[配套K12]2019高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示练习 文

§6.1 数列的概念及其表示考纲解读分析解读了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n 项和之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分,属于中低档题.五年高考考点一 数列的有关概念、规律及应用 1.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{a n }满足a n+1=,a 8=2,则a 1= .答案2.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.解析 (1)由题意得a 2=,a 3=.(5分)(2)由-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以=.故{a n }是首项为1,公比为的等比数列,因此a n =.(12分)3.(2014大纲全国,17,10分)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=2a n+1-a n+2得,a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=1.所以{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得b n=1+2(n-1),即a n+1-a n=2n-1.于是所以a n+1-a1=n2,即a n+1=n2+a1.又a1=1,所以{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.考点二数列的通项及前n项和1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .答案(-2)n-12.(2014江西,17,12分)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,a n,a m成等比数列.解析(1)由S n=,得a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-2.经验证,a1=1符合a n=3n-2,所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-2.(2)证明:要使a1,a n,a m成等比数列,只需要=a1·a m,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且m>n,所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,a n,a m成等比数列.3.(2014湖南,16,12分)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.解析(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=n.故数列{a n}的通项公式为a n=n.(2)由(1)知,b n=2n+(-1)n n,记数列{b n}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{b n}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.教师用书专用(4)4.(2013江西,16,12分)正项数列{a n}满足:-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.(2)由于a n=2n,b n=,则b n==,所以T n=（1-+-+…+-+-）==.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一数列的有关概念、规律及应用1.(2018湖北枣阳12月模拟,2)已知数列,,2,,…,则2是这个数列的( )A.第6项B.第7项C.第11项D.第19项答案 B2.(2018山西晋中五校联考,2)现在有一列数:2,,,, ,,,…,按照规律,横线中的数应为( )A. B. C. D.答案 B3.(2018安徽铜陵12月模拟,7)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,则此数列第20项为( )A.180B.200C.128D.162答案 B4.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列{a n}满足:∀m,n∈N*,都有a n·a m=a n+m,且a1=,那么a5=( )A. B. C. D.答案 A5.(2017湖北重点高中期中联考,12)已知数列{a n}是递增数列,且对于任意n∈N*,a n=n2+2λn+1,则实数λ的取值范围是( )A.λ>-1B.λ<-1C.λ>-D.λ<-答案 C考点二数列的通项及前n项和6.(2018四川宜宾期中,6)数列{a n}为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=n-2B.a n=2n-4C.a n=3n-6D.a n=4n-8答案 B7.(2017宁夏银川九中期中,5)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=则其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.120答案 C8.(2017辽宁大连期中联考,16)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=,则数列{a n}的通项a n= .答案9.(人教A必5,二,1,A5,变式)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式: .答案a n=n210.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,17)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+kn,其中k为常数,a6=13.(1)求k的值及数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)∵S n=n2+kn,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+k-1.∴当n=6时,a6=11+k=13,解得k=2,∴当n≥2时,a n=2n+1.当n=1时,a1=S1=1+2=3,也满足上式.所以a n=2n+1(n∈N*).(2)b n====-,∴T n=++…++=1-=,所以数列{b n}的前n项和T n=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2017广东五校协作体一模,11)数列{a n}满足a1=1,且a n+1=a1+a n+n(n∈N*),则++…+等于( )A. B. C. D.答案 A2.(2017江西六校期中联考,11)若数列{a n}满足-=1,且a1=5,则数列{a n}的前100项中,能被5整除的项数为( )A.42B.40C.30D.20答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2018江苏无锡期中,14)斐波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第10项为.答案554.(2018辽宁大连基础检测,15)数列{a n}满足:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+1-1,a1=1,a2=6,则a n= .答案2n2-n5.(2016安徽江南十校3月联考,16)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,2S n=(n+1)a n,若存在唯一的正整数n,使得不等式-ta n-2t2≤0成立,则实数t的取值范围为.答案-2<t≤-1或≤t<1三、解答题(共15分)6.(2017安徽江淮十校第一次联考,19)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,2S n=(n+1)a n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n,试比较T n与的大小.解析(1)∵2S n=(n+1)a n,n∈N*,∴当n≥2时,2S n-1=na n-1,可得2S n-2S n-1=2a n=(n+1)a n-na n-1(n≥2).∴=(n≥2),又a1=1,∴==…==1,∴a n=n(n∈N*).(2)由(1)可得,b n===,∴数列{b n}的前n项和T n=[+++…++]==-<.∴T n<.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 根据数列的前几项求数列通项公式的方法1.(2018湖北襄樊五中12月月考,8)已知数列{a n}满足a n=(n∈N*),将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n},则b2 017的末位数字为( )A.8B.2C.3D.7答案 B2.(2017湖北重点高中期中联考,18)已知数列{a n}的前n项和是S n,且满足2S n=3a n-(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4,并猜想通项a n(不用证明);(2)设b n=1+2log3(2a n),求证:++…+<.解析(1)当n=1时,2a1=3a1-,得a1=;当n=2时,2(a1+a2)=3a2-,得a2=;当n=3时,2(a1+a2+a3)=3a3-,得a3=;当n=4时,2(a1+a2+a3+a4)=3a4-,得a4=.猜想:a n=(n∈N*).(2)证明:把a n=代入b n=1+2log3(2a n),得b n=1+2log33n-1=2n-1,∴++…+=++…+==<.方法2 已知数列的递推公式求通项公式3.(2018山东实验中学期中,5)若数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=3n-2,那么这个数列的通项公式为( )A.a n=2×3n-1B.a n=3×C.a n=3n-2D.a n=答案 D4.(2017山西四校联考,5)已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是a n=( )A.nB.C.n2D.2n-1答案 A5.(2016河南洛阳期中模拟,14)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n+2n-1(n∈N*),则a n= .答案n2-2n+2方法3 已知数列{a n}的前n项和S n求a n6.(2017河南新乡第一次调研,14)S n为数列{a n}的前n项和,且S n=n2-3n+3,则数列{a n}的通项公式为a n= .答案7.(2018重庆一中11月模拟,17)设数列{a n}满足:a1+a2+a3+…+a n=n-a n(n∈N+).(1)求a1,a2;(2)若b n=n(2-n)(a n-1),求{b n}的最大项,并写出取最大项的值.解析(1)∵数列{a n}满足:a1+a2+a3+…+a n=n-a n(n∈N+),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,解得a1=,a2=.(2)a1+a2+a3+…+a n=n-a n(n∈N+),n≥2时,a1+a2+a3+…+a n-1=n-1-a n-1,两式相减可得a n=1-a n+a n-1(n≥2),可得a n-1=(a n-1-1)(n≥2),∴数列{a n-1}是等比数列,公比为,首项为-.∴a n-1=-,∴b n=n(2-n)(a n-1)=n(n-2)×,由b n+1-b n=(n+1)(n-1)×-n(n-2)×=>0,解得2-<n<2+.∴b1<b2<b3<b4>b5>b6>…>b n.∴n=4时,b n取得最大值,b4=.8.(2016福建四地六校第三次联考,17)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,且S n,a n,成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=log2a n+2,设数列的前n项和为T n,证明≤T n<1.解析(1)由S n,a n,成等差数列,得2a n=S n+,当n=1时,2a1=S1+,又S1=a1,∴a1=;当n≥2时,由S n=2a n-,得S n-1=2a n-1-,两式相减得a n=2a n-2a n-1,∴a n=2a n-1(n≥2),由{a n}为正项数列得a n≠0,∴=2(n≥2),因此数列{a n}是以为首项,2为公比的等比数列,故a n=2n-2.(2)证明:由(1)知b n=log2a n+2=log22n-2+2=n,∴==-,故T n=1-+-+…+-=1-,又n∈N*,∴≤T n<1.。