第三章能控性与能观性

tf 0
(3-15)
Aτ Φ ( τ ) e 对于式(3-11)线性定常连续系统，有
根据凯莱-哈密顿定理，可将矩阵指数函数 e Aτ 表示为
Φ( τ ) e
Aτ
α m ( τ ) A m
m 0
n 1
(3-16)
将式（3-16）代入式（3-15）得
x (0) m ( ) A Bu( )d A m B 0 f m ( )u( )d
(3-13) 18
证明
状态方程式（3-11）的解为
x (t ) Φ(t ) x (0)
t 0 Φ(t
τ )Bu ( τ )dτ
(3-14)
根据能控性的定义，若系统是能控的，则对于任 意的初始状态x(0)，应能找到输入u(t)，使初始状态 x(0)在有限的时间区间 [0 , t f ]内转移到零。
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
0 B 0 , 1
0 AB 1 a 2
1 , A2 B a2 2 a a 2 1
26
故
0 0 Qc 0 1 1 a 2
a2 2 a1 a 2 1
11
3.3.2 能观测性定义
分析系统能观测性问题时,只需从系统的齐次 状态方程和输出方程出发,即
A(t ) x , x (to ) xo , x y C (t ) x to , t Td
(3-10)
12
1.状态能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果 取定初始时刻 t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t f > t 0 ，对于所有的 t [t 0 , t f ] ，系统的输出 y(t )能惟 一确定一个非零的初始状态向量 x 0 ，则称此非零 状态 x 0在 t 0 时刻是能观测的。
tf 0 m t m 0 m 0 n 1 n 1
(3-17)
20
式（3-17）的第m项定积分记为
U m m ( )u( )d , m 0,1,2, n 1
tf 0
(3-18)
因为u(t)为r维向量，故Um亦为r维向量，记为 um1 u m2 Um u mr
令 t t f , x (t f ) 0 ,则式（3-14）可写成
Φ(t f ) x(0) Φ(t f )Bu( )d 0
tf 0
将上式的积分项移到方程右边且方程两边左乘 Φ(t f ) 的逆阵 Φ(t f ) 得
19
x(0) Φ( )Bu( )d
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3
3.2 能控性与能观测性的概念与示例
【例3-1】给定系统的状态空间表达方式为
1 2 0 x1 1 x u 2 0 3 x 2 2 x y 7 6 x1 x 2
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3.4线性连续系统能控性判据
3.4.1 线性定常连续系统能控性判据 3.4.2 线性定常连续系统输出能控性 3.4.3 线性时变连续系统能控性判据
16
3.4.1 线性定常连续系统能控性判据
■ ■ ■ ■
秩判据
约当标准型判据
格拉姆矩阵判据
PBH判据
17
1. 秩判据
设线性定常连续系统的状态方程为
14
3.系统不能观测
对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果 取定初始时刻 t0 Td ，存在一个有限时刻 ， t [t 0 , t f ]，系统的输出y(t)不能惟 >t f ,对于所有 t0 一确定 t 0 时刻的任意非零的初始状态向量 x 0 （即 至少有一个状态的初值不能被确定） , 则称系统在 t f Td t 0 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。
(3-20)
22
U0 U U 1 U n 1
（3-21）
则式（3-19）写成
x (0) Qc U
（3-22）
Qc 为 n nr 维矩阵，x(0)为 式中, U 为nr维向量， n维向量。
23
若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从式（322）中解出 U 1、U 2 U n 1 。
1
3.1 引言
在控制工程中，有两个问题经常引起设计 者的关心，其一是加入适当的控制作用后，能 否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到 希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用 随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间 内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状 态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计 状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观 测性问题。 稳定性、能控性与能观测性均是系统的重 要结构性质。
第3章 线性系统的能控性和能观测性分析
3.1 引言 3.2 能控性与能观测性的概念与示例 3.3 能控性和能观测性定义 3.4 线性连续系统能控性判据 3.5 线性连续系统能观测性判据 3.6 能控标准型与能观测标准型 3.7 系统能控性和能观测性的对偶原理 3.8 线性系统的结构分解 3.9 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系 3.10 线性离散系统的能控性与能观测性 3.11 MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用
21
则
x(0) ( BU 0 ABU1 A2 BU 2 An1 BU n1 )
U0 U 1 A 2 B A n 1 B U n 1
B

AB

(3-19)
令
Q c B AB A2 B A n1 B
3.3
能控性和能观测性定义
3.3.1 能控性定义
线性时变连续系统的状态方程为
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), x
x(t 0 ) x 0
, t Td （3-2）
式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定 义区间,A(t)和B(t)分别为n n 和 是其系数矩阵 Q c 和增广矩阵 Qc x (0) 的秩相等，即 rankQc rank Qc x (0)
Qc 考虑到x(0)是任意给定的，欲使上式成立， 必须满秩即 rank Qc n ，否则不能保证上式成立。
于是式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 由A,B阵构成的能控性判别阵 Qc B AB An1 B 满秩，即
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 a 2 , a1 取何值，其秩为3，即 rank Q c =3=n,故系统 总是能控的。
27
【例3-6】动态系统的状态方程如下，试判断其 是否能控。
4 5 5 x x u 1 0 1
Qc B
,其状态变量图如图3-1所示。
系统的 状态是完全 能控且完全 能观测的。
图3-1
4
【例3-2】桥式电路如图 3-2所示，选取电感L的电 流 i(t ) x(t ) 为状态变量，
u(t ) 为电桥输入，输出
量为 y(t ) 。
图3-2
从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0，则不论 u(t ) 如何 选取，对于所有 t t 0，有 x(t ) 0 ，即u(t)不能控制x(t) 的变化，故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电 感L上的初始电流 x(t 0 ) 取为多少， 对所有时刻 t t 0 都 恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故系统 是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能 5 观测系统。
8
3.系统不完全能控
对于式（3-2）所示线性时变连续系统，指定 初始时刻 t 0 Td ， 如果状态空间存在一个或一个 以上非零状态在时刻 t 0 是不能控的，则称系统在时 刻 t 0 是状态不完全能控的，简称系统不能控。
9
对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻 t 0 的选取有关, 而线性定常连续系统其能控性与初 始时刻 t 0 的选取无关。故线性定常连续系统其系统能 控性可定义为:对于任意的初始时刻 t 0 Td (一般取 t 0 0 )，存在一个有限时刻 t f Td , t f t 0 ，和一个 无约束的容许控制 u(t ), t [t 0 , t f ] ,能使状态空间的任 意非零状态 x (t 0 ) 转移到 x (t f ) 0 ，则称系统状态完 全能控，简称系统能控。
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4.状态与系统能达 对于式（3-2）所示线性时变系统,若存在能将 状态 x (t 0 ) 0 转移到 x (t f ) x f 的控制作用 u(t ) , t [t0 , t f ] ,则称状态xf是 t 0 时刻能达的。若 x f 对所 有时刻都是能达的，则称状态 x f 为完全能达或一 致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻 t 0 能达的，则称系统是 t 时刻状态能达的， 0 简称系统是时刻 t 0 能达的。 对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。
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2.系统能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ， 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有 ，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对 于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能 观测。