数列不等式与函数不等式

an1 an2
a2n1 15
令f (n) 1 1 ... 1 ,
an1 an2
a2n1
f (n 1) 1 1 ... 1
an an1
a2n1
f (n) f (n 1) 1 1 1 a2n a2n1 an
111 8n 3 8n 1 4n 3
( 1 1 )( 1 1 )0 8n 3 8n 6 8n 1 8n 6
例1、求证： (1 1)(1 1)...(1 1 ) 1
24
2n 2n 1
证： 即证S 1 3 2n 1
2 4 2n S 2 4 2n
3 5 2n 1
1 2n 1
S 2 1 2 3 (2n) 1 2 3 4. (2n 1) 2n 1
S 1 2n 1
例2、求证： (1 1)(1 1)(1 1)....(1 1 ) 3 3n 1
y(a) 0 a b y(a)在(0,b] ，[b,) y(a) y(b) 0得证。
*例6、已知函数 f (x) ax a 1 1 2a (a 1 )
x
2
（1）证明： f (x) ln x 在 [1, )上恒成立；
（2）证明： 1 1 1 1 ln(n 1) n
23
n
2(n 1)
源自文库
解（1）：令g(x) f (x) ln x ax a 1 1 2a ln x
x
1
(a , x 1)
2
g ( x)
a
a 1 x2
1 x
ax2
x 1 x2
a
[ax
(1 a)]( x2
x
1)
a[x (1 1)](x 1)
g(x)
a x2
0（或用二次函数图象分析）
g(x)在[1,)增，所以g(x) g(1) 0
2! 2! 3!
(n 1)! n!
1 1 1 n!
*3、求证：（1）ln(
x
1)
2
x
a (a 1
3,
x
0)
（2）(1 1 2) (1 2 3)...(1 n(n 1)) e2n3
证：（1）构造函数，略
此题思想重要！
（2）即证ln(11 2) ln(1 23) ... ln(1 n(n 1)) 2n 3
*例5、求证：a ln a (a b) ln 2 (a b) ln( a b) b ln b
证：两个字母的不等式，可以将其中一个 字母看成变量，另一个看成常数构造函数。
即证y(a) a ln a (a b) ln 2 (a b) ln( a b) b ln b 0, (a 0,b 0) y(a) 1 ln a ln 2 ln( a b) 1 ln 2a ln( a b)
数列不等式与函数不等式
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
对照结论 1 x 1 ln x(x 1, 只有x 1取等) 2 2x
令x
k 1，则ln( k 1)
k
k
k 1 2k
1 2( k 1)
k 1 2k
k 2(k 1)
k
得证。
练习：
*1、求证：ln 2 ln 3 ... ln n n(n 1)
34
n1 4
证1： ln x x （1 只有x 1取等）
1 2
1 3
...
1 3n
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
1 ( 31
1 31
)
（ 1 32
1 32
...
1 32
）
...
（ 1 3n
1 3n
...
1） 3n
2 n（缩得太小）, 不行。 3
再换思路
1 2
1 3
...
1 3n
ln n n
ln n2 n2
n
2
n
2
1
1
1 n2
1 1 n(n 1)
S 左 (1 1 ) (1 1 ) ... (1 1 )
23
3 4
n(n 1)
n 1 (1 1 ） 右，得证。 2 n1
证2：令 f (n) 2n2 n 1 2(n 1)
f (n) f (n 1) 2n2 n 1 2(n 1)2 (n 1) 1
2(n 1)
2n
n2 n 1 1 1
n(n 1)
n(n 1)
再证：
ln n2 n2
1
1 n(n 1)
因为 ln n2 n2
n2 n2
1
1
1 n2
1
1 成立 n(n 1)
所以：
ln n2 n2
f
(n)
f
(n 1)
由
ln n2 n2
f
(n)
f
(n 1)
取n=2,3,…,n累加
ln 22 22
f (n) f (n 1), 所以f (n)减，则需 f (1) m 15
1 1 11 m
14
m
a2 a3 5 9 15
3
正整数m最小值为5.
*例3、求证：ln 2
2
ln 3 3
...
ln n n
2n2 n 1(
2(n 1)
2, n
2)
证1： y ln x 在[4,)减 x
f (x) ln x
证（2）：在（1）中
取a 1 ,则 1 x 1 ln x(x 1, 只有x 1取等) 2 2 2x
考察所求式
1 1 1 1 ln(n 1) n
23
n
2(n 1)
左边n部分，考虑把右边拆成n部分
令f (n) ln(n 1) n 2(n 1)
[ f (n) f (n 1)] [ f (n 1) f (n 2)] ...
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
ln 32 32
...
ln n2 n2
f
(n)
f
(1)
2n2 n 1 2(n 1)
再证：
ln n n
ln n2 n2
(
2)
构造函数： y ln x (x 4)
x
y ln x 在[4,)减 x
ln n n
ln n2 n2
(
2)
*例4、求证：(1 1 )(1 1 )...(1 1 ) e
x
1 n
n n+1
f (x) 1 或 1
x
x
1 n
n-1 n
*例1、求证：1 1 ... 1 ln( n 1) 1 1 ... 1
23
n 1
2
n
证：
1 n 1 dx ln n ln( n 1) n n1 x
1 1 ...
1
2
1
dx
3
1
dx
n1
...
1
dx
23
n 1 1 x
2x
nx
n1 1
1
dx ln( n 1) x
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
同理证右。
ln( n 1) 1 ln( n ) n n n 1
练习：
1、求证：
（1） 1 1 ... 1 2
n1 n 2
2n 2
*（2）1 1 1 ... 1 2 n 1 n 2 3n 1
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
1 2
(1
1 n2
)
ln n 1 1 n! (n 1)! n!
*例2、求证：ln 2 ln 3 ... ln 3n 3n 5n 6
23
3n
6
证1： ln x x 1 ln x 1 1
S
左 3n
1
x
(
1
1
x
...
1
)
23
3n
需证3n
1 (1 2
1 ... 3
1 3n
[ f (1) f (0)] f (0)
[ f (1) f (0)] [ f (2) f (1)] ... [ f (n) f (n 1)]
注意f (0) 0, 所以只需证1 f (k) f (k 1) k
1 ln(k 1) k ln k k 1
k
2(k 1)
2k
ln( k 1) 1 k k 1 k 1 k k k 2(k 1) 2k 2k 2(k 1)
f (n)
...
dx
dx ... dx
3n1 1 3n1 2
3n
x 3n1 1
x 3n1 2
3n x
3n 1 3n1 1
1 x
dx
ln(
3n
1)
ln(
3n1
1)
ln
3n 1 3n1 1
ln
3(3n1 1) 3n1 1
2
f
(n)
ln(
3
3n
2 1
) 1
当n 3时，f (n) ln( 3 2 ) 1 5
令a 3 ln( x 1) 2 3 x 1
ln(1 n(n 1)) 2 3
n(n 1)
S 左 (2 3 ) (2 3 ) ... (2 3 )
1 2
23
n(n 1)
2n 3(1 1 ) 2n 3得证。 n 1
三、对偶放缩 基本结论：糖水不等式
b b m , (a b 0, m 0) a am b b m , (b a 0, m 0) a am
*（3）n
2
1
1
1 2
.
..
1 2n
1
n(n
2)
（4）1 1 1 ... 1 2( n 1 1)
23
n
二、函数放缩
函数法即构造函数，利用函数单调性进行 放缩。
基本结论： ln x x 1 ln(1 x) x
ln n 1 1
n
n
ln n 2 n2
1
1 n2
ln n n2
2! 3! n!
证： 即证 ln(1 1 )(1 1 )...(1 1 ) 1 2! 3! n!
ln(1 1 ) ln(1 1 ) ... ln(1 1 ) 1
2!
3!
n!
ln（1 x） x（只有x 1取等）
ln(1 1 ） 1 n! n!
S 左 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 2! 3! n! 2 4 8
2x n 1、2时验证成立
6 S 左 3n 1 5n 右，得证。
6
证2： ln x x 1 ln x 1 1
x
x
S 左 3n 1 (1 1 ... 1 )
23
3n
需证3n
1
(1 2
1 3
...
1 3n
)
3n
1
5 6
n
1 2
1 ... 3
1 3n
5 6
n
换个思路，指数结构分段放缩
47
3n 2
证： S 左 2 5 8 3n 1
1 4 7 3n 2
S 3 6 3n 2 5 3n 1
S 4 7 3n 1 3 6 3n
S 3 2 3 4 (3n 1) 3n 1 1 2 3. 3n
ln n2 n2 1 2 ln n (n 1)(n 1) ln n n 1 n1 2
S 左 1 2 3 ... n 1 n(n 1)
222
2
4
证2：令 f (n) n(n 1)
4
f (n) f (n 1) n(n 1) (n 1)(n 2) n 1
4
4
2
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
1 n1 1
dx ln( n 1) ln n
n nx
11
1
31
41
1 3n 1
2 3 ... 3n
2
dx
x
3
dx ... x
3n
dx x
3n 1 1 dx ln( 3n 1) ln 2 n ln 3 ln 2 5 n(n 3)
10
6
当n 1,2时，验证f (1) 5 , f (2) 5
6
6
所以
1 2
1 3
...
1 3n
f (1)
f (2) ...
f (n)
5 n得证。 6
练习：
an
4n
3,{
1 an
}前n项和为S
n
,
若S2n1
Sn
m 恒成立， 15
求整数m的最小值。
解： 1 1 ... 1 m 对n N 恒成立，
再证
ln n n 1 f (n) f (n 1) n1 2
再取n=2,3,..,n累加得证。
2、求证： ln 2 ln 3 ... ln n 1
2! 3!
n!
证： ln x x （1 只有x 1取等）
ln n n 1 1 1 n! n! (n 1)! n!
S 左 (1 1 ) ( 1 1 ) ... ( 1 1 )