反函数问题解法例析

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高中数学解题技巧之函数反函数求解

高中数学解题技巧之函数反函数求解在高中数学中，函数反函数是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

理解和掌握函数反函数的求解方法，对于解题和理解数学概念具有重要意义。

本文将介绍函数反函数的求解技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。

函数反函数的求解是指在已知一个函数的情况下，找到它的反函数。

反函数是指将原函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。

要求一个函数有反函数，首先需要保证原函数是一一对应的，即每个自变量对应唯一的因变量。

接下来，我们将介绍函数反函数的求解方法。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们需要求解它的反函数。

我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将 f(x) = 2x + 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 x = 2f(x) + 3。

2. 解方程 x = 2f(x) + 3，将 f(x) 表示为 x 的函数。

3. 将方程 x = 2f(x) + 3 移项得到 2f(x) = x - 3。

4. 将方程 2f(x) = x - 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 f(x) = (x - 3) / 2。

通过以上步骤，我们成功地求解出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。

这个例子展示了函数反函数求解的基本步骤。

接下来，我们来看一个更复杂的例子。

假设有一个函数 g(x) = e^(2x + 1)，我们需要求解它的反函数。

对于指数函数的反函数求解，我们可以按照以下步骤进行：1. 将 g(x) = e^(2x + 1) 中的 x 和 g(x) 互换位置，得到 x = e^(2g(x) + 1)。

2. 将方程 x = e^(2g(x) + 1) 取对数，得到 ln(x) = 2g(x) + 1。

3. 将方程 ln(x) = 2g(x) + 1 中的 g(x) 表示为 x 的函数。

高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法

1 例析反函数的几种题型及解法一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y=f -(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

y=f -(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域原函数和反函数的图象关于直线 y = x 对称运用：如果原函数或反函数的图象经过点（a,b ）那么，如果点（m,n ）是点（a,b ）关于直线 y = x 对称点，则它的反函数或原函数的图象必经过点（m,n ）。

一. 反函数存在的充要条件类型例1. （2004年北京高考）函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12，二. 反函数的求法类型例2. （2005年全国卷）函数yx x =-≤2310()的反函数是（） A.y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()1032.2 求y x x x =--≤-2231()的反函数。

三. 求反函数定义域、值域类型例3. （2004年北京春季）若f x -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四. 反函数的奇偶性、单调性类型例4. 函数y e e x x=--2的反函数是（）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数五. 反函数求值类型例 5. （2005年湖南省高考）设函数f （x ）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f x f -=140()()，，则f -=14()___________。

反函数题型及解析

反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。

SXA265高考数学必修_反函数高考常考题型(分析加练习)

反函数高考常考题型反函数这部分内容是高中数学的一个难点，在高考中一般以选择填空题出现的可能性较大。

由于对反函数知识在理解上有偏差，有的同学常对这类问题束手无策。

本文将全面介绍高考中反函数常考题型。

一、求反函数型例1 函数()1x f x x =-的反函数1()f x -=——————————— 解：用y 表示x ，由1xy x =-（x ≠1）得(1)y x x -=，即yx y x -=，(1)x y y -=，∴当1y ≠时，得1yx y =-。

将将x 、y 互换，有1xy x =-。

∵原函数的值域就是反函数的定义域，∴由原函数1x y x =-=111x +-知原函数的值域为{y|y R ∈，且1y ≠}，可得反函数的定义域为{x|x R ∈，且1x ≠}。

故所求反函数为1xy x =-（{x|x R ∈，且1x ≠}）点评：求反函数一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；（2）交换x=Ф(y)中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）。

二、求定义域值域型例2 设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．解：因为3≥x ，,1log )1(2≥-x 所以有5log 4)1(2≥+=-x y24log (1)(3)y x x =+-≥的反函数的定义域为[5)+，∞点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。

三、条件存在型例3函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。

反函数求解方法范文

反函数求解方法范文反函数是数学中常见的一个概念，它与函数存在一种互补的关系。

在数学中，函数通常被定义为将一些集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

而反函数则可以理解为将这个映射关系进行翻转，将原函数中的映射关系反转过来。

要求解一个函数的反函数，一般有以下几种方法可以使用。

首先是通过函数的显式表达式来求解反函数。

对于已知函数关系f(x)，如果它的显式表达式存在，我们可以通过数学推导来求解其反函数g(x)。

具体步骤为：将f(x)转换为y，将x转换为y，并在等式中交换x 和y的位置，然后解这个方程得到y=g(x)。

例如，对于函数f(x)=2x+3，我们可以将它转换为y=2x+3，并将x和y互换位置得到x=2y+3、然后我们可以将这个方程改写为y=(x-3)/2，得到g(x)=(x-3)/2，即为函数f(x)的反函数。

其次是通过函数的图像来求解反函数。

对于一些函数来说，它的显式表达式并不容易获得，或者根本不存在显式表达式。

这时我们可以通过观察函数的图像来求解其反函数。

具体步骤为：首先绘制出函数f(x)的图像，然后将图像关于直线y=x进行镜像翻转，得到函数g(x)的图像。

这样的话，g(x)即为函数f(x)的反函数。

例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以绘制出它的图像，并将图像关于直线y = x进行镜像翻转，得到函数g(x) = sqrt(x)。

这样g(x)就是函数f(x)的反函数。

最后是通过符合条件的性质来求解反函数。

有时候，我们可以通过函数f(x)和其反函数g(x)之间的一些性质来求解g(x)。

例如，如果函数f(x)是一个双射，即满足任意x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，那么函数f(x)的反函数g(x)即为存在的并且满足f(g(x))=x以及g(f(x))=x的唯一函数。

总结起来，求解一个函数的反函数主要有三种方法：通过函数的显式表达式、通过函数的图像以及通过符合条件的性质。

不同的方法适用于不同的情况。

《反函数典型例题精析》

《反函数_典型例题精析》反函数是指在函数关系中，将自变量和因变量的角色互换，从而得到一个新的函数关系。

它是函数关系的逆运算，用于解决一些特定的问题。

下面将通过几个典型的例题来对反函数进行精析。

例题1：已知函数y = 2x + 3，求它的反函数。

解析：要求反函数，需要将自变量和因变量的角色互换。

首先将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = 2y + 3。

然后解方程，将y表示出来：y = (x - 3) / 2。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。

例题2：已知函数f(x) = x^2，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = y^2。

然后解方程，将y表示出来。

但是，由于原函数f(x) = x^2不是一一对应的函数，即存在多个x对应同一个y的情况，所以它没有反函数。

例题3：已知函数f(x) = e^x，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = e^y。

然后解方程，将y表示出来：y = ln(x)。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = ln(x)。

通过以上例题的分析可以看出，反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

需要注意的是，反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

如果原函数不是一一对应的函数，则不存在反函数。

反函数在实际问题中有着重要的应用，例如在金融领域中，可以利用反函数来解决利率计算、贷款计算等问题；在物理学中，可以利用反函数来解决速度、加速度等问题。

因此，熟练掌握反函数的求解方法对于解决实际问题具有重要意义。

总结起来，反函数是函数关系的逆运算，通过将自变量和因变量的角色互换，得到一个新的函数关系。

反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

关于反函数几类问题的解答

1关于反函数几类问题的解答反函数及互为反函数图像的关系是中学数学教学中的重点难点之一，本文将讨论反函数教学中的几类问题的解答。

一、“象”与“原象”的问题根据反函数定义，函数y=f(x)与y=f —1(x)中的自变量和函数处在一种对换的关系。

即函数y=f(x)表示定义域A 中的元素x 0（即原象）在“f”的作用下得到值域C 中的元素y 0（即象）。

而它的反函数y=f —1(x)恰好将C 中的元素y 0作用成A 中的元素x 0。

例1．若f(x)=3x —2，则f —1[f(x)]等于（）A. x+89B. 9x —8C. xD. 3x —2 解： ∵f(x)是将“x ”加2成“y ”，而f —1(y)是将y 作用成x ，∴f —1[f(x)]=x 。

故选（C ）例2．已知f(x)=10X —1—2，则f —1 (8)等于（）A ．2 B. 4 C. 8 D. 12解：由互为反函数“象”与“原象”的对换关系，只需求出f(x)=8中的x 的值，由10X —1—2=8得x=2，故选（A ）二、定义域和值域问题函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，则其反函数y=f —1(x)的定义域为C ，值域为A 。

例3．函数f(x)=—12.x 2—1 （x ≤—1）的反函数的定义域为（） A ．（—∞，0） B ．（—∞，+∞）C ．（—1，1）D ．（—∞，—1）∪（1，+∞）解：因反函数定义域即原函数的值域，故只需求出f(x)的值域。

∵x ≤—1 ∴x 2≥1x 2—1≥0 ∴—12. x 2—1 ≤0 即 f (x)∈(—∞，0] 因此f —1(x)的定义域为(—∞，0] ∴选（A ）三、奇偶性与单调性问题互为反函数的两个函数，其奇偶性，单调性有以下定理。

定理1：若函数y=f(x)（x ∈A ）是奇函数，且存在反函数，则它的反函数y=f —1(x) （x ∈C ）也是奇函数。

证明：∵y=f(x)是奇函数 ∴f(—x)=—f(x) 即f(—x)=—y 。

反函数及其应用如何通过反函数及其应用解决各种代数问题

反函数及其应用如何通过反函数及其应用解决各种代数问题反函数及其应用导语：在数学中，反函数是一个相对于原函数的概念。

本文将介绍反函数的定义和性质，并讨论如何通过反函数及其应用来解决各种代数问题。

一、反函数的定义反函数是指在函数关系中，若函数f（x）将集合A中的元素映射到集合B中的元素，则存在一个函数g（x），它能将集合B中的元素映射回集合A中的元素，且这两个函数互为反函数。

二、反函数的性质1. 原函数f和反函数g互为反函数，当且仅当它们的复合函数满足以下等式：f(g(x)) = x，g(f(x)) = x。

2. 若f是一个可逆的函数，则它的反函数存在且唯一。

3. 反函数的图像是原函数图像关于直线y = x的对称图形。

三、如何求解反函数为了求解一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1. 将原函数表示为y = f(x)的形式。

2. 对于y = f(x)中的x和y，互换其位置得到x = f(y)。

3. 将x = f(y)关于y求解，得到y = g(x)。

4. 检验函数g是否和原函数f互为反函数。

四、反函数的应用反函数在代数问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 解方程通过使用反函数，可以将复杂的方程转化为简单的形式来求解。

例如，对于方程f(x) = b，可以通过求解反函数g(b) = x来找到方程的解。

2. 求逆矩阵在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。

通过使用反函数，可以快速求解一个矩阵的逆矩阵，进而解决线性方程组。

3. 函数的合成反函数使得函数的合成更加方便。

通过将一个函数的反函数代入到另一个函数中，可以简化运算，加快计算速度。

4. 求导运算在微积分中，反函数对求导运算有着重要的作用。

通过求解一个函数的反函数，可以简化复杂函数的求导过程。

5. 函数图像的对称性反函数的图像关于直线y = x对称，可以利用这个性质来研究函数的图像和性质。

结语：通过本文的介绍，我们了解了反函数的定义和性质，以及如何求解反函数。

(完整)高一反函数·典型例题精析

反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

反函数通俗简单例子

反函数通俗简单例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：反函数是函数的逆运算。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的函数，而反函数就是对这些函数进行逆操作的一种方式。

反函数的概念非常重要，它不仅帮助我们理解函数的性质，还有助于解决一些复杂的数学问题。

在本文中，我们将通过通俗简单的例子来介绍反函数的概念和应用。

让我们来看一个简单的函数：f(x) = 2x + 3。

这个函数表示输入一个数x，然后将它乘以2再加上3，得到的结果就是函数的输出。

当x=2时，f(2) = 2*2 + 3 = 7。

这样，我们就可以得到函数的输出值。

现在，我们想要找到这个函数的反函数。

反函数的定义是，如果对于函数f的任意输入x，通过反函数得到的输出是f的输入，那么这个反函数就是f的逆运算。

为了找到函数f的反函数，我们可以按以下步骤进行：将函数f(x)中的x替换为y，得到等式：y = 2x + 3。

反函数的概念还可以通过图像来理解。

如果将函数f(x) = 2x + 3表示为直线，在平面直角坐标系中，那么函数f的反函数就是这条直线关于y=x对称的一条曲线。

这是因为反函数的性质是，它的输出值和输入值互换，所以反函数的图像就是原函数关于y=x对称的曲线。

反函数是函数的逆运算，它是对原函数的输入和输出值进行互换的一种操作。

通过通俗简单的例子，我们可以更好地理解反函数的概念和应用。

希望本文能对你有所帮助，如果有任何疑问，欢迎留言讨论。

谢谢！第二篇示例：在数学中，我们常常会遇到函数和反函数的概念。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

而反函数则是函数的逆运算，它将原函数中的值映射回原来的自变量。

为了帮助大家更好地理解反函数的概念，下面以一个通俗简单的例子来说明。

假设有一个函数y = 2x + 3，我们可以将其表达为一个映射关系：对于任意输入的x，函数会根据表达式2x + 3计算出对应的y的值。

当x = 1时，y = 2 * 1 + 3 = 5；当x = 2时，y = 2 * 2 + 3 = 7。

根据函数的反函数与周期性知识点与经典例题

根据函数的反函数与周期性知识点与经典例题函数是数学中的重要概念，它在各个领域中得到广泛应用。

在研究函数的过程中，了解其反函数和周期性的概念将对我们的理解和运用产生重要影响。

本文将探讨函数的反函数和周期性的知识点，并通过经典例题进行说明。

1. 函数的反函数函数的反函数是指对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，同样也有f(g(x))=x。

换句话说，反函数是将函数的输入和输出进行互换的函数。

2. 反函数的性质反函数具有以下性质：- 函数f(x)和其反函数g(x)关于y=x对称，即它们的图像关于直线y=x对称。

- 函数f(x)有反函数的充要条件是它是一对一函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

- 如果f(x)的定义域为D，值域为R，那么g(x)的定义域为R，值域为D。

3. 反函数的求法求一个函数的反函数可以通过以下步骤进行：- 将函数的自变量和因变量互换。

- 对方程进行变形求解，得到反函数的表达式。

4. 函数的周期性函数的周期性是指存在一个正实数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)。

换句话说，函数在每个长度为T的间隔内具有相同的函数值。

5. 周期函数的性质周期函数具有以下性质：- 函数f(x)在一个周期内有相同的函数值。

- 函数的周期可以用最小正周期来表示。

- 周期函数可以表示为f(x)=f(x+kT)，其中k是一个整数。

经典例题：1. 已知函数f(x)=2x+3，求其反函数f^{-1}(x)。

2. 函数f(x)=sin(x)是周期函数，求其最小正周期。

3. 已知函数f(x)的最小正周期为2π，求函数g(x)的最小正周期，其中g(x)=f(2x)。

总结：了解函数的反函数和周期性的性质和求法，有助于我们更好地理解和使用函数。

通过经典例题的练习，可以加深对概念的理解，并提高解题能力。

希望本文对您的学习有所帮助。

冲刺高考数学反函数的求解与性质

冲刺高考数学反函数的求解与性质在高考数学的众多知识点中，反函数是一个重要且具有一定难度的部分。

对于即将参加高考的同学们来说，深入理解反函数的求解方法以及掌握其性质是取得高分的关键之一。

首先，让我们来明确一下什么是反函数。

简单来说，如果函数 f 把x 映射为 y ，那么反函数就是把 y 映射回 x 。

也就是说，原函数中 x 是自变量，y 是因变量；而在反函数中，y 变成了自变量，x 变成了因变量。

那么，如何求解反函数呢？一般来说，有以下几个步骤：第一步，从原函数 y ＝ f(x) 中解出 x ，用 y 来表示。

例如，对于函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，我们先将其变形为 x ＝（y 1) ／ 2 。

第二步，将 x 与 y 互换，得到反函数的表达式。

在上述例子中，反函数就是 y ＝（x 1) ／ 2 。

需要注意的是，不是所有的函数都有反函数。

一个函数要有反函数，必须是一一对应的。

也就是说，对于定义域内的任意一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应；反之，对于值域内的任意一个 y 值，都有唯一的 x 值与之对应。

例如，函数 y ＝ x²（x∈R）就没有反函数，因为当 x ＝ 1 和 x ＝－1 时，y 的值都为 1 ，不满足一一对应。

但是，如果我们限制其定义域为x≥0 ，那么它就有反函数 y ＝√x 。

接下来，我们再探讨一下反函数的性质。

性质一：原函数与反函数的图像关于直线 y ＝ x 对称。

这是反函数的一个非常重要的性质。

我们可以通过画图来直观地理解。

例如，函数 y ＝ 2x 的反函数是 y ＝ 05x ，画出它们的图像，就可以明显地看到它们关于直线 y ＝ x 对称。

性质二：原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

比如，函数 y ＝ log₂x （x＞0）的定义域是（0，＋∞），值域是R ，那么它的反函数 y ＝ 2^x 的定义域就是 R ，值域是（0，＋∞）。

性质三：互为反函数的两个函数的单调性相同。

高中数学课件反函数题型分析

§2.3反函数题型分析
数学复习课件
反函数
1、反函数存在的判定: 决定原函数的映射是一一映射 (1)求原函数的值域； 2、求反函数的步骤： (2)反解出x;
(3)互换x，y； 3、反函数的定义域是原函数的值域； (4)写出反函数反函数的值域是原函数的定义域。 (包括定义域)
4、反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称。点(a,b) 点(b,a)
2
y x 1(1 x 0)
§2.3反函数题型分析
2
数学复习课件
当 1 x 0时, y x 的值域为0,1, 解出x y
§2.3反函数题型分析
数学复习课件
一.与反函数概念有关的题：
例1.已知函数y = f (x)有反函数,则方程f (x) = 0 的根的情况是( C ). A.有且仅有一实根 B.至少有一实根 C.至多有一实根 D.0个,1个或1个以上实根. 解: 反函数确定的对应关系是一一对应, ∴f (x) = 0的根至多有1个,
2
定义域和值域都是 1 x 0.由此可排除A, C , D.
§2.3反函数题型分析
数学复习课件
x2 1 A . 例2.函数y ( x R, 且x )的反函数是 ____ 2x 1 2
x2 1 A. y ( x R, 且x ) 2x 1 2 2x 1 B. y ( x R, 且x 2) x2 x2 1 C. y ( x R , 且x ) 2x 1 2 2x 1 D. y ( x R, 且x 2) x2
f ( x) 1 1 x
1
1
2
(0 x 1)
1 1 2 3 f ( ) 1 1 ( ) 1 . 2 2 2

最全反函数概念·典型例题精析完整版.doc

2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a axx 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． ) 图(1)90 图(2)90天21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100；②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=> ∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ， MN MFAD AB∴=．B A D MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-．(102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴．BB 图(1)图(2)l∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30， ∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

反函数例子

反函数例子反函数是函数学中的重要概念之一，它是指在一个函数的定义域内，通过交换该函数的自变量和因变量的位置得到的新函数。

本文将通过几个简单的例子来讲解反函数的概念和应用。

例子1：线性函数的反函数考虑一个线性函数y = kx + b，其中k和b为常数。

为了求出它的反函数，我们需要将自变量x和因变量y互换位置。

即我们需要解方程x = ky + b，将y作为方程的自变量，x作为方程的因变量。

通过解这个方程，我们可以得到线性函数的反函数。

例如，如果我们有一个线性函数y = 2x + 3，那么它的反函数就是x = 2y + 3。

通过解这个方程，我们可以得到反函数为y = (x - 3) / 2。

例子2：平方函数的反函数考虑一个平方函数y = x^2，我们需要将自变量x和因变量y互换位置来求出它的反函数。

即我们需要解方程x = y^2，将y作为方程的自变量，x作为方程的因变量。

通过解这个方程，我们可以得到平方函数的反函数。

例如，如果我们有一个平方函数y = x^2，那么它的反函数就是x = y^2。

通过解这个方程，我们可以得到反函数为y = sqrt(x)。

例子3：三角函数的反函数三角函数也有反函数的概念，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

以正弦函数为例，正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

为了求出正弦函数的反函数，我们需要将自变量和因变量互换位置。

即我们需要解方程x = sin(y)，将y作为方程的自变量，x作为方程的因变量。

通过解这个方程，我们可以得到正弦函数的反函数。

同理，对于余弦函数和正切函数也可以进行类似的求解。

总结：通过以上几个例子，我们可以看到反函数的求解过程与原函数的求解过程相似，只是将自变量和因变量的位置互换。

反函数在数学和物理等领域有着重要的应用，例如在解方程、求导数等方面。

熟练掌握反函数的概念和求解方法，有助于我们更好地理解和应用函数学中的知识。

通过本文的讲解，相信大家对反函数的概念和应用有了更深入的了解。

求反函数的方法步骤

求反函数的方法步骤求反函数的方法步骤反函数，也称为逆函数，是指如果一个函数f(x)对于不同的x值有不同的y值，那么它的反函数f^(-1)(x)就是对于不同的y值有不同的x值。

在实际应用中，求解反函数是非常重要的一项技能。

本文将详细介绍如何求解反函数。

一、理解反函数在求解反函数之前，我们需要先理解什么是反函数。

一个函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x和y分别代表自变量和因变量。

如果对于任意一个x值，都能唯一地确定一个y值，则该函数具有唯一性。

但如果存在两个或两个以上不同的x值，它们所对应的y值相等，则该函数就不具有唯一性。

例如：f(x)=2x+1，在这个例子中，当x=0时，y=2*0+1=1；当x=1时，y=2*1+1=3；当x=-1时，y=2*(-1)+1=-1。

可以发现，在这个例子中存在多组xy相等的情况（比如：当x=-2时也有y=-3），因此该函数并不具有唯一性。

而如果我们将上述例子中的自变量和因变量交换位置，则得到另一个新的关系式：x=(y-1)/2。

这个新的关系式就是原函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。

因为对于任意一个y值，都能唯一地确定一个x值，因此该函数具有唯一性。

二、确定反函数的存在性在求解反函数之前，我们需要先确定原函数是否具有反函数。

如果原函数不具有反函数，则无法进行反函数的求解。

确定原函数是否具有反函数的方法是判断该函数是否满足水平线测试。

水平线测试是指：如果一条水平线与该函数图像相交于两个或两个以上不同的点，则该函数没有反函数；否则，该函数具有反函数。

例如：对于下面这个图像：如果我们画出一条水平线y=2，则可以发现该水平线与图像相交于三个不同的点，因此该图像没有反函数。

而对于下面这个图像：如果我们画出一条水平线y=2，则可以发现该水平线与图像相交于一个点，因此该图像具有反函数。

三、求解反函数如果原函数具有反函数，则可以按照以下步骤来求解它的反函数：1. 将原方程中自变量和因变量互换位置，得到新方程y=f(x)；2. 解出x关于y的表达式，并将其写成y=f^(-1)(x)的形式；3. 检验f^(-1)(x)是否是原函数f(x)的反函数，即检验f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x是否成立。

巧用反函数解恒成立、最值问题

巧用反函数解恒成立、最值问题咸丰一中杨金煜一、最值问题x 1AB f x =g =lnx +例、已知A、B分别是函数（）e 与（x）-1上的点，则线段的最小值为。

解析：f(x)与g(x)互为反函数，关于直线y=x 对称，所以线段AB 的最小值转化为A 到直线y=x 距离最小值的2倍。

min AB=二、恒成立问题例、（1）已知函数()x x f x me ln (m 0),m=->若关于x 的不等式f(x)>0恒成立，则m 的取值范围为；（2）设实数λ0>，若对任意的()2x e ∈+∞，，不等式λx λe ln x 0-≥恒成立，则λ的最小值为;（3）（2019武汉二月考理12）已知函数()ln()(0),x f x a ax a a a e =--+>若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是.x x x x 1x x me ln0me ln m m x u(x)me ,v(x)ln y x m u(x)x 1u(x)e .e -->⇔>===>解析（1）恒成立恒成立令对称所以原不等式恒成立转化为恒成立，极限情况就是y x是函数的切线，所以m>==()()()2λx 2λx λx 2min 221λe ln x 0e x λ1u(x)e ,v(x)ln x,y x λ1ln ln x λλ22λλx e x e x x e x x =e e∀∈+∞-≥⇔∀∈+∞>===∀∈+∞≤≥≥（2），，，，令则两个函数互为反函数，关于直线对称所以原不等式恒成立转化为，，即，所以。

()22101ln()1()1,()ln()()111=()=1.x x x f x ax a a u x v x ax a y x au x x u x a a e e e e e >⇔+>-=+=-=>+>（3）令，则两个函数互为反函数，关于直线对称所以原不等式恒成立转化为恒成立，极限情况就是y x是函数的切线，所以即0<a<小结：式子中同时含有x ,ln x e 及其变式，通过合理变形如能构造反函数，解题往往很方便。