直线的参数方程教案
高二数学教案：直线的参数方程学案-学习文档
高二数学教案：直线的参数方程学案第06课时2、2、3 直线的参数方程学习目标1.了解直线参数方程的条件及参数的意义;2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习过程一、学前准备复习：1、若由共线，则存在实数，使得，2、设为方向上的，则 =︱︱ ;3、经过点，倾斜角为的直线的普通方程为。
二、新课导学◆探究新知(预习教材P35～P39，找出疑惑之处)1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标与点的坐标和倾斜角联系起来呢?由于倾斜角可以与方向联系，与可以用距离或线段数量的大小联系，这种方向有向线段数量大小启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。
如图，在直线上任取一点，则 = ，而直线的单位方向向量因为，所以存在实数，使得 = ，即有，因此，经过点，倾斜角为的直线的参数方程为：2.方程中参数的几何意义是什么?◆应用示例例1.已知直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A ，B两点的距离之积。
(教材P36例1)解：例2.经过点作直线，交椭圆于两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.(教材P37例2)解：◆反馈练习1.直线上两点A ，B对应的参数值为，则 =( )A、0B、C、4D、22.设直线经过点，倾斜角为，(1)求直线的参数方程;(2)求直线和直线的交点到点的距离;(3)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。
三、总结提升◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义;2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为( )A.很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1. 已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求点的坐标。
2.经过点作直线交双曲线于两点，如果点为线段的中点，求直线的方程3.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长及弦的中点M到焦点F的距离。
初中数学直线方程参数教案
初中数学直线方程参数教案教学目标：1. 理解直线方程的参数方程的概念和意义。
2. 学会将直线的普通方程转换为参数方程。
3. 能够运用参数方程解决一些实际问题。
教学重点：1. 直线方程的参数方程的概念和意义。
2. 将直线的普通方程转换为参数方程的方法。
教学难点：1. 理解参数方程与普通方程之间的联系和转换。
2. 解决实际问题时，如何正确运用参数方程。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直线方程的相关知识。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习直线方程的相关知识，如直线的斜截式、点斜式等。
2. 提问：我们已经学习了直线的普通方程，那么有没有其他表示直线的方法呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线方程的参数方程的概念和意义。
参数方程：设直线的倾斜角为θ（0≤θ<2π），直线上任意一点P的坐标为(x, y)，则点P满足以下条件：1. P点在直线上，即y = kx + b（k为斜率，b为截距）。
2. P点的坐标可以表示为参数t的函数，即x = f(t)，y = g(t)。
2. 讲解如何将直线的普通方程转换为参数方程。
以直线的斜截式为例，假设直线方程为y = kx + b，则参数方程为：x = f(t) = ty = g(t) = kt + b3. 举例说明参数方程的应用。
例如，一辆火车以每小时60公里的速度沿着x轴正方向行驶，求火车行驶2小时后的位置。
设火车起始位置为原点(0,0)，则火车行驶2小时后的位置可以表示为参数t的函数：x = f(t) = 60t（单位：公里）y = g(t) = 0（火车在x轴上，y轴坐标为0）因此，火车行驶2小时后的位置为(120, 0)。
三、课堂练习（15分钟）1. 请同学们尝试将直线的点斜式方程转换为参数方程。
2. 解决实际问题：一条直线的普通方程为y = 2x + 3，请将其转换为参数方程，并求出该直线与x轴的交点。
四、总结与反思（5分钟）1. 本节课我们学习了直线方程的参数方程，了解了参数方程的概念和意义，以及如何将直线的普通方程转换为参数方程。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
直线的参数方程 教案
直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。
教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。
三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。
五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。
教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。
通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。
通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。
在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。
最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。
整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。
3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。
2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。
（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。
（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。
3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。
4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。
5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。
（2）学生独立完成练习题，并核对答案。
《直线的参数方程》教学案3
《直线的参数方程》教学案3教学目标1. 了解直线参数方程的条件及参数的意义.2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.教学重点直线参数方程的定义及方法教学难点选择适当的参数写出曲线的参数方程.教学用具PPT 课件 多媒体教学过程直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.课堂互动1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；例题讲解已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12)． ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．规律方法1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．变式训练设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2.(t 为参数)(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4(－3－32t )2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.课堂作业1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45° D．135°【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线． 【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．(2013·濮阳模拟)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直． ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6课后作业(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋－42＝3. 【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋32＋y －122.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0. 曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教后反思。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。
二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。
三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。
四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。
引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。
2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。
一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。
2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。
步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。
3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。
例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。
解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。
通过求导和解方程，可得t = 1。
代入参数方程，得(4, 0)。
故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。
4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。
五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。
通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。
直线的参数方程教案
课题直线的参数方程课型复习课教学目标知识与技能目标：掌握直线的参数方程及其应用;过程与方法目标：通过直线参数方程中参数的区别，使学生能够达到灵活地应用直线的参数方程来解决求交点和距离问题，提高用代数方法解决几何问题的能力以及抽象概括、分析总结的能力;情感与态度目标：通过讲练结合，师生互动，生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，从而树立数学学习的信心。
教学重点掌握直线的参数方程的两种形式及其应用；教学难点1、两种参数方程中参数的区别；2、灵活应用参数方程；教学方法本节课的学习采用的是“问题探究式”的教学方法，通过归纳知识点和层层深入的问题配置，启发学生思维，激发学习兴趣。
教学手段采用多媒体辅助教学教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入引题（1）:求过点（0,1），且倾斜角为32π的直线的参数方程引题（2）:求过点（-1,2），且与向量a=(-2,1)平行的直线的参数方程引出新课：由已知条件，选择合适的直线的参数方程;两种参数方程中参数有何区别？两种参数方程如何相互转化？两种参数方程应用于哪些方面？怎样选择适当的参数方程求解问题？带着这几个问题我们学习本节课---直线的参数方程。
教师提问学生回答提问重点公式为本节课的应用做铺垫进而引出新课。
新课讲解讲授新课：高考命题方向一——方程间的相互转化例1：设直线的参数方程为)(41035Rttytx∈⎩⎨⎧-=+=（1）求直线的直角坐标方程;（2）化为标准形式的参数方程.小结：消参的方法高考命题方向二——直线参数方程的应用例2：直线L经过点A（2，-4），倾斜角为43π（1）求直线L的参数方程;教师启发引导,学生思考,整理思路,然后独立完成.给学生探索空间,并体会参数方程中参数的意义,提高学生发散思维能力。
教学环节教学内容师生互动设计意图例题讲解（2）设直线L1：x-y=0，L1与L的交点为B，求点B的坐标.例3：求直线：⎩⎨⎧-=+=tytx11与圆x2+y2=4的交点坐标.小结:利用直线的参数方程求交点坐标的方法.例4：在例2的(2)中,求|AB|.例5：已知直线L的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=tytx211231设L与圆x2+y2=4相交于两点A、B，求点P(1，1)到A、B两点的距离之积.例6：求例3中的两交点间的距离.小结与反思:利用直线的参数方程求距离问题的方法.教师启发引导,学生思考,整理思路,然后独立完成.让学生明确解题思路、步骤，解题时有章可循注重通法。
直线参数方程教案
直线参数方程教案一、教学目标1. 理解直线参数方程的概念及意义。
2. 学会将直线的标准参数方程和一般参数方程进行转换。
3. 能够运用直线参数方程解决实际问题。
二、教学内容1. 直线参数方程的定义及表示方法。
2. 直线参数方程与直角坐标方程的互化。
3. 直线参数方程的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 难点：直线参数方程与直角坐标方程的互化。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生直观地理解直线参数方程与直角坐标方程的关系。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用直线参数方程解决实际问题。
五、教学准备1. 投影仪或黑板。
2. 直线参数方程的相关教案、PPT等教学资源。
3. 练习题及答案。
教案一、导入（5分钟）1. 复习直线的直角坐标方程。
2. 提问：如何用参数表示直线上的一点？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线参数方程的概念。
参数方程：对于一条直线，设其上任意一点P的坐标为(x, y)，参数为t，则直线上的点P可以表示为(x=x0+at, y=y0+bt)，其中a、b、t为常数。
2. 讲解直线参数方程的表示方法。
标准参数方程：对于直线y=kx+b，其标准参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a=1/k，b=y0-bx0。
一般参数方程：对于直线ax++c=0，其一般参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a、b、t为常数，且满足at+by0+c=0。
3. 讲解直线参数方程与直角坐标方程的互化。
将直线参数方程中的t表示为x或y的函数，代入直角坐标方程中，即可得到直线参数方程与直角坐标方程的互化关系。
三、实例分析（10分钟）1. 分析直线参数方程在实际问题中的应用。
举例：一辆火车以每小时60公里的速度沿着直线轨道行驶，从原点出发，经过3小时后，离原点的距离为180公里，求火车的行驶路线方程。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线参数方程的概念和特点；2. 学会将直线参数方程转换为普通方程；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线参数方程的概念和特点；2. 直线参数方程与普通方程的转换方法。
教学难点：1. 直线参数方程的理解和应用；2. 直线参数方程与普通方程的转换。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 直线参数方程的相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，引导学生回顾直线的普通方程；2. 提出直线参数方程的概念，引导学生思考直线参数方程的特点和应用。
二、直线参数方程的概念和特点（15分钟）1. 讲解直线参数方程的定义和形式；2. 解释直线参数方程的特点，如参数的意义和直线的截距式表示；3. 通过示例展示直线参数方程的应用，如直线的倾斜角和斜率的计算。
三、直线参数方程与普通方程的转换（20分钟）1. 讲解直线参数方程与普通方程的转换方法；2. 引导学生通过转换方法将直线参数方程转化为普通方程；3. 通过示例和练习题巩固转换方法。
四、直线参数方程的应用（15分钟）1. 讲解直线参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹和工程中的直线测量；2. 引导学生运用直线参数方程解决实际问题；3. 通过示例和练习题巩固直线参数方程的应用。
五、总结和作业布置（5分钟）1. 总结直线参数方程的概念、特点和应用；2. 强调直线参数方程与普通方程的转换方法的重要性；3. 布置相关作业，巩固所学内容。
教学反思：在教学过程中，要注意通过示例和练习题让学生充分理解和掌握直线参数方程的概念和应用。
要引导学生思考直线参数方程的特点和与普通方程的关系，提高学生的数学思维能力。
六、直线参数方程的图形分析（15分钟）1. 使用课件或黑板展示直线参数方程的图形；2. 分析直线参数方程中参数t的变化对直线位置的影响；3. 引导学生观察直线参数方程的图形特征，如直线倾斜角的变化和截距的变化。
选修4-4第二讲参数方程(直线的参数方程)教案
三 直线的参数方程教学目标：掌握直线的参数方程，理解参数t 的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。
教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关距离问题；参数方法与普通方法之甄别。
直线的参数方程经过点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的普通方程为y-y 0=tan α(x-x 0)怎样建立直线l 的参数方程呢？如图，在直线l 上任取一点M(x, y)，则 00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--u u u u u u r直线的方向向量(cos ,sin )e αα=r，[0,)απ∈；0//M M e u u u u u u r r 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =u u u u u u r r，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+． 因此，经过定点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．问题：由0M M te =u u u u u u r r，直线参数方程中的参数t 有什么几何意义？因为(cos ,sin )e αα=r ，所以||1e =r ，由0M M te =u u u u u u r r ，所以0M M t =u u u u u u r，因此|t|即为直线上的动点M(x,y)到定点M 0(x 0, y 0)的距离；当0<α<π时，sin α>0，直线的单位方向向量(cos ,sin )e αα=r总是向上的，因此有结论：①t>0：则0M M u u u u u u r的方向向上，即M 0在M 的上方；②t<0：则0M M u u u u u u r的方向向下，即M 0在M 的下方；③t=0：则点M 与点M 0重合．直线参数方程也可以表示为：⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00（t 为参数）探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线y=f(x)交于M 1, M 2两点，对应的参数分别为t 1, t 2．（1）曲线的弦M 1M 2的长是多少？12121M M t t =-（） （2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？1222t t t +=（）例2、经过点M(2, 1)作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解：设过点M(2, 1)的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，整理得 22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， 则1224(cos 2sin )3sin 1t t ααα++=-+．因为点M 为线段AB 的中点， 所以1202t t +=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1tan 2k α==- 因此，直线l 的方程是11(2)2y x -=--，即240x y +-=．例3 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：。
《直线的参数方程》教学案
2.5《直线的参数方程》教学案一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程(一)、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数)(2)圆22020r y y x x =+-)-()(参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r y y r x x 00 (θ为参数)2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？(二)、讲解新课：1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是30，并且经过点P(2，3)，如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)，那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程：(1)过定点),(00y x P倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM(2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,yx (其中12≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，.其中点M(X ，Y)为直线上的任意一点.这里参数λ的几何意义与参数方程(1)中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比QMMP.当o λ>时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时，点M 与Q 重合.(三)、直线的参数方程应用，强化理解. 1、例题：例1、【课本P31页例1】；例2、【课本P31页例2】学生练习，教师准对问题讲评.反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参数方程求交点.2、巩固导练：课本P32页练习2、3题.补充：1、直线)为参数(sin cos θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)为参数(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=224y x 相切，那么直线的倾斜角为( )A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π-2、 (广东理)(坐标系与参数方程选做题)若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直，则k =_____________. (四)、小结：(1)直线参数方程求法；(2)直线参数方程的特点；(3)根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义.(五)、作业：课本P39习题A 组3、4、5 B 组2补充： (天津理)设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为__________.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题. 解析：由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为51031024=+||.。
直线的参数方程教学设计
2.1 直线的参数方程（第一课时）教学设计【附教学反思】九江三中吴丛新教学目标：通过探究直线的参数方程的过程，使学生体会参数t的含义，并会利用参数t的几何意义解决有关弦长的问题，加深对参数方程的理解。
教学重点：直线参数方程的推导，参数t的几何意义的理解。
教学难点：理解和书写与直线正方向同向的单位向量，及参数t的几何意义的应用。
教学方法：问题教学，启发式教学。
教学用具：多媒体辅助教学。
教学环节：一：复习引入复习前一节曲线与参数方程中参数方程的概念，特别强调引入参数的意义。
复习直线的普通方程的形式，特别强调点斜式。
【设计意图】：复习参数的意义为即将建立直线的参数方程中引入参数t做铺垫，复习点斜式为后面消参做准备。
二：直线的参数方程的推导采用两种方法推导直线的参数方程，以加深对直线参数方程参数t的几何意义的理解。
（一）利用直角三角形知识推导【问题设置】直线l的正方向是什么？有向线段PM的数量是什么？如何利用直角三角形的知识求出动点M的坐标？【设计意图】直线的正方向和有向线段的数量是两个全新的概念，北师大版教材正是基于这两个概念才能给出直线参数方程中参数t的几何意义，对t的几何意义的理解是本节的难点，这里需做好铺垫，强化对有向线段的数量的正负取值的理解。
（二）利用平面向量共线定理推导【问题设置】直线的方向单位向量是什么？你能利用向量共线定理求出点M的坐标吗？【设计意图】在利用直角三角形知识推导出参数方程后，学生对参数t的理解很可能会停留在两点的距离上，这里要引导学生理解参数t 取负值的情况。
对于参数t的几何意义的阐释，人教版很好地利用了向量工具（共线定理），正因于此，所以本节又将人教版中的推导方法引入了进来，以加深学生对参数t的几何意义的理解。
【教学反思】上课时直接给出了参数t的设法，没有引导学生自己去设参数，其实只需引导学生思考，随着点M的运动PM在变化。
这样就会使参数t的引入显得自然。
另外，讲解向量法推导耗费不少时间，导致后面的时间很紧凑，牺牲了学生演板时间，有点得不偿失。
直线的参数方程教学设计
《直线的参数方程》教学设计【教学目标】1.知识与技能：掌握直线参数方程的形式，会将一般形式转化成标准形式，提升学生数学运算的数学素养；理解并会应用参数的几何意义解决有关的问题。
2.过程与方法：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化的方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想，提升学生数据分析能力和数学建模能力。
3.情感态度与价值观：在参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性提升学生逻辑推理的数学素养；在小组讨论和合作交流中，提升学习数学的兴趣.【教学思想】人本教育【课程资源】白板 课助手【教学内容】选修4-4 直线的参数方程 第一课时【教学重点、难点】教学重点：直线参数方程的标准形式及其应用；教学难点：对直线参数方程标准形式中的参数的几何意义的理解.【教法学法与工具】采用启发学生自主探究和引导学生小组讨论的方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率。
同时在探究问题时留给学生足够的时间，以利于开放学生的思维。
【教学过程安排】整个教学过程设计为如下教学环节：（一）追根溯源 温故知新；（二）问题驱动；（三）概念形成；（四）合作探究；（五）思维升华；（六）知识应用；（七）课堂小结；（八）布置作业（一）追根溯源 温故知新提出问题：你有哪些方法表示一条直线？设计意图：通过回顾必修二和必修四中直线方程的研究方法，提出问题，以激发学生的求知欲,也为这节课做好知识准备。
（二）问题驱动探究一：设质点从点),(000y x M 出发，沿着与x 轴正方向成α角的方向匀速直线运动，其速率为0v 你能建立质点运动的轨迹的参数方程吗？)0(sin cos 0000≥⎩⎨⎧+=+=t tv y y tv x x αα设计意图：探究一，以学生现有知识轻而易举就能解决，而且能很清楚的知道，此tv的物理意义，从而为后面研究直线参数方程的标准形式中的参数的时t的物理意义和几何意义奠定基础。
如果忽略上面方程中t的物理意义，允许其取负值，那么这个方程就是直线的一种参数方程形式。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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直线参数方程教案
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 ：学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 直线的参数方程授课日期及时段教学目的1：了解直线参数方程的条件及参数的意义2：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学内容知识点检测；1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（）A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
3、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．二：知识点整理（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。
带符号.（2）、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12x x≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比QM MP。
当o λ>时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时，点M 与Q 重合。
《直线的参数方程》教案
《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二） 任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四） 探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。
2022年 《直线的参数方程》优秀教案4
第二讲参数方程直线的参数方程〔第二课时〕谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的其它形式、灵活应用参数的几何意义，学会选择适当的参数方程，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的优越性．〔二〕学习目标1．根据实际问题选择适当的直线参数方程．2．掌握直线标准参数方程中参数的几何意义，通过参数几何意义，树立数形结合的思想．3．灵活利用直线参数方程解决有关几何问题，体会参数方程的优越性．〔三〕学习重点1．直线参数方程的应用．2．直线参数方程中参数的几何意义．〔四〕学习难点1．对直线标准参数方程与其它形式的参数方程之间联系的理解．2．对直线标准参数方程中参数的几何意义的灵活应用．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务读一读：阅读教材第36页至第39页，填空：直线的参数方程为与曲线交于两点，对应的参数分别为，那么：〔1〕曲线的弦长〔2〕线段的中点对应的参数=2．预习自测〔1〕以下可以作为直线2－＋1＝0的参数方程的是t为参数t为参数t为参数t为参数【知识点】直线的参数方程【解题过程】将选项中的参数方程消去参数化为普通方程，选项A对应的普通方程为：，选项B：；选项C：2－＋1＝0【思路点拨】将参数方程化为普通方程验证可得【答案】C〔2〕直线，以下说法错误的选项是A．直线过点B．直线的斜率为C．直线不过第二象限D．是定点到该直线上对应点的距离【知识点】直线的参数方程【解题过程】将参数方程化为普通方程得：，验证可知A,B,C正确，而选项D只有在标准参数方程下才具有上述几何意义，显然所给的参数方程不是标准参数方程【思路点拨】熟记直线标准的参数方程及参数的几何意义【答案】D〔3〕曲线与曲线表示的同一曲线。
〔填“是〞或“不是〞〕【知识点】直线的参数方程【解题过程】将上述参数方程都化为普通方程得：，所以表示同一直线【思路点拨】熟练掌握常规的参数方程与普通方程的互化【答案】是．〔4〕直线与轴不垂直，且直线过点与抛物线交于两点，那么【知识点】直线参数方程、直线与抛物线的位置关系【解题过程】设，代入得，所以【思路点拨】熟练运用直线标准参数方程中参数的几何意义求解【答案】二课堂设计1．知识回忆〔1〕过定点M00，0，倾斜角为α的直线的参数方程为，这种形式称为直线参数方程的标准形式．〔2〕参数t的几何意义是：直线上的动点到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t| 〔3〕假设，那么的方向向上；假设，那么的方向向下；假设，那么M与M0重合．2．问题探究探究一结合实例，认识直线参数方程★●活动①得出直线参数方程的另外形式参数方程不仅可以用来表示曲线，同时还可以来描述事物运动变化规律，并且，由于选择的参数不同，得到的参数方程也可以有不同的形式，但它们表示的曲线却可以相同．先看下面例子：动点作等速直线运动，它在轴和轴方向上的分速度分别为，运动开始时，点位于，求点的轨迹的参数方程．根据题意：点的轨迹的参数方程可以直接写为：，消去，得．所以直线的参数方程也可写为：其中为直线上定点的坐标，为常数，为参数，此时参数没有明确的几何意义，只有当且时,参数才有意义．【设计意图】结合实例，由特殊到一般，得到直线的参数方程的另外形式．●活动②认识差异、合理运用由于上述直线的参数方程中的参数参数没有明确的几何意义，能否将其转为标准的参数方程形式？给出直线的非标准式参数方程错误!t为参数时：〔Ⅰ〕当系数，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为错误!t为参数，再进一步令co α＝错误!，in α＝错误!，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π范围内取值，并且把错误!t看成相应的参数t′，即得标准式的参数方程错误!t′为参数．由转化的过程可以看出，在一般参数方程错误!t为参数中，错误!t具有标准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘错误!即可继续使用标准形式中参数的几何意义．〔Ⅱ〕当，将参数方程转化为普通方程，得到直线的斜率，在进一步求出，从而得出直线标准的参数方程．【设计意图】得出同一曲线不同参数方程形式，体会直线参数方程的特点．探究二探究直线标准参数方程与曲线位置关系中的应用★▲●活动①稳固理解，加深认识直线的参数方程为与曲线交于两点，对应的参数分别为，那么：〔1〕曲线的弦长设，，那么，，=〔2〕线段的中点对应的参数=设，对应的参数为，那么所以，=【设计意图】通过对参数的进一步分析，加强对参数的理解，培养学生逻辑推理的能力．●活动②理论实践、综合应用例1 经过点作直线，交椭圆于两点．如果点恰好为线段的中点，求直线的方程．【知识点】直线的参数方程的应用．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】设过点的直线的参数方程为代入椭圆方程，整理得由的几何意义知，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以由点为线段的中点，所以，即于是直线的斜率为：所以直线的方程是，即【思路点拨】通过参数方程中参数的几何意义求解．【答案】．同类训练点M2,3和双曲线2-=1,求以M为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程．【知识点】直线的参数方程的应用．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】根据条件可设直线的参数方程为t为参数,代入双曲线的方程可得2tcoα2-=1整理可得2co2α-in2αt28coα-6inαt-3=0设弦的两个端点A,B对应的参数分别为t a,t b,因为M2,3为弦AB中点,所以t A t B=0,由二次方程根与系数的关系可得=0,即得8coα-6inα=0易得tanα=,即直线的斜率为,可得参数方程为t为参数那么直线的普通方程为即【思路点拨】通过参数方程中参数的几何意义求解．【答案】．【设计意图】稳固加深对参数方程中参数的几何意义的理解．●活动③强化提升、灵活应用例2 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为：〔为参数, 〕,以为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程〔1〕求曲线的直角坐标方程；〔2〕假设点,设曲线与直线交于点,求的最小值【知识点】圆的极坐标方程、直线参数方程的应用．【解题过程】〔1〕由得化为直角坐标方程为,即〔2〕将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得,因为故可设是方程的两根,所以又直线过点〔1,2〕,结合的几何意义得：,所以原式的最小值为【思路点拨】利用直线参数的几何意义及三角函数有界性，可求的最小值【答案】〔1〕；〔2〕．同类训练直线在直角坐标系中的参数方程为〔为参数，为倾斜角〕，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为．〔1〕写出曲线的直角坐标方程；〔2〕点，假设直线与曲线交于两点，求使为定值的值．【知识点】直线参数方程的应用．【解题过程】：〔1〕∵，∴，即．〔2〕把为代入得：∴当时，为定值．【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】稳固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．2课堂总结知识梳理直线的参数方程为与曲线交于两点，对应的参数分别为，那么：〔1〕曲线的弦长〔2〕线段的中点对应的参数=重难点归纳〔1〕直线的非标准式参数方程错误!t为参数中的参数不具有明确的几何意义，必须先化为标准的直线参数方程才能应用．〔2〕直线的参数方程应用广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦长、最值等时，可以利用直线标准参数方程中参数的几何意义，从而简化解题过程，优化解题思路．〔三〕课后作业根底型自主突破1．直线的参数方程为错误!t为参数，那么直线的斜率是A．B．C．D．【知识点】直线参数的方程．【解题过程】将直线的参数方程化为普通方程为－2＝－3－1，因此直线的斜率为－3．【思路点拨】根据参数方程与普通方程互化．【答案】A2．过点5，－4，倾斜角α满足tan α＝－错误!的直线的参数方程是．t为参数t为参数t为参数t为参数【知识点】直线的参数方程．【解题过程】根据题意将选项中的参数方程转化为普通方程进行验证．【思路点拨】熟练直线的参数方程与普通方程互化．【答案】B3．in＝错误!错误!－1．【思路点拨】利用转化为普通方程和利用参数方程设点的方法求解．【答案】〔1〕|AB|＝1；〔2〕错误!错误!－1．10．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于两点〔Ⅰ〕求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设，求直线的普通方程【知识点】参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与普通方程的互化、直线与圆锥曲线的位置关系．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】〔Ⅰ〕因为=ρcoθ,=ρinθ,所以C：，直线恒过定点为〔Ⅱ〕把直线的方程代入曲线C的直角坐标方程中得：由t的几何意义知，，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，因为，即，所以，因为，所以，因此，直线的方程为【思路点拨】〔1〕利用三种方程的转化方法，求出普通方程，即可求曲线C的普通方程及直线恒过的定点A的坐标；〔2〕要充分利用参数的几何意义灵活解题，此题就利用了t的几何意义，表示定点A〔2,0〕到直线与曲线交点的距离，从而借助韦达定理，目标就可以转化为所求量的方程问题【答案】〔1〕C：，直线恒过定点为；〔2〕．自助餐1．以t为参数的方程错误!表示A．过点1，－2且倾斜角为错误!的直线B．过点－1,2且倾斜角为错误!的直线C．过点1，－2且倾斜角为错误!的直线D．过点－1,2且倾斜角为错误!的直线【知识点】直线的参数方程．【解题过程】化参数方程错误!为普通方程得＋2＝－错误!－1，故直线过定点1，－2，斜率为－错误!，倾斜角为错误!．【思路点拨】利用直线的参数方程的定义．【答案】C2．过抛物线：焦点作斜率为的直线与及其准线分别相交于三点，那么的值为〔〕A 2或B 3或C 1D 4或【知识点】直线的参数方程、直线与圆锥曲线的位置关系．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】如下图，由题意可得，直线AB的方程为，令可得点D的坐标为，直线的参数方程为：，联立直线与抛物线的方程整理可得：,即：，解得：，由直线参数方程的几何意义可得：，同理，当点A位于下方，点B位于上方时可得综上可得的值为4或此题选择D选项【思路点拨】灵活应用直线标准参数方程中参数的几何意义．【答案】D3．直线1：错误!t为参数与直线2：错误!为参数垂直，那么值为．【知识点】直线的参数方程、直线与直线位置关系．【解题过程】直线1的方程为＝－错误!＋错误!，斜率为－错误!；直线2的方程为＝－2＋1，斜率为－2∵1与2垂直，∴－错误!×－2＝－1⇒＝－1．【思路点拨】熟练直线的参数方程与普通方程的互化．【答案】－1．4．直线的参数方程为错误!t为参数，圆C的参数方程为错误!θ为参数．1求直线和圆C的普通方程；2假设直线与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【知识点】直线、圆的参数方程、直线与圆的位置关系．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】1直线的普通方程为2－－2a＝0，圆C的普通方程为2＋2＝162因为直线与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线的距离d＝错误!≤4，解得－2错误!≤a≤2错误!【思路点拨】圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，可把把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．【答案】〔1〕直线的普通方程为2－－2a＝0，圆C的普通方程为2＋2＝16；〔2〕－2错误!≤a≤2错误!．5．经过抛物线外的一点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于．如果成等比数列，求的值．【知识点】直线与圆锥曲线的关系、等比数列．【解题过程】直线的参数方程为错误!t为参数，代入2＝2错误!错误!1M2|2＝|AM1|·|AM2|，所以t1－t22＝|t1|·|t2|＝t1t2，即t1＋t22＝5t1t2，所以[2错误!4＋]2＝5×84＋，即4＋＝5，即＝1【思路点拨】根据直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】＝1。
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第五课时 直线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩
⎨⎧==θθ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课：
1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0
30，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？
2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的
参数方程
⎩⎨⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）
【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。
带符号. （2）、经过两个定点Q 11
(,)y x ，P 22
(,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为
12
112
1(1){
x X y y x y λλ
λλλλ++++=
=≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比
QM MP。
当o λ>时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M
为外分点；当o λ=时，点M 与Q 重合。
（三）、直线的参数方程应用，强化理解。
1、例题：
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参数方程求交点。
2、巩固导练：
补充：1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的
倾斜角为（A ） A ．6
π或
65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或6
5π
- 2、（坐标系与参数方程选做题）若直线112,
:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩
为参数与直线
2,
:12.x s l y s =⎧⎨
=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．
解：直线112,:()2.
x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数化为普通方程是)1(22--=-x k
y ，
该直线的斜率为2
k
-，
直线2,
:12.
x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）化为普通方程是12+-=x y ，
该直线的斜率为2-，
则由两直线垂直的充要条件，得()122-=-⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛-k ， 1-=k 。
（四）、小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。
（五）、作业：
补充：设直线1l 的参数方程为113x t
y t
=+⎧
⎨
=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为
y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______ w.w.w..c.o.m
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
解析：由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为
5
10
310|24|=
+。
五、教学反思：。