2.6.2应用一元二次方程 -

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初三数学上册(北师大版)《2.6应用一元二次方程(2)》【教案匹配版】最新中小学课程

（2900-50x-2500)×(8+4x)=5000
解得 x1=x2=3 2900-50×3=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
例题讲解
变换设未知数的方法
进价售价销量每台利润总利润
降价前 2500 2900
8
2900-2500 （2900-2500)×8
降价后 2500 292090-05-0xx
解得x1=x2=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
巩固练习
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，
平均每月能售出600个。调查发现：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请利用方程解决这一问题。
本题的主要等量关系：
每个台灯的利润×每月的销量=10000元解：设售价上涨x元，由题意得
（40+x-30)×(600-10x)=10000
解得x1=10，x2=40（不合题意，舍去）则40+10=50，600-10×10=500
答：每个台灯的售价为50元，进货量为500个。
问题变式
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，售价为2900元。（1）求利润率；
利润率=
利润成本
×100%
利润=售价-成本
解：
2900-2500 2500
×100%
=
16%
答：利润率为16%
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，售价为2900元。

北师大版九年级数学上册课件 2-6-2 应用一元二次方程求解增长率与市场营销问题

想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？
方法指导：找出等量关系式，每张贺年卡赢利的钱×张数＝赢
利总钱数．
解：设每张贺年卡应降价x元，则现在的利润是(0.3－x)元，多
售出200x÷0.05＝4 000x(张).
根据题意，得(0.3－x)(500＋4 000x)＝180，
整理，得400x2－70x＋3＝0.
进价
单个利润
(3)总利润＝____________×销量.
典例讲解
例1 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺
年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库
存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡
的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要
赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
方法指导：设商品单价为(50+x)元,则每个商品的利润为
[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个
涨价x元，其销售量会减少10x，故销售量为(500－10x)个，
根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－
出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解：设这个增长率是x.根据题意，得
2 000×(1＋x)2＝2 880.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：这个增长率是20%.
例3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖
500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了
20%
率相同，那么这个增长率是______．

北师大版数学九年级上册2.6.2用一元二次方程解决销售问题教案

在讲授过程中，我尽量使用简单明了的语言和具体的案例来帮助学生理解。我发现，通过小组讨论和实验操作，学生能够更直观地感受到方程解与实际情境的联系。这种实践活动对于提高学生的兴趣和参与度非常有效。
我也注意到，在小组讨论环节，有些学生表现得比较被动，可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是在小组合作中缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和引导。
-例如：在解决商品打折问题时，学生需理解原价、折扣和折后价格之间的关系，并能正确列出方程。
（2）熟练运用一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法等。
-如在例题中，指导学生如何将实际问题转化为方程，并选择合适的求解方法。
（3）理解一元二次方程解的实际意义，能将数值解与实际问题中的情境对应起来。
今天的学习，我们了解了一元二次方程在解决销售问题中的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元二次方程在销售问题中的应用。我发现，学生在理解方程的实际意义和求解方法上存在一些挑战。首先，将现实生活中的销售问题转化为数学方程对学生来说并不容易，他们需要更多具体的例子和引导来理解这一点。例如，商品打折的问题，如何将打折的百分比转化为方程中的系数，这一点对学生来说是个难点。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生在实际情境中发现数学规律，提高数学抽象和建模的核心素养。
2.强化学生逻辑推理和数学运算的能力，通过列出并求解一元二次方程，使学生掌握数学工具，提高解决实际问题的效率。

2.6《应用一元二次方程第1课时》北师大版九年级数学上册教案

第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时一、教学目标1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤.4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.二、教学重难点重点：利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一知识回顾【复习回顾】教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入新课的学习.想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？预设：①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；③列：根据题中的等量关系列方程；④解：求出所列方程的解；思考并举手回答.复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备.⑤验：“检验”，即验证是否符合题意；⑥答：回答题目中要解决的问题.【情境导入】你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？原题：如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.(8-x)2+(6+x)2 =102.x2-2x = 0.x1= 0(舍)，x2 = 2.因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.(2) 如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？预设：尝试列方程，独立解决选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容.设梯子顶端下滑x 米，底端滑动x米.(12-x)2+(5+x)2 =132.x2-7x = 0.x1= 0(舍)，x2= 7.因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m.环节二典例探究【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向200 n mile 处有一重要目标B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 中点.一艘军舰从 A 出发，经 B到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 nmile）分析：明确例题的做法在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体(1)要求DE 的长，需要如何设未知数？预设：一般求什么设什么，可设DE的长为x n mile.(2)怎样建立含DE 未知数的等量关系？预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF.(4)构造出Rt△DEF 后，三条边长DE，DF，EF 分别是多少？预设：DF=100 n mile，DE=x n mile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile.解：连接DF.∵AD = CD，BF = CF，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF =12AB.∵AB⊥BC，AB=BC= 200 n mile，∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性.EF = AB + BF -(AB + BE)=(300-2x) n mile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2 = 1002 + (300-2x)2，整理，得3x2 -1200x + 100 000 = 0.解这个方程，得x1=200-10063≈118.4,x2=200+10063(不合题意）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile.例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？分析：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，则AP=t cm，BQ=2t cm，所以PB=(6-t)cm由S五边形APQCD =S矩形ABCD- S△PBQ，可得：64 = 6×12 - 2t(6-t) ÷2.从而求得满足条件的解即可.解：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，根据题意，得64=6×12-2t(6-t) ÷2整理得t2- 6t+8 = 0.解方程，得t1= 2 ，t2 =4 .因此，在第2秒和第4秒时五边形的面积都是64cm2. 尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系环节三总结归纳【方法归纳】通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨，列一元二次方程解实际问题的一般步骤.想一想：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.独立思考，交流讨论明确列一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生的总结概括能力.环节四巩固练习教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为 3.乙一直向东走，甲先向南走了10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？3.如图：在Rt△ACB中，∠C = 90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.4.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m 2，上口比渠底宽 0.6 m ，渠深比渠底少 0.4 m ，求渠深.答案：1.解：如图所示，甲、乙二人同时从点O 出发，在点B 处相遇.设甲乙两人走的时间为x ，则甲走的路程为3x ，乙走的路程为7x ，依题意得：102+(3x )2=(7x -10)2解得：x 1＝72，x 2＝0(舍去)所以，相遇时，甲走了10.5步，乙走了24.5步.2.解: 设较多的钱为 x ，则较少的为20-x .由题意，可得 x (20- x )＝96，解得 x 1＝12，x 2＝8 (舍去)．所以，赛义德得到的钱数为12.3.解: 设经过 t s ，△PCQ 面积为 Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得12(8－t )(6－t )＝12×6×8×12 ，解方程，得 t 1＝2，t 2＝12 (舍去)．所以，2s 后△PCQ 面积为Rt △ACB 面积的一半．4.解：设渠深为 x m ，则渠底为 (x ＋0.4) m ．S ＝12[(x ＋0.4＋0.6＋x ＋0.4)]x ＝ 0.78，解得 x 1＝－1.3(舍去)，x 2＝0.6．所以，渠深 0.6 m ．环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.环节六布置作业教科书第55页习题2.9 第4题.学生课后自主完成.加深认识，深化提高.。

26应用一元二次方程(第二课时)_2023年学习资料

11.某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间-的销售经验，每天的售价x元/箱与销售量-y箱有下表关系：每箱售价x元》-68-67-66-65-40-每天销量y箱-45-50-55-180-已知y与x之间的函数系是一次函数-1求y与x的函数解析式；-解：1设y与x之间的函数关系是y=kx+b.根-据题意，得-r68 +b=40-解得-k=-5,-67k+b=45-1b=380.-∴.y与x之间的函数关系是y=-5x+38 .
2若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长-率相同，问年增长率是多少？-解：设年增长率为a.-2014年的售数量为3500÷35=100（盒）.根据题-意，得-60-35×1001+a2=60-35+11×100 -解得a=0.2=20%或a=-2.2不合题意，舍去.-答：年增长率为20%.
9.毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，-若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个-教师念品，其中教师纪念品每个的成本比学生纪-念品每个的成本多8元-1请问这两种纪念品每本的成本分别是多少？-解 1设学生纪念品的成本为x元/个.根据题-意，得-50x+10x+8=440,解得x=6,-.x+8=6+8 14.-答：学生纪念品的成本为6元/个，教师纪念品的成-本为14元/个.
●●●●●●-基础过关-1.2017无锡某商店今年1月份的销售额是2万元，-3月份的销售额是4.5万元，从月份到3月份，该-店销售额平均每月的增长率是-C-A.20%-B.259%-C.50%-D.62.5%
2.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三-月的营业额共1000万元.若平均每月增长率为x,-则据题意列方程为-D-A.2001+x2=1000-B.200+2001+x2=1000-C.2001+x3 1000-D.200+2001+x+2001+x2=1000

2.6.2 应用一元二次方程第二课时上课课件

（2）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为二次增长后的值为依次类推n次增长后的值为
a (1 x)
a (1 x)
2
a (1 x)n
（3）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为二次降低后的值为依次类推n次降低后的值为
a (1 x)
a (1 x) a (1 x)
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
数学的学习方法是严格、严肃、严密——苏步青
[归纳总结] 求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是 a，每次以相同的增长率(或降低率)x 增长(或减少)，经过 n 次后的量便是 a(1＋x)n(或 a(1 －x)n)．即平均变化率问题 → a（1± x）n＝b . 说明：(1)公式中 a 为基数，x 为平均增长(降低)率，n 为增长(降低)次数，b 为增长(降低)后的量． (2)注意检验方程的解是否符合题意．
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利
润达到8000元，销售单价应定为多少？
数学的学习方法是严格、严肃、严密——苏步青
[解析] (1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为500－
(55－50)×10＝450(千克)，从而可求出月销售利润为[(55－
40)×450]元． (2)设销售单价为每千克x元，则月销售量为[500－(x－ 50)×10]千克，而每千克的销售利润是(x－40)元，所以月销售利润为(x－40)[500－(x－50)×10]元．
数学的学习方法是严格、严肃、严密——苏步青
(3)－10x2＋1400x－40000＝8000，－10x2＋1400x－48000＝0， x2－140x＋4800＝0，(x－60)(x－80)＝0， ∴x1＝60，x2＝80. 当 x＝60 时，成本为 40×[500－(60－50)×10] ＝40×(500－100)＝40×400 ＝16000(元)＞10000 元．当 x＝80 时，成本为 40×[500－(80－50)×10] ＝40×[500－300]＝40×200＝8000(元)＜10000 元．所以销售单价为 80 元．

2.6第2课时利用一元二次方程解决变化率问题、销售问题-北师大版九年级数学上册习题课件(共16张PP

第二章一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
能力提升
6．与去年同期相比我国石油进口量增长了 a%，而单价增长了a2%，总费用增长
了 15.5%，则 a＝( B )
A．5
B．10
C．15
D．20
7．一批上衣，每件原件 500 元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅
降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的 2 倍，结果这批上衣以每件 240
第二章一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
5．【教材P55习题2.10T1变式】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
【典例】某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价____元．分析：设每件服装应降价x元．根据题意，得 ∴x＝32不合题意舍去， (1)求y与x之间的函数表达式；即每件服装应降价4元． (1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？解：(1)农场在第二季度的产值为50×(1＋20%)＝60(万元)．
项目步数(步) 平均步长(米/步) 距离(米) (1)根据题意完成表格填空；
第一次锻炼 10 000 0.6 6000
第二次锻炼 ① ②
7020
(2)求 x；
(3)王老师发现好友中步数排名第一为 24 000 步，因此在两次锻炼结束后又走了

北师大版九年级数学上册说课稿：2.6 应用一元二次方程

北师大版九年级数学上册说课稿：2.6应用一元二次方程一. 教材分析北师大版九年级数学上册第2.6节“应用一元二次方程”是学生在学习了二元一次方程组、一元一次方程和一元二次方程的基础上进行学习的。

这一节的主要内容是通过实例让学生了解并掌握一元二次方程的应用，培养学生的实际问题解决能力。

教材中提供了丰富的例题和练习题，旨在帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程和一元二次方程有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会将数学知识与实际问题脱节，不能很好地将数学知识应用于解决实际问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，一元二次方程的解法。

2.教学难点：将实际问题转化为一元二次方程，灵活运用一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生自主探究，合作交流，发现并总结一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生更好地理解一元二次方程的应用。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题引出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解一元二次方程的定义、解法及其在实际问题中的应用。

通过丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握一元二次方程的解法。

3.课堂练习：让学生在课堂上独立完成练习题，巩固所学知识。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：2.6 应用一元二次方程

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：2.6应用一元二次方程一. 教材分析《2.6 应用一元二次方程》是北师大版九年级数学上册的教学内容。

这部分内容主要让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的建模过程，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的理论知识，对一元二次方程的解法有一定的了解。

但部分学生可能对理论知识的运用还不够熟练，解决实际问题的能力有待提高。

此外，学生在学习过程中可能存在对公式记忆不牢、解题思路不清晰等问题。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

2.让学生掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。

3.通过对实际问题的分析，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：运用一元二次方程解决实际问题，掌握一元二次方程的解法。

2.教学难点：对实际问题进行分析，找出关键信息，建立一元二次方程。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的思考能力。

2.利用案例分析，让学生通过实际问题理解一元二次方程的应用。

3.采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.运用数形结合思想，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学演示。

2.准备一元二次方程的解法教程，以便学生课堂练习时参考。

3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、物体运动问题等，引导学生思考如何利用一元二次方程解决这些问题。

2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题，如：已知一颗抛物线的顶点坐标为（3，-2），求该抛物线与x轴的交点坐标。

引导学生分析问题，找出关键信息，然后根据一元二次方程的定义，建立方程。

一元二次方程求解

等量关系：总收入—成本—各种费用=总利润设储藏x个星期出售这批农产品可获利122000元（80-2x）（1200+200x） — 1600x— 64000=122000
x1 x2 15
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测
• 中测7：某宾馆有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客
房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有一间客房空闲.对有游客入住的客房，宾馆还需要对每个房间支出20元/天的维修费用.设每间客房的定价提高了 x元 . (1)填表（不需化简）
等量关系：每张贺卡利润×售出贺卡数量=总利润
设降价为x元，（0.3-x）（500+200× 0.05 ）=180 设降x个0.05元，（0.3-0.05x）（500+200x）=180
x
x1 0.1, x2 0.075 （舍）
x1 2, x2 1.5 （舍）
前测
研讨
中测
研讨
小结
售价销量 200 200+10x 800-200-（200+10x）
第一个月第二个月
清仓
80 80-x 40
（2）如果这次销售活动中，商家欲想获利9000元的利润，第二个月应降价多少元？
80 ×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]=9000
x1 30, x2 10（舍）
— 20（60-
（舍） x1 100, x2 320
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测

北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程教案

第二章一元二次方程2. 6 应用一元二次方程本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务.但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力.1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；3.在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】能够利用一元二次方程解决有关实际问题.【教学难点】分析和建模的过程.课件.一、复习回顾（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:1. 化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;2. 移项:把常数项移到方程的右边;3. 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;◆教学重难点◆◆教学目标◆教材分析◆课前准备◆◆教学过程4. 变形:方程左边配方,右边合并同类项;5. 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:写出原方程的解.（二）一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）240,:b ac -≥当时它的根是)2402b x b ac a -±=-≥。

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.二、合作交流，探究新知（一）认识黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,AC BC AB AC=那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC.其中线段AC 是线段AB 和线段BC 的比例中项,也可写成AC 2=AB ·BC.,20.6181AC BC AB AC ==≈学习一元二次方程之后我们可以求得如何求得黄金分割？2:,AC CB AC AB CB AB AC==⋅解由得 1,,1AB AC x CB x ===-设则()211,x x ∴=⨯-210x x +-=即,解这个方程得12x -±∴=1215215(,)x x -+∴=--=不合题意舍去 150.618AC AB -+∴=≈黄金比。

九年级数学初三下册：2.6 第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程教案

平均变化率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1 与x位置不可调换.
讲授新课
一利用一元二次方程解决营销问题
例1 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 - x）元，每
解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
（40+ x - 30）（600 - 10x）= 10000.
即
x2 - 50x +400 = 0.
解得 x1 = 10，x2 = 40. 经检验, x1=10，x2=40都是原方程的解.
当x = 10时, 售价为: 40+10=50（元）, 销售量为: 600 - 10×10=500（件）. 当x = 40时, 售价为: 40+40=80（元）, 销售量为: 600 - 10×40=200（件）. ∵要尽量减少库存， ∴售价应为80元.
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0，

第2章一元二次方程 2.6 应用一元二次方程(2) 第2课时增长率及利润问题

A．20元 B．15元 C．16元 D．18元 13．(教材P55习题1变式)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利 1080元，每件应降价_2_或__1_4___元．
14．某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则据题意可列方程为_5_0_＋__5_0_(_1_＋__x_)_＋__5_0_(_1_＋__x_)_2_＝175
C组拓展题
19．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__2_x__件，每件商品盈利___(_5_0_－__x_)元．(用含x的代数式表示)
(B) A．168(1＋x)2＝128 B．168(1－x)2＝128 C．168(1－2x)＝128 D．168(1－x2)＝128
10．(2016·娄底模拟)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元，设平均每次降价的
百分率为 x，则下面所列方程正确的是( A )
A．100(1＋x)＝121
B．100(1－x)＝121
C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝121
2．某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3600万
元，已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，求
这个相同的百分率．
解：设2014年至2016年的教育经费的年平均增长率为x，依题意得2500(1＋x)2＝3600，解得x1＝20%，x2＝－220%(舍去)，∴这个相同的百分率为20%

2.6应用一元二次方程(第1课时)-北师大版九年级数学上册教说课稿

2.6 应用一元二次方程（第1课时）- 北师大版九年级数学上册教说课稿1. 引言本说课稿是针对北师大版九年级数学上册第2.6课时的教学内容进行讲述。

本课时的主要内容是应用一元二次方程，通过实际问题的分析和解决，培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。

2. 教学目标•知识与能力目标：掌握一元二次方程在实际问题中的应用方法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

•过程与方法目标：通过引导学生合作探究、自主学习的方式，培养学生的发现和解决问题的能力。

•情感态度价值观目标：培养学生的数学兴趣，提高学生的数学学习能力和解决实际问题的能力。

3. 教学准备•板书准备：预先准备好板书，包括本课的标题和重点内容。

•教具准备：课本、笔记本、黑板、粉笔、计算器等。

4. 教学过程步骤一：引入新课1.引导学生回顾一元二次方程的定义和基本概念，并提醒学生一元二次方程的解法。

2.提出一个实际问题：一个矩形的长是宽的3倍，周长为28米，请问这个矩形的长和宽各是多少？并引导学生思考如何用一元二次方程解决这个问题。

步骤二：小组探究1.将学生分为小组，每个小组由3-4名学生组成。

2.每个小组从课本上选取一个应用一元二次方程解决实际问题的例子，并让小组成员在讨论中尝试解决问题。

3.每个小组选派一名代表，向全班介绍所选题目，并阐述他们的解题思路。

步骤三：整合讨论1.引导学生对各组解题思路进行讨论和比较。

2.汇总各小组的解题思路，并引导学生发现其中的共性和特点。

3.通过整合讨论的过程，引导学生总结出应用一元二次方程解决实际问题的一般方法。

步骤四：讲解解题方法1.通过引导学生总结，讲解应用一元二次方程解决实际问题的一般步骤。

2.结合具体例子，逐步讲解如何将实际问题转化为一元二次方程，并解答学生关于解题过程中的疑惑。

步骤五：练习和拓展1.提供一些练习题给学生进行课堂练习，巩固所学内容。

2.鼓励学生尝试更复杂的实际问题，并引导他们运用所学知识解决。

北师大版九年级上册2.6：应用一元二次方程(2)课件 %28共18张PPT%29

答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长率应为28.4%.
四、随堂练习
5.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季的总营业额要达到 9100万元，问该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是多少?
增长后的量=增长前的量×（1+增长率）
解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x. 则: 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100，解得: x1=0.2,x2=−3.2(不合题意,舍去). 答：该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是20%.
03
能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.
一、复习回顾
一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意；找：找出等量关系；设：设出未知数；列：用代数式表示等量关系，列出方程；解：解分式方程；检：必须检验根的正确性与合理性；答：写出答案.
二、典例分析
例.新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明，当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
五、课堂小结实际问题
实际问题的答案
找等量关系
建模
检验
数学问题（方程）
方程的解
五、课堂小结
方程
一元一次方程：kx +b = 0( k ? 0)
二元一次方程：
ax +by +c = 0( a 构 0且b 0)
二元一次方程组：分式方程：
一元二次方程：ax2 +bx +c = 0( a ? 0)

九年级数学上册第二章一元二次方程 2.6 应用一元二次方程教案 (新版)北师大版

课题：2.6应用一元二次方程●教学目标：一、知识与技能目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

二、过程与方法目标：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义。

三、情感态度与价值观目标：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

●重点：能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。

●难点：利用数学语言进行有条理的表达。

●教学流程：一、导入新课1、列方程解应用题的一般步骤要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？列方程解应用题的一般步骤：（1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）“设”，即设 _______，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；（3）“列”，即根据题中的______关系列方程；（4）“解”，即求出所列方程的解；（5）“检验”，即验证是否符合题意；（6）“答”，即回答题目中要解决的问题.2、还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子低端下滑的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离与它相等呢？（2）如果梯子的长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？二、新课讲解1、例题解析例1：如图2-8,某海军基地位于点A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向.一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1) 小岛D 和小岛F 相距多少海里?(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,例2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?三、学以致用如图，一艘巡洋舰从点A 出发，沿正南方向航行了半小时到达点B ，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C ，此时测得码头D 在C 的正东方向，该巡洋舰的速度为80海里/时．（1）求点B 、D 之间的距离；（2）试判断CD 与AC 的数量关系.2.449利群商场销售某种洗衣机，每台进价为2500元，市场调研表明，当售价为2900元时，平均每天能售出16台，而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出8台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到10000元，每台洗衣机的定价应为多少元？四、课堂小结本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在建构方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注意哪些重要环节?1、整体地、系统地审清问题2、把握问题中的等量关系3、正确求解方程并检验解的合理性你还有哪些新的、有价值的收获吗?五、课堂拓展某省为解决农村用水问题，省财政部共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2009年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2011年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程的年平均增长率；（2）从2009年到2011年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？六、达标测评1、（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=152.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，若点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以2cm/s 的速度匀速移动，点Q 从点B 出发沿射线BC 方向以1cm/s 的速度匀速移动，问几秒后，△PCQ 的面积为△ABC 的面积的4. 如图，某花园小区，准备在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的人行小路（两条小路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，求要修建的小路宽为多少米5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9cm ，BC=7cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，如果点P ，Q 的运动速度均为1cm/s ．那么运动几秒时，它们相距5cm ？七、布置作业教材55页习题第1、2题。

2.6.2建立一元二次方程解决销售问题(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何从实际问题中抽象出一元二次方程以及如何求解方程这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的销售问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟销售实验。通过这个实验，学生可以直观地看到售价变化对利润的影响。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于建立一元二次方程解决销售问题的内容表现出了很大的兴趣。他们在案例分析环节积极参与，提出了很多有见地的问题，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，对于一元二次方程的概念，虽然大部分学生能够理解并掌握，但仍有个别学生在方程的构成要素上存在混淆。在今后的教学中，我需要更加注重对基础概念的理解，通过更多实例来帮助学生巩固记忆。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它在解决销售问题中起着关键作用。它可以帮助我们确定售价、成本和利润之间的关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过建立一元二次方程来解决一个实际的售价问题，并找出最大利润。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和在销售问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

2.6.2 一元二次方程的根的判别式

2
有实数根，求m的取值范围。
3.已知关于x的一元二次方程
（k 1) x (2k 1) x 1 0
2 2
有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
（2）已知根的情况，求字母的取值范围。
注：考虑二次项系数≠0
1.不解方程,判别下列方程的根的情况
（1）方程
y 2y 8 0
2
（2）关于x的方程
x mx 6 0
2
2. 当k取什么值时，已知关于x的方程：X2-4X+K+1=0方程没有实数根
2. 若关于x的方程
(m 1) x 2(m 2) x m 0
例3.一元二次方程mx2-2x+1=0
有两个实数根,求m的取值范围。
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（ D ） A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.下列一元二次方程中，有实数根的是（ C ） A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( A ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 4.关于x的一元二次方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根，则k的范围是______________. K＜1/4 且k≠0
一元二次方程根的判别式

用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 探讨：一元二次方程根的情况由什么决定的？如何判定？ b2－4ac