反比例函数图象的性质(3)

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反比例函数的图象与性质

2、函数 y
2
4、一平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是
12 hcm，则a与h的函数关系式是 a ，这个函数是反比例函数。 h
k 5、若点P(2，－3)在函数 y 的图象上，那么这个函数的图象 x 二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是双曲线，它在。 2m 1 6、若反比例函数 y 的图象在第一、三象限，那么m的取值 x 1 范围是 m 2 ，在每一象限内，y随x 的增大而减少。
13、直线y=2x－b与双曲线 y 标是 A.(－1，2) ( B ) B.(2，－1)
2 1 交于点( ,4 )，则另一个交点的坐 x 2
C.(2，9)
D.(5，4)
14、如图，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且S△AOC =2． (1)求该反比例函数解析式； (2)若点(-1,y1),(-3,y2)在双曲线上，试比较y1、 y2的大小．
4、在同一直角坐标系中，表示函数 y ax b ，与 y
ab ( ab 0) 的图象只能是 x
5、已知： a, b 0 点 pa , b 在反比例函数 y 过的象限为（ A．第一象限） B．第二象限
a 的图象上，则直线 y ax b 不经 x
C．第三象限
D．第四象限
7、函数y=kx与 y
k 在同一直角坐标中的图象可能是 ( C ) x
8、已知直线y=ax+b如图所示，则函数 y 的图象应在 ( D ) A.第一、二象限 C.第一、三象限
ab x
B.第二、三象限 D.第二、四象限
9、若y=－2xm－2+3n－1是反比例函数，则y=5－m+x3n是一次函数。

八年级数学反比例函数的图象与性质3

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大，虽穿着家丁服但是一点也不显脏乱，看样子是个爱清洁的人儿。林木也似乎在打量着我，但是没过多久便对我说道， “我是这一房的房长，我叫林木，你叫傅莲是吧，以后就叫你莲吧，这样省事，在这里大家都被姓傅，而且我们都不愿提起这个姓氏。还有，我来向你介绍共室的其他人。”说罢，便向我一一介绍到。其实这房里的人长得挺有特色的。跳过林木不说，睡在我隔壁床位的是一个胖子，身高和我差不多，但是就是太胖，他说到他叫水根，这名字奇怪得可以了；第二位是个和我差不多高身材也差不多的，皮肤是那种晒太阳晒出来的古铜色的黝黑，脸部骨骼很明显，甚是有型，但是他一直没说话，连名字都是林木告诉我的，他也是单字一个磊，林木还补充到，这人来这么久说话还不超过十句；第三位和第四位是双胞胎，样貌太相似，不熟悉他们的人是分不出哪个是哪个，他们一个叫宇华，一个叫宇荣，宇华是弟弟，宇荣是哥哥；荣哥？华弟？那不就是古代版的荣哥哥和华dee吗？这实在是太逗了。待我和他们一一打过招呼后，林木就对我们说道，“今天是傅家的好日子，所有家丁都不需要上夜班，所以我们现在就可以休息了。”大伙听后，也应和着准备洗漱睡觉去。其实，今天这么折腾下来，我也觉得挺累人的，还好傅家那些老板也算有人性。我睡的是二号床位，三木睡我左侧，也就是一号位，水胖在三号，四五号连床睡着荣哥华弟，六号床则是沉默大神磊爷睡的。这群人的名字怪有趣的，起个花名也是简单给力的很。过没多久，我隔壁的水胖已经开始打起呼噜了。胖子打呼噜真是厉害，那声音特响，我根本睡不了，更奇怪的是除了我之外，别的四位睡得不知多香。荣哥华弟睡着睡着就不自觉地抱在一起了；磊爷睡觉的时候特安静，安静得都不知道他有没有在呼吸；而三木则侧过身子去一动不动的；哎，就剩我一个醒着没事干了。古代人睡觉是不关门的，因为他们不担心会有小偷什么之类的进屋偷东西，而且还可以通风。住在这里相比起住高楼大厦还有一个好处，那就是睡不着的时候可以出去院子里乘凉发呆什么的，多自在啊。露从今夜白，月是故乡明啊。我一个人躺在小院子的草地上，望着天空中的明月不惜感叹到。哎，不知道现在我的家人如何了，会不会很想我啊，还是因为找不到我而伤心透了？其实我也很想念自己的家人，只是我不知道要怎么样才能穿越回去，想罢，心中一阵心酸。想到家人，也想到了自己以后的人生，眼眶不禁有点湿了，此时我小声唱起了筷子兄弟的“老男孩”，这首歌真是神歌，至少对于现在的我是的。生活像一把无情刻刀，改变了我们模样。未曾绽放就要枯萎吗？我有过梦想。熟悉的旋律哼着哼着，蓦地感到一阵危机感，下意识坐起来向

反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。

本文将从图像和性质两个方面进行论述。

一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。

根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。

2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。

当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。

3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。

二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。

2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。

当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。

3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。

定义域一般为除零点的所有实数。

4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。

5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。

这决定了函数图像关于原点的对称性。

综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。

同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。

在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。

通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。

例析反比例函数的三个重要特性

数学篇数苑纵横例析反比例函数的三个重要特性湖北应城陈琳琳反比例函数是一种重要的函数模型.它的定义、图象、性质以及关系式是中考命题的热点内容.要学好反比例函数的有关知识，就要掌握它的三个重要特性：（1）函数的增减性；（2）图象的对称性；（3）面积的不变性.以下举例分析反比例函数的三个特性在解题中的应用.一、反比例函数的增减性反比例函数y =kx具有如下性质：（1）当k >0时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当k <0时,双曲线的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.同学们在应用这些性质时，要注意的是“在每个象限内”y 随x 的变化而变化.例1如果点A (-2,y 1)，B (-1,y 2)，C (3,y 3)都在反比例函数y =k x(k <0)的图象上，那么y 1、y 2与y 3的大小关系是（）A.y 1<y 2<y 3B.y 3<y 1<y 2C.y 2<y 1<y 3或y 3<y 1<y 2D.y 1=y 2=y 3分析：先根据反比例函数中k <0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论.解：∵反比例函数y =kx(k <0)中k <0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵-2<0，-1<0，∴点(-2,y 1)，(-1,y 2)位于第二象限，∴y 1>0，y 2>0，∵-2<-1<0，∴0<y 1<y 2.∵3>0，∴点(3,y 3)位于第四象限，点评：在反比例函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内.在同一象限内，按函数的增减性来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较.二、反比例函数图象的对称性反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是直线y =±x ，关于直线对称的两点坐标值可互换.即点A (a ,b )关于y =x 对称的点为A ′(b ,a ).而关于中心对称的两点，坐标值的符号会发生互换，即互为相反数.因此对于反比例函数上的对称点，可直接根据该对称特性求出.这是反比例函数的一个重要性质.例2如图1所示，点P (4a ,a )是反比例函数图象y =kx(k >0)与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为17π，则k 的值为（）.A.4B.16C.27215D.2725分析：根据反比例函数图象的对称性得到圆的面积=4×17π=68π，再计算出圆的半径=217，然后利用两点间的距离公式得到16a 2+a 2=(217)2，解得a =2或-2（舍去），则P 点坐标为（8，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k .解：∵图中阴影部分的面积为17π，∴圆的面积为4×17π，∴圆的半径为217，∵P (4a ,a )在圆上，∴16a 2+a 2=(217)2，图1数学篇数苑纵横把P (8,2)代入y =k x得k =8×1=16.故选B 项.点评：本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y =-x ；②一、三象限的角平分线y =x ；对称中心是：坐标原点.三、反比例函数的面积不变性反比例函数的“面积不变性”实际上就是指y =kx的变式xy =k ，即如果已经给定反比例函数的关系式，那么它图象上所有点的横、纵坐标的积为同一常数.由此不难得到反比例函数的一个重要性质：过图象上任意一点作x 轴和y 轴的垂线，与坐标轴所围矩形的面积为||k .由此，过图象上任意一点作某一坐标轴的垂线，则垂足、已知点及原点三点所组成的三角形的面积为12||k ，这是比例系数k的几何意义.例3如图2，矩形OABC 的两边OA ,OC 在坐标轴上，且OC =2OA ,M ,N 分别为OA ,OC 的中点，BM 与AN 交于点E ，且四边形EMON 的面积为2，（1）△ABE 的面积是.（2）经过点B 的双曲线的解析式为.图2分析：（1）设A (0,2t )，则C (-4t ,0)，B (-4t ,2t )，N (-2t ,0)，M (0,t )，根据三角形面积公式得S △ABM =S △ANO =2t 2，所以S △ABE =S 四边形EMON =2；（2）利用待定系数法求出直线BM 的解析式为y =-14x +t ，同理可得直线AN 的解析式为y =x +2t ，通过解方程组ìíîïïy =-14x +t ，y =x +2t ，得E (-45t ，65t )，利用三角形面积公式得到12⋅4t ⋅(2t -65t )=2，解得t=或t =，所以B (-25,5)，然后利用待定系数法求经过点B 的双曲线的解析式.解：（1）设A (0,2t )，则C (-4t ,0)，B (-4t ,2t )，∵M ,N 分别为OA ，OC 的中点，∴N (-2t ,0)，M (0,t )，∵S △ABM =12⋅t ⋅4t =2t 2，S △ANO =12⋅2t ⋅2t =2t 2，∴S △ABE =S 四边形EMON =2；（2）设直线BM 的解析式为y =kx +b ，把M (0,t )、B (-4t ,2t )代入得ìíîb =t ,-4t ⋅k +b =2t ,解得ìíîïïk =-14,b =t ,∴直线BM 的解析式为y =-14x +t ，同理可得直线AN 的解析式为y =x +2t ，解方程组ìíîïïy =-14x +t ,y =x +2t ,得ìíîïïx =-45t ,y =65t ,∴E (-45t ,65t )，∴12t -65t )=2，解得t =2或t =舍去），∴B (-25,5)，设经过点B 的双曲线的解析式为y =k x，∴k =-25×5=-10，∴经过点B 的双曲线的解析式为y =-10x.故答案为2，y =-10x.点评：反比例函数的面积不变性，就是反比例函数图象的几何意义，也是一种数形结合思想的体现.通常情况下，若点在反比例函数图象上，求有关几何图形的面积和k 值的问题，可以考虑利用反比例函数的面积不变性求解.22。

反比例函数的图象和性质3

12 例、如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是 6。（1）求这个一次函数的解析式（2）求三角形POQ的面积
D C o Q x
y
P
练习4
①如果y与z成正比例, z 与x成正比例,则 y 与x 的函数关系是：
Y与x成正比例
忆一忆
面积性质（一）
k 设P(m, n )是双曲线 y (k 0)上任意一点 ,有 : x (1)过P作x轴的垂线 ,垂足为 A, 则 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
y P(m,n) y P(m,n) o A x
席上，看似不经意地问了壹句。“愚弟只是去更衣。”“哟，四哥，您这个新郎官不见了，害得弟弟们想敬杯喜酒都没机会！”“好，谢谢十弟。”“四哥，您刚才已经喝了不少，这杯，就由愚弟替您喝下吧。”“十三弟，放心吧，四哥的酒量还应承得下来。”“四哥，您喝了十哥的酒，那九弟的酒？”“好，谢谢九弟。”“八弟来敬四哥壹杯！”“好，谢谢八弟！”“四弟，三哥也来凑个热闹，敬你壹杯！”“谢谢三哥！”“四哥，十四弟恭敬您两杯！这喜事连连，喜酒也要成双才是”“谢谢十四弟！”“十四弟，四哥壹个人已经喝了这么多，到你这儿，净出夭蛾子，怎么敬出双杯的来了？既然是喜事连连，那就由为兄代为喝下，也借机会沾沾喜气儿！”“十三哥，不带这样的！你的酒，咱们单挑。”“怎么？十三弟连四哥的喜酒也要替喝？”“太子殿下，四哥喝得太多了！”“这是喜酒，哪有替喝的道理。那么，本王敬的酒，十三弟也要替喝？”“这„„”“四弟谢太子殿下！”新郎官对于所有兄弟敬来的喜酒，壹律来者不拒，也对十三阿哥替喝的请求壹概不予理会。开席之前，十四阿哥和十阿哥就卯足了劲儿，非要把四哥灌醉不可。也难怪这两个人如此算计，原本十四阿哥就对皇阿玛赐婚给四哥很是不满，因此联合着平时跟自己关系非常要好的十哥，壹起向四哥发难。其它兄弟见这两个活宝挑了头儿，平日里也没有什么机会能捉弄四哥，现在有这么壹个大好机会，又借着酒劲儿，众人拾柴火焰高，攒足了力气准备跟四哥拼酒。太子和三阿哥作为兄长，虽然不至于和其它兄弟们胡闹，但是这种捉弄四弟的机会实在是太少了。平时里四弟做事严谨、滴水不露，让这两位兄长颇是头痛不已，今天能这么壹个大好机会，虽然跟政务无关，但放弃了也实在是可惜。但是，众人轮番上阵的结果，却是大大出乎意料：这新郎官怎么没有丝毫的推让，简直就是来者不拒，实打实地全部喝干！这下子，刚刚还喧闹的场合，即刻安静了下来，众人都面面相觑，不知所以：壹会儿还洞房花烛夜呢，四哥（弟）怎么面对新娘子？第壹卷第壹章遇险秋水碧连天。午后的京郊西南，官道上十来骑人马卷起阵阵风尘。为首壹个男子，30多岁，身形清瘦，面容冷峻，目光清洌、威严，天然壹股不怒自威的气势，即使壹身深蓝色的便袍，也难以掩饰天生的贵胄之气。十来个随从，三个家仆打扮，其余的全部是侍卫。不多时，壹行人就要来到他们的目的地：宝光寺，远远地，他们已经能够看得到林木掩映间的寺庙了。众人刚刚暗自松了壹口气，又立即失声惊呼，因为他们同时看了冲天的火光！“保护好王爷！”侍卫首领壹边急呼，壹边与其它壹起，立即将为首的男子围在中间，同时马不停蹄，直接冲

反比例函数的图像及性质

解题技巧归纳
判断函数类型
通过观察函数表达式，判断其是否为反比例函数。
利用对称性
利用反比例函数图像的对称性，可以简化一些复杂问题的求解过程。
分析图像特征
根据 $k$ 的正负判断双曲线所在的象限，并理解其增减性。
结合其他知识点
在解题过程中，可能需要结合一次函数、二次函数等其他知识点进行综合分析。
表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（ k≠0），其中k是比例系数，x是自变量，y是因变量。
自变量取值范围
由于分母不能为0，因此反比例函数的自变量x不能为0，即x的取值范围是x≠0。
反比例函数的定义域是除去使分母为0 的点以外的所有实数。
函数值变化规律
当x>0时，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0；当x<0时，随着x的减小，y的值逐渐增大，也永远不会等于0。
综合应用探讨
解决问题类型
反比例函数和一次函数在解决实际问题时具有广泛的应用。例如，反比例函数可用于描述速度、密度等物理量之间的关系；一次函数则可用于描述线性增长或下降的问题，如直线运动、均匀变化等。
建模方法
在建立反比例函数和一次函数的模型时，需要根据问题的实际背景和条件，确定函数的表达式和参数。通过比较和分析不同函数的图像和性质，可以选择最合适的函数模型来描述问题的本质和规律。
反比例函数的图像及性质
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数应用举例 • 反比例函数与一次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式

人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象和性质(第3课时) 课件

O
x
B
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二:
y x 2,当x 0时, y 2, N(0,2).
ON 2.
1
1
SONB

ON 2
x B

2 4 4, 2
y A
N
SONA

1 ON 2
xA

1 2 2 2. 2
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
y y = —kx
y=-x
y=x
0
12
x
.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A,B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A ,B ,C 三点, 111
边结OA,OB,OC,记OAA , OBB , OCC 的
（2）根据图象写出反比y例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
4
∴k=4,
∴y= x
y
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
∵点M、N都y=ax+b的图象上 M（2，m）
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；（2）求出点D的坐标；
(3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1>y2．
5、如图，已知反比例函数 y 12 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标

考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。

17.1.2反比例函数图象及性质(3)

（1）观察图象在第几象限？推测图象的另一支在哪个象限？从而由反比例函数的性质可以确定m的取值范围是什么？（2）在图象上按要求描出点A和点B，观察即可得出答案。
例4：如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
• 练习、（补充） k 如图一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y x 的图象交于A（2，2）、B（-1，n）两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式 y （2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围
分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出 n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝2x－2，第（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－1或0＜x＜2，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
1)、知识
2)、思想方法
2、对老师说你有什么困惑
k 解：（１）设这个反比例函数为 y x ，
∵图象过点A（2，6）
k 6 2
∵ｋ＞０ ∴这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。（２）把点Ｂ、Ｃ、Ｄ的坐标代入点Ｂ、点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y 12 x 的图象上，点Ｄ不在这个的图象上。
A（2，2）
-1 0 2
x
B（-1，-4）
1. （本题8分）（2008，柳州）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= k x 的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，与x轴交于D点，其中点A（-2，4）、点B（4，-2）. （1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积。（3）求证：△AOC≌△BOD.

反比例函数的图象与性质定

增。
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于第三象限，与直线$y=kx+b$相交于一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程结合，用于解决代数问题，例如求解代数方程的根或解决代数不等式问题。

11.2反比例函数的图像和性质（3）课件2021-2022学年苏科版八年级数学下册

议题引领随堂练习
解:(1)由矩形的面积公式
得xy=24， ∴y=24/x．
(2)根据题意可知
x>0 反比例函数y =24/x．
图像如图所示.
3 合作学习
合作学习
y
yk x
O
x
图中这些三角形的面积相等吗？相等
合作学习
y
设 P ( m ，n )是双曲线 y k (k 0) 上任意一点， x
合作学习
y
yk x
O
x
图中的这些矩形的面积相等吗？相等
合作学习 P(m，n)是双曲线 y k (k 0) 上任意一点，
x
过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为A，B， y
S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|.
P(m，n)
B
oA
x
合作学习
随堂练习
1.如图, P是反比例函数
y
2 x 图像上的一点,PD⊥x轴于D.则
6y
5 4 3 2 1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5 6x
（2）由函数图像可知，当x＜－1时，－6＜y＜0.
议题引领随堂练习
1、设矩形的面积是24cm2，相邻两边的长分别是xcm、ycm．（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．
议题引领
解：（1）把x＝－3代入y＝x＋1，得 y＝－2. 根据题意，可得反比例函数 y＝ k 的图像与一次函数 y＝x＋1
x
的图像的一个交点的坐标是（－3，－2）.
把
x＝－3
、y＝－2代入
y＝ k x
，得

9.2反比例函数的图像和性质(3)学案

§9.2 反比例函数的图像和性质（3）班级__________姓名_________学号_________完成日期_________ 基础与巩固1、已知反比例函数5m y x-=的图象在每一个象限内y 随x 的增大而减小，则（）A 、5m ≥B 、5m <C 、5m >D 、5m ≤ 2、如图，A 为反比例函数3y x=图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，则S △AOB 的值为）A 、6B 、3C 、32D 、不能确定3、已知点1(,1)x -、25(,)2x -、3(,2)x 在函数2y x=-的图象上，则下列关系式正确的是（） A 、123x x x >> B 、321x x x >> C 、213x x x >> D 、312x x x >> 4、已知反比例函数)0(<=k xk y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、不能确定 5、对于函数y ＝x5， y 随x 增大而，当x ＞0时，y 0。

6、已知反比例函数k y x=的图象经过点（1，-3），若0y <，则x 的取值范围是；若15x -<<-，则y 的取值范围是。

7、在函数xk y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（-2，1y ），(-1，2y )，（21，3y ），函数值1y ，2y ，3y 的大小为。

8、在直角坐标系内，从反比例函数k y x=（k 0>）的图象上任取一点分别作坐标轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形的面积是12，则该函数关系式是。

9、如图，已知反比例函数k y x=的图象经过点A ()b，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点B ， AOB ，求k 和b 的值。

拓展与延伸10、（1）如图（1），A 、C 分别是反比例函数y ＝x1图象上两点，若Rt △AOB 与Rt △COD 的面积分别为S 1，S 2。

1.2反比例函数的图象与性质(3)

哪个？
t
t
t
t
ov
ov
ov
ov
（A）
（B）
（C）
（D）
应用迁移体验成功
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二_、__四_象限，在每
个象限内，y 随 x 的增大而_增__大__ .
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，_91__）
3.函数
y
=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的
取值范围是 _m_<__2 .
② 反比例函数的图象是什么样子的?
③
反比例函数 y =
k x
（k
是常数，k
≠
0）
的性质是什么?
总结
y=
k x
y
01
x
k>0
反比例函数解析式：y k 或y kx1(k 0) x
y
y=
k x
01
x
反比例函数的图像
叫做双曲线。
k<0
(1) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第_一__、_三__象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而 _减__小__；
6k -6 -3 -2
x (k≠0)
-1.5 -1.2
y
-1
的的图，象这456 是两y由支= 两曲x6 支线曲称线为y组双=-成曲x6
6 5 4
线。 3 2
3 2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-6 -5 -4
-3 -2 -1 0 1 2 -1
3
-2
-2
-3
y

26.1.2反比例函数的图象与性质

在求解反比例函数相关问题时，要确保 $x$ 的取值范围使得函数有意义（即 $x neq 0$ ）。
在实际应用中，要注意理解反比例关系背后的实际意义，避免盲目套用公式。
拓展延伸：反比例函数在其他领域应用
经济学中的应用
在经济学中，反比例函数可以表示某些经济变量之间的关系，如价格与需求量之间的反比关系。
04
感谢您的观看
THANKS
06
函数图像在第二象限和第四象限内分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴的两侧，且无限接近于坐标轴。
02
反比例函数图象特征
图象形状与位置
图象形状
反比例函数的图象为双曲线，两支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
图象位置
当$k > 0$时，图象位于第一、三象限；当$k < 0$时，图象位于第二、四象限。
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数，且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 不能取值为 0，即 $x neq 0$。
函数定义域
反比例函数的定义域为 $x in R$ 且 $x neq 0$。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足$f(-x)=f(x)$，图像不关于 y轴对称。
周期性考察
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有$f(x+T)=f(x)$成立。
图像特征
反比例函数的图像是双曲线，两支分别位于第一、三象限和第二、四象限，且无限接近坐标轴但永不相交。
渐近线与交点情况
渐近线

第十四讲反比例函数的图像和性质

选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函数的图像，需要选择合适的坐标系，通常使用笛卡尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不同 $x$ 值对应的 $y$ 值，可以绘制出反比例函数的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数且 $k neq 0$）的函数称为反比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为常数且 $k neq 0$）来表示，其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量。

反比例函数的图像和性质 (3)

课题：6.2.2反比例函数的图象与性质课型：新授课年级：九年级教学目标：1．会画出反比例函数的图象，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质．2．提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．会运用数形结合的思想方法解决反比例函数的有关问题．教学重点与难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、感悟导入活动内容：回答下列问题.问题3. 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其它的性质吗？3引入本节课的内容．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．二、自主探究活动内容1：探究反比例函数图像的增减性（k＞0）观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？处理方式：让学生课前预习并画好函数图像，课上由教师展示，让学生自主观察所画图像，并结合问题探究得出反比例函数性质.学生有可能总结为：当k＞0时, y的值随x值的增大而减小.这时教师可以提示：这样不够严谨，应强调“在每一个象限内”这个前提条件.然后动画演示几何画板课件,并总结结论: 当k＞0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x的增大而减小．（借助于下图进行说明）设计意图: 学生通过观察比较，总结出三个反比例函数图象的共同特征,在活动中放手让学生去观察，去类比，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的,培养学生“以图识性、以性画图”的能力；及时的小结有助于理清思路，培养学生的归纳能力和语言表达能力.活动内容2：探究反比例函数图像的增减性（k<0）k>时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全处理方式：前面已经对0k<放手给学生，让学生观察课前预习时画好的函数图像，通过类比，分析、归纳、概括出0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．由于上面在总结k＞0时的性质时，强调了“在每一象限内”，所以在总结k＜0的性质时，学生比较容易想到“在每一象限内”.k<时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问设计意图:通过对0题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.设计意图：本环节主要是将知识进行系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，可以培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．三、巩固新知设计意图：通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．问题3是一道易错题，不仅考察了性质中的“在每一象限内”这一条件，并且还蕴含着分类讨论思想，可以拓展学生思维的广度和深度．课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，可以调动每个学生的主观能动性．四、合作竞学活动内容：探究k的几何意义 (课件展示问题)问题1. 如图1，在反比例函数xy 2=的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图1 图2 问题2. 如图2，在反比例函数xky =的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图3 图4问题3. 如图3，在反比例函数xky =图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系? 为什么?问题4. 如图4，在反比例函数xky =的图象上任取点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，△OPF 的面积又是多少呢? 为什么?处理方式：（1）鼓励学生先独立思考,然后以小组为单位,讨论分析,动手计算，总结小组成果.教师一边巡视,一边加入到各个小组的学生讨论中. 四个问题层层推进，让不同层次的学生都有事可干．（2）充分讨论后可由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．在探究的基础上，对于一般的反比例函数xky =，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳出一般性的结论——矩形面积总等于k ，三角形的面积总等于k 21．（3）利用几何画板软件通过拖动改变P 点位置（如下图），直观感受所得结论的正确性．可以发现矩形与三角形的面积是一个定值，加深学生对所得规律的理解．设计意图: 课本中只给出了问题3. 考虑到如果直接探究函数xky =，对于有些学生来说有一定的困难，所以为了突破这一难点，我先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了这个具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xky =，符合学生的认知规律．最后通过几何画板的动画演示，让学生更直观地理解矩形和三角形的面积与比例系数K 的对应关系，向学生渗透数形结合的思想方法.五、反思总结活动内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识? 你有哪些感悟和收获？你还有什么困惑？处理方式：先由学生自由发言，畅谈收获．师引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．最后课件展示以下表格，通过对比形式，引导学生小结正比例函数、反比例函数的性质．设计意图：小结能使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．小结还能引导学生关注数学的学习过程，通过交流、反思，倾听其他同学的感悟和收获，可以取长补短，共同提高．六、测试评价师：通过本节课的学习，同学们的收获如何呢？请完成达标检测题．（课件出示） A 组：1．(2014 随州)关于反比例函数xy 4=的图象，下列说法正确的是（） A ．图象经过点（1，1）B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小2．(2014 宁夏)已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在函数xy 5=的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是（）A ．0＜y 1＜y 2B ． 0＜y 2＜y 1C ． y 1＜y 2＜0D ． y 2＜y 1＜03．（2014▪哈尔滨）在反比例函数xk y 1-=的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（） A ． k ＞1 B ． k ＞0C ． k ≥1D ． k ＜14．(2014 天津 )已知反比例函数xky =（k 为常数，k ≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k 的值为．5．（2014•新疆）若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数xy 1=图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．B 组：（学有余力的同学选做）６．(2014▪牡丹江)在同一直角坐标系中，函数y =kx +1与xky -=（k ≠0）的图象大致是（）７.（2014•滨州）如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C ，则k 的值为．设计意图：通过几道练习题进一步加深函数性质的理解和灵活应用，巩固本节课的知识点.深刻体会数学思想的多样性和灵活性.设置选做题，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力.七、布置作业必做题：课本157页，习题6.3第1题、第2题、第3题．选做题：课本157页，习题6.3第4题．八、课外延伸你知道反比例函数还有其它性质吗？请同学们课下继续探究．可以观看微课《反比例函数的图象与性质》（在我们班级的公共邮箱中下载）．结束语努力向前，默默耕耘，机会和成功必属于最坚韧的奋斗者．祝愿同学们：信心百倍，走好九年级的每一步，成就不凡的自己.板书设计：6. 2. 2反比例函数的图象与性质1．图像（k>0）图像（k<0）2. 性质(增减性)当k＞0时,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.3.探究4.k的几何意义。

反比例函数图象的特征及性质

上。
性质
当x增大时，y值减小，但xy的乘积保持不变，等于比例系数。
对反比例函数应用的展望
01
拓展应用领域
反比例函数作为一种基本的函数类型，在物理、化学、工程等领域都有广泛的应用。未来可以进一步探索其在更多领域的应用可能性。
02
深化理论研究
虽然反比例函数的基本性质已经比较清楚，但是关于其更深层次的理论研究仍然有待加强。例如，可以进一步探讨反比例函数与其他函数类型的复合、变换等问题。
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性质的比较
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内是连续的，且当x趋近于0时，y趋近于无穷大或无穷小。此外，反比例函数在其定义域内具有单调性，即当k>0时，在每个象限内随着x的增大，y值逐渐减小；当k<0时，则相反。
一次函数性质
一次函数在其定义域内是连续的，且当x趋近于无穷大或无穷小时，y也趋近于无穷大或无穷小。此外，一次函数的斜率决定了函数的增减性，即当斜率大于0时，函数为增函数；当斜率小于0时，函数为减函数。
反比例函数的一般形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x（k ≠ 0），其中 k 是比例系数。
当 k > 0 时，反比例函数的图象位于第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图象位于第二象限和第四象限。
比例系数 k 决定了反比例函数的图象特征和性质。
02
反比例函数的图象
图象的形状
反比例函数的图象是由两支分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线组成。
当$k > 0$时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当$k < 0$时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
在每个象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小，曲线从坐标轴附近向无限远处延伸。