中档大题规范练4

中档大题规范练4 数 列

1．数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n

＝1 (n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．

解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n

＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n

＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n

＝1， 所以1S n －1S n －1＝12

. 又S 1＝a 1＝1，

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列． 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1

. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝

2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，n ＝1，－2n (n ＋1)

，n ≥2. 2．已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，

n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n ＋2a n

，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n . 解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1

＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n

，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列，所以a n ＋1a n ＝p n －

1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2

·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22

，n ∈N *.

(2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n

＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n

＝np 2n －1. S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －

1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋

1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得

(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋

1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋

1

1－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2

， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )

＝－n (n ＋1)2

. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，

p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋1

1－p 2，p ≠±1. 3．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n . 解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2. 由题意知，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，

4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋

1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4

n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋

1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满

足b n ＝a n ＋2n .

(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；

(2)若数列c n ＝6n －3b n

，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧

2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n

⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，

从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋

1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，

b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －

1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)， 因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .

(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13

n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13

n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33

n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23

n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13

－2n －13n ＝2－13

n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n

， 故T n ＝3－n ＋13

n －1<3. 5．已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正

整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2

. (1)证明：数列{a n }为等差数列；

(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2

，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结

论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由．