电磁学的复习法宝公式篇&镜像法

ˆ a 其中： R 是源电荷指向场点的方向。
点电荷周围电场强度的计算公式：
E
q 4π 0 R
2
ˆ aR
在直角坐标系中，若源电荷 q 所在点的坐标为 ( x, y, z ) ， 场点P 的坐标为 ( x, y, z) ，则P 点的电场强度为：
q R q E 3 4π 0 | R | 4π 0 ( x x)a ( y y)a ( z z)a ˆx ˆy ˆz 3 ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
dl er dr e rd e r sin d
2 d Sr r sin d d er d S r sin drd e d S rdrd e
r er r
多个电荷产生的电场 如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所 有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。
ˆ ˆ ˆ n qi x xi ax y yi a y z zi az E 2 2 2 3/ 2 i 1 40 x x i y yi z zi
微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间
及场量与场源之间的关系。
导电材料的物态方程（本构关系）
J C N e e e E
导体的电导率
e Nee
→
其中： r
JC E
称为相对介电常数
电介质的物态方程 D r 0 E
磁介质的物态方程 B 0 r H
J S 为分界面上的自由电流面密度
矢量磁位的边界条件
A1 S A2
1
S
1
1 ( A1 ) t ( A2 ) t J S
2
标量磁位的边界条件
m1 S m2 S
1
m1 2 m2 n S n
S
电流密度的边界条件
1 2 电磁场中各参量的边界条件，归纳如下。 标量形式 矢量形式 ˆ n (D1 D2 ) S D1n D2n s ˆ n ( E1 E2 ) 0 E1t E2t ˆ n (B1 B2 ) 0 B1n B2n ˆ n (H1 H2 ) J S H1t H2t J S S J1n J 2n ˆ n ( J1 J 2 ) S t t J1t J 2 t J1 J 2 1 2 ˆ n( ) 0 1 2
2、矢量运算法则
a.标量三重积
h BC
含义：标量三重积结果为三矢量构
A

C
V A ( B C ) C ( A B) B (C A)
成的平行六面体的体积 。

B
注意：先后轮换次序。
A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
0 Idl aR ˆ B l 闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度： 4π R 2
有限长度电流线磁感应强度：
0 J S an ˆ 无限大均匀导流面两侧的磁感应强度： B 2
0 I ˆ B a 无限长载流直导线周围磁感应强度： 2r
I ˆ B a 0 (sin 1 sin 2 ) 4r
S
（3）在理想介质( 0 )内部的电磁场不为零，分界 面上 J S 为零，如果不是特意放置，S 也为零。
静电场基本方程
dV
无限长线电流的电位
E
磁感应强度B的定义
ˆ Fm av B lim qt 0 qt v
ˆ 0 I1dl1 aR ] 安培力实验定律： dF21 dq2v2 [ 2 4π R 0 I1dl1 aR ˆ 毕奥—萨伐尔定律。 dB1 4π R2
S V
无源的情况： ( 0, Jc 0)
V S J C dS V t dV

S
B dS 0
D l H dl S t dS B l E dl S t dS S D dS 0 B dS 0
积分形式:
H d l ( H ) dS
l S
微分形式:

S
D dS DdV
V
D H JC t B E t
D V B 0
V JC t
斯托克斯定理

S
( A) dS A dl
l
矢量场 A 的旋度 A 在曲面S上的面积分等于矢量场 A 在限定该曲面的闭
曲线C上的线积分。
任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零
( A) 0
任一标量场 的梯度的旋度一定等于零
S

S
B dS 0
V
注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称 性的场。
麦克斯韦方程组的微分形式
D l H dl S ( J C t ) dS B l E dl S t dS S D dS V V dV S dS 0 B V J C dS dV S V t
穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零

S
B dS BdV
V
B 0
Idl R
线电流矢量磁位
0 A l 4
面电流矢量磁位： A 0
4 S '
JS 面电流密度：J S dI aI ˆ dS dl R
1
J1t

2
J 2t
ˆ n [
J1

J2
]0
1 S 2 S
1 n 2
S
1
2 n
S
S
A1
S
A2
S
应用这些边界条件时，必须牢记以下性质：
（1）在理想导体( )内部的电磁场为零，理想导 体表面存在 S 和J S ,导体内部D=0，B=0，H=0。 （2）在导电媒质( )内部的电磁场不为零，分界 面上存在 S 但 J 为零。
电场法向分量的边界条件（电位移矢量D的边界条件）D1n D2n
电场切向分量的边界条件（电场强度E的边界条件）
E1t E2t
分量的边界条件（磁感应强度B的边界条件） B1n B2n 磁场切向分量的边界条件（磁场强度H的边界条件）H1t H 2t J S
直角坐标系中散度可表示为
F Fy F div F x z x y z
因此散度可用算符 表示 为
div F (ex ey ez ) (ex Fx ey Fy ez Fz ) F x y z
er , e , e
球坐标系
面元
体元
dV r sin drd d
2
球坐标系的长度元、面积元、体积元
在不同的坐标系中，标量场 的梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
ˆx ˆy ˆ a a az x y z
ˆr ˆ ˆ a a az 在柱坐标系中： r r z ˆR ˆ ˆ a a a 在球坐标系中： R R R sin
坐标变量 面元
圆柱坐标系
d S d dze d S d dze d S z d d ez
体元
dV d d dz
圆柱坐标系的长度元、面积元、体积元
3、球坐标系
坐标变量
r , ,
坐标单位矢量 位置矢量 线元
( ) 0
库仑定律
F21
R21
q2
q1q2 ˆ aR21 2 4π 0 R21
q1
其中：0 为真空中介电常数。
0
1 109 8.85 10 12 36π F/m
电场强度的计算
E
qqt q ˆ ˆ a a 2 R 2 R 4π 0 qt R 4π 0 R
dI J ˆ dV 体电流密度： J aI dS R
0 体电流矢量磁位： A 4 V '
麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式
麦克斯韦方程组的积分形式：
一般情况： D l H dl S ( J C t ) dS B l E dl S t dS D dS V dV
A点电位的计算公式 线电荷分布：
A
1 4π 0

A
E dl
dl

l
R
q 1 4π 0 RA
l
1 面电荷分布： 4π 0

S
R
S
dS
l P ln RP 2 0
电位与电场强度关系
1 体电荷分布： 4π 0

V
R
V
dz
z
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
o
x
dx d y dSx exdydz
y
体元
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
2、圆柱坐标系
, , z 坐标单位矢量 e , e , ez 位置矢量 r e ez z 线元 dl e d e d e dz z
散度定理（高斯定理） 1 A lim A dS V 0 V s