成都市2018届高三4月月考数学(文)试题+答案

数学（文科）（考试时间：120分钟全卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |12＜2x ＜4}，则集合M ∩(C R N )等于A．{0，1，2}B．{2，3}C．O /D．{0，1，2，3}2.复数22iz i=-（i 为虚数单位）所对应的的点位于复平面内A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为A.π33 B.π316C.π326 D.π273324..在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝A.3B.4C.5D.65.已知实数0.30.120.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是A.c a b d >>> B.a b c d >>>C.c b a d>>> D.c a d b>>>6.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-241y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为A．5B．6C.213D．77.函数2()2f x x x =-+,[1,3]x ∈-,则任取一点0[1,3]x ∈-,使得0()f x ≥0的概率为A.16B.13C.23D.128.已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，BC ＝2AD ，直线AD 与底面BCD 所成角为π3，则此时三棱锥外接球的体积为A.8πB.2π3C42π3D.823π9.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A.1B.89C.23D.1210.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n－3(n ∈N *)，则数列{a n}的前n 和的值最大时，n 的值是A.6B.7C.8D.911.已知椭圆2221(0)8x yb b+=>与y 轴交于,A B 两点，12,F F 左、右焦点，则四边形12AF BF 面积的最大值为A.4B.C.8D.12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是A．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,1)=-a ，(2,)y =-b ，若//a b ，则⋅a b =.14．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为____.15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.16.下列四个命题：①若△ABC 的面积为32，c ＝2，A ＝60°，则a 的值为3；②等差数列{a n }中，a 1=2，a 1，a 3，a 4成等比数列，则公差为﹣；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；④在△ABC 中，若sin 2A＜sin 2B+sin 2C，则△ABC 为锐角三角形．其中正确命题的序号是。

（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()22cos 1f x x x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =，a c +=，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，45,DAB PD ∠=⊥平面ABCD ，1AD =，点E 为AB 上一点，且AEk =，点F 为PD 中点.（1）若12k =，求证：直线//AF 平面PEC ；（2）是否存在一个常数k，使得平面PDE ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

20.（本小题满分12分）已知圆1C ：2260x y x ++=关于直线1l ：21y x =+对称的圆为C ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点(10)-，作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB （AB 和OS 为对角线）中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2(2,)2e P 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()2(ln )f x x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－π31，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：（1）若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；（2）a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.成都龙泉中学2018届高三下学期4月月考试题数学（文科）参考答案1—5BBDAA6—10CDDBB11—12CD 13.4-14.415.3216.①③17.解：（1）2()22cos 12f x x x =+-+2cos 22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+ ≤≤≤≤，π12sin 22x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 224x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．（2）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+< ，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积11sin sin 60223S ac B ac ==︒=．18.解：（Ⅰ）当x c >时，2P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=2分当1x c ≤≤时，16P x=-，21192(12()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=---4分综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩-6分（Ⅱ）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-=当且仅当3x =时取等号-8分所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =-11分综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c万件时，可获得最大利润---12分19.(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M .∵点F 为PD 中点，∴12FM CD =.∵21=k ，ABCD 为菱形∴FM AB AE ==21，且AE∥FM∴AEMF为平行四边形，∴AF ∥EM .∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC .………………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面PAB .∵k ABAE=，1AB =，2=k ，∴2AE =.又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE .又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB .又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE .∵P AB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB .…………………12分20.解析:（Ⅰ）圆1C 化为标准方程为22(3)9x y ++=，设圆1C 的圆心1(30)C -，关于直线1l ：21y x =+的对称点为()C a b ，，则11CC t k k =-，且1CC 的中点322a b M -⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1l ：21y x =+上，所以有213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=．（Ⅱ）由||||||OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥．要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即：12120x x y y +=．①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆C ：22(1)(2)9x y -++=交于两点(12)A -，(12)B -，．因为(1)(1)2)(2)0OA OB ⋅=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =-满足条件．②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+．设11()A x y ，，22()B x y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩得：2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=．由于点(10)-，在圆C 内部，所以0∆>恒成立，21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+，要使OA OB ⊥，必须使0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，也就是：21212(1)(1)0x x k x x +++=整理得：22222244242(1)011k k k k k k k k +-+-+-⋅=++解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于A ，B 两点，且平行四边形OASB 对角线相等．21.解：（Ⅰ）∵()x e f x x =，∴2(1)'()x e x f x x -=，2'(2)4e f =，又切点为2(2,2e ，所以切线方程为22(2)24e e y x -=-，即240e x y -=．（Ⅱ）设函数()()2(ln )22ln x e g x f x x x x x x =--=-+，2(2)(1)'()x e x x g x x --=，(0,)x ∈+∞，设()2x h x e x =-，(0,)x ∈+∞，则'()2xh x e =-，令'()0h x =，则ln 2x =，所以(0,ln 2)x ∈，'()0h x <；(ln 2,)x ∈+∞，'()0h x >．则()(ln 2)22ln 20h x h ≥=->，令2(2)(1)'()0x e x x g x x--==1x =，所以(0,1)x ∈，'()0g x <；(1,)x ∈+∞，'()0g x >；则min ()(1)20g x g e ==->，从而有当(0,)x ∈+∞，()2(ln )f x x x >-．22.(1)证明由ρ1，得θ＋32sin 1.＝ρcos θ，＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以(2)解由(1)可知M 点的直角坐标为(2，0)，N所以P则P所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞).23.证明(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.。