初中培优竞赛含详细解析 第8讲 不等式与不等式组
华东师大版七年级数学下册 第8章 不等式和不等式组 不等式组应用题培优题及课后练习 无答案
不等式与不等式组【不等式】【培优练习】1.小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，爸爸坐在跷跷板的一端，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，他们都不用力时，爸爸那端着地，已知爸爸的体重为70千克，妈妈的体重为50千克，那么小明的体重可能是（）A．18千克千克30．D 千克28．C 千克22．B和它混，现在要用含药率较高的同种灭虫药粉，含药率是一种灭虫药粉30kg15%50kg2. ）x35%20%合，使混合后的含药率大于且小于，则所用药粉的含药率的范围是（35% ＜＜．＜＜．A15%x23% B15%x50% x23%．47% Dx＜23%C．＜＜＜3.有含盐5%的盐水10千克，要用15千克的盐水和它混合，使混合后的盐水浓度不低于8%，且不高于14%，则应选盐水的浓度P的范围是（）A．10% ≤ P ≤ 14% B．10% ≤ P ≤ 20%D．8% ≤ P ≤ 14% C．5% ≤ P ≤ 8%如图是测量一颗玻璃球体积的过程：4.的杯子中；的水倒进一个容量为500ml（1）将300ml ）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（2 ）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．（3 ）根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（．B30cm以上，40cm以上，A．20cm30cm以下3333以下60cm以上，50cm．以下以3333以下上，．C40cm50cm D，536前次，某射击运动爱好者在一次比赛中共射击 5.10次射击共中（环数均是整数）环次射击不能少于环．7环的成绩，第89如果他想取得不低于6.一次知识竞赛共有15道题.竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分.结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？7.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？元，1.50“珠江新桥”每张元，0.80“羊城地铁”每张元钱购买两种邮票：10小敏用8.每种至少购1张，多购不限，不同的购买方法种数有（）A．33 B．34 C．32 D．309.某种袜子原零售价每双5元，凡购买2双以上（含两双）．商场推出两种优惠销售办法：第一种是“一双按原价，其余按原价七折优惠”，第二种是“全部按原价的八折优惠”，你在购买相同数量的情况下要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买袜子（）双．A．5双双2．D 双3．C 双4．B第一只猴子来是两只猴子的共有财产. 猴子性急，有时也很正直，海滩上有一堆桃子，10.便把多余的于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，到海滩后想要取走自己的一份，猴. 一个扔进大海，取走自己应得的一份第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，发于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，它无法知道伙伴已取走一份，子总归是猴子，如果原有的桃子数不少取走自己应得的一份. 便把多余的一个扔进大海，现还多一个，于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？要在炸药爆炸前操作人员点燃导火线后，某抢险地段需实行爆破．在四川抗震救灾中，11.秒，操作人员跑步的/厘米1.2米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是400跑到．速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（）A．66厘米 B．76厘米 C．86厘米 D．96厘米12.一只青蛙住在一口枯井里．它坐井观天，以为天只有井口那么大．后来，听说井上面还有很大的天地，“外面的世界很精彩”．它下决心，要爬出去看看．这只青蛙白天很努力，向上爬5米；晚上要休息，井内壁很滑，向下滑回2米．井深50米，那么照这样的速度，这只青蛙需要（）天才能到达井口．A．15 B．16 C．17 D．1813.某种植物适宜生长在温度18～20℃的山地，已知山区海拔每升高100米气温下降0.55℃，现测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？14.市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．元，求甲、乙两种树苗各多少株？28000）若购买树苗共用了1（．（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？（3）若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？15.八年级春游，若租用48座位的客车若干辆，则正好坐满；若租用64座位的客车，则可以少租用1辆，且还有1辆没有做满但是超过了一半.已知租用48座位的客车费用是250元，租用64座位的客车费用是300元.那么应租用哪种客车比较合算？16.某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：原料甲种原料乙种原料及价格维生素C100 千克） 600 C/维生素（单位/4 千克）8//原料价格（元，并要求购买甲、乙两种原C单位的维生素4200千克，要求至少含有10现配制这种饮料料的费用不超过72元，xx应满足的不等式组千克甲种原料，写出）设需用（1.（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？17.张先生是集邮爱好者，他带一定数量的钱到邮市上去购买邮票，发现两种较为喜欢的纪念邮票，面值分别为10元和6元.（1）经盘算发现所带的钱全部用来买面值为10远的邮票，钱数正好不多不少.若全部钱数用来购买面值为6元的邮票可以多买6张，但余下4元，你知道张先生带了多少钱？（2）若张先生所带的钱全部购进这两种邮票，有多少种购买方案？（3）经估测，这两种邮票都会升值，其中面值为10元的可以上涨100％，面值为6元的邮票会上涨150％，张先生决定把集邮当成一种投资，准备2000元全部投入，请设计最大盈利购邮方案，并作说明.18.某玩具厂工人的工作时间：每月25天，每天8小时.待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算.该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品可获报酬0.75元，每生产一件B产品可获报酬1.40元，下表记录了工人小陈的工作情况：生产A种产品件数（件）生产B种产品件数（件）总时间（分）1 1 358532根据上表提供信息，请回答下列问题： A 小陈每生产一件产品、每生产一件B产品，分别需要多少时间？1（） B两种产品各多少件？A （2）若小陈每月工资为820元，那么这个月他生产、（3）如果生产各种产品数目没有限制，那么小陈每月工资数目在什么范围内？81510019.体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共只，11 付款总额不得超过元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？品厂家批发价（只商场零售价（只160 篮球 130120100排球【课后练习】 1.三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有（）A．6 3D组． 5B．组C4 ．组组2.联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分．设小明的爸爸一个月通话/元0.6分；方案二：不收月租费，本地通话费为时间为x分钟，x为（）时，选择方案一比方案二优惠.A．60分钟 B．70分钟 C．72分钟 D．80分钟3.从甲地到乙地有16千米，某人以4千米/时~8千米/时的速度由甲到乙，则他用的时间大约为（）A．1小时~2小时 B．2小时~3小时D ~4小时．2小时~4小时 3C．小时幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人34.件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，求这批玩具共有几件.5.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本. 问这些书有多少本？学生有多少人？6.某次数学竞赛，共有16道数学题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题扣2分，分以上，至少要答60不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个同学要使成绩在．对多少题？7.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部九折，乙商场20瓶以上的部分8折.若你是消费者，选哪家商场比较合适？8.某校初三（5）班同学利用课余时间回收饮料瓶，用卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表：大笔记本小笔记本价格（元/本） 6 5页数（页/本） 100 60根据上述相关数据，请你设计一种节约资金的购买方案，并说明节约资金的理由．9.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后将售价下降10%，这样每件仍可以获利18元，又售出了全部商品的25%．（1）试求该商品的进价和第一次的售价；（2）为了确保这批商品总的利润不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？。
浙教版八年级竞赛培优训练第8讲 一元一次不等式的性质及其解法
第二章一元一次不等式第8讲一元一次不等式的性质及其解法【思维入门】1．若x>y，则下列式子中错误的是()A．x－3>y－3 B.x 3>y 3C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y2．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图2－8－1所示，则下列不等式成立的是()图2－8－1A．ac>bc B．ab>cbC．a＋c>b＋c D．a＋b>c＋b3．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图2－8－2所示，则k的值是____．图2－8－24．若关于x的不等式(1－a)x>2可化为x<21－a，则a的取值范围是____．5．(1)解不等式5(x－2)－2(x＋1)＞3.(2)解不等式2(x－1)＋5<3x，并把解集在数轴上表示出来．(3)解不等式x－22≤7－x3，并求出它的正整数解．【思维拓展】6．关于x的不等式ax＋3a>3＋x的解集为x<－3，则a应满足() A．a>1B．a<1C．a≥1 D．a≤17．已知－1<x<0，则－x2，x，1x的大小关系是()A ．－x 2<x <1x B.1x <－x 2<x C ．x <－x 2<1xD.1x <x <－x 2 8．下列命题中，正确的是( )A ．若a >0，则a >1aB ．若a >a 2，则a >1C ．若0<a <1，则a >a 2D ．若|a |＝a ，则a >09．若有理数a ，b 满足条件a ＋b >a －b ，那么( )A ．a ，b 同号B ．a ，b 异号C ．a >0D ．b >010．若ab <0，a －b >0，则a ，b 两数的正负情况为 ( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <011．已知x ＝3是关于x 的不等式3x －ax ＋22>2x3的解，求a 的取值范围．【思维升华】12．有理数a ，b ，c ，d 满足a <b <0<c <d ，并且|b |<c <|a |<d ，则a ＋b ＋c ＋d 的值( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．与0的大小关系不确定13．已知不等式ax ＋2 004≥0的正整数解共有9个，则a 的取值范围是____．14．已知关于x 的不等式mx －2≤0的负整数解只有－1，－2，则m 的取值范围是______． 15．解不等式：|x －2|<3x －1.16．定义：对于实数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数． 例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4. (1)如果[a ]＝－2，那么a 的取值范围是____； (2)如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝3，求满足条件的所有正整数x . 17．阅读下列材料：解答“已知x －y ＝2，且x >1，y <0，试确定x ＋y 的取值范围．”有如下解法：解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2.又∵x>1，∴y＋2>1.∴y>－1.又∵y<0，∴－1<y<0.①同理得1<x<2.②由①＋②得－1＋1<y＋x<0＋2.∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2.请按照上述方法，完成下列问题：(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是____；(2)已知y>1，x<－1，若x－y＝a成立，求x＋y的取值范围(结果用含a的式子表示)．第二章一元一次不等式第8讲一元一次不等式的性质及其解法【思维入门】1．若x>y，则下列式子中错误的是(D)A．x－3>y－3 B.x 3>y 3C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y2．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图2－8－1所示，则下列不等式成立的是(B)图2－8－1A．ac>bc B．ab>cbC．a＋c>b＋c D．a＋b>c＋b3．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图2－8－2所示，则k的值是__－3__．图2－8－24．若关于x的不等式(1－a)x>2可化为x<21－a，则a的取值范围是__a>1__．5．(1)解不等式5(x－2)－2(x＋1)＞3.(2)解不等式2(x－1)＋5<3x，并把解集在数轴上表示出来．(3)解不等式x－22≤7－x3，并求出它的正整数解．解：(1)x＞5.(2)x>3，不等式的解集在数轴上表示略．(3)x≤4，它的正整数解为1，2，3，4.【思维拓展】6．关于x的不等式ax＋3a>3＋x的解集为x<－3，则a应满足(B) A．a>1B．a<1C．a≥1 D．a≤1【解析】由ax＋3a>3＋x，得(a－1)(x＋3)>0，由不等式的解集为x<－3，知x＋3<0，所以a－1<0，得a<1.7．已知－1<x<0，则－x2，x，1x的大小关系是(D)A．－x2<x<1x B.1x<－x2<xC．x<－x2<1x D.1x<x<－x2【解析】由－1<x<0，得x＋1>0，从而x＋x2＝x(x＋1)<0，所以x<－x2，又1x－x＝1－x2x＝（1－x）（1＋x）x<0，所以1x<x.8．下列命题中，正确的是(C)A．若a>0，则a>1a B．若a>a2，则a>1C．若0<a<1，则a>a2D．若|a|＝a，则a>09．若有理数a，b满足条件a＋b>a－b，那么(D) A．a，b同号B．a，b异号C．a>0 D．b>0【解析】在不等式的两边同时减去a得，b＞－b；在不等式b＞－b的两边同时加上b得，2b＞0.故b＞0.故选D.10．若ab<0，a－b>0，则a，b两数的正负情况为(A) A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b>0 D．a<0，b<011．已知x＝3是关于x的不等式3x－ax＋22>2x3的解，求a的取值范围．解：将x＝3代入3x－ax＋22>2x3中，得3×3－3a＋22>2×33，化简得a <4.【思维升华】12．有理数a ，b ，c ，d 满足a <b <0<c <d ，并且|b |<c <|a |<d ，则a ＋b ＋c ＋d 的值( A ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．与0的大小关系不确定【解析】 |b |＜c ，即－b <c ，即b ＋c >0，同理a ＋d >0，所以a ＋b ＋c ＋d >0.13．已知不等式ax ＋2 004≥0的正整数解共有9个，则a 的取值范围是__－22223≤a <－20025__．14．已知关于x 的不等式mx －2≤0的负整数解只有－1，－2，则m 的取值范围是____－1≤m ＜－23__．【解析】 不等式的解可以利用m 表示，根据不等式的负整数解只有－1，－2，可得到关于m 的不等式组，即可求得m 的范围． 解不等式mx －2≤0， 移项得mx ≤2，根据不等式只有两个负整数解－1，－2，则m <0一定成立． 则不等式的解集是x ≥2m .根据题意得－3＜2m ≤－2，且m <0. 解得－1≤m <－23. 15．解不等式：|x －2|<3x －1.解：当x <2时，不等式化为2－x <3x －1，解此不等式得x >34，故此时34<x <2；当x ≥2时，不等式化为x －2<3x －1，解此不等式得x >－12， 故此时x ≥2.综上所述，不等式的解为x >34.16．定义：对于实数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数． 例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4.(1)如果[a ]＝－2，那么a 的取值范围是__－2≤a ＜－1__； (2)如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝3，求满足条件的所有正整数x . 解：(2)根据题意得3≤x ＋12＜4. 解得5≤x ＜7.∴满足条件的正整数为5，6. 17．阅读下列材料：解答“已知x －y ＝2，且x >1，y <0，试确定x ＋y 的取值范围．”有如下解法： 解：∵x －y ＝2，∴x ＝y ＋2. 又∵x >1，∴y ＋2>1. ∴y >－1.又∵y <0，∴－1<y <0.① 同理得1<x <2.②由①＋②得－1＋1<y ＋x <0＋2. ∴x ＋y 的取值范围是0<x ＋y <2. 请按照上述方法，完成下列问题：(1)已知x －y ＝3，且x >2，y <1，则x ＋y 的取值范围是__1<x ＋y <5__；(2)已知y >1，x <－1，若x －y ＝a 成立，求x ＋y 的取值范围(结果用含a 的式子表示)． 解：(2)∵x －y ＝a ，∴x ＝y ＋a . 又∵x <－1，∴y ＋a <－1. ∴y <－1－a . 又∵y >1， ∴1<y <－1－a .① 同理得1＋a <x <－1.②由①＋②得2＋a<x＋y<－2－a.。
初中培优竞赛 第8讲 不等式与不等式组
二、填空题
4、（2、3）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是_____________。
解析：因为 所以 又因为 ，所以 即
答案： .
第8讲不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()
D.与a和b的大小无关
解析：因为甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到 元，则由不等式 成立，可以解得
答案：A .
路。
解析：因为 故 ，所以 .又 ，故 ，故
答案： .
技巧：由于 ，故有 对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。
易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。
6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
若实数a满足 ，则不等式 的解为______________。
详解：若 ，且 ，则不等式为 ；若 且 ，则不等式为 ，矛盾.故不等式的解是
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法。
易错点：分类讨论之后容易忘记综合而致错。
8、（4、5）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
设 为自然数，且 又 ，求 的最大值.
分析：假如 取得最大值，则 只能是 后的连续自然数，依次可以求出 的最大值。同理可以求得 的最大值。
详解： 解得 ，故自然数x1的最大值为19.同理，x2，x3的最大值分别为20，22.所以 的最大值为61.
初二上培优辅导资料10(不等式和不等式组)
初二上培优辅导资料10不等式和不等式组例1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋3≥x ＋1，1－3(x －1)<8－x .①②例2．如果关于x 的方程a3－2x ＝4－a 的解大于方程a (x －1)＝x (a －2)的解，求a 的取值范围．例3．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2－5a ，x －2y ＝3a 的解x ，y 的和是负数，求满足条件的最小整数a .例4．若不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1，x －2b >3的解集为−1<x<1，求(a+1)(b −1)的值．例5.x 为何值时，代数式5123--+x x 的值是非负数？例6．已知：关于x 的方程m x m x =--+2123的解的非正数，求m 的取值范围．例7．关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+131m y x m y x 的解满足x >y ，求m 的最小整数值．例8．试确定实数a 的取值范围，使不等式组⎩⎨⎧x 2＋x ＋13＞0，x ＋5a ＋43＞43(x ＋1)＋a恰有两个整数解．练习：一、选择题：1．已知a ＞b ，c 为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( )A ．a ＋c ＜b ＋cB ．a －c ＞b －cC ．ac ＜bcD ．ac ＞bc 2．下列说法中，错误的是( )A ．不等式x ＜2的正整数解中有一个B ．－2是不等式2x －1＜1的一个解C ．不等式－3x ＞9的解集是x ＞－3D ．不等式x ＜10的整数解有无数个 3．已知不等式x －1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为( )4．已知点M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x ＋1，x ＋8≤4x －1的解集是( )A ．x ≥3B ．x ≥2C ．2≤x ≤3D ．空集6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－2x ＞0的解集在数轴上表示为( )7．如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集( )图2－2－2 A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－5，x ＞－3 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－5，x ≥－3 C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜5，x ＜－3 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞－3 8．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋4>0的解集在数轴上表示为( )．10．不等式－3＜x ≤2的所有整数解的代数和是( )．A ．0B ．6C ．－3D ．311．已知关于x 的方程ax －3＝0的解是x ＝2，则不等式－⎝⎛⎭⎫a ＋32x ≤1－2x 的解集是( )． A ．x ≥－1B ．x ≤－1C ．x ≥32D ．x ≤3212．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，4－x >1的整数解共有5个，则a 的取值范围是( )．A ．－3＜a ＜－2B ．－3＜a ≤－2C ．－3≤a ≤－2D ．－3≤a ＜－213.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为3≤x ＜5，则a b的值是 （ ）A ．―2B ．―21 C ．－4 D ．―41二、填空题1．不等式x ＋2>6的解集为______．2．不等式2x －1＞12x 的解是______．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12≤1，1－2x ＜4的整数解是______．4．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买______瓶甲饮料．5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x >10－3x ，5＋x ≥3x 的解集为________．6．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a >0，1－x >0的整数解共有3个，则a 的取值范围是__________．7．若代数式3x －15的值不小于代数式1－5x6的值，则x 的取值范围是__________．8．若点(1－2m ，m －4)在第三象限内，则m 的取值范围是______．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ＋2，x <3a －2无解，则a 的取值范围是__________．三、解答题1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）10（x －3）－4≤2（x －1） （2）x ―2x ―68+x ＜1－31+x（3） ⎩⎪⎨⎪⎧x －3(x －2)≤4， ①1＋2x 3＞x －1. ② （4）⎩⎨⎧≤->+423532x x（5）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-23722)1(315x x x x （6）3(1)7251.3x x xx --⎧⎪⎨--<⎪⎩≤， ① ②（7）3(1)7251.3x x x x --⎧⎪⎨--<⎪⎩≤，① ②． （8）341221x x +≤--．2．解不等式组331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，，≥并写出该不等式组的整数解．3.是否存在整数m ，使关于x 的不等式m m x m x 931+>+与321mx x +->+是同解不等式？若存在，求出整数m 和不等式的解集；若不存在，请说明理由．4.三角形的三边长分别是3、（1－2a ）、8，求a 的取值范围。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
八年级数学竞赛培优训练 一元一次不等式(组)的应用 含解析
一元一次不等式(组)的应用【思维入门】1．王芳同学到文具店买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳带了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，余下的钱少于0.8元) ()A．6B．7C．8D．92．运动会间，李老师组织班上的同学给运动员加油助威，将手中的若干面小旗分发给若干小组，若每小组分4面小旗，还剩20面；若每小组分8面小旗，则还有一组数量不够，那么李老师一共有小旗()A．38面B．40面C．42面D．44面3．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？4．为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林“的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1 000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元．根据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46 500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？5．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.(1)根据题意，填写下表(单位：元)：(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？【思维拓展】6．“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8 t，10 t的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110 t沙石．(1)求“益安”车队载重量为8 t，10 t的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165 t以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．7．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品．则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)．(1)购买一件标价为1 000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？8．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大、小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生，将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380 t.(1)该企业有几种购买方案？(2)哪种方案更省钱，说明理由．【思维升华】10．一个长方体盒子的最短边长50 cm，最长边长90 cm.则盒子的体积可能是()A．4 500 cm3B．180 000 cm3C．90 000 cm3D．360 000 cm311．已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b＝7，a<b，则满足条件的三角形的个数是()A．30 B．36 C．40 D．4512．A商品的单价是50元，B商品的单价是60元，几所学校各付款1 220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有____所．13．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2 013元，则他至少卖出了____支圆珠笔．14．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有____件．15．某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元.(1)按该公司的要求，可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？一元一次不等式(组)的应用【思维入门】1．王芳同学到文具店买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，王芳带了10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，余下的钱少于0.8元)( B )A ．6B ．7C ．8D ．92．运动会间，李老师组织班上的同学给运动员加油助威，将手中的若干面小旗分发给若干小组，若每小组分4面小旗，还剩20面；若每小组分8面小旗，则还有一组数量不够，那么李老师一共有小旗( D )A ．38面B ．40面C ．42面D ．44面【解析】 设共有x 个小组，那么就有(4x ＋20)面小旗，⎩⎨⎧4x ＋20>8（x －1），4x ＋20<8x ，解得5<x <7，所以有6组． 4×6＋20＝44(面)． 所以有44面小旗．3．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？ 解：设这个班胜x 场，则负(28－x )场， 由题意，得3x ＋(28－x )≥43， 解得x ≥7.5.因为场次x 为正整数，故x ≥8. 答：这个班至少要胜8场．4．为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林“的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1 000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元．根据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%.(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46 500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？ 解：(1)设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵．⎩⎨⎧x ＋y ＝1 000，40x ＋50y ＝46 500， 解得⎩⎨⎧x ＝350，y ＝650，答：购买甲种树苗350棵，乙种树苗650棵；(2)设购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(1 000－a )棵． 85%a ＋90%(1 000－a )≥1 000×88%， 解得a ≤400.答：至多可购买甲种树苗400棵．5．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x 元，其中x >100. (1)根据题意，填写下表(单位：元)：(2)当x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？ 解：(1)在甲商场：271，0.9x ＋10；在乙商场：278，0.95x ＋2.5. (2)根据题意，有0.9x ＋10＝0.95x ＋2.5， 解得x ＝150，∴当x ＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同． (3)由0.9x ＋10<0.95x ＋2.5，解得x >150， 由0.9x ＋10>0.95x ＋2.5，解得x <150.∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．【思维拓展】6．“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8 t ，10 t 的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110 t 沙石． (1)求“益安”车队载重量为8 t ，10 t 的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165 t 以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．解：(1)设“益安”车队载重量为8 t ，10 t 的卡车分别有x 辆，y 辆，由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝12，8x ＋10y ＝110， 解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7.答：“益安”车队载重量为8 t 的卡车有5辆，10 t 的卡车有7辆． (2)设载重量为8 t 的卡车增加了z 辆，由题意，得 8(5＋z )＋10(7＋6－z )>165， 解得 z <52. ∵z ≥0且为整数， ∴z ＝0，1，2； ∴6－z ＝6，5，4.∴车队共有3种购车方案：①载重量为8 t 的卡车不购买，10 t 的卡车购买6辆； ②载重量为8 t 的卡车购买1辆，10 t 的卡车购买5辆； ③载重量为8 t 的卡车购买2辆，10 t 的卡车购买4辆．7．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品．则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)． (1)购买一件标价为1 000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？解：(1)购买一件标价为1 000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1 000×(1－80%)＋150＝350(元)． (2)设该商品的标价为x 元． 当80%x ≤500，即x ≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×(1－80%)＋60＝185＜226； 当500＜80%x ≤600，即625＜x ≤750时， (1－80%)x ＋100≥226. 解得x ≥630. 所以630≤x ≤750.当600＜80%x ≤800×80%，即750＜x ≤800时，顾客获得的优惠额大于750×(1－80%)＋130＝280＞226.综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．8．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大、小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生，将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？解：(1)设该校大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人． 可得方程组⎩⎨⎧55x ＋50y ＝740，50x ＋55y ＝730，解方程组得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝6.答：该校大寝室每间住8人，小寝室每间住6人． (2)设应安排小寝室z 间，则有 6z ＋8(80－z )≥630， 解不等式得 z ≤5，∵z 为自然数，∴z ＝0，1，2，3，4，5. 答：共有6种安排住宿方案．9．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1 380 t. (1)该企业有几种购买方案？ (2)哪种方案更省钱，说明理由．解：(1)设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号(8－x )台，根据题意，得 ⎩⎨⎧12x ＋10（8－x ）≤89.200x ＋160（8－x ）≥1 380， 解这个不等式组，得2.5≤x ≤4.5. ∵x 是整数，∴x ＝3或x ＝4.当x ＝3时，8－x ＝5；当x ＝4时，8－x ＝4.所以有2种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备； 第二种是购买4台A 型污水处理设备，4台B 型污水处理设备． (2)当x ＝3时，购买资金为12×3＋10×5＝86(万元)； 当x ＝4时，购买资金为12×4＋10×4＝88(万元)． 因为88＞86，所以为了节约资金，应购污水处理设备A 型号3台，B 型号5台． 答：购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备更省钱．【思维升华】10．一个长方体盒子的最短边长50 cm ，最长边长90 cm.则盒子的体积可能是( D ) A ．4 500 cm 3 B ．180 000 cm 3 C ．90 000 cm 3D ．360 000 cm 3【解析】 ∵长方体盒子的最短边长50 cm ，最长边长90 cm ， ∴长方体盒子的高h 满足50≤h ≤90， 所以其体积V 满足225 000≤V ≤405 000.11．已知三角形三边的长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 均为整数，若b ＝7，a <b ，则满足条件的三角形的个数是( B ) A ．30B ．36C ．40D ．45【解析】 ∵三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且a ＜b ，b ＝7， ∴a ＝1，2，3，4，5，6.根据三角形的三边关系，得b －a ＜c ＜b ＋a ，即7－a ＜c ＜7＋a . 当a ＝1时，6＜c ＜8，则c ＝7，此时满足条件的三角形有1个；当a＝2时，5＜c＜9，则c＝6，7，8，此时满足条件的三角形有3个；当a＝3时，4＜c＜10，则c＝5，6，7，8，9，此时满足条件的三角形有5个；当a＝4时，3＜c＜11，则c＝4，5，6，7，8，9，10，此时满足条件的三角形有7个；当a＝5时，2＜c＜12，则c＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，此时满足条件的三角形有9个；当a＝6时，1＜c＜13，则c＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，此时满足条件的三角形有11个．∴满足条件的三角形一共有1＋3＋5＋7＋9＋11＝36(个)．12．A商品的单价是50元，B商品的单价是60元，几所学校各付款1 220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有__4__所．【解析】设某校购买了x件A商品，y件B商品，则有50x＋60y＝1 220，即5x＋6y ＝122，5x＜122，x＜2425，y＝122－5x6＝20－x＋2＋x6，x是除以6余4的数，所以x＝4，10，16，22，即有4个整数解，所以最多有4所学校．13．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2 013元，则他至少卖出了__207__支圆珠笔．【解析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x＋7y＝2 013，x＋y<350.4x＋7y＝2 013⇒4x＝2 012－8y＋y＋1⇒x＝503－2y＋y＋1 4.令y＋14＝k⇒y＝4k－1，则x＝503－2(4k－1)＋k＝505－7k，又x＋y<350，即505－7k＋4k－1<350⇒k≥5113k≥52，y＝4k－1≥4×52－1＝207.即他至少卖了207支圆珠笔．14．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种．若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有__12__件．【解析】设共购商品2x件，9元商品a件，则8元商品为(2x－a)件，根据题意，得8(2x－a)＋9a＝172，解得a＝172－16x，∴依题意2x≥a，且a＝172－16x≥0，x为正整数，可得959≤x≤10.75，∴x＝10，则a＝12.∴9元的商品12件，故答案填12.15．某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元.(1)按该公司的要求，可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？解：(1)设购买x台甲机器，则7x＋5(6－x)≤34，所以x≤2.即x取0，1，2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，4台乙机器．(2)按方案①，所需资金为6×5＝30(万元)，日产量为6×60＝360(个)；按方案②，所需资金为1×7＋5×5＝32(万元)，日产量为1×100＋5×60＝400(个)；按方案③，所需资金为2×7＋5×4＝34(万元)，日产量为2×100＋4×60＝440(个)．所以，选择方案②.。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：不等式与不等式组【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：不等式与不等式组一、单选题1．下列说法不正确的是（ ）A ．不等式的解集是B ．不等式的整数解有无数个32x ->5x >3x <C ．不等式的整数解是0D ．是不等式的一个解33x +<0x =23x <2．已知，则下列结论成立的是( )x y <A ．B ．C ．D ．77x y ->-55x y ->-2121x y +>+22x y >3．一元一次不等式x+1>2的解在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于 的不等式 的非负整数解共有（ ）个x 1230x ->A ．3B ．4C ．5D ．65．若关于x 的不等式2x+a≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣6≤a≤﹣4B ．﹣6＜a≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣46．若a ＜b ，则下列各式正确的是（ ）A ．3a ＞3bB ．﹣3a ＞﹣3bC ．a﹣3＞b﹣3D ．33a b >7．如图表示的是关于 的不等式 ≤ 的解集，则 的取值是（ ）x 2x a --1a A ． ≤-1B ． ≤-2C ． =-1D ． =-2a a a a 8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ）A ．1℃～3℃B ．3℃～5℃C ．5℃～8℃D ．1℃～8℃9．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）21112x x -≤⎧⎨+>-⎩A ．B ．C．D．10．若 是关于x 的不等式 的一个解，则a 的取值范围是（ ）3x =2()x x a >-A ．B ．C ．D ．32a <32a >32a ≤32a ≥11．关于x 的一元一次不等式3x>6的解都能满足下列哪一个不等式的解（ ）A ．4x-9＜xB ．-3x+2＜0C ．2x+4＜0D ．122x <12．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）2a b+A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．与a 和b 的大小无关二、填空题13．不等式组 的解集为 .23x x >-⎧⎨≤⎩14．若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是 ．15．a ＞b ，且c 为实数，则ac 2 bc 2．(用数学符号填空)16．不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为 ．17．对于任意实数m 、n ，定义一种运运算m ※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 三、解答题18．解不等式组 ，并求它的整数解．64325213x x x x +≥-⎧⎪+⎨->-⎪⎩19．今年中考期间，我县部分乡镇学校的九年级考生选择在一中、二中的学生宿舍住宿，某学校将若干间宿舍分配给该校九年级一班的女生住宿，已知该班女生少于25人，若每个房间住4人，则剩下3人没处住；若每个房间住6人，则空一间房，并且还有一间房有人住但住不满。
中考数学一轮复习--第八讲不等式和不等式组
第八讲：不等式和不等式组知识梳理知识点1、不等式的概念重点：掌握不等式的概念难点：各种不等号的意义用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：，3－44－3，，等都是不等式．五种不等号的读法及意义：(1)“”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；(2)“>”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大；(3)“<”读作“小于” ，表示其左边的量比右边的量小；(4)“”读作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左边“不小于”右边；(5)“”读作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左边“不大于”右边；我们可以看出不等号开口所对的数较大，不等号尖口所对的数较小．例．用不等式表示：①a 大于0_____________；②是负数____________；③5与x的和比x 的3倍小______________________。
重点：掌握不等式的解和解集的概念难点：区分不等式的解和解集的概念对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．知识3、用数轴表示不等式的方法重点：掌握用数轴表示不等式的方法难点：实心点和空心圈的区别一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：(1)如图中所示：21<-x ≠0>a 02≥a ≠≥≤a x >A(2)如图中所示：(3)如图中所示：(4)如图中所示：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号(，)画实心点，无等号(>，<)画空心圈．知识点4、不等式的基本性质重点：掌握不等式的基本性质难点：运用不等式的基本性质解决问题不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．例.用不等号填空：若。
数学培优竞赛新方法(九年级)第8讲抛物线
抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数 y ax2 bx c(a、b、c为常数，a 0) 为 x 的二次函数，其图像为一条抛物
线，与抛物线相关的知识有：
1、 a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置；
2、抛物线关于
x
b 2a
对称，抛物线开口方向、开口大小仅与
a
相关，抛物线在顶点
b 2a
.
(2011 年全国初中数学联赛题）
13、若关于 x 的函数 y (a 3)x2 (4a 1)x 4a 的图像与坐标轴有两个交点，
则 a 的值为
。
正△AOB 的面积为（
（天津市竞赛题）
14、已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线 y 1 x2 上，其中 O 为坐标原点，则 2
）
6
A、 4 3
（2011 年江西省中考题）
10、如图所示，已知点 A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且 t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过 A、B、C 三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 l：y=k（x+1）的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点 Q（1，m），求 PQ+QB 的最小值； （3）若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值．
,
4ac 4a
b2
处取得最值； 3、抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式： y ax2 bx c ；
顶点式： y a(x h)2 k ；
交点式： y a(x x1)(x x2 ) ，这里 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个实根。确定抛物线的解析式
一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。 例题求解
不等式(组)培优拔尖
专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）A 、2116-<<-tB 、2116-<≤-tC 、2116-≤<-tD 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题）解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是（河南省中考试题）5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ）A 、31 B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+ky x y x 3962有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题） 2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题） 4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题） 6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ） A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x （山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.。
人教版八年级数学培优竞赛
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC ED B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A E第1题图A BC DE BCDO第2题图A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFB （E ）OC F 图③DAAFECB D03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE FD【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的DA C .Q P.BAA E FB DC 中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长. 13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么A EB F DC情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图ABCDA 1B 1C 1D 1AE FC DB AE B DC ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .ABE D CAB C DE⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
七年级数学竞赛辅导讲座(共7讲)-第八讲不等式
第八讲 不等式一、知识要点1、不等式的主要性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向. （4）若A ＞B ，B ＞C ，则A ＞C ； （5）若A ＞B ，C ＞D ，则A+B ＞C+D ； （6）若A ＞B ，C ＜D ，则A -C ＞B -D 。
2、比较两个数的大小的常用方法： （1） 比差法：若A -B ＞0，则A ＞B ；（2） 比商法：若BA＞1，当A 、B 同正时， A ＞B ；A 、B 同负时，A ＜B ； （3） 倒数法：若A 、B 同号，且A 1＞B1，则＜AB 。
3、一元一次不等式：（1） 基本形式：ax ＞b (a ≠0); （2） 一元一次不等式的解：当a ＞0时，x ＞a b ,当a ＜0时，x ＜ab . 含绝对值的不等式的性质：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．一个实数a 的绝对值记作｜a ｜，指的是由a 所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：(2)｜a ｜－｜b ｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜；(3)｜a ｜－｜b ｜≤｜a －b ｜≤｜a ｜+｜b ｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析． 二、例题示范例1、已知a ＜0,-1＜b ＜0,则a,ab,ab 2之间的大小关系如何？例2、满足31222-≥+x x 的x 中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？例3、一个一元一次不等式组的解是2≤x ≤3，试写出两个这样的不等式组。
中学数学竞赛讲座及练习(第8讲)+不等.
第八讲不等式的应用不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．例1已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．综上有x＜xy2＜xy．例2若试比较A，B的大小．显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．例3若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．解①+c得②+a得③+b得由④，⑤得所以c＜a．同理，由④，⑥得b＜C．所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．例4当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．解将原方程变形为(3+k)x=2．(1)当3+k＞0，即k＞-3时，方程有正数解．(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．(3)当方程解不大于1时，有所以1+k，3+k应同号，即得解为k≥-1或k＜-3．注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5已知求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．｜x-1｜-｜x+3｜达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已说明对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．例6已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50．求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．解将已知的两个等式联立成方程组所以①+②得4x+2y=80，y=40-2x．将y=40-2x代入①可解得z=x-10．因为y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．于是u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=-x+140．当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．例7设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，(c-4d)x=1，x+100=d的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？解由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b 也为整数，所以a-2b≥1，即a≥2b+1．同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3≥6(4d+1)+3=24d+9≥24×101+9=2433，故a可能取得的最小值为2433．求pq的值．解由已知所以21q＜30p＜22q．因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q ＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是pq=5×7=35．例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．分析与证明要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．因为b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1，所以由1＜a得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，即b＜a成立．分析与解由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以又x≥3时，也不成立，故x只能为2．当x=2时，令y=3，则z=6．当x=2，y≥4时，不成立．故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．例11某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中，A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．解设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u．由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23．故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以所以y=1，z=4．所以x=2，y=1，z=4．练习八1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy中哪一个的值最大？2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程2(a+x)-3x=a+13．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z 的最大值．5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．能值之和是多少？。
初中数学竞赛不等式和不等式组
第1讲不等式和不等式组知识总结归纳一.不等式的概念：用“>”、“<”等符号表示大小关系的式子叫不等式。
二.不等式的解：不等式的解：使不等式成立的未知数x的值叫不等式的解。
三.解集：使不等式成立的x的取值范围叫不等式解的集合，简称解集。
四.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
五.一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
六.不等式的性质：（1）不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;（3）不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.七.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫不等式组的解集。
八.解一元一次不等式的步骤（1）去分母；（注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变）（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1（注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变）典型例题一. 解不等式【例1】 解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集.（1）3228x x +<-；（2）3[2(2)]3(2)x x x x -->--；（3）112[(1)](1)225x x x -+≤-；（4）0.40.90.030.02.50.50.032x x x ++-->.【例2】 解不等式：11315111x x x x ++>+-++.【例3】解不等式组，并在数轴上表示它的解集.（1）1122433x xx x⎧-<⎪⎨⎪->+⎩（2）41282(2)xx x⎧+≤⎪⎨⎪->+⎩（3）243763543723x xx xx x+>-⎧⎪->-⎨⎪-<-⎩（4）2131(3)02611xxx+>⎧⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩【例4】解不等式，并在数轴上表示它的解集.（1）－5＜6－2x＜3 （2）3 21542 x x x-≤-≤-二.含参数的不等式【例5】求a的值，使不等式组52122541xxx a+⎧+<⎪⎨⎪-<-⎩的解是11x-<<.【例6】若不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集是11x-<<，求(1)(1)a b++的值.【例7】若关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，求a的取值范围．【例8】关于的x不等式组321x ax-≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，求a的取值范围．【例9】k取哪些整数时，关于x的方程5416x k x+=-的根大于2且小于10？【例10】已知关于x，y的方程组2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解x，y为正数，求m的取值范围．【例11】当k取何值时，方程组3525x y kx y-=⎧⎨+=-⎩的解x，y都是负数．【例12】已知方程组227243x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解x y>，求m的取值范围.【例13】已知方程组21321x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩①②的解满足0x y+<，求m的取值范围．【例14】已知24221x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．【例15】k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?【例16】k满足什么条件时，方程组24x y kx y+=⎧⎨-=⎩中的x大于1，y小于1．【例17】若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．【例18】 当102(3)3k k --<时，求关于x 的不等式(5)4k x x k ->-的解集．思维飞跃【例19】 解关于x 的不等式：22(1)2m x m m ->--.【例20】 解关于x 的不等式：233122x x a a+-->.【例21】 已知不等式(2)340a b x a b -+-<为49x >，求不等式(4)230a b x a b -+->的解集.【例22】 已知22)3(41)9(1)x x x ---=-（，且9y x <+，试比较1y π与1031y 的大小.【例23】 如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a ，b ）有多少对？作业1.解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集.（1）5(2)86(1)7x x-+<-+；（2）532122x x++-<；（3）57721234x x x+--≥-；（4）329251332x x x--+-≤2.解不等式组，并在数轴上表示它的解集.（1）253223x xx x-<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2）1232(3)3(2)6x xx x⎧->-⎪⎨⎪--->-⎩（3）234743743723x xx xx x+>-⎧⎪->-⎨⎪-<-⎩（4）2(13)795x--≤≤．3.已知a是自然数，关于x的不等式组3420x ax-≥⎧⎨->⎩的解集是2x>，求a的值．4.不等式组951,1x xx m+<+⎧⎨>+⎩的解集是2x>，求m的取值范围.5.已知关于x，y的方程组321431x y px y p+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y≥，求p的取值范围．6.适当选择a的取值范围，使1.7x a<<的整数解：(1)x只有一个整数解；(2)x一个整数解也没有．7.关于x的不等式组23(3) 1324x xxx a<-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，有四个整数解，求a的取值范围.8.已知不等式(2)50a b x a b-+->为107x<，求不等式ax b>的解集.。
广东省中考数学考点知识专题讲解与训练8---不等式与不等式组
广东省中考数学考点知识专题讲解与训练第8讲不等式与不等式组知识梳理1.不等式的有关概念及性质不等式的有关概念2不等式的基本性质3. 一元一次不等式（组）的概念及解法4.不等组解集的确定方法a ba ba bb5.列一元一次不等式解应用题列不等式解应用题的基本步骤：(1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题目中的不等关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“不少于”“不低于”“不多于”“至多”“超过”“至少”“不足”等;(2)设:设出适当的未知数;(3)列:根据题目中的不等关系,列出不等式;(4)解:解出所列不等式的解集;(5)答:写出答案,并检验答案是否符合题意.5年真题命题点1一元一次不等式（组）的解法1．（3分）（2018•广东）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（D）A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥22．（4分）（2016•广东）不等式组{x−1≤2−2x2x3＞x−12的解集是﹣3＜x≤1．3年模拟1．（2020•顺德区模拟）下列选项错误的是（C）A．若a＞b，b＞c，则a＞c B．若a＞b，则a﹣3＞b﹣3C．若a＞b，则﹣2a＞﹣2b D．若a＞b，则﹣2a+3＜﹣2b+32．（2020•佛山模拟）不等式﹣3x+6≤4﹣x的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．3．（2020•惠州一模）不等式4﹣x≤2（3﹣x）的正整数解有（B）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．（2020•白云区二模）小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（D）A．30x+750＞1080 B．30x﹣750≥1080C．30x﹣750≤1080D．30x+750≥10805．（2020•新会区一模）求不等式组{2−3x＜82(x+13)＞3x−52的整数解．解：{2−3x＜8①2(x+13)＞3x−52②，由①得：x＞﹣2，由②得：x＜196，则不等式组的解集是﹣2＜x＜196，它的整数解是﹣1，0，1，2，3．6．（2020•光明区一模）复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元．（1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元？（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 解：（1）设跳绳的售价为x 元，毽子的售价为y 元，依题意，得：{5x +6y =1962x +5y =120，解得：{x =20y =16． 答：跳绳的售价为20元，毽子的售价为16元．（2）设学校购进m 根跳绳，则购进（400﹣m ）个毽子，依题意，得：{m ≥3(400−m)m ≤310， 解得：300≤m ≤310．设学校购进跳绳和毽子一共花了w 元，则w ＝20×0.8m +16×0.75（400﹣m ）＝4m +4800，∵4＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m ＝300时，w 取最小值，此时400﹣m ＝100．∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．7．（2020•惠来县模拟）用1块A 型钢板可制成2块C 型钢扳，1块D 型钢板，用1块B 型钢扳可制成1块C 型钢板，2块D 型钢板（1）现需要15块C 型钢板，18块D 型钢板，可恰好用A 型钢板，B 型钢板各多少块？（2）若购买A 型钢板和B 型钢板共20块要求制成C 型钢板不少于25块，D 型钢板不少于30块，求A 、B 型钢板的购买方案共有多少种？解：（1）设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，则{2x +y =15x +2y =18，解得：{x =4y =7，答：用A型钢板4块、B型钢板7块；（2）设购买A型钢板a块，则购买B型钢板（20﹣a）块，由题意，得{2a+(20−a)≥25 a+2(20−a)≥30．解得5≤a≤10．所以a的取值为：5或6或7或8或9或10．所以共有6种购买方案．8．（2019•中山市模拟）某商场，购进甲、乙两种文具，甲文具每件的进货价高于乙每件进货价10元，90元买乙文具的数量与150元买甲文具的数量相同．（1）求甲、乙两种文具的进货单价；（2）要购进甲、乙两种文具共有100件，将进价提高20%进行销售，要使进货价少于2080元，销售额大于2460元，求有几种购进方案？解：（1）设乙文具的进货单价为x元/件，则甲文具的进货单价为（x+10）元，依题意，得：90x =150x+10，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝25．答：甲文具的进货单价为25元/件，乙文具的进货单价为15元/件．（2）设购进甲文具m件，则购进乙文具（100﹣m）件，依题意得：{25m+15(100−m)＜208025×(1+20%)m+15×(1+20%)(100−m)＞2460，解得：55＜m＜58．∵m为整数，∴m＝56，57，100﹣m＝44，43．∴有两种方案：购进甲文具56件，乙文具44件；购进甲文具57件，乙文具43件．。
七年级不等式及不等式组
解 不 等 式 、 3 2 x＜（x 3）＋1 不 （3）不等式组 3x＋2 有4个整数解，求a的范围。 等 4 x＋a 思维入口：先解不等式组，用a表示解集，在由4个整 式 数解条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围。 组
• 例2、某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线 后，要在爆炸前跑到400m以外的安全区域，已知导火线的 燃烧速度是1.2cm/s,人跑步的速度是5m/s,问导火线必须超 过多长，才能保证操作人员的安全？
• 思维入口：根据题意找等量关系式，发现有4个变量，而只
有3个关系式，我们在做这类题时，一般采用辅助设元。 • 解：设每台水泵每小时抽水量为a,水池每小时注水量为b,满
池水量为c，2小时内用x台水泵能将水抽完。则有：
12×5×a-5b=10×7×a-7b=c，2ax-2b≥c。通过代换化简 的x≥22.5，又x为整数，故x最小值为23。 答：略。
（1）按要求，有几种购货方案？ （2）若6台日生产量不低于380个，为了节约资金应该选择 哪种方案？ 解：（1）设购买甲种x台，则乙种6-x台， 则有：7x＋5×（6-x）≤34 化简得x≤2，则x可取0、1、2三个值， 所以，有三套方案：……. （2）略。
不 等 式 运 用 题
• 例4、拟甲、乙两个工程队共同完成某项目，若两队合做24
七年级下第八讲不等式不等式组不等式运用不等式及不等式组七年级下?不等式的性质等式的定义?不等式组的解集?不不等式组解集的过程?求等式运用?不等式组的应用题?不典例题讲解?经考体验?中不等式定义及性质?不等式定义
七年级（下）
第八讲
不等式、不等式组、不等式运用
中 考 体 验
经 典 例 题 讲 解
不 等 式 组 的 应 用 题
2020-2021初中数学方程与不等式之不等式与不等式组图文解析
2020-2021初中数学方程与不等式之不等式与不等式组图文解析一、选择题1．已知不等式组122x a x b +>⎧⎨+<⎩的解集为23x -<<，则2019()a b +的值为（ ）A ．-1B ．2019C ．1D ．-2019【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组的解集即可得出关于a 、b 的方程组，解方程组即可得出a 、b 值，将其代入计算可得． 【详解】解不等式x +a ＞1，得：x ＞1﹣a ， 解不等式2x +b ＜2，得：x ＜22b-， 所以不等式组的解集为1﹣a ＜x ＜22b-． ∵不等式组的解集为﹣2＜x ＜3，∴1﹣a =﹣2，22b-=3， 解得：a =3，b =﹣4，∴201920192019()(34)(1)a b +=-=-=﹣1．故选：A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是求出a 、b 值．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据不等式组的解集求出未知数的值是关键．2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ）A ．x ＜﹣12B ．x ＞﹣12C ．x ＜12D ．x ＞12【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集. 【详解】解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13， ∴0m <，0n <，3m n =， ∴0m n +<，解不等式()m n x n m >-+， ∴n mx m n-<+， ∴3132n m n n x m n n n --<==-++； 故选：A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.3．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分． 【详解】 由-x≤1，得x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x ＜3． 故选：B ． 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．4．若关于x 的不等式0521x m x -<⎧⎨-≤⎩，整数解共有2个，则m 的取值范围是( )A ．3m 4<<B ．3m 4<≤C ．3m 4≤≤D ．3m 4≤<【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m 的范围．【详解】解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩L L ①②，解①得x m <， 解②得2x ≥．则不等式组的解集是2x m ≤<．Q 不等式组有2个整数解，∴整数解是2，3．则34m <≤． 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是( ) A ．-3a ＞-3b B ．3a -＞3b- C ．3-a ＞3-b D ．a-3＞b-3【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，根据不等式的性质，看各不等式是加（减）什么数或乘（除）以哪个数得到的，用不用变号即可求解. 【详解】A.a ＞b ，－3a ＜－3b ，故A 错误；B.a ＞b ，3a -＜3b- ，故B 错误；C.a ＞b ，3－a ＜3－b ，故C 错误；D. a ＞b ，a －3＞b －3，故D 正确； 故答案为：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.6．若a b >，则下列不等式中，不成立的是（ ）A ．33a b ->-B ．33a b ->-C ．33a b > D ．22a b -+<-+【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：A 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-3)，可得-3a ＜-3b ，故A 不成立； B 、根据不等式的性质1，不等式的两边减去3，可得a-3＞b-3，故B 成立； C 、根据不等式的性质2，不等式的两边乘以13，可得33a b>，故C 成立； D 、根据不等式的性质3，不等式的两边乘以(-1)，可得-a ＜-b ，再根据不等式的性质1，不等式的两边加2，可得-a+2＜-b+2，故D 成立. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.7．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1ab>,一定能推出a b >的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案． 【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ， 在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ， 在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ， 在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ， 综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3）， 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．8．若关于x 的分式方程11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】 【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可． 【详解】 解：解分式方程11144ax x x -+=--， 得4x 1a=-． 又∵4x ≠，解得0a ≠． 又∵方程有整数解， ∴11a -=±，2±，4±， 解得：2,3a =，1-，5，3-．解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩，得，25a x -<…． 又不等式组有且只有3个整数解， 可求得：05a <≤．综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．9．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0， 解得：x≥-2. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.10．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( ) A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D 【解析】 【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0．【详解】 解：根据题意得102a b -< 故选D ． 【点睛】本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．11．在直角坐标系中，若点P(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( ) A ．3＜x ＜5 B ．－5＜x ＜3C ．－3＜x ＜5D ．－5＜x ＜－3【答案】A 【解析】 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】解：∵点P （2x-6，x-5）在第四象限， ∴260{50x x －＞－＜，解得：3＜x ＜5． 故选：A ．主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．12．下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a b >，得ac bc > B ．由a b >，得2ax bc > C ．由a b >，得ac bc < D ．由a b >，得a c b c ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】A ． 若a b >，当c ＞0时才能得ac bc >，故错误；B ． 若a b >，但2,x c 值不确定，不一定得2ax bc >，故错；C ． 若a b >，但c 大小不确定，不一定得ac bc <，故错；D ． 若a b >，则a c b c ->-，故正确． 故选：D 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．13．不等式组3433122x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 【详解】3433122x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩①② 解①，得1x ≤- 解②，得5x >-所以不等式组的解集是51x -<≤- 在数轴表示为故选：A 【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．14．关于x 的不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．23a <≤C ．23a ≤<D ．23a <<【答案】C 【解析】 【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，求出实数a 的取值范围． 【详解】解：由不等式113x -≤，可得：x ≤4， 由不等式a ﹣x ＜2，可得：x ＞a ﹣2，由以上可得不等式组的解集为：a ﹣2＜x ≤4，因为不等式组1132x a x -⎧≤⎪⎨⎪-<⎩恰好只有四个整数解，所以可得：0≤a ﹣2＜1， 解得：2≤a ＜3，故选C．【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．15．如图，不等式组315215xx--⎧⎨-<⎩„的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.16．不等式组213312xx+⎧⎨+≥-⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】213312x x +⎧⎨+≥-⎩＜①②∵解不等式①得：x ＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x ＜1， 在数轴上表示为：，故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．17．若不等式组1,1x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解，则m 的取值范围是( )A ．10m -≤<B ．10m -<≤C ．10m -≤≤D ．10m -<<【答案】A 【解析】∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩有解，∴不等式组的解集为m-1<x<1，∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解，∴-2≤m-1<-1， 解得10m -≤<， 故选A.18．已知点P （a +1，12a-+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．19．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．2＜a ≤3B ．2≤a ＜3C ．0＜a ＜3D ．0＜a ≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a 的取值范围【详解】由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a 的不等式是解题的关键20．下列不等式变形中，一定正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若22a b c c>，则a b > D ．若0a >，0b >，且11a b >，则a b > 【答案】C【解析】【分析】 根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．【详解】 A ．当c ＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；B ．当c=0时，符号为等号，故此选项错误；C ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确；D ．分母越大，分数值越小，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．。
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分析：因为 ，所以
解这个不等式得 ，则 .所以由 得
答案： .
技巧：先求参数范围，再解含参数的一元一次不等式.
易错点：解这类含参数的不等式问题时容易忽视参数的取值范围而致错.
三、解答题
7、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
分析：因为 所以 又因为 ，所以 即
答案： .
技巧：比较大小可以用作差法或者作商法——作差法是比较两式的差与0的大小，而作商法是比较两式的商与1的大小（分母的符号必须确定）.
易错点：在应用作商法比较大小的时候容易忽视分母的符号问题而致错.
5、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
求Байду номын сангаас等式 的解.
分析：含有绝对值的不等式，可以通过分类讨论的办法去掉绝对值再来求解，最后综合.
详解：若 ，且 ，则不等式为 ；若 且 ，则不等式为 ，矛盾.故不等式的解是
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法.
易错点：分类讨论之后容易忘记综合而致错.
8、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
第8讲不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()
D.与a和b的大小无关
分析：因为甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到 元，则由不等式 成立，可以解得
答案：A .
技巧：根据题意列出不等式，然后化简，是解这类题的一般思路.
易错点：解不等式的时候，两边同时乘以一个负数或者移项过程中不等号的方向容易弄错.
已知x，y为实数，且 ，设 ，则z的取值范围是_____________.
分析：因为 故 ，所以 .又 ，故 ，故
答案： .
技巧：由于 ，故有 对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）.这个结论在不等式问题中的应用非常广泛.
易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大.
6、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
分析：根据题意可设出三个人投资的钱数，列出不等式解出第三个人投资的钱数的范围即可.
详解：设投资最多为5x万元，则最少为3x万元，第三个人投资了y万元，则 ,所以 .因此第三个人最多投资55万元，最少投资39万元.
答：第三个人最多投资55万元，最少投资39万元.
技巧：已知比例关系为a:b的时候，未知数可以设成ax和bx再来列方程或不等式，可以简化运算.
易错点：先分别求三个数的最大值再求它们的和的最大值时，容易忽视三个数能否同时取得最大值的问题而致错.
9、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、不等式、应用题）
三人合办一企业，共同投资143万元，投资最多的人与最少的人的钱数比为5:3，问：第三个人投资最少要多少万元？最多要多少万元？
答案：A.
技巧：将x,y都用k表示出来，再根据x,y的范围列出关于k的不等式组，解出来就能求得结果.
易错点：在解不等式组的时候容易求错两个不等式的公共部分而致错.
二、填空题
4、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是_____________.
易错点：求最值的时候容易忽视未知数的限定范围而致错.
3、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
若方程组 k为整数）的解满足 0，则k的值是()
A.-3，-2，-1，0B.-2,-1,0,1
C.所有正整数D.所有负整数
分析：解方程组 得 ，由 得
解得 .故k的整数值为-3，-2，-1，0.
易错点：做这种题容易凭主观判断解答而致错.
2、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
已知 ，且 ，则 的最小值是()
分析： ，又因为 所以 ，故最小值为3.
答案：B.
技巧：根据题目条件消去一个未知数，将二元化为一元再来求最值是解这类问题常用的方法.
设 为自然数，且 又 ，求 的最大值.
分析：假如 取得最大值，则 只能是 后的连续自然数，依次可以求出 的最大值.同理可以求得 的最大值.
详解： 解得 ，故自然数x1的最大值为19.同理，x2，x3的最大值分别为20，22.所以 的最大值为61.
答： 的最大值为61.
技巧：求三个数的和的最大值，可以先分别求三个数的最大值，然后求和.