第二节 微积分的基本定理

x
原函数， 这就肯定了连续函数的原函数是存在的。 定理 2 （原函数存在定理） 若函数f (x) 在区间 [a, b]上连续，则在该区间上 f (x) 的原函数存在。
例1
求下列变限积分的导数
d x t e dt （ 1） dx a
解
f (t ) e t 是连续函数，根据定理 1，得
d x t x e dt e dx a
0 x
' ' ( x) [20 (2t 1)dt (2 x 1) 2 ]'
x
2(2 x 1) 2(2 x 1) 2
6(2 x 1)
例3 （ 1） 解
求下列极限：
tdt x2
x
2 该极限是 x 0, sin tdt 0 , x 0 时， 当 0

b
a
f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a ).
b
例7 解
求


2 0
(cos x 2 sin x) dx


2 0
(cos x 2 sin x)dx
2 sin x 2 cos x0

sin

2
2 cos

2
(sin 0 2 cos 0)
f (t )dt f (t )dt
a
x
y y = f (x)
x
B A C
f (t )dt
a
x
x x
x
f (t )dt f (t )dt
a

x x
x
f (t )dt .
O a
(x)

x x + x b
x
根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间 至少存在一点 x ， 使
内容小结
1. 变限积分求导公式
x
( x) f (t )dt f ( x). a

( f (t )dt )' f ( x)
b
x
(
(
( x)
a
( x)
f (t )dt )' f [ ( x)] ' ( x)
f (t )dt )' f [ ( x)] ' ( x) f [ ( x)] ' ( x)
1 2 1 2 (ln e ln 1) 2 2
x 1, x 0 求 例 10 设 f ( x) x e , x0
解 由定积分性质，有

2
1
f ( x)dx

2
1
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
1
0
0
2
0
e dx ( x 1)dx
二、牛顿-莱布尼茨公式
定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么

b
a
f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式
由定理 1 知道 ( x ) f ( t ) dt 是 a f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 又 由 题 设 知 道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， 由 原 函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只 相差一个常数， 即 证
x 时， 该极限是 " " 型未定式， 解 当 由洛必达法则和重要极限得：
x
lim

x
a
(1 t ) dt
t
x
lim
( (1 t )t dt) '
a
x
x
( x) '
1 x lim (1 ) x x
e
例4
证明：函数 ( x) te t dt 当 x 0 时单调增加 0


2


2
cos x cos xdx cos x sin ddx 2 cos x sin xdx
3 2 0
0

cos x d (cosx) 2 cos xd (cosx)
2 0
0

3 3 2 2 2 2 4 [ cos2 x]0 [ cos2 x]02 ( ) 3 3 3 3 3 2
( x ) 证 按导数定义，证 lim f ( x ) 即可. x 0 x 由 (x ) 的 给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]， 定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 即
(x) = (x + x) - ( x)

x x a
1 1 [ (2 x 1)101 ]1 0 2 101 1 101 [1 (1)101 ] 202 1 101

例9 解
b
a
f ( x)dx [ f ( x)dx]b a F (b) F (a)
求

e
1
ln x dx x

e
1
e ln x dx 1 ln xd (ln x) x 1 2 e [ln x]1 2
第五章 定 积 分
第二节 微积分的基本定理
一、变上限定积分 二、牛顿-莱布尼茨公式
一、变上限定积分
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 x a f (t )dt 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形 AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积 . 当 x 在 y B 区间 [a, b] 上变化时, y = f (x) 阴影部分的曲边梯形面 C A 积也随之变化，所 以 变 (x) 上限定积分 x f (t )dt 是上限变量 x 的函数. 记作 (x)， 即 x ( x ) f (t )dt (a ≤ x ≤ b).
0 " " 型未定式， 可以用洛必达法则求极限，有 0
lim
x 0
x
0
sin tdt x2
lim
x 0
( sin tdt) '
0
x
( x 2 )'
sin x lim x0 2 x
1 2
（ 2）
x
lim
x
a
(1 t ) t dt x
(a 0为 常 数)
b
求
1 1 1 x 2 dx;
1
1 解 f ( x) 2 在 [ 1,1]上连续， F ( x) arctanx 是 1 x f ( x) 的一个原函数， 由牛顿—莱布尼兹公式得
1 1 1 1 x 2 dx arctan x 1 arctan 1 arctan( 1) ( ) ; 4 4 2
F ( x ) f ( t )dt C
a x
x
(a ≤ x ≤ b).
①
把 x = a 代入①式中， 即 (a ) 则，常数 C = F(a)， 于是得

a
a
f ( t ) dt 0,
F ( x ) f (t )dt F (a ).
a
x
令 x = b 代入上式中，移项，得
a
a
O
a
x
b
x
定理 1
（变上限积分对上限的求导定理）
若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 则变上限定积分
( x ) f (t )dt
a
x
并且它的导数等于被积函数， 在区间 [a, b] 上可导， 即
x d ( x) ( x) f (t )dt f ( x). a dx
x2
解 由函数单调性的判别方法，只需证明 ' ( x) 0 即可。
( x) ( te dt) x e
' t ' 0
x2
2 x2
2x
2x e
当 x 0 时， ( x) 2x e
'
x2
3 x2
3 x2
0
故 ( x) te t dt 当 x 0 时单调增加 0
1
注：（2）

b
a
b f ( x)dx [ f ( x)dx]b ( F ( x ) C ) | a a F (b) F (a)
例8 解
求
1 0

1
0
(2 x 1)100 dx
100
(2 x 1)
1 1 100 dx 0 (2 x 1) d (2 x 1) 2
例1 （ 2） 解
求下列变限积分的导数
d b t e dt x dx
x d b t x t e dt ( e dt )' e b dx x
x d 总结： f (t )dt f ( x) dx b
例1 （ 3） 解
求下列变限积分的导数
d x 2 t e dt dx a
x 1 0
2
1 2 2 [ e ] [ x x ] 0 e3 2
x 0 1
例 11 设 解

2

cos x cos3 xdx
2
简化被积函数.
cos x cos 3 x cos x(1 cos 2 x) cos x | sin x |
cos x sin x 2 x 0 cos x sin x 0 x 2