第三章 扭转

(rad/m)
(/m)
32
或
T max 180 GI p
[ ]称为许用单位长度扭转角。
刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
Ip T G[ ]
max
T
max
G I p [ ]
max
T 1.55 103 23M Pa [ ] 3 Wt 0.07 16
30
③此轴满足强度要求。
§3–5 等直圆轴扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
d
l
l
0
T dx GI p
d R , m T T d 2 (令 Wt I p ) d Wt 2 Ip Ip 2
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：[长度]3。
对于实心圆截面：
Wt I p R D3 16
34
1 3
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得： D 0.0226m， 40Nm 取D=23mm。
1 3
T
(＋ ) x
35
③右端面转角为：

L
0
2 40 20x T ( x) 10 dx dx (4 x x 2 ) 0 GI P GI P GI P
8
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M
x
0 , T1 M e 2 0
Me2 1
Me3
2
Me1
3 n 3
Me4
T1 M e 2 4.78kN m
T2 M e 2 M e 3 0 ,
A
1
B 2
C
D
T2 M e 2 M e3 (4.78 4.78) 9.56kN m M e 4 T3 0 , T3 M e 4 6.37kN m
d dx
距圆心为 任一点处的切应变与该点到圆心的 距离成正比。
d —— 扭转角 沿轴线的变化率。 dx
20
2. 物理关系： 虎克定律： 代入上式得：
G
d G G dx
d G dx
21
3. 静力学关系：
31
Tl (若T ,d 值不变） GI P
二、单位长度扭转 角：
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
或

d T 180 dx GI p
GIp反映了杆件抵抗扭转变形的能力，称为杆件的抗扭刚度。 三、刚度条件
max
max
T max GI p
1kW 1kN m / s
(Me 2 n)/60 P(kN m/s)
P M e 9.55 (kN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
5
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
M x 0
2 0
0.033 (弧度）
36
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 kW， 输出功率分别 P2 = 148kW及 P3 = 220kW，已知：
G=80GPa ，[ ]=70M Pa， =1º /m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？ A 500 ( －) B 400 C P1 P2 P3
P T 解： M e 9.55 (kN m) n (kN.m)
①扭矩如图， 由强度条件得：
x
(－) 4.2
37
7.03
T Wt 16 [ ]
AB段: BC段:
d3
3 d1
3 d2
16T
16T




3
16 7030 80mm 6 3.14 7010
T Me 0 T Me
3 扭矩的正负号规定：
Me
Me
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
6
4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 例前轴的扭矩图如下： 强度计算（危险截面）。
T

x
7
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩 Me2 Me3 Me1 Me4
27
对于空心圆截面： Wt I p R D3 (1 4 ) 16
三、圆轴扭转破坏现象
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋面断开。
28
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： 对变截面圆轴:
max [ ]
max

T max Wt
dx
´
b
②横截面上各点处，只产
生垂直于半径的均匀分布的切
dy

c

d
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R R
L
( tan )


13
二、薄壁圆筒切应力 大小：
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 r02 t 2 A0 t
P 500 1 M e1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
n
A
B
C
D
P2 150 M e 2 M e 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M e 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
2
D 2 d 2

d O D


32 4 D 4 (1 ) 32
(D d )
4 4
d ( ) D
25
④ 应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
26
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
知：当
A Me

O B
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移
3
工 程 实 例
另见课本图3.1、图3.2
4
§ 3–2
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系： 已知某传动轴的传递功率为Ｐ(kW），转速为ｎ（rpm), 求该轴上作用的外力偶矩Me。作用在轴上的外力偶矩Me在 每秒钟内完成的功应等于给轴输入的功：
9
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
Me2 Me3 Me1 n A B C
6.37 – 4.78 – 9.56
10
Me4
D
T (kN.m)
x
§ 3–3
薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10 一、实验：
加载前： 绘纵向线，圆周线。 施加一对外力偶 Me。

A0：平均半径所作圆的面积。
14
三、切应力互等定理：
a dy
´
dx
´
b
mz 0
( t dy)dx ( t dx)dy 故
上式称为切应力互等定理。

c z

d
t
该定理表明：在相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其 方向则共同指向或共同背离该交线。
dA
T A dA d A G dA dx
2

O
d G A 2dA dx
令
I p A dA
2
I p 称为横截面对圆心的极惯性矩。
d T dx GI p d 得： 代入物理关系式 G dx
d T GI p dx
1
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
2
§ 3–1
概 述
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。 A B O
11
施加一对外力偶 Me后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 （小变形） 3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
12
微小矩形单元体如图所示： ①无正应力
a
´
[ ]
[] 称为许用切应力。
max
T max W [ ] t