宁波大学2010年数学分析考研试题
2010年考研数学二真题及答案
二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题一选择题 1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--=A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+¢的两个特解，的两个特解，若常若常数m l ,使21y y m l +是该方程的解，21y y m l -是该方程对应的齐次方程的解，则解，则 A 21,21==m l B 21,21-=-=m lC 31,32==m lD 32,32==m l3.=¹==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2A4e B3e C2e De 4.设,m n 为正整数,则反常积分21ln (1)mnx d xx-ò的收敛性的收敛性A 仅与m 取值有关取值有关B 仅与n 取值有关取值有关C 与,m n 取值都有关取值都有关D 与,m n 取值都无关取值都无关5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F ¢¹则z z x yxy¶¶+¶¶= A x B z C x -D z - 6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j ®¥==++åå= A121(1)(1)xd xd y x y ++òò B11(1)(1)xdxdy x y ++òòC 1101(1)(1)d x d y x y ++òòD1121(1)(1)dxdyx y ++òò7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI b b b aa a ¼¼21r 21II ,,:，下列命题正确的是：的是：A 若向量组I 线性无关，则s r £B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r £D 若向量组II 线性相关，则r>s 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=AA 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø B 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èøC 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èøD 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø二填空题二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-¢+¢¢-¢¢¢y y y y 的通解y=__________ 10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________ 11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n ny n x x y 阶导数处的在12.___________0的弧长为时，对数螺线当q p qe r =££13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则三解答题三解答题 15.的单调区间与极值。
宁波大学数学分析考试大纲
《数学分析》考试大纲本《数学分析》考试大纲适用于宁波大学数学相关专业硕士研究生入学考试。
一、本考试科目简介：《数学分析》是数学专业最重要的基础课之一，是数学专业的学生继续学习后继课程的基础，它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和逻辑性，又与现代数学的各个领域有着密切的联系。
是从事数学理论及其应用工作的必备知识。
本大纲制定的的依据是①根据教育部颁发《数学分析》教学大纲的基本要求。
②根据我国一些国优教材所讲到基本内容和知识点。
要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论，掌握研究分析领域的基本方法，基本上掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力及逻辑推理能力。
二、考试内容及具体要求：第1章实数集与函数（1）了解实数域及性质（2）掌握几种主要不等式及应用。
（3）熟练掌握领域，上确界，下确界，确界原理。
（4）牢固掌握函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第2章数列极限（1）熟练掌握数列极限的定义。
（2）掌握收敛数列的若干性质（惟一性、保序性等）。
（3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。
第3章函数极限（1）熟练掌握使用“ε-δ”语言，叙述各类型函数极限。
（2）掌握函数极限的若干性质。
（3）掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界）。
（4）熟练应用两个特殊极限求函数的极限。
（5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。
第4章函数连续性（1）熟练掌握在X0点连续的定义及其等价定义。
（2）掌握间断点定以及分类。
（3）了解在区间上连续的定义，能使用左右极限的方法求极限。
（4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。
（5）了解初等函数的连续性。
第5章导数与微分（1）熟练掌握导数的定义，几何、物理意义。
（2）牢固记住求导法则、求导公式。
（3）会求各类的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））。
2010考研数学二真题
【解析】
?z =-
Fx′= -
F1′???
y x2
??+ ?
F2′???
z x2
? ? ?=
F1′?yx + F2′?xz
=
yF1′+ zF2′,
?x Fz′
F2′?1x
F2′
xF2′
(6) 【答案】 (D).
?z = ?y
Fy′ =-
Fz′
F1′?1x F2′?1x
=
-
F1′, F2′
x ?z + y ?z = yF1′+ zF2′- yF1′= F2′?z = z ．
∫ ∫ (16)(
I
)
比较
1 0
ln
t
??ln
(1 + t )??n
dt 与
1 tn ln t dt (n = 1,2,? ) 的大小 , 说明理由；
0
∫ ( II
)
记 un =
1 0
ln
t
??ln (1+
t )??n
dt
(n = 1,2,?
), 求极限
lim
n→∞
un
.
(17) 设函数
y = f ( x) 由参数方程
.
2x3
(10)
曲线
y=
的渐近线方程为
x2 +1
.
(11) 函数 y = ln (1 - 2x)在x = 0 处的 n 阶导数 y(n) (0) =
.
(12) 当 0 ≤θ≤π时, 对数螺线 r = eθ的弧长为
.
(13) 已 知 一 个 长 方 形 的 长 l 以 2 cm/s 的 速 率 增 加 , 宽 w 以 3 cm/s 的 速 率 增 加．则 当
2010年考研数学三真题及解析
(II) 求 Cov X, Y .
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
.
(1) 【分析】 通分直接计算等式左边的极限，进而解出 a.
1 【详解】 由于 lim[
（ 10）【分析】 利用旋转体的体积公式即得。计算时须注意这是一个反常积分。
【详解】 V
y2( x)dx
e
1 e x(1 ln 2 x) dx
2
lim[ arc tan(ln x) ]
x
44
（ 11）【分析】 此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程
【详解】 由弹性的定义知，收益弹性为
(18) (本题满分 10 分 )
(1)比较
1
ln t [ln(1
t )] ndt 与 1t n ln t dt(n
1,2,
) 的大小 ,说明理由。
0
0
1
(2)记 un
ln t [ln(1
0
t)] n dt,( n
1,2,
) 求极限
lim
n
un 。
（ 19） (本题满分 10 分 )
设函数 f x 在闭区间 0, 3 上连续 , 在开区间 0, 3 内存在二阶导数 , 且
x0
1
dx
法二：由
x
y
e
t2 dt
x x sint 2dt ，令 x 0 得 y 0
0
0
等式两端对 x 微分得 e (x y )2 (dx dy) ( x sin t 2dt)dx x sin x2dx 0
宁波大学高数试卷+答案
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
试题答案
三、单项选择题（每小题3分，共15分）
B C D A B
四、填空题（每小题3分，共15分）
1、 2、3 3、
4、 5、9
5.计算 其中 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， 的方向为逆时针方向。
解令 则当 时，有
记 所围成的闭区域为 。------4分
当 时，选取适当小的 作位于D内的圆周 记 和 所围成的闭区域为 。对复连通区域 应用格林公式，得
其中 的方向取逆时针方向。于是
解：因为
---------2分
而
---------6分
所以 = ---------8分
8.设 在 上定义，其表达式为 ，将 展开成正弦级数。
解：首先，所给的函数满足收敛定理的条件，它在点 处不连续，因此 的傅里叶级数在点 处收敛于
在连续点处收敛于 。---------3分
其次，由公式和奇函数的性质有 ，而
将求得的 代入正弦级数，得到 的傅里叶级数展开式为
---------8分
四、(6分)在过点 和 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 得积分 的值最小。
解：记 的线段，这
而 为顺时针方向的闭曲线，记它们围成的区域为 。由格林公式
五、计算下列各题（每小题8分，共64分）
1已知两条直线方程为
求过 且平行于 的平面方程。
解：设此平面为 ，因为该平面过点 ，且法向量为 ，由已知条件有：
且 ……2分
可取 ……6分
于是所求的平面方程为
2010年考研数一试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-''所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。
2010考研数一真题解析
是连续函数.观察本题中 F (x) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续
型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即
PX 1 PX 1 PX 1 F 1 F 1 0 1 e1 1 1 e1 ,故本题选
sin t
0
0
2t
sin
tdt
4
td cos t
0
4
t
cos
t
0
0
cos tdt
4
cos
4 sin
t
0
4 .
(11) 【答案】 0 .
【解析】 xydx x2dy xydx x2dy xydx x2dy
L
L1
L2
0 x1 x dx x2dx 1 x 1 x dx x2 dx
n i 1
n) ni
数学（一）试题 第 2 页 共 14 页
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(
11 01 x
dx)(
11 0 1 y2
dy)
1
1
1
dx
0 0 1 x 1 y2
dy .
(5)【答案】 (A).
【解析】由于 AB E ,故 r(AB) r(E) m .又由于 r(AB) r(A), r(AB) r(B) ,故
代入原方程,解得 a 1, b 2 ,故特解为 y* x(x 2)ex ．
故方程的通解为 y yc y* C1ex C2e2x x(x 2)ex ．
(16)【解析】因为 f (x) x2 (x2 t)et2 dt x2 x2 et2 dt x2 tet2 dt ,
宁波大学671数学分析2004,2005,2007--2020年考研真题
1. 下列叙述正确的是（
）
（A）若数列
{an}无界,则必有
lim
n
an
.
(B)若f (x)在点x0连续,而g(x)在点x0不连续,则f (x)g(x)在点x0处不连续. (C)若f (x)在x0处可导,则一定存在x0的某个领域U(x0 ),使得f (x)在U(x0 )内的任意点处
都可导.
(D)若f (x)在点x0处连续,则在x0的某个领域内一定有界.
2. f (x)在[a,b]上可积,则f 2 (x)在[a,b]上也可积;f (x)的反常积分在[a, )上收敛,
则f 2 (x)的反常积分在[a, )上(
)
（A）收敛； （B）不收敛； （C）不一定收敛；
（D）以上三个答案都不正确
3.设 f (x) (x a)(x) ，其中(x) 在 x a 处连续但不可导，则 f ' (a) （
xn 的收敛域以及在收敛域内求这个级数的和。
n1 n(n 1)
五．(本题 15 分)请用 语言证明： lim 2 (sin x)n dx 0 。 n 0
六．(本题 15 分)
设 0 b a ，证明： a b ln a a b 。
a
bb
七．(本题 15 分)
设 f (x) 是定义在实数域上的可导正函数，并且 f '(x) 2020 f (x), f (0) 1，求 f (x) 。 八．(本题 15 分)
三、(本题 15 分) 计算二重积分
四、(本题 15 分)实轴上的连续函数 f 被称为凸的，若对任意
及
，满足
请证明：(1)对任意
及任意的
(2)对任意的[0,1]上的黎曼可积函数 , 成立
, , 成立
2010考研数一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
2010年考研数学二真题及答案解析
.
(11) 函数 y ln 1 2x在x 0 处的 n 阶导数 yn 0 =
.
(12) 当 0 时,对数螺线 r e 的弧长为
.
(13)
已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l 12cm , w 5cm 时,它的对角线增加的速率为
y
(t)
(t
1) 所确定,其中 (t) 具有
2
阶导数,且
数学（二）试题 第 2 页 （共 13 页）
(1) 5 ， (1) 6. 已知 d 2 y 3 , 求函数 (t) .
2
dx2 4(1 t)
(18)(本题满分 10 分)
一个高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a ,短轴为 2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当 油罐中油面高度为 3 b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的密度为
(C) 2.
(D) 3.
(2) 设 y1, y2 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,若常数 ， 使
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
(A) 1 , 1 . 22
(C) 2 , 1 . 33
(B) 1 , 1 .
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A 3，B 2, A1 B 2 ,则 A B1 =
.
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 11 分)
求函数 f (x) x2 (x2 t)et2 d 的单调区间与极值. 1
宁波大学经济学_2009-2010年考研试题
宁波大学2009年硕士研究生入学考试试题部分一、名词解释1.恩格尔定律2.内生变量和外生变量3.生产函数4.价格歧视5.国民生产总值二、简答题1.影响商品供给的主要因素是什么？2.等产量线有哪些特征？这些特征的经济学含义是什么？3．影响市场竞争程度的因素有哪些？4. 使用无差异曲线分析推导劳动供给曲线。
5．什么是加速原理，它有哪些假定条件？6.西方经济学家将经济周期分为哪几种类型？经济周期的波动有哪些特点？三、计算题1．X公司和Y公司是服装行业的两个竞争者，这两家公司主要产品的需求曲线分别为：X公司：P x=1000—5Q xY公司：P y=1600—4Q y这两家公司现在的销售量分别是100单位x和250单位y（1）求x和y当前的弹性；因为Q x=100，将其带入X公司的需求曲线可得P x=500，再根据弹性的计算公式（2）假定y降价后使Q y增加到300单位，同时导致x的销售量Q x下降到75单位，试求X 公司的产品x的交叉价格弹性（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，试问该公司降价在经济上是否合理。
2．假定某经济社会的消费函数为c=100+0.8y d（y d是可支配收入），投资支出i=50，政府购买g=200，政府转移支付t r=62.5（单位均为10亿元），税收t=0.25y，试求（1）均衡国民收入；（2）投资乘数、政府购买乘数、税收乘数、转移支付乘数。
四、论述题1．运用微观经济学理论说明我国政府以保护价（支持价）敞开收购农民余粮的必要性、福利效益和积极作用。
2．运用经济学的有关理论分析2008年全球金融危机产生原因及其解决对策。
宁波大学2009年硕士研究生入学考试试题参考答案一、名词解释1.恩格尔定律在一个家庭或一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。
2.内生变量和外生变量在经济模型中，内生变量是该模型所要决定的变量。
外生变量是由模型以外的因素所决定的变量。
2010考研数学二真题及答案解析
(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0
≤
r
≤
secθ , 0
≤θ
≤
π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3，B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z ．
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n