线性系统的状态空间描述
线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。
状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。
电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。
线性系统的状态空间描述
解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于
零，得到系统的方程：
RiLdi 来自t1 C
id t
ui
uo
1 C
id t
系统的输入、输出分别为
uui，yuo 24
第1章 线性系统的状态空间描述
状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。
a）选取状态变量 x1i，x2C 1 idtu0，则状态空
第1章 线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 1.3 系统的传递函数矩阵 1.4 线性系统等价的状态空间描述 1.5 组合系统的状态空间描述
1
第1章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量是时间域的。
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇
异变换的关系。
11
第1章 线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t)x1(t),x2(t), ,xn(t)T称为n维状态向量。
22
第1章 线性系统的状态空间描述
一．根据系统机理建立状态空间表达式 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微
分方程或差分方程； 2）选取有关物理量 (变量) 作为状态变量，推导
出系统的状态方程和输出方程。
23
第1章 线性系统的状态空间描述
例1-1（P403例9-1）：建立RCL网络的状态方程
第1章线性系统的状态空间描述
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
• 情况1：输入u不含导数
y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立
输入u不含导数 y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
选取状态变量 x1 y x2 y x3 y
I ml2 ml
自主技术与智能控制研究中心
ml M m
二、状态空间模型的建立
用一阶微分方程组表示系统模型！
&x& 1m2l2 g 1(I ml2 )u && 1(M m)mgl 1mlu
引入新的变量
x1 x x2 x&
x3 x4 &
x&1 x2
x&2 x&3
{1m2l x4
x&% Ax% Bu%
y%
Cx%
Du%
f1
A
f x
|x0
,u0
x1
M
fn x1
L O L
f1 xn
M
fn xn
B
f u
|x0 ,u0
,C
g x
|x0
,u0
,
D
g u
|x0 ,u0
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立 例3：质量-弹簧-阻力器系统
自主技术与智能控制研究中心
u
线性化 0 V mg
m
d2 dt 2
(x
l
sin )
H
I&& Vl Hl
m d 2 (l cos) V mg
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
线性系统的状态空间描述
b1 hn1 an1hn2 an2 hn3 a1h0 ) u
(b0 an1hn1 an2 hn2 a1h1 a0 h0 )u
3/7/2014
选择 h0 , h1，使得上式中 , hn 1 u的各阶导 数项的系数都等于0，即可解得：
Ax Bu, y Cx Du x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
线性定常离散系统
3/7/2014
y(k ) Cx(k ) Du (k )
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学
阻 尼 系 数
3/7/2014
u (t ) Qa u (t ) u (t )
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
则称系统是定常的
2.2 状态空间的基本概念 1.状态:表征系统运动的信息和行为 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一 组变量
x (t k 1 ) f ( x, u , t k ) g (t k ) g ( x , u , t k )
线性函数 线性系统
线性时变系统 线性定常系统
(t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ) x (t ) x(t ) D (t )u (t ) g (t ) c
a0 a1 a2
0
y 1
3/7/2014
0
x1 0 x2 x 3
2)
系统输入量中含有导数项 如果单输入—单输出系统的微分方程为：
现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u
第一章线性控制系统的状态空间描述lyq
X3
X0 X(t)
状态变量 完全表征系统运动状态的
X2
最小一组变量 X1
状态向量 以状态变量为分量所构成的向量
状态空间 以状态变量x1(t), x2(t)… xn(t)为坐标轴构成的 n维空间称为状态空间。系统在任何时刻的状 态都可用状态空间中的一个点来表示。随着时 间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹， 称为状态轨迹。
和古典控制理论不同，状态空间描述考虑了“输入 －状态－输出”这一过程，它注意到了被输入－输 出描述所忽略了的状态。输入引起了状态的变化， 而状态才决定了输出的变化。因此状态空间描述是 对系统的结构特性的反映，而输入－输出描述只是 对系统的端部特性的反映。然而具有相同端部特性 的系统，都可以具有不同的结构特性经。这表明状 态空间描述是对系统的一种完全的描述。
P
m
x,v
f
1.1 线性控制系统的状态空间表达
例2 系统如图所示，输入为u，输出uc，列写 其动态方程
L
R2
u
iL
R1
uc
1.选择状态变量：
x1 iL , x2 u C ,
1.1 线性控制系统的状态空间表达
2 列写一阶微分方程组
iL
(uLdiL) 1CduC dt R1 dt
L
u
iL
R2 R1
t t0
yq gq(x1, ,xn;u1, ,up;t)
D(t)
u(t)
B(t)
•
X (t)
++
dt
X(t)
C(t)
+
+ Y(t)
A(t)
1.1 线性控制系统的状态空间表达
1.1.3 系统的状态空间描述列写举例
现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述
1 x3 s
1 s
1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )
s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换
1 s3
u(t )
1 s2
1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )
1 x4 s
(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p
第2章 线性系统的状态空间描述
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法 的 特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法 递推算法 莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型 化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作 业
6，计算下列状态空间描述的传递函数 计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示 给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作 业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述 试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
线性系统理论(郑大忠)第2章
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
线性控制系统的状态空间描述
§3.3 Matlab 实验
1. 状态空间模型脉冲响应、阶跃响应和任意输入响
应
(1) [y,x,t]=impulse(a,b,c,d)
(2) [y,x,t]=step(a,b,c,d)，其中y、x 和t 是输出、
状态向量和仿真时间。
(3) [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)。
例求管亠[0* x c£，为
u(t) =sint的状态输出值。
解程序和结果如下
-0.2
-0.4
2. 离散系统的脉冲响应、阶跃响应、任意输入响应
⑴[y, x]=dimpulse(sys);
(2) [y, x] = dstep( nu m,de n);
(3) [y, x]=dlsim(sys,u); 47y、x 和u 分别为输出、
状态和输入，sys可以是num,den或a,b,c,d,不绘图，当无y, x时直接绘图。
3 •连续和离散状态模型的零输入响应(只对初态x0 响应)
(1) [y,x,t]=i nitial(a,b,c,d,xO)
⑵[y,x,t]=dinitial(a,b,c,d,x0) ，y 为输出，x 为状态，
t为指定输出时间。
当不带y、x和t时，直接绘图。
4 •连续系统离散化
(1) [da,db,dc,dd]=c2dm(a,b,c,d,Ts)
⑵[dnum,dden]=c2d(num,den,Ts) , Ts 是采样周期。
5.矩阵指数
expm(a*t)，其中t可为符号变量，也可为实值。
0 1
例如设A = 0'，则求e At的命令和结果如下:
||-4 -4。
《自动控制原理》线性系统的状态空间描述
s
s
0 +
1
=
Gc11 (s) Gc21 (s)
5s
Gc12 (s) Gc22 (s)
式中 Gcij (s) 表示U j (s) 至 Yi (s)(i, j = 1,2) 通道的串联补偿器传递函数。可
以验证这种解耦系统的开环传递矩阵Gp (s)Gc (s) 为对角阵：
1
Gp
(s)Gc
(s)
=
=
1+
(s + 1) 1
U2 (s)
(s + 1)
+ 1+1
1 (s
+ 1)
• 1+1
1 (2s
+ 1) U1 (s)
1
2s +1
= s + 2 U 2 (s) + 2(s + 2) U1 (s)
其向量－矩阵形式为
1
Y
(s)
=
Y1 (s) Y2 (s)
=
2(s 2s
+ +
1) 1
2(s + 2)
0 1
U U
1 2
(s) (s)
=
＇(s)U
(s)
s + 2
原系统闭环传递函数矩阵为
1
'
(s)
=
2(s 2s
+ +
1) 1
2(s + 2)
0
1
s + 2
串联补偿器 Gc (s) 的设计：由式（9－60）并考虑 H (s) = I 有
Gc
(s)
=
G
−1 p
(s)(s)[I
线性系统的状态空间描述-简
x = A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, x = A(t ) x B(t )u
‒ 其决定系统状态变量的动态变化。
y C (t ) x D(t )u
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 系统的状态空间描述
2.2 系统的状态空间表达式的分类
2.3 状态空间表达式的建立 2.4 线性时不变系统的特征结构 2.5 状态方程的约当规范形 2.6 由状态空间描述导出传递函数阵
2.7 系统系统在坐标变换下的特性
2.8 组合系统的状态空间描述 2.9 Matlab问题 小 结
ym
图1-3 多输入多输出系统示意图 (4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
状态是指在系统中决定系统状态的最小数目的变量的有序集合。而所谓 状态空间则是指该系统的全部可能状态的集合。简单来说，状态空间可 以视为一个以状态变数为座标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此 空间中的一个向量。
duc (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri (t ) uc (t ) u (t ) dt
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余 项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
现代控制理论-线性系统的状态空间描述
c11(t) c12 (t) c1n (t)
C
(t)
c21
(
t
)
c22 (t)
c2n (
t
)
,
m n维输出矩阵 表 征 输 出 和 每 个 状 态 量 变 的 关 系
cm1(t) cm2 (t) cmn (t)
d11(t)
D(t)
d 21 ( t )
d12 (t)
d22 (t)
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方
程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时
间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，
必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
12
状态变量的选取具有非唯一性，即可 用某一组、也可用另一组数目最少的变量 （状态变量不唯一）。状态变量不一定要 象系统输出量那样，在物理上是可测量或 可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容 易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、 改善系统性能的需要。
常用符号： 积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
系统框图：
U
B
D
•
X
A
X C Y
X•
AX
BU
Y CX D U
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
22
线性时变系统状态空间描述：x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
t)
b11(t) b12 (t) b1r (t)
B(t)
b21 ( t )
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t)x1(t),x2(t),L,xn(t)T称为n维状态向量。
状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组 成的 n 维空间称为状态空间Rn。
状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间 所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
连续系统：
x&(t)f [x(t),u(t),t] y(t)g[x(t),u(t),t]
离散系统：
xy(t(ktk1))gf[[xx(t(ktk),),uu(t(ktk),)t,ktk]] 或 x(yk(k)1)g[fx[(xk()k,)u,(uk()k,)k,]k]
4．线性系统状态空间表达式：状态方程与输出方 程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方 程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。
关于状态的几点说明
系统的状态空间描述
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个
是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不 唯一性。
➢状态变量不是所有变量的总和。 ➢输出量可以选作状态变量。 ➢输入量不允许选作状态变量。 ➢状态变量有时是不可测量的。 ➢状态变量是时间域的。
对于控制工程而言，它可能是被控对象、控 制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈 组合。
图1-1 系统的方块图表示
✓ 图中方块以外的部分为系统环境; ✓ 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入，
用向量 u[u1,u2,Lup]T表示; ✓ 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信
息）称为系统输出，用向量 y[y1,y2,Lyq]T表示； ✓ 系统输入和输出统称为系统的外部变量。 ✓ 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1 系统的状态空间描述
2.2 系统的状态空间表达式的分类
2.3 状态空间表达式的建立 2.4 线性时不变系统的特征结构 2.5 状态方程的约当规范形 2.6 由状态空间描述导出传递函数阵
2.7 系统系统在坐标变换下的特性
2.8 组合系统的状态空间描述 2.9 Matlab问题 小 结
bn1s n1 b1s b0 y ( s) G( s) n u (s) s an1s n1 a1s a0
系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。
两个数学方程组成：
状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换 关系。
x
传感器
观测y 反馈控制
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1 u2 up
被控过程
y1
x1 , x2 , xn
y2 yq
1.动态过程数学描述的两种基本类型。
一个系统用下图的一个方块来表征。
u1 u2 up y1 y2 yq
1
x1 , x2 , xn
系统输入：环境对系统的作用。 u
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k ) x(k ), y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u(k ), k 0,1, 2,
4.确定性系统和随机系统（P32） 确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变 化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按 确定的规律而变化的。 不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定 的规律来描述，或者作用于系统的变化（包括控制 和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。
ym
图1-3 多输入多输出系统示意图 (4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量 间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
x Ax Bu
2.状态的基本概念 (1) 状态 状态是完全地描述动态系统运动状况的信息， 系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运 动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 (2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的信 息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余 项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
上式即为图1所示电路的状态方程，并将其写成向 量-矩阵形式，即
x = Ax Bu y Cx
3.离散系统的状态空间描述 当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系 统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述 只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。 是用 k 0,1, 2, 来表示离散的时刻，那么离散系统状 态空间描述的最一般形式为： x(k 1) f ( x(k ), u(k ), k ), k 0,1, 2, y(k ) g( x(k ), u(k ), k ), 对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还 可进一步化为如下形式 ：
矩阵 A(t ) ，B(t ) ，C (t ) 和 D(t ) 的各个元素如果与时间 无关，则称这种系统是线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
式中的各个系数矩 阵为常数矩阵
为简便， 线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 (A,B,C,D)。
几种简记符的意义:
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 u c (t ) 0 C 1 u (t ) R i(t ) L L
x1 令 x1 u c (t ), x2 i(t ) ，记 x x 2
x(k 1) Gx(k ) hu(k )
【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态 变量，根据电路原理有
duc (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri (t ) uc (t ) u (t ) dt
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
其中： ai和bj 为实常数。i=1,2, …,n-1； j=1,2, …,n-1 假定初始条件为零，取拉氏变换。 复频率域描述，即传递函数。
1 0 x1 x1 0 C 1 1 u R x 2 x2 L L L x1 y 1 0 x 2
系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。 各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它 们的状态空间描述在类型上的不同。 线性系统和非线性系统 向量方程 X f x, u, t 和 Y g x, u, t 的所有元都是变 量 x1，…， xn和u1，…， ur的线性函数，则相应的系统 为线性系统。 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t ) 向量方程 X f x, u, t 和Y g x, u, t 至少包括一个元是 变量 x1，…， xn和u1，…， ur的非线性函数，则相应 的系统为非线性系统。 现实中的一切实际系统严格地说都属于非线性系统。
dx(t ) x1 x dt x2
式（1-4）可简写为
0 A 1 L 1 C R , L
x Ax Bu
0 B1 L
式中
(6)状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统 完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。 图1－2所示电路, 若uC (t)为 输出,取x1=uC (t)，x2=i(t)作为 状态变量，则其状态空间表 达式 y1 y2 yq 统称为系统的外部变量 内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。 x1,x2,…,xn ，体现了系统的行为。
数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变 换关系。 系统的外部描述：输入—输出描述，不完全的描述。
不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部 变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。
x = A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
外部描述 外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为 系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直 接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。 内部描述 内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型， 能够完全反映系统的所有动力学特性。
2.2 系统的状态空间表达式的分类
1. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 x = f ( x,u, t ) 和 y g( x,u, t )的所有组 成元都是变量 x1 , x2 ,, xn 和 u1 , u2 ,, ur 的线性函数， 则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间 描述可表示为如下形式：
2.1 系统的状态空间描述
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）: 高阶微分方程、传递函数矩阵。 状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结 构，是对系统的一种完整的描述。
控制u
被控过程 执行器 被控对象
x Ax Bu ( A, B, C ) : y Cx
( A, B) : x Ax Bu
x Ax ( A, C ) : y Cx
当系统的输出与输入无直接关系（即 D 0 ）时， 称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系 （即 D = 0 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统 为惯性系统，所以，它们的动态方程为
式中，各个系数矩阵分别为
a11 (t ) A(t ) an1 (t ) c11 (t ) C (t ) cm1 (t )
x = A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
a1n (t ) b11 (t ) b1r (t ) , B (t ) bn1 (t ) bnr (t ) ann (t ) c1n (t ) d11 (t ) d1r (t ) , D(t ) d m1 (t ) d mr (t ) cmn (t )
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关 系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
‒ 它主要决定系统的动态特性。
输入矩阵B又称为控制矩阵,
‒ 它表示输入对状态变量变化的影响。
输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响，许多 系统不存在这种直联关系，即直联矩阵D=0。
(3)状态向量 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这 些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态 向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
u1 u2
y1 y2
…
… ur