九年级下数学圆知识点总结

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冀教版九年级圆的知识点总结归纳

冀教版九年级圆的知识点总结归纳圆是几何中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。

在冀教版九年级数学教材中，关于圆的知识点和性质进行了详细的介绍和探究。

本文将对冀教版九年级数学教材中关于圆的知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和理解圆的概念和性质。

一、圆的定义与相关概念在学习圆之前，我们首先要了解圆的定义和相关概念。

1. 圆的定义：圆是平面上到一定点距离相等的点的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径、弧、弦、直径等。

3. 相关概念：直径、半径、弧长、弦长、圆心角、圆周角等。

二、圆的性质及相关定理1. 圆的性质：(1) 圆上任意两点与圆心连线的长度相等；(2) 圆的半径相等；(3) 圆上的任意弧都小于或等于半圆；(4) 圆上的任意弧所对的圆心角相等；(5) 圆上的任意弧所对的弧长与圆心角大小成正比。

2. 相关定理：(1) 弧长定理：圆的弧长与圆心角的大小成正比；(2) 弧度制与角度制的转换关系：1弧度= 180° / π ；(3) 圆心角定理：位于同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等；(4) 弦切定理：切线与弦的关系。

三、圆的应用1. 圆的面积计算：圆的面积公式为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

2. 相关应用题：(1) 已知圆的半径，如何求圆的周长和面积；(2) 如何判断一个点在圆内或外；(3) 如何判断两个圆的位置关系。

四、圆的构造1. 构造圆的方法：(1) 已知圆心和半径，可以利用圆规和直尺来画出一个圆；(2) 已知圆上的三个点，可以通过连线构造出圆。

2. 相关构造题：(1) 如何通过点和直线构造圆；(2) 如何通过两个不同的点构造圆。

五、圆的证明题在九年级数学教材中，我们还会遇到一些关于圆的定理的证明题，如三角形内切圆和外接圆的性质证明等。

对于这类题目，我们需要灵活运用所学知识，利用图形特点和定理推理，进行证明。

综上所述，圆是数学中一个重要且广泛应用的几何概念，掌握圆的相关知识点和性质对于我们理解几何学和应用数学非常重要。

九年级数学圆知识点总结

九年级数学圆知识点总结在九年级数学学习的过程中，我们接触到了许多关于圆的知识。

圆是几何学中的重要概念之一，它有着特殊的性质和应用价值。

接下来，本文将对九年级数学中的圆知识点进行总结。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点距离相等的点组成的图形。

这个给定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

2. 相关性质：- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的两倍。

- 圆的半径相等，且平行于任意切线。

- 圆的弦是连接圆上任意两点的线段，直径是最长的弦。

- 相等弧所对的圆心角相等，且圆心角大于它所对的弧上任意角。

二、圆的周长与面积1. 周长：- 弧长：圆的周长也被称为圆的周长，用C表示。

弧长是圆上一段弧的长度，计算公式为：C = 2πr，其中r是圆的半径。

- 弧度制：弧度制是角度的一种衡量方式，常用的单位是弧度（radian）。

一个完整的圆周对应的弧度数为2π。

2. 面积：- 圆的面积：用A表示，计算公式为：A = πr^2，其中r是圆的半径。

三、圆的位置关系1. 内切与外切：- 内切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心重合，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为内切圆。

- 外切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为外切圆。

2. 切线与割线：- 切线：从圆外一点引出的与圆相切的直线称为切线，切线与半径垂直。

- 割线：与圆相交于两点的直线称为割线。

四、圆的常见定理和应用1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么它与半径的垂直角都是直角。

2. 弧长与圆心角关系：弧长等于半径与对应圆心角的乘积。

3. 弧度制与角度制的转换关系：一周的弧度数为360°。

4. 圆心角、弦与弧的关系：圆心角的度数是对应的弧度数的两倍。

5. 弦切角定理：一个弦与切线所夹的角等于被切割的弧所对的圆心角。

九年级数学下册圆的知识点整理

九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.三点定圆定理4.垂径定理及其推论5.等对等定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。

圆的切线的判定有⑴⑵4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。

九年级数学--圆知识点和典例训练

1圆的对称性主要内容：（一）圆的定义及相关概念1. 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。

同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。

2. 圆的基本元素：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫直径。

（如图）（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

简称弧，弧用符号表示。

（3）半圆、劣弧、优弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。

每一条弧都叫做半圆。

小于半圆的弧叫做劣弧。

CD* EC.大于半圆的弧叫做优孤-用三个字母表示：嬴（4）圆心角顶点在圆心的角，叫做圆心角。

/ COD（5）同心圆、等圆、等弧同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

等圆：能够重合的两个圆叫等圆。

半径相等的两个圆也叫等圆。

等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

经过圆心的直线是对称轴。

圆心是它的对称中心。

4. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

(2)T金=后二N盘0B = ZA'OB'5 AB=A'B l如图，用几何语言表示如下：O O 中，（1）vZ AOB =Z A'OB'(3)v AB = A'B'/. ZAOB= ZA'OB1, 恳=品例3.在O O 中，弦AB = 12cm ，点O 到AB 的距离等于圆的半径。

分析：根据O 到AB 的距离，可利用垂径定理解决。

解：过O 点作OE 丄AB 于E •/ AB = 12丄直 B = -xl2 = 62 2由垂径定理知：虹二 BE 二丄AB 二 625.直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

数学九年级下册圆的知识点

数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。

本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。

一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。

其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。

圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。

二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。

2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。

3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。

等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。

4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。

三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。

2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。

3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。

4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。

总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。

掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。

通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。

九年级数学知识点整理

九年级数学知识点整理初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直角的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。

数学知识点九年级圆的必考知识点(1)圆在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

九年级数学圆的方程知识点

九年级数学圆的方程知识点圆的方程是数学中的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

本文将围绕九年级数学课程中的圆的方程知识点展开论述，从基础概念开始，逐步深入探讨。

一、圆的基础概念首先，我们需要了解圆的基础概念。

圆是平面上一组到中心点距离相等的点的集合。

这个中心点通常用字母O表示，我们称之为圆心。

而到圆心距离相等的这些点，就被称为圆上的点。

这些点的距离我们称之为圆的半径，用字母r表示。

二、圆的方程定义在代数学中，我们可以使用方程来表示圆。

圆的方程通常有两种形式：一种是标准方程，另一种是一般方程。

标准方程是指以坐标系的原点为圆心的圆方程，其形式为x² + y² = r²。

而一般方程则可以是(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a,b)表示圆心的坐标。

三、确定圆的方程在实际问题中，我们常常需要确定一个圆的方程。

这时，可以利用已知条件与圆的方程相结合进行求解。

例如，已知圆心为(2,3)，半径为5的圆，我们可以得到一般方程(x-2)² + (y-3)² = 25。

四、圆的相关性质在研究圆的方程时，了解其相关性质也是非常有意义的。

首先，圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。

其次，我们还可以通过圆的方程求解出圆与坐标轴的交点，这些交点称为圆的截距点。

五、圆的图象我们可以通过绘制圆的图象来直观地理解圆的性质。

绘制圆的图象可以先确定圆心的位置，然后根据半径的长度在平面上画出一个闭合的曲线。

这个曲线就是圆的图象。

在数学课堂上，老师通常会通过黑板上的绘图来演示，让学生深入了解圆的形态。

六、圆的方程与实际问题圆的方程在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在建筑领域中，钢筋混凝土顶板的厚度可以用圆的方程来表达。

在工程计算中，圆的方程可以用于计算液体的体积、计算管道的长度等。

因此，学好圆的方程对于今后的学习和实践是非常重要的。

北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。

九年级数学圆知识点及习题(含答案)

九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

九年级数学圆周角和圆心角知识点

九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。

而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。

本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。

一、圆周角圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。

我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。

假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。

例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。

圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。

二、圆心角圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。

通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。

圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应于一整个圆周。

根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。

如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。

三、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角有着密切的联系。

首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。

这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。

其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。

这是由圆心角之和等于360度所决定的。

另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。

四、常见的圆周角和圆心角问题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些与圆周角和圆心角相关的问题。

下面我们来讨论一些常见的问题类型。

问题类型一：已知圆心角的度数，求圆周角的度数。

根据前文的介绍，我们可以直接通过圆心角的度数来确定圆周角的度数。

例如，当圆心角的度数为120度时，对应的圆周角的度数也为120度。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

九年级数学圆的知识点总结大全

一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径、圆周。

3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。

二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。

2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。

3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。

4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。

三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。

2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。

3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。

4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。

四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。

2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。

五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。

2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。

六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。

九年级圆知识点总结归纳完整版

九年级圆知识点总结归纳完整版圆是初中数学中一个重要的几何概念，它有着广泛的应用。

本文将对九年级圆的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、圆的定义圆是平面上的一个几何图形，由与其内部距离相等的所有点组成。

其中，距离圆心最远的点称为圆上的点，这个距离称为半径，用字母r表示。

圆上的任意两点之间的距离称为弦，圆的直径是一条穿过圆心并且与圆上的两点相接的弦，直径的长度是半径的两倍。

二、圆的性质1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个无理数，近似值为3.14或22/7。

周长是圆上一周的长度，也可以说是圆的边界长度。

2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A是圆的面积。

面积是圆所包围的平面区域的大小。

3. 切线的性质：切线是与圆只有一个交点的直线。

圆与切线相切时，切线与半径的夹角是直角。

4. 弦的性质：圆的直径是最长的弦，且直径平分圆。

如果两弦在圆内或圆上的交点连线通过圆心，则交线垂直于这两条弦。

三、圆的定位1. 圆的内切和外切：当一个圆与一个三角形的三条边都相切时，该圆称为三角形的内切圆；当一个圆与一个三角形的每条边的延长线相切时，该圆称为三角形的外切圆。

2. 圆的相似：两个圆的半径之比等于两个圆的周长之比，它们是相似的。

四、圆的推理与证明1. 直径在同一直线上的圆是同心圆：当两个圆的直径重合时，它们是同心圆。

2. 圆内接四边形的性质：一个四边形能够内切于一个圆的充要条件是，这个四边形的对角线互相垂直。

3. 正多边形外接圆的性质：一个正n边形可以内切与一个圆的充要条件是，这个正n边形的对角线互相垂直。

五、圆的应用1. 圆与三角形的应用：可以利用圆的性质来解决三角形的推理证明题，如证明三角形内切圆的性质、利用相似三角形证明圆的性质等。

2. 圆的平移、旋转和镜像：圆可以通过平移、旋转和镜像等变换来进行操作，这在解决几何问题时有着重要的作用。

(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全

第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²—r²）(R是大圆半径,r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2)⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

图4图5推论1：(1）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学几何必考知识点

九年级数学几何必考知识点在九年级数学中，几何是一个非常重要的部分。

经过前几年的学习，学生们已经掌握了基本的几何概念和性质，如平行线、垂直线、全等三角形等。

在九年级中，数学几何的难度将会进一步提升，下面是一些九年级数学几何必考的知识点。

一、圆的性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个定点恒定的距离的点的集合，这个定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的要素：圆心、半径、弧、圆周等。

3. 圆与正多边形的关系：当正多边形的边数逐渐增大时，它们的内接圆和外接圆逐渐逼近于同一个圆。

4. 圆的弧度：弧度是度量角的单位，一周对应2π弧度。

二、直角三角形1. 直角三角形的定义：直角三角形是一个内含一个直角（90度）的三角形。

2. 特殊直角三角形：45-45-90三角形和30-60-90三角形。

3. 45-45-90三角形：两个直角边相等，斜边等于直角边乘以√2。

4. 30-60-90三角形：较小的角为30度，斜边等于较长直角边的两倍，较短直角边等于较长直角边乘以√3。

三、相似三角形1. 相似三角形的定义：两个三角形中的对应角相等，对应边成比例。

2. 判定相似三角形的方法：AA相似定理、SAS相似定理、SSS 相似定理。

3. 相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、对应角的边平行。

四、勾股定理1. 勾股定理的定义：直角三角形中，直角边上的两个平方和等于斜边上的平方。

2. 勾股定理的公式：c² = a² + b²，其中c表示斜边，a和b表示直角边。

3. 判断直角三角形的方法：可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

五、平行线和垂直线1. 平行线的定义：在同一个平面上，两条直线没有交点，它们之间的距离始终相等。

2. 平行线的性质：平行线具有平移不变性，平行线与一个截线的交点与另一个截线的交点之间的距离相等。

3. 垂直线的定义：在同一个平面上，两条直线相交成直角。

4. 垂直线的性质：相互垂直的两条线斜率的乘积为-1。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

九年级数学圆的知识点

九年级数学圆的知识点在我们的学习时代，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。

为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家整理的九年级数学圆的知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

如何学好九年级圆的知识点

如何学好九年级圆的知识点学好九年级圆的知识点对于学习数学的学生来说非常重要。

圆是几何学中的基本形状之一，掌握好圆的相关概念和性质，对于解决几何问题和应用数学都起着至关重要的作用。

本文将介绍一些学习九年级圆的方法和技巧，帮助学生更好地理解和掌握圆的知识点。

一、圆的定义和性质圆是平面上距离某一给定点（圆心）相等的所有点的集合。

圆由圆心、直径、半径、弧、弦等要素组成。

了解圆的定义和性质是学好九年级圆知识点的基础。

首先，圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

直径是通过圆心的一条线段，直径的两个端点同时也在圆上。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

弧是圆上的一段弯曲线，弦是圆上的一条线段，连接圆上两点但不通过圆心。

其次，学生需要了解圆的性质。

圆的直径是圆上任意两点之间最长的线段，直径的长度是半径长度的2倍。

圆的半径相等，圆上任意两点到圆心的距离是相等的。

圆的任意弧所对的圆心角相等，圆心角是以圆心为顶点的角。

圆的弦的性质也需要掌握，对圆的任意弦，对弦上任意一点，连接该点和圆心的线段与弦的长度乘积相等。

二、学习资源和工具为了帮助学生学好九年级圆的知识点，学习资源和工具起到了重要的辅助作用。

以下是一些推荐的学习资源和工具：1. 参考书籍：学生可以选择适合自己水平的数学教材，例如九年级数学教材中有专门的章节介绍圆的知识点。

在自学的过程中，可以参考这些教材，了解知识点的概念和应用。

2. 视频教程：有许多优秀的数学学习视频教程可以供学生参考。

这些视频通常采用直观的图表和实例，生动地解释和演示圆的知识点。

通过观看视频教程，学生可以更好地理解和记忆圆的知识。

3. 在线练习：许多网站提供在线数学练习，其中包括圆的相关题目。

学生可以通过这些在线练习检验自己对于圆的掌握情况，并找到自己的不足之处。

4. 几何绘图工具：学生可以使用几何绘图工具，例如尺子、圆规和角尺等，进行几何图形的绘制和计算。

这些工具可以帮助学生更好地理解圆的性质和应用。

九年级数学圆的知识点总结

圆是一种特殊的几何图形，是平面上所有到一些点的距离相等的点的集合。

在九年级数学中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的性质、圆的方程、圆的切线和弦、圆与直线的位置关系等。

下面是对这些知识点的详细总结。

一、圆的性质1.圆的定义：平面上到一个固定点的距离相等的点的集合叫做圆。

2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧等。

3.圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆可以表示为O(r)，或者简写为O。

二、圆的方程1.标准方程：以圆心为原点O(0,0)，半径为r的圆的方程为x²+y²=r²。

2.一般方程：以圆心为(h,k)，半径为r的圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。

三、圆的切线和弦1.切线：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线。

切线垂直于半径。

2.弦：连接圆上两个不相邻点的线段叫做圆的弦。

圆心到弦的中点的线段垂直于弦。

四、圆与直线的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种情况：a.直线与圆相交于两点：直线穿过圆的内部，与圆有两个交点。

b.直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，且切点在圆上。

c.直线与圆相离：直线没有与圆的交点。

五、圆的相关定理1.切线定理：切线与半径的垂直定理。

切线与半径的垂线相互垂直。

2.弦切角定理：圆弦上的两个角对相同弧的度数相等。

3.弧上的角等于圆心角的一半：弧上的角等于它所对的圆心角的一半。

4.切线垂直半径定理：过圆的切点作切线，与过切点的半径垂直。

六、圆的计算1.弧长公式：弧长L=2πr(θ/360°)，其中r为半径，θ为圆心角度数。

2.弧度制与角度制转换：1°=π/180，1弧度=180/π。

以上是九年级数学中圆的主要知识点的总结，通过对这些知识点的学习和理解，能够更好地理解和解决与圆相关的问题。