2021-2022年高三数学第一轮复习单元讲座 第30讲 数列求和及数列实际问题教案 新人教版

2021年高三数学第一轮复习单元讲座第30讲数列求和及数列实际问

题教案新人教版

一．课标要求：

1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；

2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。

二．命题走向

数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。

有关命题趋势：

1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；

2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。

预测xx 年高考对本将的考察为：

1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 三．要点精讲

1．数列求通项与和

（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n = 。 （2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和

①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n 2

=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2

； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；

③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m

S n ； ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

、=－、n ·n ！=(n+1)!

－n!、C n －1r －1

=C n r

－C n －1r

、=－等。

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则

1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：

2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k－1,a n+k－2,…,a n)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2a n+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

四．典例解析

题型1：裂项求和

例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。

解析：首先考虑，则=。

点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求

和11

n n

i i

==

=也可用裂项求和法。

例2．求)

(,

3

2

1

1

4

3

2

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1*N

n

n

∈

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

。

解析：

)1

(

2

2

1

1

+

=

+

⋯

+

+

=

k

k

k

a

k

，

]

)1

n(n

1

3

2

1

2

1

1

[2

S

n+

+

⋯

+

⋅

+

⋅

=

∴

1

2

1

1

1

2

1

1

1

3

1

2

1

2

1

1

[2

+

=⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

-

=⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

-

+

⋯

+⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

+⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

n

n

n

n

n

点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。

题型2：错位相减法

例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和。

解析：①若a=0时，S n=0；

②若a=1，则S n=1+2+3+…+n=；

③若a≠1，a≠0时，S n-aS n=a（1+a+…+a n-1-na n），

S n=]

na

a)1

n(

1[

)a

1(

a1n

n

2

+

+

+

-

-

。

例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。

解析：，