2021届广东省中山纪念中学高三年级上学期12月月考文科数学

2020届广东省中山纪念中学高三年级上学期12月月考文科数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}13A x x =<<，{}230B x x =->则AB =（ ） A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2．已知z 是纯虚数，若()31a i z i +⋅=-，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．-1D ．-33．随着中央决定在海南省全岛建立自贸区的政策公布以来，海南各地逐步成为投资热点.有24名投资者想到海南某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到海南某地实地考察.其中年龄不超过57岁的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定4．已知11ln8,ln5,62a b c ===( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<5．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为( )A ．B ．2CD ．16．设向量()cos ,1,(2,sin )a b αα=-=，若a b ⊥,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．1—3 B ．13 C ．-1D ．-3 7．要得到函数()sin2f x x =的图象，只需要将函数()cos2g x x =的图象 A ．向左平移12个周期 B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期 8．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．x y 2-=B ．3y x -=C ．sinx y x =D ．()()y lg 2x lg 2x =--+9．等差数列{}n a 中的1a ，4035a 是函数()32141213f x x x x =-++的极值点，则()22018log a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．函数ln x y x=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知sin sin 0352ππααα⎛⎫++=--<< ⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．45 C ．35- D ．3512．已知()32x f x x e ax =+（e 为自然对数的底数）有二个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a e <-B ．22a e >-C ．220a e -<<D ．22a e=-二、填空题13．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______．14．过抛物线28x y =焦点F ，向圆：()()223316x y +++=作切线，切点为P ，FP =______.15．设D 为ABC 所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=__________． 16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12cos a C b=+，且2cos 3B =，则a b的值为__________．三、解答题17．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为8；（3）0f x 的两根的平方和等于10，求()f x 的解析式.18．某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：(]50,100，(]100,150，(]150,200，(]200,250，(]250,300，(]300,350得到频率分布直方图如图所示.用频率估计概率.房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：（1）求a 的值；（2）求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；（3）若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月（按30天计）利润（利润=总佣金－销售成本）.该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：19．某学生用“五点法”作函数sin ωφf x A x B （0A >，0>ω，2πϕ<）的图像时，在列表过程中，列出了部分数据如下表：(1) 请根据上表求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位得到()y g x =图像，若645g πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（θ为锐角），求()f θ的值. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 过左焦点1F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，2ABF 的周长为()1求椭圆C 的方程；()2当2ABF 的面积最大时，求l 的方程．21．已知函数()4ln 1f x a x ax =--.（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1f x ax x >+在0,上恒成立，求实数a 的取值范围. 22．以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为2{ x cos y αα== (α是参数)，直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．23． 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法得到集合B ，再运用集合的交集运算可得选项.【详解】∵230x ->的解为32x >，故集合3|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，又∵{}13A x x =<<， 所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭。

故选：D.【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题。

2．B【详解】设(0)z mi m =≠ ,则313,1,3ami m i am m a -=-∴=== ,选B.3．C【分析】求出样本间隔,结合茎叶图求出年龄不超过57岁的有12人,然后进行计算即可.【详解】样本间隔为2464÷=，年龄不超过57岁的有12人,则需要抽取1243÷=人，故选:C.【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用,求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题. 4．B【分析】直接利用对数的性质判断大小即可【详解】118262a ln ln ==，152b ln =，132c ln == l 235n ln ln <<a cb ∴<<故选B【点睛】本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量“0”或“1”，以及转化为底数相同的对数，再由对数函数的单调性进行判断，考查了转化思想5．A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b ，所以距离为b =考点：双曲线与渐近线．6．D【解析】分析：利用0a b a b ⊥⇔⋅=，即可求出tan α ，再利用两角和的正切公式即可得出． 详解：∵a b ⊥，020a b cos sin αα∴⋅=⇒-= ，即2tan α= ．121tan 3.4112tan tan πααα++⎛⎫∴+==- ⎪--⎝⎭＝ 故选B ．点睛：利用0a b a b ⊥⇔⋅=，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键． 7．D【分析】将函数()cos2g x x =的图象向右平移π4个单位，即可利用诱导公式，即可求得答案． 【详解】将函数()cos2g x x =的图象向右平移π4个单位， 可得()πcos 2sin 24y x x f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭的图象，即向右平移14个周期.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移，运用诱导公式化简成同名函数，然后运用平移变换规律求出结果，本题较为基础.8．D【分析】逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定.【详解】因为2xy -=在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数， 3y x -=在其定义域上是奇函数,在(),0-∞和()0,+∞上是减函数，sinx y x=在其定义域上是偶函数, ()()lg 2lg 2y x x =--+在其定义域上既是奇函数又是减函数因此选D,【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．9．B【分析】根据已知条件得2()8120f x x x '=-+=的两个根是14035,a a ，再由根与系数的关系得140358a a +=，根据等差数列的性质，得20184a =，代入可求得值.【详解】由于1a ，4035a 是函数()32141213f x x x x =-++的极值点，∴2()8120f x x x '=-+=的两个根是14035,a a ，由根与系数的关系得140358a a +=，由等差数列的性质，得1403520182018a a a a +=+，20184a ∴=，()220182log log 42a ∴==，【点睛】本题考查极值点的应用和等差数列的性质，以及一元二次方程的韦达定理的运用，属于基础题.10．D【详解】分析：利用函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可作出选择． 详解：由题意可知，函数ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 且满足()ln ln ()x x f x f x x x --==-=--，所以ln x y x=为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ； 又0x -→时，0y <，1x >时，0y >，排除B ，故选D ．点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．11．B【解析】试题分析：∵，，∴， ∴.∴，故选项为B.考点：两角和与差的正余弦公式.12．A【解析】分析：先化简得220x x e a +=还有一个非零的根，再利用导数研究函数单调性，结合函数图像确定有一个非零的根的条件，解得实数a 的取值范围.详解：因为()320x f x x e ax =+=，所以220x x e a +=还有一个非零的根令22()2()(2)00,2x xg x x e a g x x x e x =+∴=+=∴=-'， 所以当0x >时()0,()(0)0,()(2,)g x g x g g x a ='>>∈+∞； 当20x -≤≤时24()0,(2)()(0),()[2,2]g x g g x g g x a a e≤-≥≥∈+'； 当2x <-时24()0,0()(2),()(0,2)g x g x g g x a e ><-∈+'<； 因此当2420a e +<时220xx e a +=还有一个非零的根；即22a e<-， 选A.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题， 则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．【分析】由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，再利用圆的方程求得圆心和圆的半径，求出焦点与圆心的距离，利用勾股定理可求得所求的距离. 【详解】由抛物线28x y =得28x y =，∴焦点(0,2)F ，设圆：()()223316x y +++=的圆心为()3,3Q --，半径为4R =，则||FQ ==∴||FP ==故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单的几何性质，直线与圆的位置关系，求圆的切线长，属于基础题. 15．3- 【分析】由()BC DC R λλ=∈，得到AC AB AC AD λλ-=-，化简求得11AD AB AC λλλ-=+，结合题设条件，得到λ的方程，即可求解. 【详解】由题意，点D 为ABC 所在平面内一点，1433AD AB AC =-+， 由()BC DC R λλ=∈，所以AC AB AC AD λλ-=-， 可得11AD AB AC λλλ-=+，所以113λ=-且143λλ-=，解得3λ=-. 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 16．79【解析】分析：先根据正弦定理将条件12cos a C b =+化为角的关系，再根据2cos 3B =，求出cosC ，代入即得结果. 详解：因为12cos a C b =+，所以sin sin()12cos 12cos sin sin A B C C C B B+=+∴=+ sin cos sin cos sin sin()sin ,2.C B B C B C B B C B B C B ∴-=∴-=∴-==因为2cos 3B =，所以241cos cos 22cos 12199C B B ==-=⨯-=- 271.99a b ∴=-= 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 17．()2246f x x x =-++【分析】由(1)可知函数()f x 关于1x =对称,根据(2)有最大值8, 可设2()(1)8f x a x =-+和()0f x =的两根平方和等于10,由此即可求出()f x 的解析式.【详解】由题意可知，()f x 的对称轴为1x =，设()()()2180f x a x a =-+<，即()228f x ax ax a =-++,令()0f x =，即2280ax ax a -++=，设此方程的两根为12,x x ，则122x x +=，1281x x a=+, 而()22212121216242x x x x x x a+=+-=--即164210a--=，则2a =-.故()2246f x x x =-++. 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质,还有其解析式的求法,是一道基础题,考查的二次函数的知识点比较全面.18．（1）0.0060a =（2）3.2万元（3）337.2万元【分析】（1）根据频率直方图由()500.00080.0020.00240.00400.00481a ⨯+++++=，可求得a ；（2）设卖出一套房的平均佣金为x 万元，由各房价区间的佣金收入乘以各房价区间的概率再求和可得平均佣金.（3）总佣金减去各房价区间的销售成本之和可得公司月利润. 【详解】（1）由()500.00080.0020.00240.00400.00481a ⨯+++++=，得0.0060a =. （2）设卖出一套房的平均佣金为x 万元，则10.0025020.0045030.0065040.00485050.00245060.000850x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯3.2=所以房产销售公司卖出一套房的平均佣金为3.2万元； （3）一个月的总佣金为3.2430384⨯⨯=万元，月利润为()3841005%10010%10015%8420%38446.8337.2y =-⨯+⨯+⨯+⨯=-=万元，所以公司月利润为337.2万元. 【点睛】本题考查完善频率直方图，根据频率直方图求得平均值和月利润等相关的问题，关键在于明确概率统计的计算原理，将生活实际中的数据转化为数学中的理论数据，属于基础题.19．（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）85+ 【解析】分析：(1)根据最值求出A.B,再根据点坐标得，ωϕ 方程组，解方程组得，ωϕ ，(2)根据平移规律得()g x ，代入645g πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得3 cos25θ=-，根据平方关系得4sin25θ=，最后代入()f θ得结果.详解：解：（1）3112B -==，∴ 312A =-= 又32712ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴ 26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴ ()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （2）()2sin 2112sin2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵62sin 2425g ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 3cos25θ=- 又θ为锐角， ∴ 4sin25θ=∴ ()2sin 212sin2cos cos2sin 1666f πππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43182152525⎡⎤+⎛⎫=⨯--⨯+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.20．(1)2212x y +=；(2)1x =-.【解析】试题分析：()1根据椭圆定义及2ABF ∆的周长为得出a =c e a=知1c ea ==，求出21b =，进而得到椭圆C 的方程；()2将三角形分割，以12F F 为底，A B 、两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果解析：（1）由椭圆的定义知4a =，a =由ce a=知1c ea == 2221b a c =-=所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）由（1）知()()121,0,1,0F F -，122F F = 设()()1122,,,A x y B x y ，:1l x my =-联立1x my =-与2212x y +=得到()222210m y my +--=，1222y y m -=+2ABF S ==当211,0m m +==时，2ABF S ∆，:1l x =-点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程1x my =- 21．（1）函数()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）依题意,当1a =时，()441x f x x x-'=-=，分析()'f x 的正负，从而得出函数()f x 单调区间；（2）由()()1f x ax x >+，得24ln 210a x ax ax --->，分当0a =时，当0a >时，当0a <时，三种情况进行讨论，对a 进行参变分离，令()()24ln 2,0h x x x x x =-->，对其求导函数，分析其导函数的正负，得出函数的单调性和最值，可求得a 的范围. 【详解】（1）依题意,当1a =时，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()441x f x x x-'=-=，所以()()''04,0;4,0x f x x f x <<>><，所以函数()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减； （2）因为()()1f x ax x >+，故24ln 210a x ax ax --->，① 当0a =时，显然①不成立； 当0a >时，①化为：214ln 2x x x a<--；② 当0a <时，①化为：214ln 2x x x a>--；③ 令()()24ln 2,0h x x x x x =-->，则()()()2212422422x x x x h x x x x x-++-'=--=-=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0h x '>时，(1,)x ∈+∞，∴()0h x '<故()h x 在()0,1是增函数，在()1,+∞是减函数，∴()()max 13h x h ==-， 因此②不成立，要③成立，只要13a>-，所以13a <-，∴所求a 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查运用导函数研究原函数的单调性，解决不等式恒成立问题中求参数的范围，对不等式进行参变分离，构造新函数，运用求导得出导函数的正负，得出所构造的函数的单调性和最值，是常用的方法，属于常考题，难度题.22．（1）22143x y +=；（2）2【解析】试题分析：（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C 的参数方程化为直角坐标方程．（2）设点P (2cos α,α)，求得点P 到直线l的距离d ==，，由此求得d 的最大值．试题解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭即122cos sin ρθθ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭0y --=.曲线C 的参数方程为2x cos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得22143x y +=.(2)设点P (2cos α,α)为曲线C 上任意一点， 则点P 到直线l的距离12d tan β===， 故当cos(α+β)=−1时,d.23．(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。