23.例说构造方法

第18讲:例说构造方法

解析几何的核心是利用代数方法研究几何问题,其中关键的问题是“计算”,如何减少计算量？基本途径有二:一是构造方程,充分利用方程思想;二是构造几何图形,灵活使用平面几何知识.

例1:构造一元二次方程.

[始源问题]:(2011年浙江高考试题)(文)如图, y P

设P 是抛物线C 1:x 2

=y 上的动点.过点P 做圆C 2:x 2

+

(y+3)2

=1的两条切线,交直线l:y=-3于A 、B 两点. O x (Ⅰ)求C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离; (Ⅱ)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C 1在点P 处

的切线平分？若存在,求出点P 的坐标;若不存在, A B 请说明理由.

[解析]:(Ⅰ)由M(0,-3),C 1的准线:y=-41⇒M 到抛物线C 1准线的距离=3-4

1=411;

(Ⅱ)设P(t,t 2

),切线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2,则抛物线C 1在点P 处的切线y-t 2

=2t(x-t),即y=2tx-t 1

⇒C 1在点P 处

的切线与直线l 交点D 的横坐标x D =t t 232-;由过点P 的直线y-t 2=k(x-t),即kx-y+t 2

-kt=0与圆C 2相切⇒1

|3|22++-k kt t =1⇒

(t 2-1)k 2-2t(t 2+3)k+(t 2+3)2-1=0(t 2

-1≠0)⇒k 1+k 2=1

)3(222-+t t t ,k 1k 2=

1

1)3(222--+t t ;又由⎩⎨⎧=-+--=0

32

kt t y kx y ⇒x=t-k t 3

2+⇒x A = t-

123k t +,x B =t-223k t +⇒x A +x B =2t-(t 2+3)(

11k +21k )=2t-(t 2

+3)⋅1

)3()3(2222-++t t t ;若线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分,则x A +x B =2x D ⇒2t-(t 2

+3)⋅

1

)3()3(22

2

2-++t t t =2⋅

t

t 232-⇒t 4

=8⇒t=±4

8⇒P(±

4

8,22).

[原创问题]:已知抛物线C:x 2=2py(p>0)的准线l 经过圆M:x 2+(y+1)2=1的圆心M.

(Ⅰ)求抛物线C 的方程;

(Ⅱ)设P 是抛物线C 上的点,过点P 做圆M 的两条切线,交直线l 于A 、B 两点.是否存在点P,使得∠AFB=900

(F 为抛物线C 的焦点)？若存在,求出点P 的坐标;若不存在, 请说明理由.

[解析]:(Ⅰ)由抛物线C:x 2=2py(p>0)的准线l:y=-2p 过M(0,-1)⇒-2

p =-1⇒p=2⇒抛物线C:x 2

=4y; (Ⅱ)设P(2t,t 2

),切线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2;由过点P 的直线y-t 2

=k(x-2t),即kx-y+t 2

-2kt=0与圆M 相切⇒

1

|

12|22++-k kt t =1⇒(4t 2-1)k 2-4t(t 2+1)k+(t 2+1)2-1=0(4t 2

-1≠0)⇒k 1+k 2=

1

4)1(422-+t t t ,k 1k 2=

1

41)1(222--+t t ;由⎩

⎨

⎧

=-+--=0212

kt t y kx y ⇒x=2t-

k

t 12+⇒x A =2t-121k t +,x B =2t-221k t +;若∠AFB=900⇒x A x B =-4⇒(2t-121k t +)(2t-221k t +)=-4⇒4t 2-2t(t 2

+1)(11k + 21k )+(t 2+1)2⋅2

11k k =-4⇒4k 1k 2-2t(k 1+k 2)+(t 2+1)=0⇒4(t 2+1)2-4-8t 2(t 2+1)+(t 2+1)=0⇒4(t 2+1)2-9(t 2+1)+4=0⇒t 2

= 817

1+⇒t=±417

22+⇒P(±41722+,8

17

1+). [原创问题]:已知抛物线C:x 2=2py(p>0)在点P 处的切线方程为y=-2x-2.

(Ⅰ)求抛物线C 的方程和切切点P 的坐标;

(Ⅱ)点A 、B 在抛物线C 上,若△PAB 的内切圆的半径=1,且圆心在y 轴上,求直线AB 的方程.

[解析]:(Ⅰ)由⎩⎨

⎧=--=py

x x y 2222

⇒x 2+4px+4p=0⇒(4p)2-16p=0⇒p=1⇒抛物线C:x 2

=2y,P(-2,2);

(Ⅱ)设PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2,△PAB 的内切圆M:x 2

+(y-b)2

=1(b>0);由过点P 的直线y=kx+2k+2与圆M 相切⇒

1

|22|2

+-+k b k

=1⇒3k 2+4(2-b)k+(2-b)2

-1=0⇒k 1+k 2=

34(b-2),k 1k 2=31[(2-b)2-1];又由⎩⎨⎧=++=y

x k kx y 2222⇒x 2

-2kx-4(k+1)=0⇒x=2k+2,-2 (舍去)⇒x A =2k 1+2,x B =2k 2+2⇒x A +x B =2(k 1+k 2)+4⇒k AB =

21(x A +x B )=(k 1+k 2)+2=3

24-b ⇒直线AB:y-2(k 1+1)2

=[(k 1+k 2)+2][x- (2k 1+2)]⇒y=[(k 1+k 2)+2]x-2(k 1k 2+k 1+k 2+1)⇒(4b-2)x-3y-2(b 2

-2)=0;由AB 与圆M 相切⇒

9

)24(|432|22+--+b b b =1⇒(2b 2+3b-4)

2

=4(2b-1)2+9(令2b-1=t)⇒t 4+10t 3+t 2-40t-20=0(试根知t=2)⇒(t-2)(t 3+12t 2

+25t+10)=0⇒t=2⇒b=2

3

⇒直线AB:8x- 6y-1=0.

例2:构造二次齐次方程.

[始源问题]:(1991年全国高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P 和

Q,且OP ⊥OQ,|PQ|=

2

10

,求椭圆的方程. [解析]:设椭圆的方程:ax 2+by 2=1(a>0,b>0,a ≠b),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则|PQ|=

2

10⇔(x 1+x 2)2

-4x 1x 2=45;OP ⊥OQ ⇔

11x y ⋅22x y =-1,由⎩⎨⎧=++=112

2by ax x y ⇒ax 2+by 2=(y-x)2⇒(a-1)x 2+2xy+(b-1)y 2

=0⇒(b-1)(x y )2+2x y +(a-1)=0⇒11x y +22x y =-12-b , 11x y ⋅22x y =11--b a ⇒a+b=2;11x y ⋅22x y =-1⇒111x x +⋅221x x +=-1⇒2x 1x 2+x 1+x 2+1=0;11x y +22x y =-12-b ⇒111x x ++2

21

x x +=-12-b ⇒2b

x 1x 2+(b-1)(x 1+x 2)=0⇒x 1+x 2=-b,x 1x 2=

21-b ⇒b 2

-2(b-1)=45⇒b=21,23⇒a=23,2

1. 直线l 与椭圆C:2

2

22b y a x +

=1(a>b>0)相交于P 、Q 两点,若以弦PQ 为直径的圆过原点O,则等价于:①原点O 到直线PQ 的距离d=

2

2b a ab +;②

2

2||1||1OQ OP +=2211b a +;③直线PQ 与圆x 2+y 2=r 2

相切,其中,r 满足21r

=2211b a +. [原创问题]:设椭圆E:22

2

2

x b y a +=1(a,b>0)过M(1,1)、N(21,

2

10)两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设n 是过原点的直线,l 是与n 垂直相交于点P 、与椭圆E 相交于A,B 两点的直线,|OP |=1,是否存在上述直线l 使

PB AP ⋅=1成立？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.

[解析]:(Ⅰ)由椭圆E:22

22x b y a +=1(a,b>0)过M(1,1)、N(21,210)⇒21a +21b

=1,241a +225b =1⇒a 2=23,b 2=3⇒椭圆E:

13

322

2=+y x ; (Ⅱ)由|OP |=1,PB AP ⋅=1⇒PB AP ⋅=||||PB AP ⋅=1=|OP |2⇒△AOB 是直角三角形,且∠AOB=900

⇒OB OA ⋅=0;设A(x 1, y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=kx+m(m ≠0)⇒1=

m kx y -⇒3

3222y x +

=(m kx y -)2⇒(3k 2-2m 2)x 2-6kxy+(3-m 2)y 2=0⇒(3-m 2

)(x y )2-6k ⋅

x y +(3k 2-2m 2)=0⇒k OA k OB =11x y ⋅22x y =222323m

m k --=-1⇒m 2=k 2

+1⇒|OP |=点O 到直线l 的距离=1

||2

+k m =1⇒存在直线l:y=kx

+m(m 2

=k 2

+1)满足条件.