5.1.2垂线(第一课时)docx
人教版 5.1.2垂线(1)
探究
线段、射线有没有垂线？若有，应该怎 么画？
P
A O 注意：过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所 在直线的垂线，垂足有可能落在在延长线上。
练习：P5 练习2题
A
B
Q
例题
例1：如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为 O 点O，直线EF过点O，∠DOF=36 ，求 ∠AOE的度数。
C E
A
O
B
D
F
回顾与思考
如右图，直线AB、CD相交 于O； （1）∠1与∠3什么关系？
C 1 2
A
4 O 3
B
D
（2）∠1的邻补角有几个？是哪几个？
（3）如果∠1=35 °则∠2= ， ∠3= ，∠4= ， （4）如果∠1=90°则∠2= ， A ∠3= ，∠4= ，
C
1
∟
O B D
探究
垂直：如果两条直线相交所成的四个角中有 任意一个角等于90°，那么这两条直线互相 垂直，它们的交点叫做垂足。其中一条是另 一条的垂线。 直线AB、CD互相垂直，记作 AB CD
练习
直线AB与直线CD相交于点O,若 ∠AOC=90°则 垂直 ①直线AB与直线CD互相______ A 记作_______. AB⊥CD
C
B
O
垂足 ②交点O又叫做_____.
D
③∠____= ° AOC ∠____= BOC ∠____= AOD ∠____=90 BOD
练习：P5
练习1题
探究
如图所示，AB⊥CD，垂足为O。
定义中有两个条件：
C
1、两条直线相交 2、有一个角是直角 注意：垂直是特殊的相交。
A
O
B
D
人教版5.1.2垂线第一课时课件
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
导学问题：
C
1、如图，直线AB与CD相交于点O，
若∠COB=90°，则直线AB与CD的位 置关系是 垂直 ，表示为：AB⊥CD，其
A
O
B
中直线CD是AB的 垂 线，点O叫做 垂足
D
2、若已知直线AB⊥CD,则 ∠AOC=90° 。 ∠AOC= ∠COB= ∠BOD= ∠DOA=90°
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这 条线段(或射线)所在直线的垂线.
课堂练习
1.过点 P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ C）.
A
B
C
D
课堂检测：
• 1、如图，直线MN⊥PQ于O点，直线AB经 过O点，∠1=26°，则∠2=
P
1
M
O
N
2
M
A
B
Q
2、过点M做线段AB的垂线。
3、如图，直线AB与CD相交于0点，已知OE⊥AB， ∠BOD=45°，则∠COE= 135°
人教版七年下数学：5.1.2垂线第一课时课件
α ）α
a
斜交 两条直线相交
垂直
垂直是相交的特殊情况
垂线的相关定义：
1.定义：当两条直线AB和CD所成 的四个角中，如果有一个角是直 角时，我们就说这两条直线互相 C 垂直。 其中一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点O叫做垂足
A
O
D
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。 如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。
•(3)如图，已知直线 L 和L外的一点A ,作L 的垂线.
•问题： •这样画L 的垂线可 以画几条？
•1 条
A
•则所画直线AB是过
点A的直线L的垂线.
B
L
•1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; •2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; •3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
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B C
那么∠COA＝_7_2__°_,
O
A
∠BOC的补角为_1__6_2__度。
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5.1.2_垂线(第1课时)
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
a
αb O
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很 常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
生活中的垂直
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
选择题
巩固练习
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___
个
[A ]
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直．
(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直
线互相垂直．
(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线
3.垂直的书写形式：
如图，当直线AB与CD A
D
相交于O点，∠AOD=90°
时，AB⊥CD，垂足为O。 书写形式：
O
∵∠AOD=90°（已知） C
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为
O，那么，∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
人教初中数学七下 5.1.2 垂线(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° )
合作探究 达成目标
例1：如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥CD于 O, ∠AOE：∠COE=1:3，求∠BOD的度数。
解：∵OE⊥CD ∴ ∠COE=90°
E
A
D
又∵∠AOE：∠COE=1:3
请 风景4：二元一次方程组的
思 考
解
x=1
x= 2
x=6
y=6 y=5
…
y=1
方程x+y=7的解集
x=6 x=7 y=1 y=3
…
x= 5 y= -1
方程2x-y=11的解集
x=1
x= 2
y=6
y=5
…
方程x+y=7的解集
x=6 x= 7 x= 5
y=1
y= 3
…
y= -1
方程2x-y=11的解集
求a的值. a=7
2. 已知
x=2 y=b
是方程2x+3y=13的一个解，
求b的值. b=3
水天 一色
3. 你能写出以
x 1 为解的二元一次方程．
y3
你还能写出两个以 x 1 为解得二元一次
方程组吗？
y3
4、二元一次方程 x2y 8 的正整数解．
破茧成蝶
1、已知方2程xa3 3y 4 是二元一次方程， a的求值？
创设情景 明确目标
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
5.1.2垂线正式版(1)
BD 的长度
的长度.
BD .的距离.
B
E
AD
C
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
1.垂线的画法：
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
A
B
B
练习
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2、如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
B F
CE D MA
P
NB
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第一课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。
七年级数学下册5.1.2第1课时垂线的定义画法课件新版新人教版高品质版
的直线能画几条？
一条
三、探究垂线的画法
方法总结：垂线的画法需要三步完成.
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上， 使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一条直角边经 过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知 直线的垂线．
三、探究垂线的画法
归纳结论： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
小结：谈谈你对垂线的认识. （4）垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位 置关系，而垂线是指两条直线互相垂直时，其中的 一条叫做另一条的垂线.两者也有联系，只有在垂 直的情况下，才会有垂线.
（5）在同一平面内，过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直.
五、布置作业
必做题：习题5.1第3，4，5题. 选做题：第6题.
二、探究垂线的概念
两条直线相交，当它们的交角有一个角是90°时， 叫做这两条直线互相垂直，它是直线相交的一种特殊情 形.其交点叫垂足.
A
CO
D
B
如图，记作：AB⊥CD,垂足是O.“⊥”是垂直符号.
二、探究垂线的概念
2.发现生活中的垂直实例. 生活中有许多直线互相垂直的例子，你能举出一 些例子吗？
过一点画一条线段的垂线，其实就是画这条线段所 在的直线的垂线.
四、练习与小结
小结：谈谈你对垂线的认识. （1）垂线的定义、几何符号语言. （2）垂线的性质及画法.
（3）垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相 交，但又不同于一般的相交，只有两条直线相交成 直角时，它们的位置关系才能称作互相垂直.
四、练习与小结
注意：“过一点” 包括两种情况，你能说 出是哪两种情况吗？
过直线上一点 过直线外一点
四、练习与小结 练习： 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时,这 两条直线有什么位置关系?为什么？
5.1.2垂线(第一课时)教案 【新人教版七年级下册数学】
5.1.2 垂线(第一课时)垂线(一)教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学过程一、创设问题情境,研究垂直等有关概念1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?bb a教师在组织学生交流中,应学生明白:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a 是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a 、b 所成的四个角都是直角,都相等. 3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.O DCBA5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.PM A NPBPBA学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.三、小结本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?四、作业1.课本P7练习,P9.3,4,5,9.2.选用课时作业设计.一、判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( )二、填空题.1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.(1)ODC B A (2)O DCBAE(3)O D CBA2.如图2,AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.3.如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________. 三、解答题.1.已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上. (1)画直线DE ⊥OB;(2)画直线DF ⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.E ODC BA3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗?评价与反思数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，因此在新课的开始首先复习了研究垂直所需要的邻补角、对顶角的有关知识，为下面的活动的开展做好了准备，在教的过程中通过多种形式的活动给学生提供充分参与数学活动的机会，激发学生的学习的积极性，通过动手操作、合作交流、练习、反馈等各个环节，使学生掌握知识的同时，培养学生的动手能力、表达能力以及合作的意识。
5.1.2 垂线(授课典案)
5.1.2 垂线第1课时垂线第2课时垂线段课题第1课时垂线第2课时垂线段授课人教学目标知识技能1.使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,理解垂线的性质,掌握在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论;2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.数学思考经历观察、操作、分析、概括、交流等学习过程,进一步提高学生的作图能力以及运用数学符号进行逻辑推理的能力.问题解决通过探索垂线的性质,能解决相关的垂线问题,并能够进行适当的说理.情感态度1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展学生交流、合作的能力及有条理地表达自己思想的能力;2.通过创设情境,利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣,给学生创造成功的机会,使他们爱学、会学且学会,从而体验成功的快乐.教学重点垂线的概念、画法和垂线的两个性质.教学难点垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.授课类型新授课课时教具量角器、三角尺、直尺、相交线模型教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】图5-1-28被钉死在十字架上的人是谁?十字架有什么意义?十字架原是罗马帝国处以死刑的刑具,反映了帝国的残暴本性,原为耻辱的记号.上帝之子耶稣为了拯救人类,被人钉于十字架,舍命,流血,牺牲,第三天从死里复活.使一切信他的人,罪得赦免,与神和好,获得永生.从此,活动一: 创设情境导入新课十字架具有了荣耀、得胜的含义,成了耶稣救人的标志、基督教的标志和爱的标志,也被用来作为医疗的标志.该图隐含怎样的几何图形?生活中还有哪些这种图形呢?(书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边等)今天我们就来研究这种特殊情况!图5-1-29教师出示相交线的模型(如图5-1-29),演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角∠α是如何变化的?通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,并且十字架中隐含相交线的特殊情况——垂直.活动二: 实践探究交流新知【探究1】垂线的概念1.垂线的定义(1)【课堂引入】中的图5-1-29,木条a不动,当木条b转到什么位置时,两根木条互相垂直?(2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?活动二: 实践探究交流新知(3)当a,b相交形成的角中有一个角是直角时,其他三个角的度数是多少?通过模型展示及学生交流应使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所形成的四个角都是直角,都相等.引导学生概括垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.辨析:“互相垂直”与“垂线”.“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线相对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”.图5-1-302.垂直的符号表示垂直用符号“⊥”来表示,“⊥”读作“垂直于”.如图5-1-30,直线AB垂直于直线CD,垂足为O,则记为AB⊥CD,垂足为O,一般在图中任意一个直角处作上直角记号.3.用垂线的定义进行推理(1)如图5-1-30,你能说出由什么条件就知道AB与CD互相垂直吗?因为∠BOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义).(2)如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)因为AB⊥CD于点O(已知),所以∠BOC=90°(或∠AOC=90°或∠AOD=90°或∠BOD=90°)(垂直的定义).1.通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力.活动二: 实践探究交流新知【探究2】垂线的性质1图5-1-31让学生用三角尺或量角器画已知直线的垂线.(1)如图5-1-31,现有一条已知直线AB,分别过直线外一点C和直线上一点D,作直线AB的垂线,你有几种方法?(2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论?学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列两种方法来画垂线:①用量角器;②用三角尺,如图5-1-32.图5-1-32教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程.师生共同总结画垂线的方法:(1)用三角尺:贴直线——过定点——画垂线.用三角尺的两条直角边“一贴”:贴住已知直线,“二靠”:靠住已知点,“三画”:画垂线.(2)用量角器.学生通过思考得到:在同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.注意:(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上.【探究3】垂线的性质22.引导学生总结作垂线的一般方法.3.培养学生的作图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.活动二: 实践探究交流新知1.解释概念垂线段:垂线上一点到垂足的线段;点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度.2.问题:(1)如图5-1-33,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短?图5-1-33(2)从上述探究过程中你能发现什么结论?图5-1-34学生可以自主探究,如图5-1-34,先在直线AB上任取一些点,连接这些点和点C,可以发现所连的这些线段中CD最短,此时CD ⊥AB,于是找到挖渠方案.3.学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.注意:垂线是直线;垂线段特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量,是有单位的.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图5-1-35,在给出的图形上,完成下列作图:(1)作出点A到直线BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;(2)过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;(3)延长DA,你能发现什么有趣的结论?图5-1-351.通过例题让学生学会画线段的垂线,并感受三角形三边上的高所在的直线相交于一点的这一事实.活动三: 开放训练体现应用解:(1)如图5-1-36.测量略.(2)如图5-1-36.(3)直线DA,BE,CF相交于同一点.图5-1-36变式1.在图5-1-37中分别画出点A,B到直线CD的垂线段AE,BF.图5-1-37解:如图5-1-38所示.图5-1-382.如图5-1-39,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路程最短,请画出行走路径,并说明理由.图5-1-39 图5-1-40解:行走路径如图5-1-40,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短.2.通过变式练习进一步巩固垂线的概念及作图.活动三: 开放训练体现应用【拓展提升】例2如图5-1-41,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M,N是位于公路两侧的村庄.图5-1-41(1)设汽车行驶到公路AB上的点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下面四种说法:(1)在同一平面内,过一点有一条线和已知直线垂直;(2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;(3)直线的垂线和直线上的任一线段垂直;(4)对顶角中有一个角是直角时,相邻的边互相垂直.其中说法正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图5-1-42,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(C)A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°图5-1-423.如图5-1-43是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段AP的长度.通过练习进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.活动四: 课堂总结反思图5-1-434.课本第6页练习.课后作业:1.课本第8页习题5.1第3,4,5,6,7题.2.课本第9页习题5.1第10,12题.【板书设计】第1课时垂线第2课时垂线段框架图式总结,更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,这是对学生进行思想教育非常重要的方法,使学生在学到知识的同时受到了良好的美育、德育教育.活动四: 课堂总结反思②[讲授效果反思]本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中,使学生能感受到学习与探索的乐趣.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.一、自学范围（课本练习） 二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
5.1.2垂线(1)
一.自学自学------质疑------解疑1.垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。
2．垂线的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为，并在图中任意一个角处作上直角记号。
二.量学自测------互查------互教1.判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角（）②两条直线相交所成的四个角相等（）③两条直线相交,有一组邻补角相等（）④两条直线相交,对顶角互补.（）2.如上图所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.三.助学展示------反馈------导学1.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可分三步：“一落”即让直角板的一条直角边落在已知直线上与已知直线重合；“二移”即沿直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；“三画”即沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
2. 垂线的性质：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四.用学自测------反馈------点拨1.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上.(1)画直线DE ⊥OB;(2)画直线DF ⊥OA,垂足为F.五.测学 自测------反馈------点拨1.已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,ODOD 与OE 的位置关系.2.如图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求 ∠DOG 的度数. G O FEDCB A。
5.1.2 垂线(1)
The perpendicular line
泸州市蓝田中学 罗宏
学习目标
1．从实际问题发现两条直线的垂直关系及垂直
的第一个性质， 培养学生发现问题能力．
2．通过用三角板或量角器过一点画已知直线的 垂线，培养学生画图的基本技能． 3．通过学习垂直的表示方法，使学生建立初步 的符号感． 4．能初步运用垂直的定义解决有关问题.
垂直的定义
b
a
a
观察 A
观察
两条直线相交所成的
D
C
角中，如果有一个角
O B
等于90°，就说这两
条直线互相垂直。
定义的解读
A
2．符号：“⊥”读作“垂直于
D
C
O B
3、垂直在图中的用“ ” 4、正向理解 ∵∠AOD=90 ° ,（已知） ∴AB⊥CD （垂直的定义）
1．定义：当两条直线相
交所成的四个角中，有一 个角是直角时，就说这两 条直线是另一条直线的垂
条直线互相垂直，其中一 5、逆向理解
线，交点叫做垂足．
∵AB⊥CD, （已知） ∴ ∠AOD=90 （垂直的定义） °
生活中的垂直
垂直的性质
用三角尺和量角器画已知直线l的垂线，这样的垂
线能画出几条？ A
A
观察
l
观察
l
操作方法：一贴、二靠、三画. 垂直的性质：经过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
3. 如图，过点 A 作 AD ⊥ CB ，垂足为 D 。过点 B 作
BE⊥AC，垂足为E。
运用探究
如图， O 为直线 AB 上一点，∠ BOC=3 ∠ AOC ，
OC 是∠ AOD 的平分线 . （ 1 ）求∠ COD 的度数； （2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由. 解：（1）∵∠BOC=3∠AOC，
5.1.2 垂 线 (第1课时)
知识拓展
(1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公 共点即为垂足. (2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段 与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂 直. (3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线 互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线 相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条 直线互相垂直.
【思考】
生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?
例：如图所示,三条直线相交于点O.若
CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 B
A.30° C.45° B.34° D.56°
(
)
〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的 ∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为 ∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角 和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所 以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角 相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以 ∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻 补角互补).
(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射 线,要用虚线延长或反向延长.
课堂小结
1.垂线的概念: 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直 角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线 叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
课堂小结
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
七年级数学· 下 新课标[人]
第五章
哈尔滨市实验中学七年级数学下册 第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线第1课时 垂线导
5.1相交线5.1。
2垂线第1课时垂线一、新课导入1。
导入课题：观察周围的景物：墙与地面、桌腿与地面、公路两边的电线杆与地面的位置关系都给我们垂直的印象，导出课题——垂线.2.学习目标：（1）能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
（2）记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.3。
学习重、难点:重点：正确理解垂线、垂线段的概念。
难点:能利用垂线的性质进行简单的推理.二、分层学习1.自学指导：（1)自学内容：课本P3至P4“探究”之前的内容。
(2）自学时间：5分钟。
（3）自学要求：认真阅读教材，对重、难点内容做好标记.不清楚，不懂的地方可以小组讨论。
（4）自学参考提纲:①垂线的定义：结合相交线模型和图5。
1-4体会当∠α=90°时，a和b互相垂直，这说明：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线是互相垂直的,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.②垂线的定义推理过程（如图1）：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°(垂直定义).反之因为∠AOC=90°(已知）,所以AB⊥CD(垂直定义）。
③如图2，直线a ⊥ b，∠1 = 35°，则∠2 =55°。
④当两条直线相交所成的四个角相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么?互相垂直.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学。
3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师在学生自学时巡视课堂，关注学生的学习进度和学习中存在的问题。
②差异指导:对在自学中遇到疑难或认识有偏差的学生进行点拨引导.（2）生助生：学生通过小组交流探讨各自遇到的问题。
4.强化:（1)垂线、垂线段的概念.(2)举例说明生活中的垂直现象.1.自学指导：（1）自学内容:课本P5练习之前的内容。
(2）自学时间：3分钟。
（3）自学要求：根据探究提纲动手操作画图；在动手过程中互助交流作图方法。
5.1.2垂线(第一课时)1
命好题是检测教师教学能力的一项重要的工作。
课上的好的老师不见得能命好题。
因为命题能力必须是在学习、探索和实践中才能具有并不断提高的。
命好题对于每个人来说都是一次比较大的能力提升过程。
一、关注学生的发展性评价现代教育评价旨在建立一个评价目标多元、评价方法多样的评价体系。
现代理念下的学生学习评价，不仅仅知识和技能，而且也关注过程和方法尤其是解决问题的能力、合作交流技能等方面以及学科学习的情感和态度。
为了较好地实施过程性评价和实现学生的综合素质评价：1、注重对学生学科学习过程的评价。
2、恰当评价学生对基础知识和基本技能的理解和掌握。
3、重视对学生发现问题和解决问题能力的评价。
二、学业评价的测试题设计与编排的基本思路和技巧在小学学业评价的测试题的设计与编排中，必须符合测试的目标和要求，满足导向性、科学性、全面性和适应性原则。
要做到：1、命题的内容不能超出课程标准的要求；2、测试题涉及的知识结构合理；3、测试题的难易比例搭配恰当；4、测试题的文字、语言表达、图形、序号、标点符号等要准确无误；5、题型的设计要符合测试的目标和要求。
众所周知，小学学科课程教学主张知识技能、过程和方法、情感态度价值观等三维目标并举，因此，学科题型的设计、选择和编排，必须处理好“双基”与各种能力之间的关系。
同时为了区分考生学科能力和一般能力的强弱、大小，还应在能力考查的综合程度和深浅层次上做出划分，统筹兼顾，设计好整卷的布局。
无论是整卷还是单题，都应以能力为主线进行题型设计。
三、善于捕捉“后进生”的闪光点，将爱心洒向每一位学生，引导学生向“下次我一定能行”方向发展。
命题的过程是一个艰辛的过程，一份好的试题绝不是在短时间内生拼硬造出来的，同时，命题的过程又是一个很好的学习和思考的过程，会促使你更加认真地去了解学情和钻研教材。
命题过程也是一个研究过程，你所命的题就是你的研究成果。
通常情况下，老师们被动应对考试的多，主动驾驭考试来改进教学的少。
垂线(第一课时)相关例题、练习题
5.1.2 垂线(一)◆典型例题【例1】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个【解析】题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线相交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确.【答案】 D【例2】如图5－16，过点A、B分别画OB、OA的垂线.图5－16 图5－17【解析】画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上.【答案】如图5－17所示，直线AE为过点A与OB垂直的直线，垂足为E;直线BD为过点B与OA垂直的直线，垂足为D.【例3】如图5－18，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF 平分∠BOC(1)若∠BOC=50°，试探究OE、OF的位置关系；(2)若∠BOC=α(0°＜x＜180°)，(1)中OE、OF的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?图5－18【解析】 要探究OE 、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF 的大小来判断OE 、OF 的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF ，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE ⊥OF. 由邻补角的定义，可得∠AOC=180°－∠BOC=130°. 由OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC 可得∠COF=21∠BOC=25°， ∠COE=21∠AOC=65°. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°. 因此OE ⊥OF. (2)OE ⊥OF 仍成立.因为∠AOC=180°－α，∠COF=21α， ∠COE=21(180°－α)=90°－21α. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=21α+(90°－21α)=90°.由此发现:无论∠BOC 度数是多少，∠EOF 总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.2.过一点________条直线与已知直线垂直. ◆课上作业3.如图5－19，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD=35°，则∠BOC=________.4.如图5－20，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－205.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－226.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25 图5－2612.如图5－26所示，AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC 与∠COE 互为余角B.∠BOD 与∠COE 互为余角C.∠COE 与∠BOE 互为补角D.∠AOC 与∠BOD 是对顶角三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小.图5－27参考答案◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.答案：42.过一点________条直线与已知直线垂直.答案：有且只有◆课上作业3.如图5－19，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=________.答案：125°4.如图5－20，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB于O，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－20答案：互为余角5.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－22答案：①6.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.答案：4◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.答案：20°9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.答案：120°10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24答案：25°；130°二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25答案：A12.如图5－26所示，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC与∠COE互为余角B.∠BOD与∠COE互为余角C.∠COE与∠BOE互为补角D.∠AOC与∠BOD是对顶角图5－26答案：C三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OA ⊥OB (2)O(C 为∠AOB 的平分线，因为∠BOC=∠AOC=45°.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.图5－27(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小. 答案：(1)∠DOF=110° (2)∠COH=107.5°。
5.1.2垂线(第一课时)
圣林中学“学为主线，课堂达标”六环节教学法课时备课学科：数学主备人：韦勇志时间：2014 年3 月日课题 5.1.2垂线(第一课时) 课型新授教学设想教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教学难点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教法学法六步教学法教学用具同步学习板书设计5.1.2垂线(第一课时)垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.教学反思学生对垂线的性质理解不够,需下节课予以针对性强化练习.教学环节教师活动学生活动教学设想自主学习一、创设问题情境1.在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?学生观察课本P3图5.1-4思考:固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.通过问答的形式，让学生在感性认识的基础上进行抽象概念的学习，培养了学生的抽象思维。
5.1.2垂线(第一课时)
5.1.2垂线(第一课时)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（5.1.2垂线(第一课时)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.1.2 垂线（第一课时）学习目标:理解并掌握垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.创设问题情境,研究垂直等有关概念前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢?请结合3页图5。
1—4中的相交线模型演示观察.（活动一）归纳垂线的定义：1、当两条直线相交的四个角中，有（）时，就说这两条直线是互相垂直的，其中（）叫做()的垂线，它们的交点叫做（)。
如图,（）互相垂直，记作（），垂足为（）。
（注意：如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。
）2、请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
3、垂直定义应用的推理过程:（如上图）反之（活动二）垂线的画法:探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？（画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线。
）4、请尝试用最简单的语言概括垂涎的画法.（注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
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4．画一条线段的直线，垂足在（ ．以上都有可能
5．下列各图中，过直线外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，根据下列语句画图：
（1）过点P画射线AM的垂线，Q为垂足；
（2）过点P画线段AB的垂线，交线段AB延长线于Q点。
7．已知钝角∠AOB，点D在射线OB上
（1）画直线DE⊥OB；
（2）画直线DF⊥OA，垂足为F。
综合演练
8．如图所示，AO⊥BC，OM⊥ON，则图中互余的角有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
9．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出了下列四种图形，请你数一数，错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（ ）
A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
11．已知：如图，直线AB，直线OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系。
5.1.2垂线 课时同步练习（第一课时）
方法图示
基础训练
知识点1 垂线的定义
1．如图直线 与 相交于点O，OM⊥ ，若α=44°，则β=
A. 56° B. 46° C. 45° D. 44°
2. 如图，AB⊥CD与点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为________度。
3．如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1=35°，∠2=55°，则OE与AB的位置关系是______________.