福建厦门2008~2009高一下期末考试

厦门市2008～2009学年(上)高一质量检测A 卷（共100分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合{},,A a b c =，{},B b d =，则A B ⋂等于（ ）A ．{}bB ．{},a bC ．{},,a b cD ．{},,,a b c d 2. 函数2log (3)y x =+的定义域为（ ）A ．{}3x x ≥-B ．{}3x x -＞C ．{}0x x ≥D ．{}0x x ＞ 3. 三个数0.33，1，330.的大小关系是（ ） A ．330.＜0.33 ＜1 B ．0.33＜330. ＜1 C ．0.33＜1 ＜330. D ．330.＜1 ＜0.334. 已知a b ∙=-4a =，a 和b 的夹角为135o，则b 为（ ）A ．12B ． 3C ．6D ．5. 下列各数中，与sin 209o的值最接近的是（ ）A ．12 B C ．12- D ．6. 当01a ＜＜时，在同一坐标系上函数1()xy a=与log a y x =的图像大致是（ ）7. 函数22sin (0)3y x x π=≤＜的值域是（ ）A ．(B ．2⎡⎤⎣⎦C ．[]2,2-D ．(]0,28. 要得到函数sin(2)4y ππ=+的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 9. 函数()2xf x x =+的零点所处的区间是（ ）10. 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为多少2cm ？A ．4B ．2C ．4πD ．2π 11. 已知()(2)3f x x f =∙+，则(3)f =（ ）A ．6B ．-6C ．9D ．-912.定义两种运算：a b ⊕a b a b *=-，则函数1()(1)1xf x x ⊕=*-的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

13. 已知函数122310(0)()(0)x x f x x x x ⎧⎪-=⎨⎪-≤⎩＞，则[](3)f f -= 。

14. 已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，则112()e e e ∙-= 。

三、解答题：本大题共3小题，共32分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

15. （本题满分10分）已知函数sin(2)2y x π=-，x R ∈。

（1）当为何值时，y 取得最大值、最小值，并求出最大值、最小值； （2）画出函数sin(2)2y x π=-在3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图。

16. （本题满分10分）已知向量=→PA (3,cos )PA a −−→=，=→PB (sin ,1)PBa −−→=，且⊥→PA →PB 。

（1）求tan a 、sin a 、cos a 的值； （2）求||→AB ； （3）求→PA 与→AB 夹角θ的全弦值。

17. （本题满分12分）某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润y 与投资额z 成正比，其关系如图1所示；B 产品的利润y 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资额的单位均为万元）。

（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?B 卷（共50分）四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

18. 如果tan a sin a <0且0< sin a + cos a <l ，那么角a 的终边在第 象限19. 已知→→j i ,是平面上不共线的非零向量，已知→→→+=j i AB ，→→→-=j m i AC 2，若A 、B 、C 三点共线，则实数m=20. 定义在]2,2[-上的偶函数)(x f 在区间]0,2[-上单调递增，若)()2(m f m f <-，则实数m 的取值范围是 。

21. 给出下列四个结论：①若集合{}01A x R x =∈≤≤，{}lg B x N x =∈＜1，则{}1A B ⋂=；②函数()f x =()4,5(5,)⋃+∞；③若ABC ∆的内角A 满足13sin cos A A =，则sin cos A A +=； ④函数()sin f x x =的零点为()k k Z π∈。

其中，结论正确的是 。

（将所有正确结论的序号都写上）五、解答题：本大题共3小题，共34分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

22. （本题满分10分）已知函数()x af x a x=+，其中0a ＞为常数。

（1）证明函数()f x 在(],o a 上是单调递减函数； （2）求函数()f x 在(]0,2a 上的最小值。

23. （本题满分12分）已知函数()cos()f x x ωθ=∙-（其中[]00ωθπ∈＞，，）是奇函数，又函数()f x 的图像关于直线12x π=对称，且在区间(0,)12π内函数()f x 没有零点。

（1）求θ和ω的值； （2）函数()f x 图像是中心对称图形，请写出所有对称中心的坐标； （3）求函数()f x 的单调递增区间。

24.（分12分）平行四边形ABCD的对角线AC的长为4，P为线段AC上的一个动点，记→→=aPA，→→→=+bPDPB。

（1）若→→=ACAP41，请在图中做出向量→b，并求出||→b；（2）求→→⋅ba的最小值。

厦门市2008～2009学年（上）高一质量检测数 学 参 考 答 案 A 卷（共100分）一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A 11．B 12．A 二、填空题：13．4- 14．1- 三、解答题： 15．（本题满分10分） 解：（1）当2222πππ+=-k x 时，即2ππ+=k x （Z k ∈）时，y 取得最大值1；…2分当2222πππ-=-k x 时，即πk x =（Z k ∈）时，y 取得最小值1-．…………5分（注：可将)22sin(π-=x y 化为x y 2cos -=再求解）（2）列表如下：…………………………10分16．（本题满分10分）解：（1）=（3，αcos ），=（αsin ，1），由⊥得0cos sin 3=+=⋅αα ① …………………………1分 ∴31tan -=α …………………………2分 则α为第二或第四象限的角．由①可得，ααsin 3cos -=,代入1cos sin 22=+αα得101sin 2=α ② ……3分 （Ⅰ）当α为第二象限的角时，1010sin =α，10103cos -=α；（Ⅱ）当α为第四象限的角时，1010sin -=α，10103cos =α． …………5分22π-xπ-2π-2ππx 4π-4π2π43π y 0 1-1∴)cos sin 3(211)cos 1()3(sin ||222αααα+-=-+-=将①代入，得11||2=，∴11||= …………………7分 另解：在PAB Rt ∆中， 90=∠APB ，∴111sin cos 9||||||22222=+++=+=αα，∴11||=（3）ααα222sin 10)sin 1(9cos 9||-=-+=+=PA ，将②代入得109910110||2=-=． …………………8分 又222||)(-=-=-⋅=-⋅=⋅ ∴10103||||||||||cos 2-==⋅⋅AB AB PA AB PA θ …………………10分 另解：由PAB Rt ∆得BAP ∠cos 10103111099||=÷=AB PA ， ∴10103cos )cos(cos -=∠-=∠-=PAB PAB πθ 17．（本题满分12分） 解：（1）依题意，A 产品的利润y 与投资额x 的函数关系式设为 y=kx ，（k 为参数） 由图形知，当x=1.8时，y=0.45，代入得k=41．所以函数关系式为x y 41=（0≥x ）．…………………………3分 B 产品的利润y 与投资额x 的函数关系式设为 x k y '=（k '为参数）， 由图形知，当x=4时，y=2.5，代入得45='k ．所以函数关系式为x y 45=（0≥x ）．……………6分（2）设B 产品投资x 万元，则A 产品投资（x -10）万元．依题意总利润x x Q 45)10(41+-=（100≤≤x ） ………………………………8分 =1665)25(412+--x当 25=x 时， 即 425=x 时， Q 有最大值1665 ………………………11分41510=-x答：A 产品投资3.75 万元，B 产品投资 6.25 万元，能使企业获得最大利润，最大利润为 4.0625 万元…12分B 卷（共50分）四、填空题：18．第二象限 19．2- 20．10<≤m 21．①④ 五、解答题：)1()()(21221221121x x a a x x x a a x x a a x x f x f ⋅--=--+=- ……………………………3分∵a x x ≤<<210，∴021<-x x ，021<-ax x ， ∵a x x ≤<<210，∴2210a x x <⋅<，1212>⋅x x a ，∴01212<⋅-x x a ． ∴0121221>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--x x a ax x ，即0)()(21>-x f x f 即)()(21x f x f >，由函数单调性定义知，函数f(x)在0(，]a 上是单调递减函数． ………………6分（2）同理可证，函数f(x)在a [，]2a 上是单调递增函数，所以函数)(x f 在0(，]2a 上的最小值是2)(=a f ． …………………………10分 23．（本题满分12分）解：（1）∵函数)cos()(θω-⋅=x x f 是奇函数，∴0cos =θ，又],0[πθ∈，则2πθ=．……………………………2分 奇函数)(x f 的图象关于直线12π=x 对称，且在区间（0，12π）内函数)(x f 没有零点，则412T =π，3π=T ，所以62==T πω． ……………………………………4分（2）函数)26cos()(π-=x x f ，由0)(=x f 得226πππ-=-k x ，…………………6分∴6πk x =（Z k ∈）．函数图象的对称中心是（6πk ，0）其中Z k ∈． ………8分（3）函数x x x f 6sin )26cos()(=-=π，22622ππππ+≤≤-k x k 得123123ππππ+≤≤-k x k （Z k ∈）…………………10分 ∴函数的单调递增区间是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-z k k x k x .123123|ππππ．…………………12分24．（本小题满分12分） 解：（1）1||=AP ，连接BD ，BD 与AC 交于O ．在AC 上取点P 关于点O 的对称点Q ． 易得四边形PDQB 是平行四边形，如图所示．∴=+，即b =．1||=CQ ，∴|b|＝2．…………………………2分（2）在AC 上取点P 关于点O 的对称点Q ． ①如果a 与b 均为非零向量．因为OB ＝OD ，OP ＝OQ ，所以四边形PBQD 为平行四边形．所以PQ →＝PB →＋PD →＝b ，所以a 与b 共线． ……………………3分 当a 与b 方向相反时，a 与b 的夹角为π， ……………………………………4分 此时点P 在线段AO 上．设OP ＝x ，则0＜x ＜2． 可得PQ ＝2x ，PA ＝2－x ．所以a · b ＝－2x(2－x) ………………………………………………………6分＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2．当x ＝1时，a · b 取得最小值－2． ……………………………………………8分 当a 与b 方向相同时，a 与b 的夹角为0，此时a · b ＞0； …………………10分 ②如果a 与b 中有一个向量为0（a 与b 不可能同时为0），则a · b ＝0．………11分 综上，a · b 的最小值是－2． …………………………………………………12分 （注：其它解法参照给分。