26.2.2第一课时
26.2.2 反比例函数的图像与性质
例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船 装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天） 之间有怎样的关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不 超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨 货物？
分析：（1）根据装货速度×装货时间＝货物的总量， 可以求出轮船装载货物的的总量；
想一想：
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全 部排空. (1)蓄水池的容积是多少? 解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那 么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
答:此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
3.某村粮食总产量为a，人均产量为x，该村总 人数为y，则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿
48 解:t与Q之间的函数关系式为: t Q
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全 部排空.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
48 解:t与水排空,那么每时的排水 量至少为多少? 解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至 少为9.6m3. (5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少 多长时间可将满池水全部排空? 解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需5h可 将满池水全部排空. (6)画出函数图象,根据图象请对问题(4)和(5)作出直 观解释,并和同伴交流.
（2）再根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间， 得到ｖ与ｔ的函数式。
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以 50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时 可达到乙地. （1）甲、乙两地相距多少千米？ （2）如果汽车把速度提高到v（千米／时），那么 从甲地到乙地所用时间t（小时）将怎样变化？
华师版九年级数学下册26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质教案与反思
新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。
出自郑燮的《新竹》前进学校史爱东东宫白庶子,南寺远禅师。
——白居易《远师》枫岭头学校张海泉古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．（重点）2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（重难点）3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点）一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得1＝4a＋2，∴a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点当x＜0时，y随x的增大而减小，∴A、B、D 均正确而顶点标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点坐标为(0，k)，对称轴y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断已知点(x1，y1)，(x2，y2)均抛物线y＝x2－1上下列说法中正确的是( )A．若y1y2，则x1＝x2．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1=x2或x1＝－x2，∴选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，∴选项B是错误的选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而大，则y1＜y2，∴选项C是错误的；选项D：若x1x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故选D．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.方法总结：在解决此类问题时，应分类讨论，逐一排查.【类型四】二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小、开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解析：由于抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状相同，则a=-5，则利用顶点式可写出所求抛物线表达式，然后根据抛物线平移的规律判断抛物线y=-5x2怎样平移得到的抛物线y=-5x2+3.解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y ＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小、方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－c2，c2)、C(c2，c2)，因为C(c2，c2)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C的坐标代入关系式即可求出ac的值．解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点的坐标为(c2，c2)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴c2＝a(c2)2＋c，即ac＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】二次函数y＝ax2＋k的实际应用如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y=3.05和y=2.25时x的值即可得出答案．解：(1)∵y＝－15x2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y＝－15x2＋72中，当y＝3.05时，3.05＝－15x2＋72，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－1 5x2＋72，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．方法总结：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
y=x^2的图像和性质教案
y=x 的图像和性质教案篇一：26.2.3y=a(x-h)2的图象和性质(教案)26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【教学目标】1.知道二次函数y?a(x?h)2与y?ax2的图象之间的关系；2.能说出二次函数y?a(x?h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性；【教学重点】掌握二次函数y?a(x?h)2的图象特点及其性质。
【教学难点】灵活运用y?a(x?h)2类型函数的性质解决问题。
【多媒体准备】课件【教学过程】篇二：二次函数的图像和性质教案教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?b4ac?b2b,）为顶点，以直线y＝?为对称轴的抛物线。
2a2a4abb时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞?2a2a在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜?时，y随着x的增大而增大。
在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜?＞?b时，y随着x的增大而减小。
2ab时，y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，即当x2a篇三：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=22,.∴y=x2,∴当x>0时，y随x的增大而增大.99篇四：《二次函数y=ax 的图象和性质》教学设计《二次函数y=ax2的图象与性质》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课为沪科版九年级数学第22章第二节的内容，学习二次函数y=ax2的图象与性质.这是学习一次函数的延续，是对函数内容的再认识，也是学生理解二次函数定义，建立二次函数模型的后续学习.它既是前面函数学习的一次升华，又是后续的y=ax2+bx+c的性质和二次函数应用学习顺利进行的保证，还是学生升入高一级学校学习函数的基础，具有承上启下的作用，因此该内容在教材中的地位十分重要. （二）教学对象分析学生在八年级上学期已经学习了函数及一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识.学生通过从特殊到一般的数学研究方法，先学习y?ax2这一最简单的二次函数图象与性质，再进一步研究y?ax2?bx?c(a?0)的图象与性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法.由于学生在认知方式、动手能力、语言表达和思维方式等方面存在差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异.教学中要多鼓励学生，对学有困难的学生要及时给予帮助和指导，让他们敢于发表自己的见解，丰富教学活动的经验，发展数学能力. （三）教学环境分析充分利用优质的教学资源，尽量采用现代教育技术手段，用计算机展示函数的图象，形象显示图形的变化与联系，提高教学效果与质量.二、教学目标（一）知识与技能1．能够利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象总结和理解二次函数y=x2的性质；12．能作出y=-x2,y??x2和y=2x2的图象，并比较它们与y=x2的图象的异同，初步体2会二次函数关系式与图象之间的联系；3．能根据二次函数y=x2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）.（二）过程与方法1．经历探索二次函数y=x2的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验；2．由二次函数y=x2的图象及性质类比地学习二次函数y=-x2的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维.（三）情感态度与价值观1．通过探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2．在利用图象讨论二次函数的性质时，尽可能多地合作交流，以便能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.三、教学重点难点（一）教学重点作出二次函数y?ax2的图象，并根据图象观察分析出二次函数y?ax2的性质.（二）教学难点经历探索二次函数y=x2的图象的作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y?ax2的图象与性质方面，实现“探索―经验―运用”的思维过程.四、教学过程篇五：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案21竭诚为您提供优质文档/双击可除23。
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
用函数观点看一元二次方程
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 , 则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的
§26.2
用函数观点看一元二次方程
§26.2用函数观点看一元 二次方程（第1课时）
s表示离天台的距离; t表示行驶的时间.
s(km)
120
s= - 60t+120(0≤t ≤2)
0
t(h)
探究新知
高度y(m)与水平距离x(m)
之间具有y=的-关112系x :+2 25x4
请问这位同学的跳远成绩是多少？ 已知函数值y=o，求对应自变量x.
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿(＿0,-＿5) ＿,与 x轴交于点＿(5＿/2,＿0)＿(-.1,0)
2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是＿(-2＿,0＿) (＿5/＿3,0.)
九年级数学下册 6.二次函数整章教案 苏教版【教案】
教学内容 二次函数的图象与性质（1）本节共需7课时 本课为第1课时主备人：佘中林教学目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型新授课 教学过程初 备统 复 备情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x y 3=xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？实践与 探索1例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．实践与探索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=CCS．列表：描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．注意点：（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．2 4 6 8 ……小结与作业课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业：课本P4 习题 1～4家庭作业：《数学同步导学九下》P4 随堂演练教学后记：实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …实践与探索2例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．回顾与反思抛物线12+-=xy和抛物线12--=xy分别是由抛物线2xy-=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=xy，应将抛物线12--=xy作怎样的平移？教学难点识图能力的培养教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入我们已经了解到，函数kaxy+=2的图象，可以由函数2axy=的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=xy的图象，是否也可以由函数221xy=平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x …-3-2-1 0 1 2 3 …221xy=…2922121229…2)2(21+=xy…212122258225…2)2(21-=xy…22582922121…实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)1(21-=xy，2)1(212--=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解（1）列表：略（2）描点：（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．观察：它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．探索你能说出函数2)(hxay-=+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？实践与探索2填表：2)(hxay-=+k开口方向对称轴顶点坐标>a<a教学过程初备统复备情境导入由前面的知识，我们知道，函数22xy=的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=xy的图象；函数22xy=的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=xy的图象，那么函数22xy=的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=xy的图象呢？实践与探索1 例1．通过配方，确定抛物线6422++-=xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解6422++-=xxy[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=xxxxxx因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：注意点：（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索：对于二次函数cbxaxy++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？实践与探索2例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150y（件）70 50若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．小结与作业回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．课堂作业：如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．家庭作业：《数学同步导学九下》P18 随堂演练教学后记实践与探索1 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=aaxy．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=aaxy，得28.04.2⨯=-a所以415-=a．因此，函数关系式是2415xy-=．实践与探索1 例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是35321212++-=xxy，问此运动员把铅球推出多远？解如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，035321212=++-xx．解方程，得2,1021-==xx（不合题意，舍去）．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面35m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．实践与探索2例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．小结与作业回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．课堂作业：在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？家庭作业：《数学同步导学九下》P24 随堂演练教学后记情境导入给出三个二次函数：（1）232+-=xxy；（2）12+-=xxy；（3）122+-=xxy．它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数cbxaxy++=2的图象寻找方程)0(02≠=++acbxax，不等式)0(02≠>++acbxax或)0(02≠<++acbxax的解？实践与探索1 例1．画出函数322--=xxy的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程322=--xx有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解图象如图26．3．4，（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程0322=--xx的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．例2．（1）已知抛物线324)1(22-+++=kkxxky，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数232)1(2-++-=aaxxay的图象的最低点在x轴上，则a= ．（3）已知抛物线23)1(2----=kxkxy与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且1722=+βα，则k 的值是．分析（1）抛物线324)1(22-+++=kkxxky与x 轴相交于两点，相当于方程324)1(22=-+++kkxxk有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数232)1(2-++-=aaxxay的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程232)1(2=-++-aaxxa的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线23)1(2----=kxkxy与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程23)1(2=----kxkx的两个根，又由于1722=+βα，以及αββαβα2)(222-+=+，利用根与系数的关系即可得到结果．教学内容26 . 3 实践与探索（4）本节共需4课时本课为第4课时主备人：佘中林教学目标掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．教学重点一元二次方程及二元二次方程组的图象解法教学难点一元二次方程及二元二次方程组的图象解法教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入上节课的作业第5题：画图求方程22+-=xx的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．甲：将方程22+-=xx化为022=-+xx，画出22-+=xxy的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2xy=和2+-=xy的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．实践与探索1例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+xx；（2）02522=+-xx．分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2xy=的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．解（1）在同一直角坐标系中画出函数2xy=和32+-=xy的图象，如图26．3．5，得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程0322=-+xx的解为–3，1．（2）解题略实践与探索2例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321xyxy；（2）⎩⎨⎧+=+=xxyxy2632．分析（1）可以通过直接画出函数2321+-=xy和2xy=的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x≤2。
华东师大版九年级数学下册学案：26.2二次函数的图象和性质
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案Ⅴ．课后作业P 231.3.526．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识重点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识重点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy…-8 -3 0 1 0 -3 -8 …12--=xy…-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识重点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …221xy= (2)92 210 212 29…2)2(21+=xy (2)10 212 2258 225…2)2(21-=xy (2)258 292 210 21…回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b 解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识重点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．x … -2 -1 01 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 06 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识重点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有 1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为Sm 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ． 因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
汉阴县第七中学九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+
7．抛物线y＝－12 x2＋x－4的对称轴是_直__线__x_＝__1__， 顶点坐标是_(_1_，__－__72__)___．
8．已知点A(1 , 1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上. (1)用含a的代数式表示b ; (2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上 , 求这个二次函数图象的顶点坐标． 解 : (1)b＝2a (2)(0 , 0)或(2 , 0)
第二十二章 二次函数
易错课堂(二) 二次函数
（一）确定二次函数解析式中字母参数的值易出错 1．已知抛物线y＝(m＋4)xm2＋5m－4的开口向下 , 那么m的值为_－__6__．
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点． (1)求m的取值范围 ; (2)当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于－4时 , 求m的值． 解：(1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数解析式为 y＝－14x－5，此一次函 数与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠0，即 m≠－6 时，函数为二次函数，当 Δ≥0 时，抛物线与 x 轴有交点，即 4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，解得 m≤－59 .
(3)在(1)(2)的条件下 , 每天制作B不少于5件．当每天制作5件时 , 每件获利 不变．假设每增加1件 , 那么当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30 元 , 求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的 值．
解：(1)设制作一件 A 获利 x 元，则制作一件 B 获利(105＋x)元，由题意得
③当点P是ME的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P(1，32 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，32 )
结束语
九年级数学上册 26.2 二次函数的图像与性质教案2 沪教版五四制
二次函数的图像与性质教学目标1．会画二次函数2()y a x h =-的图象；2．掌握二次函数2()y a x h =-的性质，并要会灵活应用；重点、难点1．会画二次函数2()y a x h =-的图象；2．掌握二次函数2()y a x h =-的性质，并要会灵活应用；考点及考试要求 掌握抛物线2()y a x h =-图像的基本性质（开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、增减性和对称性）教学内容一【课堂导入】1、二次函数的图像是什么形状？2、二次函数22y x =、213y x =-、251y x =+、210y x =--的性质分别是什么？ 3、2(0)y ax a =≠与2(0)y ax c a =+≠二者之间的图像有什么关系？平移规律是什么？ 4、二次函数221y x =- ∵a =___2______∴函数有最___小______值。
二【知识精讲】知识点1：二次函数2()y a x h =-的图像画出二次函数y ＝12 x 2,y ＝12 (x ＋2)2，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点．先列表：x… -4 －3 -2 -1 0 1 2 3 4 y ＝12 x 2 … 8 9/2 2 1/2 0 1/2 2 9/28y ＝12(x ＋2)2 … 9/2 1/2 0 1/2 2 9/2 8 25/2 18 y ＝12(x -2)21825/289/2 21/21/22描点并画图．-10-8 -6 -4 -2-5 -4 -3 -2 -1 10 5 4 3 2 1 8 6 4 2yOx观察图象，二次函数y ＝12 (x ＋1)2的图像是___________________ ； 抛物线②抛物线y ＝12 (x ＋1)2与抛物线y ＝12x 2的形状大小____________ ；相同③ 把抛物线y ＝12 x 2向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝12 (x ＋1)2；2．填表：函数开口方向 顶点 对称轴 y ＝12x 2 向上 （0,0） Y 轴 y ＝12(x ＋2)2 向上 （-2,0） X=-2 y ＝12 (x -2)2向上（2,0）X=2知识点整理1．y ＝ax 2 y ＝ax 2＋c2()y a x h =-开口方向a ＞0 向上 a ＜0 向下 顶点（0,0）（0，c ）(h,0)对称轴Y 轴Y 轴X=h对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 形状 位置三【典例精析】【例1】对于二次函数2)4(31--=x y ，请回答下列问题：(1)把函数231x y -=的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(31--=x y 的图像？ (2)说出函数2)4(31--=x y 的图像的顶点坐标和对称轴。
y=x^2的图像和性质教案
y=x 的图像和性质教案篇一：26.2.3y=a(x-h)2的图象和性质(教案)26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【教学目标】1.知道二次函数y?a(x?h)2与y?ax2的图象之间的关系；2.能说出二次函数y?a(x?h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性；【教学重点】掌握二次函数y?a(x?h)2的图象特点及其性质。
【教学难点】灵活运用y?a(x?h)2类型函数的性质解决问题。
【多媒体准备】课件【教学过程】篇二：二次函数的图像和性质教案教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?b4ac?b2b,）为顶点，以直线y＝?为对称轴的抛物线。
2a2a4abb时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞?2a2a在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜?时，y随着x的增大而增大。
在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜?＞?b时，y随着x的增大而减小。
2ab时，y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，即当x2a篇三：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
上海初中数学九年级第一学期26.2二次函数y=a(x+m)2+k的图像
26.3 二次函数2y ax bx c =++的图像（1）一、填空题：1．二次函数4)2(22-+-=x y 的图像的开口 ，对称轴是直线 ，顶 点坐标是 ．2．已知抛物线3)1(52+-=x y ，则这条抛物线的顶点坐标是 ，开口 ，对称轴是直线 ，顶点是抛物线的最 点．3．将二次函数2)1(22--=x y 的图像向上平移5个单位，得到的函数解析式是 .4．抛物线2)5(212-+-=x y 可以通过将抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．5．二次函数522-=x y 的图像的对称轴是 ，当它的图像向右平移3个单位时，此时函数的解析式是 。
6．如果抛物线和抛物线23y x =-的形状相同，当它的顶点是（１，－2）时，它的函数解析式是 。
二、选择题：7. 若抛物线y ＝a (x ＋m )2＋k 的顶点在第二象限，则点(m ，k )在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 把二次函数y ＝3x 2的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数关系式是( )A. y ＝3(x －2)2＋1B. y ＝3(x ＋2)2－1C. y ＝3(x －2)2－1D. y ＝3(x ＋2)2＋1 三、简答题：9. 指出下列函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．(1)y ＝34(x －2)2＋3 (2)y ＝－2(x ＋1)2＋3(3)y ＝5－(x －1)2 (4)y ＝2(x ＋1)2－210. 已知函数y＝(m－3)xm2－7－3是二次函数．(1)求m的值；(2)先求该函数的解析式，并指出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．11.将抛物线C1∶y＝(x－1)2＋3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线C2，C1与C2的交点为A，C1、C2的顶点分别为点B和点C，求△ABC的面积．26.2 二次函数2y ax bx c =++的图像（2）一、填空题：1. 一个二次函数的图像顶点坐标为(2，1)，形状与抛物线y ＝－2x 2相同，开口一致，这个函数解析式为 ．2. 如果抛物线y ＝mx 2＋m ＋2顶点是坐标原点，那么m ＝ ，且抛物线的开口________，顶点坐标为____________．3. 将抛物线y ＝23(x －2)2＋1先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，那么平移后的顶点坐标是______________．4. 抛物线y ＝2x 2－5x －3与y 轴交点坐标是__________．5. 抛物线y ＝(m －3)(x ＋m )2＋m ＋2的对称轴是直线x ＝2，那么抛物线的解析式是__________．6.将抛物线y ＝2(x ＋1)2＋3沿x 轴翻折，所得到的抛物线是__________． 二、选择题：7. 二次函数y ＝－3(x －2)2＋6图像的开口方向、对称轴分别为( ) A. 开口向上，对称轴是直线x ＝－2 B. 开口向上，对称轴是直线x ＝2 C. 开口向下，对称轴是直线x ＝－2 D. 开口向下，对称轴是直线x ＝28.将抛物线231x y =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. 2)3(312++=x y B. 2)3(312--=x yC. 2)3(312-+=x yD. 2)3(312+-=x y三、简答题：9. 已知抛物线1)2(2++-=x y（1）指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线解：（１）开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是10. 将抛物线22x y -=平移，使顶点移到点Ｎ（－３，２）求所得新抛物线的表达式.11. 在同一直角坐标系内画出函数y ＝(x －1)2－2和y ＝(x ＋1)2＋1的图像，并说明抛物线y ＝(x －1)2－2是如何由抛物线y ＝(x ＋1)2＋1怎样移动得到的？四、拓展题：12. 已知：二次函数y ＝－(x －h )2＋k 的图像的顶点P 在x 轴上，且它的图像经过点A (3，－1)，与y 轴相交于点B ，一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过点P 和点A ，并与y 轴的正半轴相交．求： (1)k 的值；(2)这个一次函数的解析式； (3)∠PBA 的正弦值．26.3 二次函数c bx ax y ++=2的图像(3)一、填空题:1. 当抛物线y ＝(m ＋1)x 2＋3x ＋m 2－1的图像经过原点时，m 的值为__________．2. 抛物线y ＝x 2＋x －2的顶点坐标是__________．3. 用配方法将下列二次函数解析式改写成y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式：(1)y ＝x 2－4x ＝______________.(2)y ＝x 2－4x ＋2＝______________.(3)y ＝－13x 2－2x －5＝______________.(4)y ＝12x 2＋2x －2＝______________.4. 二次函数y ＝(x －2)(x －3)图像的顶点坐标是__________．5. 抛物线y ＝2x 2－4x －2的对称轴是__________． 二、选择题：6. 把二次函数y ＝x 2－2x －1配方成为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －1)2B. y ＝(x －1)2－2C. y ＝(x ＋1)2＋1D. y ＝(x ＋1)2－27. 二次函数y ＝－x 2－3x ＋m 的图像顶点在x 轴上，则m 的取值为( )A. 94B. －94C. 0D. －32 8. 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋6取最大值时，自变量x 的值是( ) A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 三、简答题：9. 用配方法把下列函数解析式改写成k m x a y ++=2)(的形式 （1）522+-=x x y （2）6422--=x x y（3）246x x y -+= （4）52312---=x x y10. 指出下列二次函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标（1）132--=x x y （2）)32)(2(+-=x x y11. 已知抛物线m x x y +--=22的顶点在直线121-=x y 上，求m 的值。
华东师大版九年级数学下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质【名校课件+集体备课】
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
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典例精析
例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗? （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二 次函数y=－x2的图象上吗?
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课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题； 2、完成同步练习册本课时的习题。
文本
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谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
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说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流。
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
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知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
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方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我 们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域 中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去 比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补 法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
2020—2021年最新华东师大版九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(含答案).doc
（新课标）华东师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞06．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ ．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________ （填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________ ．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________ ．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________ ．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________ 个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x 轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．解得：x1=﹣1，x2=﹣2．∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．根据“伴侣二次函数”定义可得∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．当﹣h≠m时，a1=﹣a2当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，令﹣x2+2x+3=kx+b整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0即：k2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b，过点p（1，5）所以5=k+b所以k2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。