高中数学 2-4第2课时等比数列精品课件同步导学 新人教A版必修5
高中数学人教A版必修5 ：等比数列(2课时)精品课件
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
1、等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
2.4 等比数列 （第2课时）
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
复习回顾：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 .
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
1. a n 是等比数列
a n 1 q (nN*) (q为非零常数） an
课堂小结
• 1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达
式： an q(q 0)，（n ≥ 2，n ∈N）； an1
• 2、要会推导等比数列的通项公式：
ana1qn 1(a1q0)，并掌握其基本应用；
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
anbn
、
a b
n n
也是等比数列。
（课本P52）
特 别 地 ， 如 果 是 a n 等 比 数 列 ， c 是 不 等 于 0 的 常 数 ，
那 么 数 列 c a n 也 是 等 比 数 列 。
2 . 若 m ,n ,p ,q N ,且 m n p q ,则 amanapaq
特 别 地 ， 当 m n 时 ， 有 a n 2 a p a q
高中数学人教A版必修5第二章：2.4等 比数列 (2课时 )课件
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-4《等比数列》课件(共26张PPT)
即：
an a1 q n1
此式对n=1也成立
∴ an a1 qn1 (n N )
例4：求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
an a1 qn1
（2）1.2，2.4，4.8，…
（3）
变式2：在等比数列{an}中，已知
a3 ，2求0,aan.6 160
（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为 零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；
（4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
aq1
0 1
或
0a1
an a1 * qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq
等比数列有相似的性质吗？ 若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq
证明:
例7：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ __________.
1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思 维能力，由特殊到一般的认知规律。 3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。
课后练习 课后习题
＝a·q34 ＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝ ＝146 或aa73＝ ＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
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KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
人教A版必修5等比数列(第2课时)课件ppt(优质精选)
a1
a2
an
即 an1 q(q 0, n N * )
an
课件在线
4
判断下列数列是否为等比数列?若是,请求出公比q的值.
（1）４，－８，１６，－３２，……
(2) 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, ……
（3）数列 an 的通项为an= 1 3n
2
（4）数列 bn 中,bn=2bn-1 且 bn 0(n>1)
上一群孤立的点。
课件在线
9
20
18 （1）数列：2，4，8，16，…
16
●
14
12
an=2×2n-1=2n ，其图象应为
10
y=2x上一群孤立的点。
8
●
6
4
●
2
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
课件在线
10
与等差中项的概念类似，如果在a与b中间插 入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。
故 { a n } 的通项公式为课件a在n线= －2 n
18
1、在等比数列中，填空：
(1)
1， 1 2
，1 4
， 1 8
，……
1 中第 15 项是 ___2_1_4____
(2) 2，2 2 ，4，4 2 ，…… 中第 __9__ 项是 32
(3) 第 7 项为
1 100
，公比为 1
10
，则第一项为
am an ap aq
特别地,若m+n=2p (m、n、p∈N*)时,有
am an ap2
课件在线
13
2.{an}是等比数列,公比为q,则{can}也是等比 数列,且公比为__q____.
高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5
1 1 ∴{bn}是首项为 a－4，公比为2的等比数列．
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中， 已知 a1 ＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q； (2)是否存在常数 a， b 使得对一切正整数 n， 都有 an＝logabn ＋b 成立？若存在，求出 a 和 b；若不存在，说明理由．
1 bn＋1 2n 1d 1 ∴ ＝ ＝ ， bn 1 2 2nd
＋
∴数列{bn}是等比数列．
[辨析]
①在解方程变形过程中，不可在方程两边同时约
去含未知量的因式， 错解中， 由 d2＝a1d 约去 d 得出 d＝a1 是错 bn＋1 误的， ②在判定{bn}是等比数列， 做除法 b 时， 应先说明 bn≠0. n
等比数列的综合应用
1 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ a≠ 4 ， 且 an ＋ 1 ＝
n为偶数 . n为奇数
1 记 bn＝a2n－1－4，n＝1,2,3，„„. (1)求 a2、a3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[解析]
1 1 1 1 1 (1)a2＝a1＋4＝a＋4，a3＝2a2＝2a＋8.
(8){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相 等，且等于首末两项之积．即：a1an＝a2 an－1 ＝a3 an－2 ＝„＝ ak an－k＋1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列，则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列．
重点难点展示
重点：等比数列的性质． 难点：灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题．
[正解]
∵lga1，lga2，lga4 成等差数列，
高中数学 2.4等比数列(第2课时)课件 新人教A版必修5
公式加以证明吗？
证： a m a 1 q m 1 ,a n a 1 q n 1 ,a s a 1 q s 1 ,a t a 1 q t 1
a m a n a 1 q m 1 a 1 q n 1 a 1 2 q m n 2
an=ank
ank 2
5、若 m,n,p,qN*
an2=ank ank 5、若 m,n,p,qN*
且mnpq 且mnpq
则 amanapaq 则 aman apaq
6、若{an }, {bn } 是等差 数列，则{a n + bn }也构
成等差数列。
6、若{an },{bn } 是等比 数列，则{a n bn } 也构
则 aman apaq 4、若{an},{bn}都是等比数列，则{| an |}， {an2}, {can}(c0)， {ank},{a完n整版bpn pt},{a bn n}也是等比数列11
【课后作业】
B 1(07 海南)若 a 、 b 、 c 、 d 成等比数列，且 y = x2 —2 x +3 的顶点是( b ， c )，则 ad =( )
aa11a3
a3
4
5
解得 aa1314或者 aa1314
当 a 1 1 时 q ， 2 ,a n 2 n 1
当 a14时q， 1 2,an(1 2)n3
完整版ppt
7
例2、若{ a n } 与{bn } 为等比数列，则 {an •bn}是等比 数列吗？若是，加以证明，否则，给出反例。
答： {an •bn} 为等比数列，证明如下：
log3 aaa2 a10
log3(a5a6 )5
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)
6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.
人教A版高中数学必修五课件：2.4等比数列(共14张PPT)
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习 课后习题
数列 定义式 公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18， 求它的第１项和第２项． 解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章 数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,
(教师参考)高中数学 2.4 等比数列课件1 新人教A版必修5
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6
4. 除了单利，银行还有一种支付利息的 方式——复利，这种复利计算本利和公 式是：本利和=本金×(1+利率)存期.
例如，现在存入银行10 000元钱，年 利率是1.98%，5年内各年末得到的本利 和（单位：万元）组成了下面的数列：
1.0198, 1.01982, 1.01983, 1.01984, 1.01985.
精选ppt
16
例2：根据图中的框图， 写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式， 这个数列是等比数列吗？
开始 A=1
解：若将打印出来的数依次记为
a1（即A），a2，a3，…… 由图可知打印出来的数依次为
n=1 输出A
1，1 , 1 , 1 , 1 . 2 4 8 16
a1 1,
于是，可得递推公式
分析：
时间： 剩留量:
最初
1
经过1年a1=0.84 经过2年a2=0.842 经过3年a3=0.843 经过n年an=0.84n
解：设这种物质最初的质量是1，
经过n年，剩留量是an ， 由条件可得数列｛ an ｝是
一个等比数列。
a1=0.84，q=0.84，
an=0.84n=0.5. 解得n=4.
答：这种物质的半衰期大约为4年.
精选ppt
7
观察这几个数列，看有何共同特点?
1, 2, 4, 8, 16, …,263;
①
1, 1 , 1 , 1 ;
②
248
1, 20, 202, 203, … ;
③
1.0198, 1.01982, 1.01983, … . ④
精选ppt
8
观察这几个数列，看有何共同特点?
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新
第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。
【高中教育】高中数学 2.4 等比数列第2课时学案 新人教A版必修5.doc
2.4 等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a与b的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.(1)在等比数列{an }中,是否有=an-1an+1(n≥2)?(2)如果数列{an }中,对于任意的正整数n(n≥2),都有=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗?分析:(1)由{an }是等比数列,知,所以有=an-1an+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an }中的每一项均不为零,且=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立.2.几个性质(1)已知a1,a2,a3,…,an是公比为q的等比数列,新数列an,an-1,…,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出an ,an-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{an }的首项为a1,公比为q.①依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?②数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:①由=q,得an+1=anq,a 3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{an}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{can }(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{an}是等比数列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立吗?②=an-1an+1(n>1)是否成立?③=an-k an+k(n>k>0)是否成立?④在等比数列中,m+n=p+k,am ,an,ap,ak有什么关系呢?分析:①设数列{an }的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a 7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=an-1an+1(n>1)成立.③=an-k an+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得am =a1q m-1,an=a1q n-1,ap=a1q p-1,ak=a1q k-1,a m ·an=q m+n-2,ap·ak=q p+k-2,则aman=apak.结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{an}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{an}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】如果数列{an },{bn}是项数相同的等比数列,那么{an·bn}也是等比数列.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练1:等比数列{a n }中,若a 7·a 12=5,则a 8·a 9·a 10·a 11= . 变式训练2:等比数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=7,a 1·a 2·a 3=8,则a n = . 变式训练3:已知数列{a n }为等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼 参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q ≠0)2.a n =·q n-1(a 1·q ≠0),a n =·q n-m (a m ·q ≠0) 二、信息交流,揭示规律 1.⇒G 2=ab ⇒G=± 2.(1)a n (2)①a 1 q 2(3)a m a n =a p a k (m,n,p,k ∈N *) 三、运用规律,解决问题 【例1】解:(1)∵a 5=a 2q 5-2,∴q=-. ∴a n =a 2q n-2=4×. (2)∵a 3a 5=,a 3a 4a 5==8, ∴a 4=2. 又∵a 2a 6=a 3a 5=, ∴a 2a 3a 4a 5a 6==32.【例2】解:设数列{a n }的首项是a 1,公比为q 1;数列{b n }的首项为b 1,公比为q 2,那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n+1项分别为a 1··b 1·与a 1··b 1·,即为a 1b 1(q 1q 2)n-1与a 1b 1·(q 1q 2)n ,因为=q 1q 2,它是一个与n 无关的常数,所以{a n ·b n }是一个以a 1b 1为首项,以q 1q 2为公比的等比数列.【例3】证明:法一:∵a,b,c,d 成等比数列, ∴,∴b 2=ac,c 2=bd,ad=bc,∴左边=b 2-2bc+c 2+c 2-2ac+a 2+d 2-2bd+b 2 =2(b 2-ac)+2(c 2-bd)+(a 2-2bc+d 2) =a 2-2ad+d 2=(a-d)2=右边. 证毕.法二:∵a,b,c,d 成等比数列,设其公比为q, 则b=aq,c=aq 2,d=aq 3,∴左边=(aq-aq 2)2+(aq 2-a)2+(aq 3-aq)2 =a 2-2a 2q 3+a 2q 6 =(a-aq 3)2, =(a-d)2=右边 证毕.【例4】解:设a,b,c 分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d 与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d, 代入①,得9d 2=(3d-d+1)(3d+d), 9d 2=(2d+1)·4d,解之,得d=4或d=0(舍d=0), 所以b=12.四、变式训练,深化提高变式训练1:解析:因为a 7·a 12=a 8·a 11=a 9·a 10,又a 7·a 12=5,所以a 8·a 9·a 10·a 11=5×5=25.答案:25变式训练2:解析:由a 1·a 2·a 3=8得=8,于是a 2=2所以a 1·a 3=4, ① 由a 1+a 2+a 3=7得a 1+a 3=5, ② 由①②解得当时,q==2,an=2n-1,当时,q=,an=4×=23-n. 答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又an >0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。
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• 2．等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不 同点
(1)强调每一项与前一项 的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
由①得 a2＝16q 由②得 a
2
③
2 －1· q＝－128. q
将③代入得：q2－2q－8＝0， ∴q＝4 或 q＝－2. 又 a2＝16q，∴q>0，∴q＝4，∴a＝± 8. 当 a＝8 时，所求四个数分别为：－4,2,8,32. 当 a＝－8 时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.
• 2.若条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后 三个数成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两数之 积为－128，则如何求这四个数？
解析： a 依题意设后三个数为 ，a，aq， q
又∵前三个数成等差数列， 2a ∴第一个数为 q －a，则由已知得： a a＝16 q· 2a －a· aq＝－128 q ① ②
a [解题过程] 方法一： 设前三个数分别为q， aq(q≠0)， a， 则第四个数为 2aq－a， a ＋2aq－a＝21 由题意得q ， a＋aq＝18 3 解得 q＝2 或 q＝ ， 5 当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18； 3 45 75 45 27 9 当 q＝ 时，a＝ ，这四个数为 ， ， ， . 5 4 4 4 4 4
，
75 a＝3 a＝ 4 解得 或 b＝6 b＝45 4
，
75 45 27 9 ∴这四个数为 3,6,12,18 或 ， ， ， . 4 4 4 4
[题后感悟]
合理地设出所求数中的三个，根据题意得
出另一个是解决这类问题的关键．一般来说，三个数成等比 a 数列时可设 ，a，aq；三个数成等差数列时可设 a－d，a，a q ＋d；四个数成等差数列时，可设为 a－3d，a－d，a＋d，a a a ＋3d，但当四个数成等比数列时，不能设成q3，q，aq，aq3， 这样隐含了公比 q2>0 这一条件，可能会产生失根．
• [题后感悟] 本题将实际问题抽象出一个数列 问题，解决数列应用题的关键是读懂题意， 建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列 问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首 项的确立，时间的推算．不要在运算中出现 问题．
• 3.2009年，某县甲、乙两个林场森林木材的存 量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比 上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年 递减20%. • (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？ • (2)问两林场木材的总量到2013年能否翻一番？
•
某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米 是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住 房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中 低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年 底 • (1)该市历年所建中低价房的累计面积 • (以2009年为累计的第一年)将首次不 • 少于4 750万平方米？ • (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%.
已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·2·3 ＝5， a a a7·8·9＝10，则 a4·5·6＝( a a a a A．5 2 C．6 ) B．7 D．4 2
ห้องสมุดไป่ตู้
[解题过程]
a1·2·3＝a23＝5 a a
a7·8·9＝a83＝10 a a a4·5·6＝a53 a a 3 又∵a5 ＝a2·8，∴a5 ＝(a2·8)2 a a
，
75 45 27 9 ∴这四个数为 3,6,12,18 或 ， ， ， . 4 4 4 4
• 方法三：设第一个数为a，则第四个数为21－ a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则 这四个数为a，b,18－b,21－a，
a18－b＝b2 由题意得 b＋21－a＝218－b
a6 8 1 32 2 ∴q ＝a ＝32＝4或 q ＝ 8 ＝4. 4 1 ∴q＝± 或 q＝± 2. 2
1 答案： ± 或± 2 2
• 4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7， a1·2·3＝8，求数列{an}的通项公式． a a
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知， 得 a23＝8，∴a2＝2. 2 2 设前三项为q，2,2q，则有q＋2＋2q＝7. 整理，得 2q2－5q＋2＝0， 1 ∴q＝2 或 q＝2. a1＝4， a1＝1， 1n－1. n －1 ∴ 或 1 an＝2 或 an＝4·2 q＝2， q＝2.
第二章 解三角形
第四节 等比数列
第一课时 等比数列的性质
• 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的 由来． • 2.理解等比数列的性质并能应用． • 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
• 1.对等比数列性质的考查是本课时的热点． • 2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结合 命题． • 3.多以选择题和填空题的形式考查.
•
等比数列的常用性质
性 质1
性 质2 qn－m (n，m∈N*) 通项公式的推广：an＝am· 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·l＝ a
1 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a ， n an {an }，{an·n}，b 仍是等比数列 b n
解析：
(1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，
解得 n＝2， 故到 2011 年两林场木材的总存量相等． (2)令 n＝5，则
5 4 4 a5＝16a4 ＋25a54<2(16a＋25a)，
故到 2013 年不能翻一番．
• 1．等比数列的“子数列”是否成等比数列？ • 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 • (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比 数列； • (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； • 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； • (3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd 的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差 数列，则对应的项依次成等比数列．
方法二：设后三个数为 a－d，a，a＋d， a－d2 则第一个数为 a ， a－d2 因此这四个数为 a ，a－d，a，a＋d. a－d2 ＋a＋d＝21 a 由题意得 a－d＋a＝18
27 a＝12 a＝ 4 解得 或 d＝6 d＝－9 2 ，
2
性 质3
性 质4
在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即 a a1an＝a2an－1＝a3an－2＝am·n … 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列
性 质5
• 1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成 新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( ) • A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 • C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
• • • • •
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不 等式的最小正整数n＝6.10分 • 故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.12分
• 等差数列的常用性质
性 质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
性 质2
性 质3 性 质4 性 质5
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝a2＋an －1＝a3＋an－2＝… 若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列，则{pan ＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、m∈N*) 组成公差为md的等差数列
(3)∵{an}成等比数列， ∴a3·4·5，a6·7·8，a9·10·11 仍成等比数列， a a a a a a a6a7a8 24 此数列公式 q＝a a a ＝ 3 ＝8， 3 4 5 a9a10a11＝(a6a7a8)· q＝24×8＝192.
答案： (1)－217 (2)13 122
(3)192
• 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通 过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等 差数列和等比数列．
[规范作答]
(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意
可知，{an}是等差数列，其中 a1＝250，d＝50， nn－1 则 Sn＝250n＋ 2 ×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
an＋1an＋2 an＋2 2 所以 ＝ a ＝q ，数列{bn}是公比为 q2 的等比数列． anan＋1 n
• 答案： B
• 2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4 ＋2a3a5＋ a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( ) • A．6 B．10 • C．15 D．20 • 解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 • ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， • ∴a3＋a5＝6，故选6. • 答案： A