银川一中第二次模拟数学(理科)试卷答案
2022届宁夏回族自治区银川一中高三下学期二模考试数学(理)试题及答案
故选：D.
3. 命题“ ,则 ”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为（）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【3题答案】
【答案】D
【解析】
首先判断原命题的真假,写出其逆命题,即可判断其真假,再根据互为逆否命题的两个命题同真假,即可判断；
【详解】解：因为命题“ ,则 ”为真命题,所以其逆否命题也为真命题；
对于C选项,当 时,不等式显然不成立,故错误；
对于D选项,由于 ,故 ,正确.
故选：D
6. 下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A. B.
C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】D
【解析】
先将4人分成3组,其一组有2人,然后将3个项目进行排列,可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数,再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数,再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】先将4人分成3组,其一组有2人,另外两组各1人,共有 种分法,
秘密★启用前
2022届宁夏回族自治区银川一中高三下学期二模考试
数学（理）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
一､选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集 ,集合 , ,则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】A
A. B.
宁夏银川一中2019届高三数学第二次模拟考试试题理(含解析)
银川一中届高三年级第二次模拟考试理科数学试题卷注意事项：. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合，，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可得到结果.【详解】由题意可得，又∴故选：【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．.复数，则（）. . -2 . .【答案】【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，，故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次天）分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）. ，，…，的平均数. ，，…，的标准差. ，，…，的最大值. ，，…，的中位数【答案】【解析】【分析】平均数反应的是水平,而方差和标准差反映的是稳定性.【详解】标准差能反映一个数据集的离散程度,因此可以用来评估共享单车使用量的稳定性,故选.【点睛】本道题目考查了平均数和标准差的概念和意义,注意两者反映总体的水平不同..已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）. . 52 . .【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为，∵，∴≠，解得＝，数列是等差数列，且．∴故选：．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）. . . .【答案】【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到（﹣），从而由向量分解的唯一性得出关于的方程，求出的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（﹣），又，所以，解得，，故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题..学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案
1 2 2015
t 1 1 1
1
2(1 1 1 1 1 1 )
1 2 1 23
1 2 2015
223
2015 2016
2(1 1 ) 2015 ，选 D. 2016 1008
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，
包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通
c
3 2
a
b2 4
c2
3 a2 4
a2
c2 4
3 c2 4
1 a2 2
0.
所以 3c2 2a2 ，所以 e c 6 ， a3
故选：A.
点评：
本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础
题.
12．已知函数
f
(
x)
(
x
2)
x ex
3, (x ln 2) ， 当 x [m, ) 时 ， f (x) 的 取 值范 围 为
则 y 4 cos x ex 在 0, 上单调递减，
故选：A. 点评： 本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.
7．如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一 点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之和为（）
间想象能力与计算能力，属于基础题.
8．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则 的
值为()
A．
B．
C．
D．
答案：A
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到
宁夏银川一中高三第二次模拟数学(理) 含答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷 ( 银川一中第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,aA B x x a A ===∈，则A B =UA ．{0,1,2} B. {0,1,23}， C. {0,1,24}， D. {1,24}，3. 向量)3,1(),,2(-==b t ρ，若b ρ,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32 B ．t>32 C ．t<32且t≠-6 D ．t<-6 4．直线kx-2y+1=0与圆x 2+(y-1)2=1的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组， 则不同的选法共有 A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 A ．162B ．122226+C ．1822+D ．1622+7. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3对称的函数是2 422A ．y=2sin(2x+3π) B ．y=2sin(2x-6π) C ．y=2sin(32π+x ) D ．y=2sin(2x-3π) 8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ． 1220+==≤i i ,S S ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724- D ．924-10．已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为A. B. C. D.11．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1， ③11FB A ∠=2π，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ． 412．已知函数ax x e x f x-=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e-∞ D ．]2,(e -∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为_______.14．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=11y xo 11y xo 11y xo 11y xoc=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为_______. 15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，5），B （3，0，0），C （0，1，0），D （3，1，5），则该四面体的外接球的体积 为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足(1+i)z=|3+4i|，则z对应的点位于复平面的()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x2−x−2>0}，B={x|log2x≤2}，则集合(∁R A)∩B=()A. {x|0<x≤4}B. {x|0<x≤2}C. {x|x≥2}D. {x|x≤4}3.已知命题p：直线a//b，且b⊂平面α，则a//α；命题q：直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是()A. p∧qB. p∨(非q)C. (非p)∧qD. p∧(非q)4.已知向量a⃗=(1,√3)，b⃗ 单位向量，若|a⃗−b⃗ |=√3，则<a⃗，b⃗ >=()A. π6B. π4C. π3D. 2π35.若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为()A. −√72B. −12C. 12D. √726.y=4cosx−e|x|图象可能是()A. B.C. D.7.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A. 2B. 3C. 4D. 58. 抛物线y 2=ax(a >0)的准线与双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a 的值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 29. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为( )A. 1213B. 1314C. 2129D. 141510. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 40322017B. 20152016C. 20162017D. 2015100811. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的 离心率为( )A. √63B. 2√33C. 12D. √2212. 已知函数f(x)={(x −2)(x −e x )+3,(x ≥ln2)3−2x,(x <ln2)，当x ∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e +2]，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,1−e 2] B. (−∞,1] C. [1−e 2,1] D. [ln2,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有______种．(用数字作答)14. 若x ，y 满足|x|≤1−y ，且y ≥−1，则3x +y 的最大值为______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为______．16.棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E−BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E−BCD的内切球半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）S n+1(n∈N∗)．17.已知数列的前n项和为S n，且满足a n=12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，c n=1，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．b n b n+118.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：(记纤维长度不低于300mm的为“长)为“纤维长度与土壤环境有关系”．；附：(1)k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．19. 在底面为菱形的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，A 1B =A 1D ，∠BAD =60°，AC ∩BD =O ，AO ⊥平面A 1BD ． (1)证明：B 1C//平面A 1BD ；(2)求二面角B −AA 1−D 的正弦值．20. 如图，点T 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点T 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 的轨迹记为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，|AB|=1，试问在曲线C 上是否存在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=x 3−3ax +e ，g(x)=1−lnx ，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)用max{m,n}表示m ，n 中较大者，记函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}，(x >0).若函数ℎ(x)在(0,+∞)上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2−y 2=2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点(异于极点O)，定点M(3,0)，求△MAB的面积．23.设不等式−2<|x−1|−|x+2|<0的解集为M，a、b∈M，(1)证明：|13a+16b|<14；(2)比较|1−4ab|与2|a−b|的大小，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：z=|3+4i|1+i =√32+42(1−i)(1+i)(1−i)=52−52i.∴z对应的点(52,−52)位于复平面的第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】考查描述法的定义，对数函数的单调性，补集和交集的运算．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A={x|x<−1或x>2}，B={x|0<x≤4}；∴∁R A={x|−1≤x≤2}；∴(∁R A)∩B={x|0<x≤2}．故选B．3.答案：C解析：解：根据线面平行的判定，我们易得命题p：若直线a//b，直线b⊂平面α，则直线a//平面α或直线a在平面α内，命题p为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题q：若直线l⊥平面α，则若直线l与平面α内的任意直线都垂直，命题q为真命题；故：A命题“p∧q”为假命题；B命题“p∨(￢q)”为假命题；C命题“(￢p)∧q”为真命题；D命题“p∧(￢q)”为假命题．故选：C．根据空间线面平行及线面垂直的判定与性质，我们易判断命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真假，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．本题考查的知识点是空间线面平行的判定，及空间线面垂直的定义，及复合命题的真假，其中根据空间点线关系的定义，判断命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．属于基础题．4.答案：C解析：解：向量a⃗=(1,√3)，b⃗ 单位向量，若|a⃗−b⃗ |=√3，可得|a⃗−b⃗ |2=3，即a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3．4−2|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+1=3，cos<a⃗,b⃗ >=12．∴<a⃗,b⃗ >=π3．故选：C．通过向量的模的平方，结合数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积以及向量的夹角的求法，考查计算能力．5.答案：C解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，属基础题.由cos2α=cos2α−sin2α及sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)即可得解．【解答】解：∵cos2αsin(α−π4)=22√22(sinα−cosα)=−√2(sinα+cosα)=−√22，∴cosα+sinα=12，故选C．6.答案：D解析：解：显然y=4cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−4sinx−e x=−(4sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而4sinx≥−4，∴y′=−(4sinx+e x)<0，∴y′=−(4sinx+e x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴y=4cosx−e|x|在(0,+∞)上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图的面积计算，属于简单题．分析三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．【解答】解：三棱锥P−BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为1，三棱锥P−BCD的侧视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为1，故三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A．8.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=−a4，双曲线C：x28−y24=1的两条渐近线为y=±√22x，可得两交点为(−a4,√28a)，(−a4,−√28a)，即有三角形的面积为12⋅a4⋅√24a=2√2，解得a=8，故选：A．9.答案：C解析：解：设水深为x尺，则(x+2)2=x2+52，解得x=214，即水深214尺．又葭长214+2=294尺，则所求概率P=214294=2129，故选：C．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长214+2=294尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查勾股定理的应用，是基础题．10.答案：D解析：解：第1次执行循环体后：S=1，t=22，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后：S=3，t=43，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后：S=6，t=64，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后：S=10，t=85，i=5，不满足退出循环的条件；…第n 次执行循环体后：S =n(n+1)2，t =2nn+1，i =n +1，不满足退出循环的条件；…第2014次执行循环体后：S =2039180，t =40282015，i =2015，不满足退出循环的条件； 第2015次执行循环体后：S =2041195，t =40302016=20151008，i =2016，满足退出循环的条件； 故输出的t 值为20151008，故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 11.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，将y =b2代入椭圆方程求得B ，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F(c,0)，将y =b2代入椭圆方程可得x =±a √1−b 24b 2=±√32a ， 可得B(−√32a,b 2)，C(√32a,b2)，由∠BFC =90°，可得k BF ⋅k CF =−1， 即有b 2−√32a−c ⋅b 2√32a−c =−1，化简为b 2=3a 2−4c 2，由b 2=a 2−c 2，即有3c 2=2a 2， 由e =ca ，可得e 2=c 2a 2=23，可得e =√63，故选：A ． 12.答案：C解析：解：当x ≥ln2时，f(x)=(x −2)(x −e x )+3的导数为f′(x)=(x −1)(2−e x )，当ln2≤x ≤1时，f′(x)≤0，f(x)递减；x >1时，f′(x)>0，f(x)递增，x =1处f(x)取得极大值2+e ， 作出y =f(x)的图象，由当x ∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e +2]， 由3−2x =2+e ，可得x =1−e 2，可得1−e 2≤m ≤1．故选：C ．当x ≥ln2时，求得f(x)的导数和单调性、极大值，画出f(x)的图象，求得3−2x =2+e 的x 的值，结合额图象和条件可得m 的范围．本题考查分段函数的图象和性质，注意运用导数判断单调性和极值，考查数形结合思想方法和运算能力，属于中档题． 13.答案：60解析：解：男医生中唯一的主任医师必须参加，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，共有C 52C 42=10×6=60， 故答案为：60男主任医师必选，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，利用组合的公式进行计算即可．本题主要考查组合的应用，利用组合数公式是解决本题的关键．比较基础． 14.答案：5解析：解：由|x|≤1−y ，且y ≥−1，作出可行域如图，联立{y =−1x +y −1=0，解得A(2,−1)，令z =3x +y ，化为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过点A 时，z 有最大值为3×2−1=5． 故答案为：5．由约束条件作出可行域，令z =3x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 15.答案：9解析：【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c，得1a +1c=1，得4a+c=(4a+c)(1a +1c)=ca+4ac+5≥2√ca⋅4ac+5=4+5=9，当且仅当ca =4ac，即c=2a，亦即a=32，c=3时，取等号，故答案为：9．16.答案：3√2−√612a解析：解：∵棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E−BCD的底面重合，由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，∴多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，由题意得正四面体ABCD的高为√63a，外接球的半径为√64a，设正三棱锥E−BCD的高为h，∵AE=√62a=√63a+ℎ，∴ℎ=√66a，∵底面△BCD的边长为a，∴EB=EC=ED=√22a，则正三棱锥E−BCD的三条侧棱两两垂直，由题意得正棱锥E−BCD的表面积S=3+√34a2，体积V E−BCD=13×12×√22a×√22a×√22a=√224a3，设正三棱锥E−BCD的内切球的半径为r，由13S⋅r=√224a3，得r=3√2−√612a．故答案为：3√2−√612a.多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，由题意得正四面体ABCD的高为√63a，外接球的半径为√64a，正三棱锥E−BCD的高为√66a，EB=EC=ED=√22a，则正三棱锥E−BCD的三条侧棱两两垂直，求出正棱锥E−BCD的表面积S=3+√34a2，体积为V E−BCD=√224a3，由此能求出正三棱锥E−BCD的内切球的半径．本题考查正三棱锥内切球的半径的求法，考查正四面体、正三棱锥及内切球性质等基础知识，考查运算求解能力和空间想象能力，是中档题．17.答案：解：(1)当n=1时，a1=12S1+1，解得a1=2当n≥2时，a n−1=12S n−1+1…①a n=12S n+1…②②−①得a n−a n−1=12a n即a n=2a n−1∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n(2)b n=log2a n=log22n=nc n=1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1T n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1∵n∈N∗∴1n+1∈(0,12]∴T n∈[12,1)解析：(1)由a1=12S1+1，可求a1，然后由n≥2时，a n=s n−s n−1可得a n=2a n−1，根据等比数列的通项可求(2)由b n=log2a n=log22n=n，而c n=1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，利用裂项可求T n，即可求解本题主要考查了递推公式，a n=s n−s n−1，(n≥2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式的应用及裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．18.答案：9；16；25；11；4；15；20；20；402×2列联表：根据2×2列联表中的数据，可得K2=40(9×4−16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为1540×8=3，X的可能取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C 113C 153=3391，P(X =1)=C 112C 41C 153=4491，P(X =2)=C 111C 42C 153=66455，P(X =3)=C 43C 153=4455． X 0 1 2 3 P33914491654554455∴E(X)=0×3391+1×4491+2×65455+3×4455=364455=45． (I)利用k 2的计算公式即可得出．(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为1540×8=3，X 的可能取值为：0，1，2，3，利用P(X =k)=∁113−k ∁4k∁153即可得出．本题考查了独立性检验原理、超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)依题意，A 1B 1//AB ，A 1B 1C =AB ，AB//CD ，AB =CD ，∴A 1B 1=CD ，A 1B 1//CD ，∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形， ∴B 1C//A 1D ，∵B 1C ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C//平面A 1BD ；(2)∵AO ⊥平面A 1BD ，∴AO ⊥A 1O ，∵A 1B =A 1D 且O 为BD 的中点，∴A 1O ⊥BD ， ∵AO 、BD ⊂平面ABCD ，且AO ∩BD =O ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，A 1(0,0，1)，∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)， 设平面A 1AB 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−√3x +z =0−√3x +y =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3)，设平面A 1AD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−√3x +z =0−√3x −y =0，取x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7×√7=17， 设二面角B −AA 1−D 的平面角为α，则sinα=√1−(17)2=4√37， ∴二面角B −AA 1−D 的正弦值为4√37．解析：(1)根据题意，得到四边形A 1B 1CD 是平行四边形，得到B 1C//A 1D ，再根据线面平行的判定定理证明即可；(2)根据题意，以O 为原点，分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，求出平面A 1AB 的法向量和平面A 1AD 的法向量，利用夹角公式求出即可． 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，中档题． 20.答案：解：(1)设T(x 0,y 0)，P(x,y)， 由A(x 0,0)，B(0,y 0)由题意BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 为PB 的中点 ∴x =2x 0，y =−y 0， 即x 0=12x ，y 0=−y ，∵x 02+y 02=1故点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1，(2)由题意知l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y =kx +t ， ∵|AB|=1， ∴(−tk )2+t 2=1，即t 2k 2+t 2=1，① 联立{y =kx +tx 24+y 2=1，消y 可得(4k 2+1)x 2+8ktx +4(t 2−1)=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−8kt1+4k 2，x 1x 2=4(t 2−1)4k 2+1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =2t4k 2+1，∵四边形OMQN 为平行四边形，故Q(−8kt1+4k 2,2t4k 2+1)， ∴14(−8kt 1+4k2)2+(2t 4k 2+1)2=1，整理可得4t 2=4k 2+1，②，将①代入②可得4k 4+k 2+1=0，该方程无解， 故这样的直线不存在．解析：(1)设T(x 0,y 0)，P(x,y)，通过BA⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 为PB 的中点，转化求解，点P 的轨迹C 的方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +t ，先根据|AB|=1，可得t 2k 2+t 2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t 2=4k 2+1，②，将①代入②可得4k 4+k 2+1=0，该方程无解，问题得以解决 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=3x 2−3a ，当a ≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增， 当a >0时，f′(x)=3(x +√a)(x −√a)，当x ∈(−∞,−√a)，(√a,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(−√a,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减；(2)当x ∈(0,e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0,e)无零点， 当x =e 时，g(e)=0，f(e)=e 3−3ae +e ， 若f(e)≤0，即a ≥e 2+13，则e 是ℎ(x)的一个零点， 若f(e)>0，即a <e 2+13，则e 不是ℎ(x)的零点，当x ∈(e,+∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f′(x)=3x 2−3a >3e 2−3a ，①当a ≤e 2时，f′(x)>0，f(x)在(e,+∞)上单调递增． 所以：(ⅰ)当a ≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e,+∞)上无零点；(ⅰ)当e 2+13<a ≤e 2时，f(e)<0，又f(2e)=8e 3−6ae +e ≥8e 3−6e 2+e >0，所以此时f(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；②当a >e 2时，由(1)知，f(x)在(e,√a)递减，(√a,+∞)递增，又因为f(e)=e 3−3ae +e <e 3−3e 3+e <0，f(2a)=8a 3−6a 2+e >8a 2−6a 2+e =2a 2+e >0，所以此时f(x)恰有一个零点． 综上，a >e 2+13．解析：(1)含参的求导判断单调性；(2)ℎ(x)=max{f(x),g(x)}，(x >0)，对x ∈(0,e)，x =e ，x ∈(e,+∞)三种情况讨论函数f(x)，与g(x)的零点问题，得出结论．本题考查用导数法判断含参问题的单调性，函数的零点问题，是一道函数与导数综合性很高的题，难度大，注意分类讨论的细节．22.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1：x 2−y 2=2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=2，---------(2分) ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)．∴曲线C 2的普通方程为：(x −2)2+y 2=4，---------(3分) ∴x 2+y 2−4x =0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ.---------------(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得：点A 的极坐标为(2,π6)，---------(5分) 点B 的极坐标为(2√3,π6)，----------(6分)∴|AB|=|2−2√3|=2√3−2，------------------(7分)M(3,0)点到射线θ=π6(ρ≥0)的距离为d =3sin π6=32，--------------------------(8分) ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB|d =12×(2√3−2)×32=3√3−32.---------(10分)解析：(Ⅰ)由曲线C 1的普通方程能求出曲线C 1的极坐标方程；由曲线C 2的参数方程能求出曲线C 2的普通方程，由此能求出曲线C 2的极坐标方程．(Ⅱ)点A 的极坐标为(2,π6)，点B 的极坐标为(2√3,π6)，从而|AB|=|2−2√3|=2√3−2，M(3,0)点到射线θ=π6(ρ≥0)的距离为d =3sin π6=32，由此能求出△MAB 的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23.答案：解：(1)记f(x)=|x −1|−|x +2|={3,x ≤−2−2x −1,−2<x <1−3,x ≥1，由−2<−2x −1<0解得−12<x <12，则M =(−12,12).…(3分) ∵a 、b ∈M ，∴|a|<12，|b|<12所以|13a +16b|≤13|a|+16|b|<13×12+16×12=14.…(6分) (2)由(1)得a 2<14，b 2<14．因为|1−4ab|2−4|a −b|2=(1−8ab +16a 2b 2)−4(a 2−2ab +b 2) =(4a 2−1)(4b 2−1)>0，…(9分)所以|1−4ab|2>4|a −b|2，故|1−4ab|>2|a −b|.…(10分)解析：(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M ，利用绝对值三角不等式直接证明：|13a +16b|<14； (2)利用(1)的结果，说明ab 的范围，比较|1−4ab|与2|a −b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。
2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第二次模拟考试 数学(理)答案
银川一中2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．【答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．【答案】D 【分析】由已知可推得2B ∈，代入即可解得2m =-，代入即可得出答案.【详解】由题意可知，2B ∈，即2220m -+=，所以2m =-，所以，{}{}2202,1B x x x =--==-.故选：D.3．【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.【详解】 命题P 的否定为特称命题，P ∴：x ∀∈R ，211x +>，当0x =时，211x +=，P ∴为假命题，ABD 错误，C 正确.故选：C.4．【答案】B【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B 5．【答案】B【分析】执行程序即可算出其输出值结果.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值，裂项求和可得：111111111122334455566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A ：函数2y x =-+的定义域为R ，值域也为R ，不符合题意；对于B：函数y =的定义域和值域都为[)0,∞+，不符合题意；对于C ：2y x =的定义域和值域都为{}0x x ≠，不符合题意；对于D ：2,02,0x x y x x -≤⎧=⎨+>⎩的定义域为R ；当0x ≤时，22y x =-≤-；当0x >时，22y x =+>；所以值域为(](),22,∞∞--⋃+，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D ．7．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为()2cos 75cos152sin 75sin152cos 15750a b ⋅=-=+=，2a = ，1b = .所以()()222280a b a b a b λλλ+⋅-=-=-= .所以8λ=.故选：A 8．【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为π,(0,)2αα∈，则另一条渐近线的倾斜角为5α，由双曲对称性可得π5π,=6ααα+=∴，则一条渐近线的斜率为πtan 6=设双曲线的长半轴长为a ，短半轴长为b，则b a =，故离心率为3e ==，故选：A 9．【答案】C 【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，①由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，②所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，大球缺的体积23214480ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.10【答案】B 【分析】由判别式可解得6k ，由根与系数关系可得121212111331x x k x x x x k k ++===++ ，由k 的范围结合不等式的性质变形可得答案．【详解】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331kk k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B 11．【答案】B 【分析】根据二倍角公式得到11tan 10γ=，代入式子得到22111061410hhD d ==++，解得答案.【详解】10sin 211cos 21γγ=+，即220sin cos 10tan 112cos γγγγ==，所以11tan 10γ=，22111061410h h D d ==++，解得66h =，故选：B.12．【答案】B【分析】结合229x y +≥可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线Γ的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧⎪⎨⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈- 时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,- .故选：B.二、填空题13．【答案】11【分析】根据题设的抽取方式，结合随机表法依次写出所得编号，即可得答案.【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：1114．【答案】2【分析】由题，利用导数及韦达定理可得37a a，后利用等比中项性质可得答案.【详解】()284f x x x '=-+，由题37a a ，是方程2840x x -+=的两个不等实根，则由韦达定理373740,80a a a a =>+=>，所以370,0a a >>又5a 是37a a ，的等比中项且5a 与37a a ，同号，则2555402a a a =>⇒=,.故答案为：2.15．【答案】60︒【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AE //DC ，从而得到∠BAE 或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角，从而可解.【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE ，BE ．由正方体可得//CE AD 且CE AD =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE //DC ．∴BAE ∠或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角．由正方体可得：AB AE BE ==，∴ABE 是等边三角形，∴60=︒∠BAE ．∴异面直线AB 与CD 所成的角是60°．故答案为：60°16．【答案】1【分析】构造函数()x f x e =，设切点为11(,)x y ，设()ln g x x =，设切点为22(,)x y ，结合条件得到12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，利用对称性得出1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而得出12e x x =，12ln x x =，然后计算出12k k ．【详解】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e x k =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x x y x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1x x =，设()ln g x x =，则1()g x x '=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x =也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e x x =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.三、解答题17．【答案】(1)21n a n =+；(2)详见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，即可求解；（2）根据{}n b 通项公式，用裂项相消法求出和n T ，即可证明结论.【详解】（1）由设数列{}n a 的公差为d ，则11393315a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =，13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由21n a n =+，可得111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++，所以12n n T b b b =+++ 1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦11111()2323646n n =-=-++,又1046n >+，故.18．【答案】(1)12(2)分布列见解析，()87E X =(3)3月3日【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7PX ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【详解】（1）令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.（2）由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X的分布列为：X 012P 174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．【答案】(1)26y x =(2)证明见解析【分析】（1）将(6,6)M -代入抛物线即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，将直线l 与抛物线进行联立可得12126,6y y m y y t +==-，结合OA OB ⊥可得6t =，即可求证【详解】（1）因为抛物线C 过点(6,6)M -，∴2(6)26p -=⨯，解得3p =，∴抛物线C 的标准方程为26y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，联立26my x ty x =-⎧⎨=⎩，化为2660y my t --=，236240m t ∆=+>，∴12126,6y y m y y t +==-，∵OA OB ⊥，∴()212121236y y OA OB x x y y ⋅=+= 12661036t y y t -⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，0t ≠，16n T <解得6t =，满足236240m t ∆=+>，∴直线l的方程为6my x =-，∴直线过定点()6,0．20．【答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；（2）根据题意结合长方体的外接球可得12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）当点D 为AB 的中点时，1O D 平面1A AC ，证明如下：取AB 的中点D ，连接OD ，∵O ，D 分别为BC ，AB 的中点，则OD AC ，OD ⊄平面1A AC ，AC ⊂平面1A AC ，∴OD 平面1A AC ，又∵1OO 1AA ，1OO ⊄平面1A AC ，1AA ⊂平面1A AC ，∴1OO 平面1A AC ，1O O OD O ⋂=，1,O O OD ⊂平面1OO D ，∴平面1OO D 平面1A AC ，由于1O D ⊂平面1OO D ，故1O D ∥平面1A AC .（2）∵BC 是O 的直径，可得90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，且2BC =，30ABC ∠=︒，故AB =1AC =，又∵1AA ⊥平面ABC ，且,AB AC 平面ABC ，∴11,AA AB AA AC ⊥⊥，即AB ，AC ，1AA 两两垂直，且点1A ，A ，B ，C 可知该球为以AB 、AC 、1AA 则(22221AB AC AA ++=，可得12AA =，以A为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，)B ，()0,1,0C ，()10,0,2A ，得)12A B =- ，()10,1,2AC=- ，设(),,n x y z =r 为平面1A BC 的一个法向量，则112020n A B z n A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x=，则y z =，可得(2,=r n ，且()0,1,0AC = 为平面1A AB 的一个法向量，设二面角1C A B A--为θ，则cos cos ,19AC n AC n AC n θ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r ，所以二面角1C A B A --的余弦值为19.21．【答案】（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明；②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221a f x x x '=+++.（1）由()01f '=，可得2202a ++=，8a =-.又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<>令：11x k =+，得11ln(111k k +<++，即：12ln()11k k k +>++∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.22．【答案】(1)C 的极坐标方程为2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，l的直角坐标方程为40x +=(2)1λ=【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l 的直角坐标方程；（2）将()π12θρ=∈R 代入C 的极坐标方程，求出,A B 的坐标，得到AB 为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.【详解】（1）将曲线C 的参数方程x ty tλ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去t ，得C 的普通方程为xy λ=，且因为0t ≠，所以0x ≠，将cos ,sin x y ρθρθ==，ππ,Z 2k k θ≠+∈，代入xy λ=，得2sin cos ρθθλ=，即2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，即为C 的极坐标方程，由直线l 的方程πsin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin cos 222ρθρθ-=，化简得40x +=，即为l 的直角坐标方程.（2）将直线π12θ=代入2sin22ρθλ=，得24ρλ=，即12ρρ==-故以AB 为直径的圆圆心为O，半径r =圆心O 到直线l的距离2d =，由已知得2=，解得1λ=.23．【答案】(1)(0,4)【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，（2）根据绝对值三角不等关系可得21a =，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()4f x <等价于|1||3|4x x -+-<，当1x ≤时，13420x x x -+-<⇒-<，则01x <≤，当13x <<时，13424x x -+-<⇒<，则13x <<，当3x ≥时，134244x x x -+-<⇒-<，则34x ≤<，综上所述，不等式()4f x <的解集为(0,4)．（2）()3(3)2f x x a x a x a x a a =+++≥+-+= ，当且仅当()(3)0x a x a ++≤等号成立，min ()|2|2f x a ∴==，即21a =，24()()a m a m n -+= ，∴22241a m n =+=，∴2222222211445()59()n n m mn m m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224()()mn mn =，即2()2mn =，即213m =，26n =时，等号成立，故221n m +的最小值为9。
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z =1−i ，则复数z +z 2在复平面上对应的点的坐标为( )A. (1,−3)B. (−3,1)C. (1,1)D. (−1,1)2. 设集合A ={x|(x +3)(x −6)≥0}，B ={x|2x ≤14}，则(∁R A)∩B =( )A. (−3,6)B. [6,+∞)C. (−3,−2]D. (−∞,−3)U(6,+∞)3. 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//m ，命题q ：l//α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β则下列命题为真命题的是( )A. p ∨qB. p ∧qC. (￢p)∨qD. p ∧(￢q)4. △ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小为( )A. 2π3B. π4C. π3D. π65. 已知sin (α−π4)=7√210，cos 2α=725，则sin α=( )A. 45B. −45C. 35D. −356. 函数y =3cos x −e |x|的图象可能是( )A. B. C. D.7. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1,AA 1=2，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P −ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( )A. 1B. 2C. 12D. 148.抛物线x2=16y的准线与双曲线x29−y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积是()A. 16√3B. 8C. 4D. 29.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为()A. 1213B. 113C. 314D. 21310.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是()A. 1B. 10C. 19D. 2811.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. (√6−√22,√5−12) B. (√6−√22,1)C. (√5−12,1)D. (0,√5−12) 12. 函数f(x)={2x 3+3x 2 x ≤0ax ex ,x >0在[−2,2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [0,e]C. (−∞,0]D. (−∞,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 14. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥3x +2y ≤5x ≥0y ≥0，则y −2x 的最大值是__________．15. 在面积为2的△ABC 中，a 2+2b 2+c 2的最小值_________．16. 已知正三棱锥P −ABC 的侧面是直角三角形，P −ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P −ABC 的体积为36，则球O 的表面积为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n =12(1−a n ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，求T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯1b n的值．18. 为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100)甲班频数56441乙班频数1365(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计，(n=a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635(2)先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π，M为A1D的中点．3(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知点A(−√2,0)和圆B：(x−√2)2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−ax(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性．(2)当a=e2时，设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明：x1+x2<4．22.已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+√5cosα(α为参数)，直线l1：x=0，直y=2+√5sinα线l2：x−y=0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴(取相同的长度单位)建立极坐标系．(1)求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．23.设f(x)=−x+|2x+1|，不等式f(x)<2的解集是M．(1)求集合M；(2)设a,b∈M，证明：2|ab|+1>|a|+|b|．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．根据复数的运算得z+z2=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)．解：z+z2=1−i+(1−i)2=1−i−2i=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)，故选A．2.答案：C解析：解：A={x|x≤−3，或x≥6}，B={x|x≤−2}；∴∁R A={x|−3<x<6}；∴(∁R A)∩B={x|−3<x≤−2}=(−3,−2]．故选：C．可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的运算．3.答案：C解析：解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α//β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p为假命题；则￢p真命题；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线A1B1分别是直线m，l，显然满足l//α，m⊥l，m⊂β，而α//β，故命题q假命题；￢q为真命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，￢p∨q是真命题，p∧￢q是假命题，故选：C对于命题p ，q ，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．4.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．根据平面向量的夹角公式求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，再求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小． 解：△ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×0+1×1=1， |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1=2，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴cos <BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×1=12， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3． 故选A ．5.答案：C解析：利用两角差的正弦公式和二倍角公式把条件等式都转化为 α角的正弦余弦函数，联立可解得sin α．解：由sin (α−π4)=7√210得sin α−cos α=75，① 由cos 2α=725得cos 2α−sin 2α=725，所以(cos α−sin α)·(cos α+sin α)=725，②由①②可得cos α+sin α=−15，③由①③可得sinα=35．故选C．6.答案：B解析：本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．解：显然y=3cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−3sinx−e x=−(3sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而3sinx≥−3，∴y′=−(3sinx+e x)<0，∴y′=−(3sinx+e x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴y=3cosx−e|x|在(0,+∞)上单调递减．只有B符合，故选B．7.答案：B解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，所以三棱锥P−ABC的正视图的面积为12×1×2=1；三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值为12×1×1=12，所以三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为112=2，故选：B．由题意确定棱锥P−ABC的正视图的面积，三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8.答案：A解析：解：抛物线x2=16y的准线方程为y=−4，双曲线x29−y23=1的两条渐近线方程为y=√3∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为(±4√3,−4)∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是12×8√3×4=16√3故选A．确定抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的方程，求得交点坐标，即可求得面积．本题考查抛物线的准线与双曲线的两条渐近线，考查学生的计算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：设水深为x尺，根据勾股定理得：(x+1)2=x2+52，解得x=12，∴水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式得：从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为p=113．故选：B．设水深为x尺，根据勾股定理求出水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式能求出从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：C解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行，正确写出每次循环得到的S，A的值可得答案．解：模拟执行程序框图，A =1，S =1，满足条件A ≤2， S =10，A =2，满足条件A ≤2， S =19，A =3，不满足条件A ≤2， 退出循环，输出S 的值为19． 故选C ．11.答案：A解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得A(c,b 2a ).根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD <45°，且1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解出即可． 解：如图所示，设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得：y 2=b 4a 2， 取y =b 2a ，A(c,b 2a)． ∵△ABC 是锐角三角形， ∴∠BAD <45°， ∴1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解得√6−√22<e <√5−12． 故选A ．12.答案：D解析：分别讨论x≤0，x>0时的情况，x≤0时，通过求导得到f(x)max=f(−1)=1，x>0时，讨论①a> 0时，②a≤0时a的范围，综合得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题．解：x≤0时，f′(x)=6x(x+1)，令f′(x)=0，解得：x=−1，x=0，∴f(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,0)递减，∴f(x)max=f(−1)=1，x>0时，f′(x)=ae x(1−x)，e2x①a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1，若f′(x)<0，则x>1，≤1，∴f(x)max=f(1)=ae解得：a≤e，②a≤0时，f(x)≤0，符合题意，综上：a≤e，故选D．13.答案：90解析：解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42=120种取法，若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，其取法有C53C32=30种，则至少有一名主任医师参加的取法有120−30=90种，故答案为：90．根据题意，先计算从A 医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．14.答案：0解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x +y −3≥0x +2y −5≤0x ≥0y ≥0作出可行域如图，令z =y −2x ，化为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过点C 时，y −2x 取得最大值， 联立{x +2y −5=0x +y −3=0，解得C(1,2)．所以y −2x 的最大值为2−2×1=0． 故答案为：0．15.答案：8√5解析：本题考查解三角形的实际应用，属于较难题． 构造三角形，再运用基本不等式即可求得最小值． 解：作图如下：a2+2b2+c2=x2+y2+2ℎ2+2b2⩾12(x+y)2+2ℎ2+2b2=5b2+2ℎ2⩾2√5bℎ，第一个等号当且仅当x=y时取到，第二个等号当且仅当5b2=4ℎ2时取到，∵△ABC的面积为2，则bℎ=4则2√5bℎ=8√5．故答案为8√5．16.答案：108π解析：本题考查正三棱锥外接球的表面积，关键是求球的半径，属于中档题．依据题目条件求出三棱锥的侧棱长，将棱锥置于正方体中求出球半径，即可求解．解：设正三棱锥的侧棱长为a，球O的半径为R，正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，∴13×12a3=36，解得a=6，把正三棱锥补形为正方体，则其体对角线长为2R=√62+62+62=6√3，解得R=3√3，所以球O的表面积为4πR2=4π×27=108π．故答案为108π．17.答案：解：(1)n≥2时，a n=12(1−a n) −12(1−a n−1) =−12a n+12a n−1，2a n=−a n+a n−1a n a n−1=13， S 1=a 1=12(1−a 1)得a 1=13，∴数a n 是以首a 1=13，公比13的等比数列，∴a n =(13)n(2)∵f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，∴b n =log 13a 1+log 13a 2 +⋯+log 13a n =log 13(a 1⋅a 2…⋅a n )即log 13(13)1+2+⋯+n=1+2+⋯+n =n(n+1)2∴1b n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，∴T n =11+12 +⋯+1n =2[(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)]=2n解析：(1)n ≥2时由a n =s n −s n−1，再利用S 1=a 1=12(1−a 1)求得a 1，分析可求数列{a n }的通项公式；(2)由f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，a n =(13)n 可求得b n ，再用裂项法可求T n 的值． 本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据2×2列联表中的数据，得K 2的观测值为k =40(9×4−16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 113C 153=3391，P(X =1)=C 112C 41C 153=4491，P(X =2)=C 111C 42C 153=66455，P(X =0)=C 43C 153=4455．∴X 的分布列为：∴E(X)=0×3399+1×4499+2×66455+3×4455=364455．解析：(1)利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出K 2的观测值，判断即可．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．19.答案：(1)证明：取AA 1的中点N ，连接MN ，BN ．在△ADA 1中，MN//AD 且MN =12AD ，又BC//AD 且BC =12AD ，所以MN//BC 且MN =BC ， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而CM//BN ，又BN ⊂平面AA 1B 1B ，MC ⊄平面AA 1B 1B ，所以CM//平面AA 1B 1B . (2)解：取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1， 因为在菱形AA 1B 1B 中，∠B 1BA =π3， 所以AB =AA 1=AB 1=A 1B 1， 所以AP ⊥A 1B 1， 又AB//A 1B 1， 所以AP ⊥AB ，又侧面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，侧面ABB 1A 1∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴 建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，则A(0,0，0)，D(0,4，0)，C(2,2，0)，P(0,0,√3)， A 1(−1,0,√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√3)．因为AP ⊥平面ABCD ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面ABCD 的一个法向量．设平面A 1CD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⊥CD⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{−2x +2y =0−3x −2y +√3z =0，取n ⃗ =(1,1,5√33)为平面A 1CD 的一个法向量， 所以cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×5√33√3×√12+12+(5√33)2=5√3131．设二面角A 1−CD −A 大小为θ，θ∈(0,π2)，故cosθ=5√3131，解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查计算能力．(1)取AA 1的中点N ，连接MN ，BN.证明四边形MNBC 是平行四边形，推出CM//BN ，然后证明CM//平面AA 1B 1B .(2)取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，求出平面ABCD 的一个法向量．平面A 1CD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．20.答案：解：(1)因为|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2 ，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，方程为x 24+y 22=1 ；(2)若存在满足条件的点S ，T ，设直线ST 的方程为 y =12x +m ，与 x 24+y 22=1联立，消去y 并化简可得3x 2+4mx −4m 2−8=0，由已知知Δ>0，即16m 2−4×3×4(m 2−2)>0，解得 −√3<m <√3， 设点S (x 1,y 1)，T (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−43m ， x 1x 2=4(m 2−2)3，∵线段ST 的中点 (−23m,23m) 在对称轴2x +y +1=0上， ∴ −43m +23m +1=0，解得 m =32 ，且 32∈(−√3,√3)，所以满足条件的点S ，T 是存在的， 直线ST 的方程为 y =12x +32 ，即x −2y +3=0．解析：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，难度较大．(1)根据题干描述可以知道|PA|、|PB|、|PQ|、|PB|的关系，即|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2，再根据椭圆的定义，可以求出点P的轨迹方程；(2)假设满足条件的点S、T存在，则根据这两点关于直线2x+y+1=0对称，可以设出直线ST的方程，将其与(1)中求出的椭圆方程联立，消去y，利用Δ>0，求出m的范围以及点S、T的横坐标之和、之积，利用线段ST的中点在对称轴2x+y+1=0上，可以求出m，从而得到直线ST的方程．21.答案：(1)解：由题得f′(x)=e x−a．当a⩽0时，f′(x)>0对x∈R恒成立，所以f(x)在R上单调递增．当a>0时，令f′(x)=0，．当时，则f(x)单调递减；，则f(x)单调递增．综上，当a⩽0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增．(2)证明：不妨设x1<x2，由f(x)=e x−e2x，得f′(x)=e x−e2，令f′(x)=0，得x=2．f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，f(0)=1>0，f(4)=e4−4e2=(e2−4)e2>0，所以0<x1<2<x2<4，构造函数F(x)=f(4−x)−f(x)(０<ｘ<２)，+e x)+2e2⩽−2e2+2e2=0，则F′(x)=−(e4−x−e2)−(e x−e2)=−e4−x−e x+2e2=−(e4e x所以函数F(x)在区间(0,2)内单调递减．因为0<x1<2，所以2<4−x1<4，所以F(x1)=f(4−x1)−f(x1)>F(2)=0，又f(x1)=f(x2)=0，所以f(4−x1)>f(x2).因为函数f(x)在区间内单调递增，所以4−x1>x2，即x1+x2<4．解析：本题考查利用导数判断函数的单调性以及研究函数的零点问题，难度较大．(1)利用导函数的定义分类讨论即可；(2)首先利用函数单调性求出x1、x2的取值范围，再通过构造新函数求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的参数方程为{x=1+√5cosαy=2+√5sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x−1)2+(y−2)2=5，即x2+y2−2x−4y=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ．∵直线l1：x=0，∴直线l1的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R)，∵直线l2：x−y=0，∴直线l2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，∵π2−π4=π4，∴|AB|=√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cosπ4=√10．解析：本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由曲线C的参数方程消去参数，求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程，由直线l1：x=0，能求出直线l1的极坐标方程，由直线l2：x−y=0，能求出直线l2的极坐标方程．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，由此能求出|AB|．23.答案：(1)解：当x≥−12时，f(x)=−x+2x+1=x+1．由f(x)<2，得x<1，所−12≤x<1．当x<−12时，f(x)=−x−2x−1=−3x−1．由f(x)<2，得x>−1，所以−1<x<−12．综上可知，M={x|−1<x<1}．(2)证明：因为a，b∈M，所以−1<a<1，−1<b<1，即|a|<1，|b|<1．于是2|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+(|a|−1)·(|b|−1)>0，故2|ab|+1>|a|+|b|．解析：本题考查含绝对值不等式的解法和不等式的证明，属中档题．(1)讨论x和−1的大小去绝对值，解不等式即可；2(2)分析2|ab|+1−(|a|+|b|)与0的关系即可得2|ab|+1>|a|+|b|．。
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足(1)|34|i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合2{|20}A x x x =-->，2{|log 2}B x x =„，则集合()(R A B =I ð ) A ．{|04}x x <„B ．{|02}x x <„C ．{|2}x x …D ．{|4}x x „3．（5分）已知命题p ：直线//a b ，且b ⊂平面α，则//a α；命题q ：直线l ⊥平面α，任意直线m α⊂，则l m ⊥．下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p ∨（非)qC ．（非)p q ∧D ．p ∧（非)q4．（5分）已知向量(1,3)a =r ，b r 是单位向量，若||3a b -=r r ，则a <r ，(b >=r ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 5．（5分）若cos 22sin()4απα=--，则cos sin αα+的值为( ) A ．7-B ．12-C ．12D ．7 6．（5分）||4cos x y x e =-图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．（5分）抛物线2(0)y ax a =>的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为22，则a 的值为( ) A ．8B ．6C ．4D ．29．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为( )A ．1213B ．1314C ．2129D ．141510．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．2015100811．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( ) A 6B 23C ．12D 2 12．（5分）已知函数(2)()3,(2)()32,(2)x x x e x ln f x x x ln ⎧--+=⎨-<⎩…，当[x m ∈，)+∞时，()f x 的取值范围为(-∞，2]e +，则实数m 的取值范围是( ) A ．1(,]2e--∞ B ．(-∞，1]C ．1[,1]2e -D ．[2ln ，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有 种．（用数字作答）14．（5分）若x ，y 满足||1x y -„，且1y -…，则3x y +的最大值为 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．16．（5分）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）已知数列的前n 项和为n S ，且满足*11()2n n a S n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，11n n n c b b +=，且数列{}n ð的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 18．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维” )（1）由以上统计数据，填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．附：（1）2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；（2）临界值表；（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．（12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，11A B A D =，60BAD ∠=︒，AC BD O =I ，AO ⊥平面1A BD ．（1）证明：1//B C 平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值．。
银川一中2020高三第二次模拟数学(理科)试卷答案(1)
e x a ；由 f (x) 0 ,得 x a ,所以 f (x) 在 (e, a ) 上单调递减,在 ( a , ) 上单调递
增,
………10 分
因为 f (e) e3 3ae e e3 3e3 e 0 ,
3 6 32 62 4
(2)由(1)得 a2<1，b2<1. 44
………6 分
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝(4a2－1)(4b2－1)>0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. ………10 分
2
2
22
3，x≤－2，
………10 分
23．解：(1)证明：记 f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ －2x－1，－2<x<1，
－3，x≥1.
由－2<－2x－1<0，解得－1<x<1， 22
………3 分
| | －1，1
则 M＝ 2 2 . 所以
1a＋1b 36
≤1|a|＋1|b|<1×1＋1×1＝1. ………5 分
∵ B1C 平面 A1BD ， A1D 平面 A1BD ，
∴ B1C ∥平面 A1BD ．············································································ 4 分
（2）∵ AO 平面 A1BD ，∴ AO A1O ，
1
,
2t 4k 2 1
，
银川一中第二次模拟考试-理科数学
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|A x x x ，{}1|≥=x x B ，则集合{}0|≤x x 等于 A ．A B ⋂B ．A B ⋃C ．U C A B ⋂（）D ．U C A B ⋃（） 2．若复数z 满足i iz 42+=，则z = A ．i 42+B ．i 42-C ．i 24-D ．i 24+3．已知等比数列{}n a 的公比大于1，7273=a a ，2782=+a a ，则=12a A ．96B ．64C ．72D ．484．设l ，m ，n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α； ③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ⊂β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是A ．2B ．1C ．3D ．4 5．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线， 垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ， 则△MPF 的面积（ ）A ．5B ．10C ．20D ．156．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k A ．9 B ． 10 C ． 11 D ． 127．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 A ．18 B ．15 C ．12 D ．9 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．π2 B ．π22C ．（212+）πD ．（222+）π9．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb＜cos A ，则△ABC 为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①11．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ， C ．若BC AB =2，则双曲线的离心率是 A ．2B ．3C ．5D ．1012．设函数)(x f y =在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：x⎩⎨⎧>≤=))(()(()()(k x f kkx f x f x f k ,取函数x e x x f ---=2)(，若对任意的),(∞+-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则 A. k 的最大值为2 B. k 的最小值为2 C. k 的最大值为1D. k 的最小值为1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量)1,(z x -=，),2(z y +=，且⊥，若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x xy x ，则z 的最大值为 14．6)1xx -（的二项展开式中含3x 的项的系数为15．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 ．16．在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n na cb =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．理科数学试卷 第3页(共6页)18 （本题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。
2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
当 P 与线段 BC1 的端点重合时，A1P 与 ad1 所成角取得最小值 ，当 P
13. （1﹣x）10 的展开式中，x3 的系数等于_______．
D. （1，+∞）
14. 已知实数 x，y 满足约束条件
，若目标函 z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则 a
的取值范围是______． 15. 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆（x-2）2+y2=1 于点 A，B，C，D
2020 年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={0，2，4，6，8，10}，B={x|2x-3＜4}，则 A∩B=（ ）
A. {4，8}
B. {0，2，6}
C. {0，2}
D. {2，4，6}
2. 复数 z=1-2i，则 =（ ）
则 S13= ×13（b1+b13）=13b7=13×4=52．
故选 B．
5.答案：C
解析：【分析】 本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，属于中档 题.
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由题意，可根据向量运算法则得到 =
求出 t 的值. 【解答】
解：设
,
+（1-m） ，从而由向量分解的唯一性得出关于 t 的方程，
B. x1，x2，…xn 的标准差
C. x1，x2，…xn 的最大值
D. x1，x2，…xn 的中位数
4. 已知等比数列{an}中，有 a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7=a7，则 S13=
2020-2021学年度宁夏银川高考第二次模拟考试数学(理)试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-= A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则 A ．φ=⋂N M B ．φ=⋃N MC ．M N =D ．M N R =U3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35 D ．35-4．若两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r rA ．2B ．3C D5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g(x)＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．12 12．已知函数f(x)＝(3x ＋1)ex ＋1＋mx(m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m 的取值范围是20120120120120120A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛2,5eB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e eC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21eD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--e e 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f(x)＝log 21－x 1＋x ，若f(a)＝12，则f(－a)＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________．15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A(0,1)，抛物线C ：y 2＝ax(a>0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 车运营公司M 的经营状况，对 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占 有率y 与月份代码x 之间的关系， 求y 关于x 的线性回归方程，并 预测M 公司2017年4月的市场占 有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两 款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为$$y bx a =+$，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xb n i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，$ay bx =-$． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平 面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q)(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x=－4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114.—24; 15.24<<-k ; 16. 212．已知函数f(x)＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx(m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f(x)≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)ex ＋1，设g(x)＝mx ，h(x)＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x)＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)ex ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x)>0，得－(3x ＋4)>0，即x<－43，由h ′(x)<0， 得－(3x ＋4)<0，即x>－43，故当x ＝－43时，函数h(x) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x)， y ＝g(x)的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0时， 要使g(x)≤h(x)的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎨⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52e ，m<－83e 2，即－52e ≤m<－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e ，故选B.16已知点A(0,1)，抛物线C ：y 2＝ax(a>0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n-1+S n-1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n-1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21((2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T ΛΛ 18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==$，$162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=$，∴$29y x =+， 7x =时，$27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即，所以，解得，或（舍）．综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。
银川一中2020届高三第二次模拟数学(理科)试卷答案
1银川一中2020届高三年级第二次模拟考试（理科）参考答案13、60 14、5 15、9 16、a 12623- 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（1）当1n =时,11112a S =+,解得12a = ……………1分 当2n ≥时,11112n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ……………3分 ②-①得112n n na a a --= 即12n n a a -= ……………5分∴数列{}na 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n na = ……………6分（2）22log log 2n n n b a n === ……………7分11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ ……………8分11111111...223341n T n n =-+-+-++-+=111n -+ ……………10分n N *∈ 110,12n ⎛⎤∴∈ ⎥+⎝⎦ 1,12n T ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭……………12分 18.试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出2K，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出X 的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出X 的数学期望． 根据22⨯列联表中的数据，可得()2240941611 5.227 5.024********K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．……6分（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为158340⨯=， X 的可能取值为：0,1,2,3， ……………7分()31131533091C P X C ===，()2111431544191C C P X C ===，()12114315662455C C P X C ===，()3431543455C P X C ===． ……………9分 ∴ ()33446543644012391914554554555E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． ……………12分 19.方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ，····················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形， ···························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ··················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 4分 （2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO AO ⊥， ∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =，∴1A O ⊥平面ABCD ， · (5)分 以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 为x 轴、y 轴、z 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()13,0,13,1,,0,3,1,0,AB AA AD =-=-=-- 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，则1n AA n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴00z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,n =. ························· 7分 设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =，则1n AA n AD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴030z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则(1,m=. ······················ 9分∴11cos ,77m n m n m n⋅<>===⨯⋅， ·················································· 11分 设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α= ∴二面角1B AA D --················································· 12分20.（1）设(),P x y ，()00,T x y ，则()0,0A x ，()00,B y ， ……………1分 由题意知BA AP =，所以A 为PB 中点，由中点坐标公式得00202x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又点T 在圆O ：221x y +=上，故满足22001x y +=， ……………3分得2214x y +=. ……………4分（2）由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx t =+， 因为1AB OT ==，故221t t k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2221t t k += ①，联立2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()222418410k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，122841kt x x k +=-+，()21224141t x x k -=+， ……………8分()1212282241kt y y k x x t k t k ⎛⎫+=++=-+ ⎪+⎝⎭2241t k =+， ……………9分因为OMQN 为平行四边形，故2282,4141kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，点Q 在椭圆上，故222282411441kt t k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理得22441t k =+，②，……10分 将①代入②，得42410k k ++=，该方程无解，故这样的直线不存在. ……12分21．（1）()233f x x a '=-,①当0a ≤时,0f x （）≥,∴函数()f x 在∞∞（-，+）内单调递增； ………2分②当0a >时,令()3(0f x x x '=-=,解得x =x =当x <x >,()0f x '>,则()f x 单调递增,当x <<,()0f x '<,则()f x 单调递减, ………4分 ∴函数()f x的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(…5分 （2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,0)()(,0)(>≥>x g x h x g 所以()h x 在(0,)e 上无零点； ……6分 （Ⅱ）当x e =时,3()0,()3g e f e e ae e ==-+,①若03)(3≤+-=e ae e e f ,即312+≥e a ,则e 是()h x 的一个零点； ②若3()30f e e ae e =-+>,即2e 13a +<,则e不是()h x 的零点 ………8分 （Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0<g x ,所以此时只需考虑函数()f x 在(,)e +∞上零点的情况,因为22()333e 3f x x a a '=->-,所以①当2e a ≤时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。
宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)解析版
k0
2.072
P（K2≥k0） 0.15
2.706 0.10
3.841 0.05
5.024 0.025
6.635 0.010
7.879 0.005
10.828 0.001
参考公式：
，n=a+b+c+d．
19. 如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE⊥平面 BCE，且 AE＝1．
（Ⅰ）求证：平面 ABCD⊥平面 ABE；
③异面直线 A1P 与 AD1 所成角的取值范围是
；
④三棱锥 D1-APC 的体积不变．
A. ①②
B. ①②④
C. ③④
D. ①④
12. 已知函数 f（x）=
若函数 g（x）=f（f（x））-2 恰有 5 个零点，且最
小的零点小于-4，则 a 的取值范围是（ ）
A. （-∞，-1）
B. （0，+∞）
A. x1，x2，…xn 的平均数
B. x1，x2，…xn 的标准差
C. x1，x2，…xn 的最大值
D. x1，x2，…xn 的中位数
4. 已知等比数列{an}中，有 a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7=a7
，则 S13=（ ）
A. 26
B. 52
C. 78
D. 104
5. 如图，在
中，
，则实数 的值为（ ）
， 是 上一点，若
A. B. C. D.
6. 学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级．老师们目送着大家远去，渐 行渐远…执行如图所示的程序框图，若输入 x=64，则输出的结果为（ ）
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(全优试卷)宁夏银川一中高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1A B C D2A B C D3A B C D4bA B CD5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为A B C D6A B C D7A B．2 C D8．三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，PA=2，BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A B C D9．20世纪70年代，流行一种游戏——更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也 跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设ABC D 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．1212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是A B C D 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________．14__________． 15的取值范围是__________．16．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2){C n }的前n项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占2017年4月的市场占 有率；（2）为进一步扩大市场，公/辆和 1200元/多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两 款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：bx19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =PA =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x = －4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）(1)(2)请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：l(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)(1)(2)1）中m银川一中2018届高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. 14. —24; 15. 16. 12．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1， 则h′(x )＝－[3ex ＋1＋(3x ＋1)ex ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0， 得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x ) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )， y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时， 要使g(x )≤h(x )即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m故选B.16已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n -1+S n -1=1(n ≥2)两式相减可得：2a n =a n -1∴{a n }为等比数列，∴a n18.解：(1)3517.5b ==16b x ⋅=-2017年4月份()(2)由频率估计概率，1年，2年，3年，4元)1年，2年，3年，4元).19.(1，所以平面．（2令20.【解析】（1（2y =k (x+4)21．（1（222. (1)∴曲线C a > 0)t 得直线l(2)解：将直线l6分设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2分23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．解法一：【命题意图】本题旨在考查绝对值不等式的解法、分析法在证明不等式中的应用，考查考生的推理论证能力与运算求解能力。
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银川一中届高三第二次模拟数学（理科）试卷参考答答案
一、选择题：
二、填空题：
13．1 16. 1 三、解答题： 17. 18.
.
19．
20.解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=．
1122PF F F PF 、
、构成等差数列， ∴1122224a PF PF F F =+==， 2a =．
又1c = ，2
3b ∴=．
∴椭圆C 的方程为
2
2
143x y +=．
(2) 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2
2
3412x y +=中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2
2
2
2
644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：2
2
43m k =+． …………………………7分 设11d F M ==
22d F M ==
， …………………………9分
（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则1d 12d d MN k
-∴=
， 2212
1212221()221
m d d d d S d d k k k --=+==+
m
m m m 1814
3
22+
=
+-=
，……11分
2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343
31=+>+
m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF 是矩形，S =． …………………………13分 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为 ……………………………14分
（法二） 2222
2
2
2
1
2222()2(53)
11m k k d d k k +++=+==++， 222122233311m k k d d k k -+====++．
MN ∴===
四边形12F MNF 的面积121
()2S MN d d =+)(1
1212d d k ++=， ………11分 2
2
2212
22122
)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S
12)21
1
(41622≤-+-=k ． …………………………………………13分
当且仅当0k =时，2
12,S S ==max S =
所以四边形12F MNF 的面积S 的最大值为
21.解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax x
x
x f -=
ln )(. …1分 （Ⅰ）函数2
2)(ln 1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=
', 当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .
所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………3分
（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2
ln 1()0(ln )
x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立．
所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．
又()
2
2ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()
2
111ln 24a x =--+-，
故当11ln 2
x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．
所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14
． …………………………6分
（Ⅲ）命题“若2
12,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于
“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．
由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14
f x a '+=．
问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4
f x ≤”． ………………………8分
01当14
a ≥时，由（Ⅱ）
，()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =2
22e 1(e )e 24
f a =-≤，故21124e a ≥-．
02当0<14a <时，由于()f x '()
2
111ln 24
a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，
故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4
a a --．
由()f x '的单调性和值域知，
∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：
当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；
所以，min ()f x =00001()ln 4
x
f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．
所以，2001111111ln 44e 244
ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．
综上，得21124e a ≥-． …………………………13分。