正弦定理在物理解题中的应用
正弦定理在物理解题中的应用
正弦定理在物理解题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：
1. 在力学问题中，正弦定理可以用于解决与力、速度和加速度相关的问题。
例如，在单摆问题中，正弦定理可以用于计算摆球的加速度和速度；在弹簧振子问题中，正弦定理可以用于计算振子的位移和速度。
2. 在电学问题中，正弦定理可以用于解决与交流电有关的问题。
例如，在计算交流电的电流、电压和电阻时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
3. 在光学问题中，正弦定理可以用于计算光的折射率和反射率。
例如，在计算光通过透镜后的焦点位置时，可以使用正弦定理来计算。
4. 在热力学问题中，正弦定理可以用于计算热量的传递和热力学系统的热容。
例如，在计算热传导系数和热扩散系数时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
总的来说，正弦定理作为一种通用的数学工具，在物理解题中有着广泛的应用，可以用于解决各种与波形、振动、波动、光学、热力学等领域相关的问题。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
巧用正弦定理解决动态平衡问题
95
第 3 种解法利用学生熟悉的平行四边形法则 构 建 一 个 力 的 三 角 形 ，运 用 正 弦 定 理 建 立 方 程 ，进 而 得 出 两 个 待 求 力 的 解 析 式 ，最 终 得 出 两 个 力 的 变 化 规 律 . 平 行 四 边 形 法 则 是 学 生 很 熟 悉 的 ，三角 形中的正弦定理也是高中数学重点学习的内容， 因此学生很容易将正弦定理迁移到力的三角形中 解决物理问题.
径 为 尺 ，直 径 为 则 有 [2]
sinA sinB sinC
解 法 3.迁移知 O 识 ，解 决 问 题 . 设 将 OM拉到与竖直方
向的夹角为点
受力如图4 所示，
则有 yS= 7 r —6 — (n —
a)= a ~6.
F〇m
.
因 此 ，我 们 可 以 得 到
一个力的三角形如 图 5 所示.由正弦定理我们可以得
1 问题及经典解法
(1) 问题提出.
如 图 1 ，柔 软 轻 绳 O N 的一端 〇1 〇 固 定 ，其 中 间 某 点 M 拴 一 重 物 ，
用 手 拉 住 绳 的 另 一 端 / V，初 始 时 ，
O M 竖 直 且 M iV 被 拉 直 ，O M 与
M N 之 间 的 夹 角 为 a (a > 9 0 ° ) . 现
sina .
sina
因 为 a 不 变 ，所 以 3 丨 ! 1 « 保 持 不 变 从 0°增大
到 90°过 程 中 ，s iM — 直 在 增 大 ，故 F mn增 大 ，所以 选 项 （A )正确.
因 为 a > 9 0 ° , 在 0 从 0°增 大 到 90°过 程 中 ， （ a —
0)先 从 一 个 钝 角 减 小 到 9 0 ° ，再 从 90°减 小 为 锐 角 ，
正弦定理、余弦定理总结和应用
§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tan A＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解(3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1. 又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝a sin B b ＝12.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：对b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴B －C ＝π2. (2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8.∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝12.类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22acb 2＋c 2－a22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin ∠BAC ，即12sin α＝28sin120°，从而sin α＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sinA2＝cosB ＋C2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。
物理正弦定理法
物理正弦定理法1. 什么是正弦定理？正弦定理是三角形中一种非常简单而通用的公式，用于求解三角形的边长和角度。
正弦定理用正弦函数来描述一个角和它所对的边之间的关系。
由于正弦定理是用于三角形的，因此它的建立基于三角函数。
在几何中，正弦函数的值表示对于一个角度，其正弦值等于一个逆时针角度下单位圆上的纵坐标。
从而根据正弦函数的特点，可以计算出它所对应的三个边的比例关系。
2. 应用正弦定理的场合正弦定理适用于有一个已知角和它所对的一条已知边的三角形，能够求解出另外两条边和另外两个角的数值。
3. 正弦定理的公式正弦定理的公式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a,b,c$表示三角形中任意两个角所对的边长，$A,B,C$表示三角形中对应的角度。
4. 解题步骤下面介绍一下应用正弦定理解题的步骤：4.1 确定已知条件首先，需要明确已知的条件，常见的有一个角和它所对的一边，或者两边和它们之间的角等。
4.2 选取中间量接下来，需要选取一个中间量，用于计算求解。
4.3 利用正弦定理求解根据正弦定理公式，将选择的中间量与已知条件代入，求解未知量。
如果有多个未知量，需要逐一计算。
4.4 检查解的合理性计算出结果后，需要根据分析问题的合理性，进行结果的检验。
5. 实例演示假设有一个三角形，已知边长$a=5$，$b=7$，角$C=60^{\circ}$，求边$c$。
首先，选择$c$为中间量，根据正弦定理$ \frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ，可以得到$\frac{5}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{c}{\sin60^{\circ}}$我们需要先求出$\sin A$和$\sin B$的值，而$\sin C$已知为60度，可以用三角函数的知识求解。
$\sin C=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$由于三角形内角和为 $180^{\circ}$，可以知道角 $A$ 和角$B$ 的数值：$A=180^{\circ}-(60^{\circ}+x)=120^{\circ}-x$，$B=180^{\circ}-(60^{\circ}+y)=120^{\circ}-y$其中$x$、$y$为角$A$和$B$所夹角度数，我们需要先求出它们的值。
正弦定理在求解物理问题中的运用
ｉ Ｃ ： ②
在 ＡＦ Ｇ Ｏ中 ， 由正 弦定 理 有 ：
：
＝
—
，
则 ＝ 里 × 。 。 当 ＝ ９ ０ 。 时，
Ｓ １ ｎ ｏ
０ ｓ ｉ ｎ 。 又
Ｓ ｌ ｎ ｐ ｓ ｌ ｎＯ ｔ
由ｓ ｉ ｎ ＝ ， 可得 ＝ ×
ｂ ｂ
ｓ ｉ ｎ ｒ ｓ ｉ ｎ （ １ ８ ０ 。 一 Ｃ）一
三、 运 用正 弦定 理 证 明共 点 力 平 衡 问题
９ １ １ ３ ．长为， Ｊ 的绳子一 端拴 着半径为ｎ 、重为Ｇ的 球， 另一端拴 在倾角为 的光滑斜 面上的Ａ点 ， 如图３ 所示。请 你证 明绳 子的张力
、
联立上述三式可解得ｓ ｉ ｎ ／ ＝ ＿ “。
ｓ ｉ ｎ３ ７。 ｓ ｉ ｎ１ ｌ ３ 。
Ｇ ｓ ｉ ｎ ａ Ｇ （ ａ ＋ 三 ） ｓ ｉ ｎ
ｃ ｏ ｓ ０
四、 运 用正 弦定 理 求 解 几 何 光 学 问 题
ｓ ｉ ｎ １ １ ３ 。 ｓ ｉ ｎ ６ ７ 。
一
４ ＋ ３ 、 ／３
面
一 —＿
＿ ｌ 。
二、 运 用 正 弦 定 理 求解 运 动 学 问题
侈 ４ ２ ． 如 图２ 所 ， 船 从 Ｇ 港 口Ｐ 出发 去 拦 截 正 以 速 度 ｎ Ｐ 与Ｂ 。沿 直线 航 行 的 船Ｂ， 所在航线 的垂直距离 为。 ， Ｐ 船起 航 时Ｂ 船 与Ｐ 的距 离为 ｂ ， 且６ ＞ 。 ， 若略 去Ａ船启 动 的时 间 ， 认 为它一 起航 就 匀速运动 ， 求Ａ 船能拦住 船所 需的最小速度 。 解析 ： 设船Ａ的速率为 ， 船Ａ 在船Ｂ 的航线Ｃ 处拦 Ｎ Ｂ， 则Ｓ ， Ｓ ／ ， ｃ ＝ Ｖ ｔ ； Ｃ Ｂ Ａ＝ ， Ｃ 。
浅谈正弦、余弦定理在中考中的应用
浅谈正弦、余弦定理在中考中的应用（1）余弦定理：c2=a2+b2-2ab*cosC文字表述:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C （2）正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(r为△ABC外接圆的半径)文字表述:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
下面我们来证明：证明：（1）作BC上的高AD=h，设CD=x,则BD=a-x则b2=h2+x2=c2-(a-x)2+x2=c2-a2+2ax-x2+ x2又x=b*cosC所以c2=a2+b2-2ab*cosC（2）因为sinB=h/c,sinC=h/b所以h=b*sinC=c*sinB所以b/sinB=c/sinC同理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC下面我们来看如何运用正弦、余弦定理解题：例1：（2）证明：令∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，则∠1+∠2=∠ACB-∠DCE=450因为AD/sin∠1=CD/sin∠A，BE/ sin∠2=CE/sin∠B，sin∠A= sin∠B= sin450所以AD2+ BE2 =（CD* sin∠1/sin∠A）2+（CE* sin∠2/sin∠B）2=( CD2* sin2∠1+ CE2* sin2∠2)/ sin2450又CD/sin(450+∠2)= CE/sin(450+∠1)=DE/sin450所以AD2+ BE2 ={[ DE* sin(450+∠2) *sin∠1/sin450]2 +[ DE* sin(450+∠1) *sin∠2 /sin450]2}/ sin2450因为sin(450+∠2) *sin∠1= sin(450+∠2) *sin（∠450-∠2）=cos2∠2/2，sin(450+∠1) *sin∠2= sin(450+∠1) *sin（∠450-∠1）=cos2∠1/2，2（∠1+∠2）=900所以AD2+ BE2 =DE2 cos22∠2+ DE2 cos22∠1= DE2(cos22∠2+sin22∠2)= DE2即DE2= AD2+ BE2例2：如图，在Rt △ABC 中，∠B=900，c=1，sinA=b/4，求∠A ，∠C 。
正弦定理经典题型归纳
正弦定理经典题型归纳正弦定理是三角形中的一种重要定理，它表明各边和它所对角的正弦的比相等。
这个定理适用于任意三角形。
除了原始的正弦定理，还有一些变形。
其中一个问题是“已知a、b和A，解三角形”。
当sinB>1时，无解；当sinB=1时，只有一个解；当sinB<1时，有两个解。
需要根据“大边对大角”以及“三角形内角和等于180”来判断B是锐角还是钝角，或者两个都有可能。
在解三角形的过程中，有几种常见的题型。
第一种是已知两角及任意一边，需要解出三角形。
例如，在△ABC中，已知A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于2.另一个例子是，在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于43.第二种题型是已知两边及一边对角，需要解出三角形。
例如，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为45°或135°。
另一个例子是，在△ABC中，a＝6，b＝26，B＝120°，则c等于2.第三种题型是正弦定理的边角转化。
例如，在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于1∶5∶6.另一个例子是，在△ABC中，若cosAb＝cosBa，则△ABC是等腰三角形。
需要注意的是，在解三角形的过程中，如果sinB>1或者sinB=1，则无法解出三角形。
此外，如果已知的条件不足以解出三角形，也无法得出解。
因此，在解题时需要仔细分析已知条件，判断是否能够得到解。
最后，需要注意一些常见的错误。
例如，将角度和弧度混淆，或者错误地使用正弦定理等。
为了避免这些错误，需要认真研究和理解三角函数及其应用，多做练，加深对知识点的理解和掌握。
A。
等腰三角形 B。
等边三角形 C。
直角三角形 D。
无法确定在三角形中，有几种常见的类型，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理在物理解题中的应用
正弦定理在物理解题中的应用随着教学改革的深入，近几年在高考中逐渐加强了对应用数学方法解决物理问题能力的考查，而应用正弦定理可以巧妙简捷地解决物理问题。
【例1】如图所示，ao、bo两根轻绳上端分别固定在天花板上，下端结于o点，在o点施一个力使两绳在竖直平面内绷紧，两绳与天花板夹角如图所示，力f方向与ob夹角为α，当α等于105°时，绳ao拉力大小等于f。
解析：本题若想到应用正弦定理，即则可以很轻松地得到α角等于∠aob=180°-30°-45°=105°。
【例2】如图所示，mn是一条通过透明球体球心的直线。
在真空中的单色细光束ab平行于mn射向球体，b为入射点，若出射光线cd与mn的交点p到球心o的距离是球半径的■倍，且与mn所成的角α=30°。
求：透明体的折射率。
解：如图所示，连接ob、oc、bc，在b点光线的入射角、折射角分别标为i、r。
在△ocp中由正弦定理得：，解得∠ocp=135°（45°值舍），则可得：∠cop=15°。
由折射率定义，在b点有：，在c点有：，又，则i=45°。
又：，故r=30°。
所以，透明体的折射率。
点评：由正弦定理解得∠ocp=135°是本题的解题关键，只有知道∠ocp，才能根据其他几何关系求得i、r，进而求得透明体的折射率。
【例3】在xoy平面内的一、四象限中，x轴上方有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为b，方向垂直纸面向外，x轴下方有范围足够大的匀强电场，场强为e，方向与y轴正方向相同。
在xoy 平面内有一点p，p点到o点的距离为l，直线op与x轴正方向的夹角为θ，如图所示。
现有一个电量为q、质量为m的带正电粒子位于y轴负半轴上的某点，忽略粒子重力。
若在y轴上n点将粒子由静止释放，粒子在第二次由磁场返回电场的过程中恰好通过p点，且sinθ=?蚓?虔，求n点到o点的距离。
正弦定理、余弦定理的应用(上课用)
五、几何问题
例4．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一
点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等
边三角形ABC．问：点B在什么位置时，四边形OACB
面积最大？
解：设 ∠AOB＝α．在△AOB，由余弦定理，
得 AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα．
于是，四边形OACB的面积为
解：（1）所求距离即为AB， 在△OAB中， AB 2＝OA2＋OB 2－2OA·OBcos60°，
＝32＋12－2×3×1×＝7，
所以 AB＝ 7（km）．
（3）因为
PQ
2＝48t2－24t＋7＝48(t－
1 4
)2＋4，
所以当t＝
1 4
时，PQ最短，且等于2，
即在15分钟末，两人的距离最近， 且为2km．
四、物理问题
例2．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知 F1＝30Ｎ，F2＝50Ｎ，F1与F2之间的夹角是60°，求 F3的大小与方向（精确到0.1°）．
思考：你能用向量方法求解吗？
例3．如图，有两条相交成60°角的直路XX′，YY′，交 点是O，甲、乙分别在OX，OY 上，起初甲离 O点3km， 乙离O 点1 km．后来甲沿XX′的方向，乙沿Y′Y 的方向， 同时用4km／h的速度步行．（１）起初两人的距离是 多少？（２）tｈ后两人的距离是多少？（３）什么时 候两人的距离最短？
问题：AB是底部不可到达的一个建筑物，A为 建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB 的办法
分析:
解直角三． 角t△ADE中,
E
列方程求解. 解斜角三角形:
斜△ADC求AC，Rt△ACE中,求AE.
例4．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点的 俯角α，在塔底C处测得A处的俯角β．已知铁塔 BC部分的高为hm，求出山高CD．
第7讲正弦定理余弦定理应用举例
第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教B版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )．A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A ．5海里B ．53海里C ．10海里 D ．103海里 解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620km.考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系． 解如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CDBD ，∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理． 【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β).考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长． [审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可．解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10， AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问题【问题研究】(1)解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．(2)三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中．【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【试一试】 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ.[尝试解答] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114.。
正弦定理和余弦定理在解题中的应用例析
正弦定理和余弦定理在解题中的应用例析作者：王荣汉来源：《物理教学探讨》2011年第04期众所周知，正弦定理和余弦定理是数学中解三角形时常用的两个定理。
学生在学习物理的过程中也会经常遇到解三角形的问题，学会运用正弦定理和余弦定理往往是解决这一类问题的关键。
笔者就相关问题进行归类例析。
1 在运动学中的应用例1 如图1所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（3-1）海里的B处有一艘走私船。
在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里／小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜。
问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？解析设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快（在D点）截获走私船，则CD=103t 海里，BD=10t海里由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA解得：BC=6由正弦定理得：BCsinA=ACsin∠ABCsin∠ABC=AC•sinABC=2sin120°6=22得∠ABC=45°，则B点在C点的正东方向上，考虑∠CBD=120°，再由正弦定理得：BDsin∠BCD=CDsin∠CBDsin∠BCD=BD•sin∠CBDCD=10t•sin120°103t=12∴∠BCD=30°，则∠D＝30°所以，缉私船沿北偏东60°方向行驶才能最快截获走私船。
2 在力学中的应用例2 将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°角，如图2甲所示，试讨论：（1）另一个分力的大小不会小于多少？（2）若另一个分力大小是203N，则已知方向的分力大小是多少？解析（1）由三角形定则得：如图2乙所示，当F2与F1垂直时F2最小，F2=10N(2)当另一个分力F2=203N时，由于203N＞10N，根据力的三角形定则，可以组成两个不同的三角形，如图2丙所示。
正弦定理课件(优秀)
正弦定理的发现过程
三角形的边与角的关系：介绍三角形边与角的基本关系，为正弦定理的发现奠定 基础。
特殊三角形的边与角的关系：通过观察等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的 边与角的关系，引出正弦定理的猜想。
一般的三角形：通过一般三角形的边与角的关系，验证正弦定理的正确性。
三角形的面积：介绍三角形面积的计算方法，为正弦定理的应用提供思路。
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正弦定理课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 正弦定理的引入
05 正弦定理的应用
07 总结与回顾
02 课件封面与目录 04 正弦定理的证明 06 正弦定理的拓展与
延伸
添加章节标题
课件封面与目录
封面设计
● 标题：正弦定理课件 ● 副标题：深入浅出，轻松掌握 ● 图片：一幅与正弦定理相关的图片，如三角形、波浪等 ● 配色：采用清新、简洁的配色方案，如蓝色、白色等 课件目录
三角函数的对称 性：利用正弦定 理，可以判断三 角函数的对称性， 例如判断y=sin(x) 是否具有对称性。
三角函数的图像与性质问题
三角函数图像的绘制方法 三角函数的基本性质 三角函数的周期性、对称性和单调性 三角函数的应用举例
正弦定理的拓展与延伸
余弦定理与正弦定理的关系
余弦定理与正弦定理的相似之处
目录结构
目录页
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正弦定理的证明
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正弦定理的引入
三角函数的应用背景
三角函数在几何学中的应用：通过三角函数可以解决三角形中的角度和边长问题，如求三角形的面积、周长等。
三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有着广泛的应用，如简谐运动、交流电、电磁波等。 三角函数在工程学中的应用：在工程学中，三角函数可以用于解决结构分析、振动分析等问题。 三角函数在经济学中的应用：在经济学中，三角函数可以用于分析金融市场的波动性、风险性等问题。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
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数学定理在高中物理解题中的应用
数学定理在高中物理解题中的应用杨继虾(甘肃省兰州市永登县西铁中学ꎬ甘肃兰州７３０３３３)摘㊀要:高中物理与数学两个学科之间有着密切的联系ꎬ利用勾股定理㊁韦达定理㊁正弦定理以及余弦定理等数学定理能够有效辅助高中物理解题ꎬ使物理题化繁为简ꎬ帮助学生快速找到解题突破口ꎬ进而高效完成物理解题.但数学定理众多ꎬ因此ꎬ需在实际物理解题过程中正确审题ꎬ选择合理的数学定理进行解题ꎬ以避免步入解题误区.鉴于此ꎬ本文主要内容是分析与研究数学定理在高中物理解题中的应用ꎬ以期为广大高中物理教师与教研人员提供参考与借鉴.关键词:数学定理ꎻ高中ꎻ物理ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０１１８－０３收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:杨继虾(１９９２.４－)ꎬ甘肃省秦安人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀高中物理知识具备较强的逻辑性和抽象性ꎬ若想快速㊁正确解题ꎬ便可以利用数学定理进行辅助解题.因此ꎬ为有效提高学生解题能力ꎬ本文主要探析数学定理在高中物理解题中的应用.１高中物理解题中应用数学定理的先决条件分析１.１加强对基本概念的掌握学生在解析物理题目时往往因对物理基本概念掌握不牢靠ꎬ导致在审题或理解过程中出现各种各样的失误ꎬ这样不仅会直接影响数学定理的应用效果ꎬ同时也在一定程度上降低了高中物理解题准确率和效率.因此ꎬ需要结合实际情况做好以下几方面内容:第一方面ꎬ需要确保学生有效明确物理概念ꎬ尤其是物理知识中部分字面相似的概念ꎬ从根本上明确其本质和差异性.例如速度与加速度ꎬ虽然两者之间仅有一字之差ꎬ但在物理题目中的意义却截然不同ꎬ加速度是指物体运动过程中的状态变化快慢ꎬ速度是指在特定距离中物体的变化快慢ꎻ第二方面ꎬ加强学生对不同物理量之间关联性的理解ꎬ确保其在实际解题过程中能够灵活㊁正确地利用不同物理量之间的关系ꎬ达到高效率㊁高准确率的解题效果ꎬ从而为有效利用数学定理解析高中物理题目奠定重要基础[１].１.２落实细致性审题效果在高中物理力学相关的问题中ꎬ往往会在一个题目场景内以多个不同物体描述受力变化ꎬ在此类题目中ꎬ部分题目并不会展示物理变化全过程ꎬ而有的题目则会展示物理变化全过程.因此ꎬ为确保数学定理在高中物理力学相关问题中的应用合理性与准确性ꎬ则首先需要学生结合实际情况ꎬ加强对题目的解析与审查ꎬ在实际审题过程中落实细致性的审题效果.在审题过程中应当注意一下几方面内容:第一方面ꎬ在解析任何一个高中物理力学题目前ꎬ都需要学生结合实际情况基于题目所给信息对物体受力情况进行全面㊁系统的分析ꎬ其中也包括明确单位是否８１１统一等基本问题ꎬ以此为后续顺利应用数学定理奠定基础ꎻ第二方面ꎬ需要深化抽象思维的运用ꎬ从而有效明确题目中的所指向的研究对象ꎬ达到以定量分析变量的效果ꎬ并将数学定理套入至物理图景中ꎬ使其形成以物理题目为背景的数学习题ꎬ以此有效降低高中物理题目实际解析期间的难度ꎻ第三方面ꎬ为有效加强实际解题过程中的规范性与标准性ꎬ为后续数学定理的顺利应用提供依据ꎬ则需要学生在实际解题过程中将所有已知参数㊁条件等信息标注在示意图内ꎬ而后结合题目内容ꎬ对不同时间下运动状态情况㊁基本受力情况等进行分析ꎬ以此实现利用数学定理加强解题目标和已知条件之间的关联性ꎬ充分发挥数学定理在高中物理解题过程中的媒介服务作用[２].２数学定理在高中物理解题中的应用分析２.１基于勾股定理的高中物理解题策略对于高中阶段的学生而言ꎬ其通过初中阶段的系统性学习已经能够在实际解题过程中熟练运用勾股定理.同时ꎬ在长期对勾股定理的运用和理解后ꎬ高中阶段学生已经能够有效将勾股定理运用于力的分解㊁速度分解等相关高中物理题目中.为进一步加强高中阶段学生在物理习题实际解答过程中运用勾股定理的灵活性与准确性ꎬ教师要为学生创设科学合理且富有针对性的问题情景ꎬ确保学生能够在问题情境中达到对勾股定理活学活用的应用效果ꎬ潜移默化地培养学生在日常物理解题过程中利用勾股定理进行解题的意识与习惯.以下述高中物理选择题为例ꎬ如图１所示ꎬ滑板运动员运动状态图.一名滑板运动员在滑坡中沿着水平方向前进后ꎬ又落到带有一定倾斜角度的滑坡上.若滑坡倾斜角度为θꎬ当滑板运动员在滑坡中沿着水平方向飞出时ꎬ此时水平速度数值为Ｖ０ꎬ在滑板运动员运动过程中全程忽略空气阻力且重力加速度数值为ｇꎬ则以下选项那个是正确的(㊀㊀).Ａ.当滑板运动员初次落到滑坡上时ꎬ其速度大小为Ｖ０１＋４ｔａｎ２θＢ.当滑板运动员初次落到滑坡上时ꎬ其速度大小为＝Ｖ０ｃｏｓθＣ.滑板运动员水平飞出后ꎬ其落到滑坡上的位移为２Ｖ２０ｔａｎθ１＋ｔａｎ２θｇＤ.滑板运动员水平飞出后ꎬ其落到滑坡上的位移为２Ｖ２０１＋ｔａｎ２θｇ图１㊀滑板运动员运动状态图具体解析过程如下ꎬ由于该题中滑板运动员所产生的运动为平抛运动ꎬ因此可以通过１２ｇｔ２Ｖ０ｔ计算ｔａｎθꎬ即ｔａｎθ＝ｇｔ２Ｖ０ꎬ通过公式变换能够的到ｔ＝２Ｖ０ｔａｎθｇ.在已知ｔ的条件下ꎬ能够有效计算滑板运动员在竖直方向中的速度ꎬ以ＶＳ表示.由于滑板运动员在竖直方向上的运动属于自由落体运动ꎬ因此通过自由落体的瞬时速度计算公式Ｖ＝ｇｔꎬ可知ＶＳ＝２Ｖ０ｔａｎθꎬ滑板运动员初次抵达滑坡时的速度为Ｖ.通过利用勾股定理能够得出ꎬＶ＝Ｖ２０＋(２Ｖ０ｔａｎθ)２＝Ｖ０１＋４ｔａｎ２θ.由此可知ꎬ滑板运动员的竖直位移为Ｃ竖＝２Ｖ２０ｔａｎ２θｇꎬ其水平位移为Ｃ水＝２Ｖ２０ｔａｎθｇ.通过勾股定理Ａ２＋Ｂ２＝Ｃ２可以对滑板运动员落到滑坡上的位置Ｃ进行计算ꎬ即Ｃ＝Ｃ２竖＋Ｃ２水＝２Ｖ２０ｔａｎθ１＋ｔａｎ２θｇ.通过上述解题过程可以得出ꎬ正确答案为ＡＣ.９１１２.２基于正弦定理的高中物理解题策略对于数学定理中的正弦定理而言ꎬ其主要描述的内容为三角形中角度和边长之间的关系.在高中物理解题过程中ꎬ可以结合实际情况通过灵活运用正弦定理将其中的边长等效为作用力ꎬ从而达到基于正弦定理快速定位高中物理题目中各个定量参数之间的关系ꎬ以此为高中学生顺利解题提供重要依据.一般情况下ꎬ正弦定理多用于高中物理题目中的受力分析题.具体应用思路为如下:首先学生需要结合高中物理基础知识对物体受力情况进行分析ꎬ而后利用数学几何知识明确物理模型中的角度大小ꎬ最后结合上述分析结果利用正弦定理形成角度与力之间的等式关系[３].以下述高中物理计算题为例ꎬ如图２所示ꎬ小球受力图.通过对图２分析可知ꎬ一根绳子的一端连接了一个质量为ｍ的小球ꎬ而另一端则固定在墙体中.图中倾斜面的摩擦力为０ꎬ小球放置在倾斜面上.其中ꎬ竖直墙体与倾斜面之间的夹角为θꎬ竖直墙体与绳子之间的夹角为β.通过对上述内容进行分析ꎬ求倾斜面对小球的作用力与绳子对小球的拉力数值.答案:Ｆ拉＝ｍｇｓｉｎβｃｏｓ(θ－β)ꎬＦ作＝ｍｇｃｏｓβｃｏｓ(θ－β).图２㊀小球受力图２.３基于余弦定理的高中物理解题策略对于数学定理中的余弦定理而言ꎬ其通常用于对不规则三角形内角㊁边长等相关方面的求解过程中.基于余弦定理特点ꎬ在高中物理解题过程中ꎬ可以通过余弦定理解析物理题目中的角度㊁距离等相关问题[４].为确保学生能够在高中物理解题过程中熟练运用余弦定理ꎬ并可以根据题目具体情况的不同以灵活性㊁合理性的原则应用余弦定理ꎬ则需要结合实际情况做好以下两方面内容:第一方面ꎬ需要阶段性的带领学生回忆并理解余弦定理内容㊁表达公式等相关知识点ꎬ以此有效巩固学生对余弦定理知识的记忆ꎬ防止学生在实际解题过程中出现知道该题目需要利用余弦定理ꎬ但却忘记余弦定理的相关知识与表达公式ꎻ第二方面ꎬ为进一步加强学生在高中物理解题过程中对余弦定理的应用熟练度ꎬ教师则应当结合实际情况阶段性地带领学生完成优质经典例题ꎬ需要确保例题中有效涵盖余弦定理相关内容ꎬ通过解析经典例题并逐步拆分其中解题步骤ꎬ使学生亲身感受高中物理基础知识和余弦定理的融合效果ꎬ确保学生能够有效发现在高中物理解题过程中通过利用数学定理可以大幅降低解题难度ꎬ从而使其在日后学习与解题过程中主动利用数学定理完成高中物理相关习题[５].综上所述ꎬ在高中物理解题期间ꎬ若想顺利将数学定理灵活应用至物理题目中ꎬ不仅需要高中阶段学生灵活掌握多样化的数学定理ꎬ同时也需要其具有夯实的高中物理基础知识ꎬ这样才能够确保学生在实际解题过程中将高中物理基础知识和数学定理进行有机结合ꎬ从而达到良好的利用数学定理辅助高中物理解题的效果.参考文献:[１]刘长强.数学定理在高中物理力学解题中的有效应用研究[Ｊ].中学理科园地ꎬ２０２２ꎬ１８(３):６５－６８.[２]季剑峰.高中物理变力做功问题的妙解:以链条运动为例[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２０(４):２８.[３]纪桂英.物理解题中数学定理的应用策略[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０２２(１０):５１－５２.[４]马永祯.数形结合思想在高中数学教学中的运用策略研究:以«简单的线性规划问题»为例[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(７７):８２－８４.[５]蒋国俊.巧用正弦定理解决动态平衡问题[Ｊ].物理教师ꎬ２０２１ꎬ４２(６):９４－９５.[责任编辑:李㊀璟]０２１。
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正弦定理在物理解题中的应用
作者：李刚
来源：《新课程·下旬》2019年第08期
摘要：以“正弦定理”为例，阐述了如何从整体上把握教学理念。
学习和解决问题是分不开的。
重要的是，每个學生都要以怎样的心态，用怎样的方法和技巧来解决问题，来面对这些命题。
在教学中，如何引导学生从基本的知识点上培养学生解决问题的能力尤为重要。
学生解决问题的能力是学科基础知识、基本概念和基本逻辑思维的综合体现。
因此，中学生解决问题的能力也是判断学生是否具备扎实基础知识的重要依据。
关键词：正弦定理;数学;方法
近年来随着教育改革的深入，在人才培养方面提出了更高的要求。
在物理教学中，由于物理学科的抽象性和复杂性，使学生在学习中遇到了一些困难，教师应重视让学生学会如何解决问题，巩固所学知识点。
本文通过例题分析总结正弦定理在平常做题中的应用，更加深刻地理解了正弦定理的定义，以期能够在平常的解题中更好地运用和解答。
参考文献：
张乃贵.基于核心素养的正弦定理教学与反思[J].中学数学月刊，2018（11）：1-4.
编辑温雪莲。