解析几何第4章.
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第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
⎩
⎨
⎧=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程
⎩⎨
⎧=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即
02
3
5622=-
---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩
⎨⎧==c z y
x 的直线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
⎩⎨
⎧=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
22=--+--++z y x xy z y x
此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧+==-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t x x 220
0000
而0M 在准线上，所以：
⎩⎨
⎧+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为
)15
13
,1511,152(0--
M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为
{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量
{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
v u Y +=(
与
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，
则，v M ='
, 即v M O OM ='-, 亦即v u Y =-(，v u Y +=( 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
22=+-=-+z y x z y x ，试求它的
方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
⎪⎩⎪
⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x