+∠1,即∠ACB=∠ABC,所以∠ABC=×(180°-∠A)=65°,所以∠1=∠ABC-∠ABD=65°-39°=26°.如图所示,ΔEFG≌ΔNHM,在ΔEFG中,FG是最长的边,在ΔNHM中,MH是最长的边,∠F和∠NHM是对应角,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm.(1)写出对应相等的边及对应相等的角;(2)求线段GN及线段HG的长度.〔解析〕(1)由于ΔEFG≌ΔNHM,根据两个三角形的最长边是对应边可知FG与MH对应相等,又∠F和∠NHM是对应角,所以∠FGE和∠HMN对应相等,剩下的一对角∠E和∠N也就对应相等了;进而根据对应顶点的关系可得到EF与HN对应相等,EG与MN对应相等;(2)由HM=3.5 cm可得它的对应边FG=3.5 cm,根据FH=1.9 cm可求得HG=FG-FH=1.6 cm;又由EF=2.4 cm可得它的对应边HN的长也是2.4 cm,则GN=2.4-1.6=0.8(cm).解:(1)对应相等的边有:FG=MH,EF=HN,EG=NM;对应相等的角有:∠F=∠NHM,∠E=∠N,∠EGF=∠M.(2)根据全等三角形的性质,得HN=EF=2.4cm,HG=FG-FH=HM-FH=3.5-1.9=1.6(cm),GN=HN-HG=2.4-1.6=0.8(cm).如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且ΔBAD≌ΔACE.(1)试说明BD=DE+CE;(2)ΔABD满足什么条件时,BD∥CE?〔解析〕(1)要说明BD=DE+CE,由于ΔBAD≌ΔACE,所以BD和AE相等,因此我们只需说明AE=DE+CE即可,又AE=AD+DE,所以本题只需说明AD=CE即可,而这对线段恰好是全等三角形的对应边.(2)要使BD∥CE,则必须有∠BDE=∠E,根据全等三角形的对应角相等可知∠ADB=∠E,所以需要条件∠ADB=90°.解:(1)∵ΔBAD≌ΔACE,∴BD=AE,AD=CE,∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.(2)当ΔABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.〔解题策略〕证明形如“BD=DE+CE”的问题有两种思路:思路一是将BD拆成两段,证明这两段分别等于DE和CE;思路二是找一条等于DE+CE的线段,然后证明该线段等于BD.12.2三角形全等的判定1.熟练掌握“边边边”定理、“边角边”定理、“角边角”定理、“角角边”定理、“斜边直角边”定理.2.会用这些判定方法判定两个三角形全等.1.让学生通过分类讨论和作图的方法探索三角形全等的判定定理,并让学生用运动变换的方法证实.2.在探索全等三角形的判定方法的过程中,渗透分类讨论的思想.3.培养学生观察、概括、归纳的能力.1.让学生体验分类的思想,培养学生的合作精神.2.培养学生学习数学的兴趣,体会研究问题的思想和方法.【重点】全等三角形的判定方法.【难点】能用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.第课时1.掌握“边边边”定理的内容.2.能初步应用“边边边”定理判定两个三角形全等.3.会作一个角等于已知角.让学生探索三角形全等的条件,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边边边”定理.【难点】探索三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.导入一:【提出问题】(1)全等三角形相等,相等.(2)已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=,AC=,=OB,=OD.[设计意图]通过复习让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定打下基础.导入二:通过前面的学习我们知道,如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能地少呢?一个条件行吗?两个条件呢?一、探究三角形全等的条件【学生活动一】(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,画出的三角形一定全等吗?(2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?学生讨论有几种可能的情况,然后按照下面条件画一画:①三角形一个内角是30°,一条边是3 cm;②三角形两个内角分别是30°和50°;③三角形的两条边分别是4 cm和6 cm.学生分组讨论、画图、探索、归纳,最后以组为单位出示结果.【结果展示】(1)只给定一条边时.只给定一个角时.(2)给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.【议一议】如果给出三个条件画三角形时,你能说出有几种情况吗?(三条边,两条边一个角,一条边两个角,三个角)在刚才的探索过程中,我们已经发现已知三内角不能保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况)【学生活动二】拼一拼.用你们准备的4 cm,5 cm,7 cm长的三根细木棒拼一个三角形,与其他同学拼成的三角形比较,它们一定全等吗?你又发现了什么?以小组为单位,把拼好的三角形画在纸上并剪下来,再把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合,这说明这些三角形都是全等的.二、探究运用“SSS”判定两个三角形全等思路一【出示问题】先任意画一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,把画出的ΔA'B'C'剪下来,放在ΔABC上,看它们能完全重合吗?(即全等吗?)【学生活动】拿出直尺和圆规,按上面的要求作图并验证.画法:(1)画B'C'=BC;(2)分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC的长为半径画弧,两弧相交于点A';。
人教版初中数学八年级上册第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何 图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形 变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知 下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状 完全相同
课后作业
作业 内容
12.1 全等三角形/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用 全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找 出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
人教版八年级数学上册第12章
人教版八年级数学上册第12章§12．1．1 轴对称（一）教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．如课本的图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
八年级上册数学第十二章全等三角形的判定 角平分线的性质
求证：AD平分∠BAC.
证导明引：：∴∵要∠D证FD⊥AEDBA平＝C于分∠点∠DFFB，CA＝CD，9E0⊥已°A知. B于点E， 条件中有在两△个BD垂E直和，△即CD有F点中到，角 的两边的距∠离BD，E再＝证∠这CD两F个距离 相等即可证∠BE明D＝E结BC论＝F，∠证DF这C两条垂 线段相∴等△，B可DE通≌过△证C明DF△(ABDAES)和， △CDF∴又全D∵等ED＝来FD⊥完FA成.C．，DE⊥AB，
求证：点P在∠BAC的平分线上。 A
B
C
E
PD
证明：过点P作PM⊥AE,PF⊥BC,PN⊥AD
垂足分别为M，F分线,
PM⊥AE,PF⊥BC ∴PM=PF ∵CP是△ABC的∠C的外角平分线,
PF⊥BC,PN⊥AD
BF C
M
N
E
PD
∴PF=PN
∴PM=PN ∴P点在∠A的平分线上
∴AD平分∠BAC.
54、.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，
∠D＝∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．
求证：CO 平分∠ACD．
证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，∴OB⊥AB， 又∵AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的中点， ∴OB＝OD．∴OE＝OD． 又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
只相等不垂直不能判定 点在角平分线上
只垂直不相等不能判 定点在角平分线上
2、如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的 距离相等，则点P是( C )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
八年级数学上册第12章一次函数12.1函数变量与函数
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思考
在问题1中，热气球在上升的过程中是一个不断变化的过程， 在这个(zhè ge)过程中有哪些量是不断变化的？哪些量始终保持不变？
Image
12/13/2021
第二十二页，共二十二页。
上述判断正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
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4.寄一封质量在20g以内的市内平信(píngxìn)，需邮资0.80元，则寄x封这 样的信所需邮资y(元).试用含x的式子表示y，并指出其中的常量和 变量. 解：根据题意，得y=0.8x，所以(suǒyǐ)0.8是常量，x、y是变量.
第十六页，共二十二页。
2.半径是R的圆周长C=2πR，下列说法正确(zhèngquè)的是（D ）
A. π、R是变量，2是常量 B. C是变量，2，π，R是常量 C. R是变量，2，π ，C是常量 D. C，R是变量，2，π是常量
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3.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个(zhège)问题中： ①a是常量时，y是变量； ②a是变量时，y是常量； ③a是变量时，y也是变量；
第12章 一次函数
12.1 函数(hánshù)
第1课时 变量与函数
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新课导入
行星在宇宙(yǔzhòu)中的位置随时间而变化
第二页，共二十二页。
气温(qìwēn)随海拔而变化
第三页，共二十二页。
汽车行驶(xíngshǐ)路程随行驶时间而变化
第四页，共二十二页。