中位线的综合应用

中位线的综合应用

一、对教学内容和要求的理解

本节课是在九年级下复习了三角形的中位线、四边形──平行四边形、矩形、菱形、正方形之后安排的一节专题训练课的学习。具体教学内容是：学生在复习了三角形中位线定理以及特殊四边形的性质和识别后，利用这些定理展开新一轮的探究，在整个教学过程中，学生经历了提出问题──观察──猜想──证明──问题解决的科学探索过程，探究式教学贯穿始终，体会转化的数学思想在解决实际问题中的重要性。通过教师的适当引导，学生投人探究中点四边形为什么是平行四边形这一活动中，通过这个探究活动来体验知识的获得过程。

教学目标

（一）知识目标

1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；利用中位线解决问题。

2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置长短。

3、通过图形变换使学生掌握添加辅助线的方法。

（二）能力目标

1、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；

2、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主

义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。（三）情感目标

通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

教学重点和难点

1．重点：中点四边形的得出过程，及中位线的应用。

2．难点：适当添加辅助线证明命题。

3．课型：探究课。

教学方法：引导探究法、讨论法

教学手段

1．教具：实物投影

2．多媒体课件

课时安排：1课时

三、教学过程

（一）温故而知新

1．三角形的中位线有什么性质？

学生回答：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，若D、E分别是△ABC的边AB、AB的中点。则DE∥BC， DE=1／2BC。

(利用多媒体演示图示1)

2．下面我们要探讨四边形的中点构图的一些特性。

如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE又得四边形EFGH。我们把四边形EFGH 叫做四边形ABCD的中点四边形。

图1 图2

（二）观察、猜想与论证

1、发现问题

如图2，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是什么形状呢？

猜想：任意四边形的中点四边形是平行四边形。

已知：如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

证法一：画一条对角线，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明。

证法二：画两条对角线，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明。

（对于九年级的学生以上两种证明比较容易）变式一：如图3，若把“任意四边形ABCD”改成“平行四边形ABCD”、“矩形ABCD”“菱形ABCD”或“正方形ABCD”或“等腰

梯形ABCD ”，则它的中点四边形EFGH 会是什么形状呢？（类同上面方法处理，略）

图3

2、研究问题（一般四边形）：

反之若中点四边形EFGH 分别为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD 是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

图4 图5 图6

学生发表看法，教师引导归纳：

（1） 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形．（图4）

（2） 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．（图5）

（3） 对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．（图6）

3：解决问题：学生活动——发散和创新

（中位线的应用，及适当添加辅助线证明命题）

1、已知：在四边形ABCD 中，ＡＢ＝ＣＤ，E 、F 分别是对角线AC 、

BD边的中点，过EF的直线分别交AB、CD于点M、N，且BA、CD的延长线交于点P

求证：PM=PN

2、已知：在四边形ABCD中AC、BD交于点P，且AC=BD，E、F分别是AB、CD边的中点，且EF分别交AC、BD于点M、N。

求证：PM=PN

4：小结

1、本节课应用了哪些数学方法？

2、决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是四边形ABCD的

对角线的长度和位置

3、学习中应具备积极探索、勇于创新的品质。（培养学生的归纳

能力，使学生形成完整的知识结构和研究数学问题的一般方法。）5：作业

根据本节课的学习设计一道与本节课有关的几何证明题

教学后记：

1、本节课的指导思想是充分发挥学生在学习中的主体作用。从“问题提出--探讨--归纳--应用--发散和进一步研究”的过程中，同学们主动参与、积极探索，并对难的问题同学们合作研究，整个课堂学习积极性高，研究风气浓。

2、老师充分发挥在学习中的主导作用。对学习能力弱的学生积极地加以指导，并帮助学生分析问题，概括归纳新知识。

3、本节课的突出特点是利用现代技术，为学生创建一个学习、研究的学习情境。通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，使学生学得轻松，兴趣浓厚，精神状态极佳。

4、本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，使学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，使学生是很容易地掌握了知识，并在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意思。