流体力学 第3章
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流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
流体力学第三章
精品课件
11.流体流动时，流场各空间点 的参数不随时间变化，仅随空 间位置而变，这种流动称为 （） A、恒定流； B、非恒定流； C、非均匀流；
D、均匀流；
精品课件
12.一般情况下，流线不能相交，但
在(
)处除外。
A 驻点；
B 奇点；
C相切点；
D 驻点、奇点和相切点
精品课件
13.流线与迹线，在通常情况下
均 可 能 沿 程 有 升 有 降；
（C） 总 压 线 及 位 压 线 总 是 沿 程
下 降 的， 势 压 线 沿 程 可 能 有 升
有 降；
（D） 总 压 线 沿 程 总 是 下 降 的，
势压线与位压线沿程可能有升
有 降。
精品课件
15. 流体在作恒定流动时，过流
场同一固定点的流线和迹线相互
(
)
A 平行；
同一条流线上两点A、B，A点的流速大 于B点的流速，则
（A）A 点 的 测 压 管 水 头>B 点 的 测 压 管 水 头； （B）A 点 的 测 压 管 水 头<B 点 的 测 压 管 水 头； （C）A 点 的 压 强 水 头>B 点 的 压 强 水 头； （D）A 点 的 压 强 水 头<B 点 的 压 强 水 头。 精品课件
D 前三种情况都有可能。
精品课件
18. 水 流 一 定 方 向 应 该
是（ ）
A. 从 高 处 向 低 处 流；
B. 从 压 强 大 处 向 压 强
小 处 流；
C. 从 流 速 大 的 地 方 向
流 速 小 的 地 方 流；
D. 从 单 位 重 量 流 体 机
械能高的地方向低的
地方流
11.流体流动时，流场各空间点 的参数不随时间变化，仅随空 间位置而变，这种流动称为 （） A、恒定流； B、非恒定流； C、非均匀流；
D、均匀流；
精品课件
12.一般情况下，流线不能相交，但
在(
)处除外。
A 驻点；
B 奇点；
C相切点；
D 驻点、奇点和相切点
精品课件
13.流线与迹线，在通常情况下
均 可 能 沿 程 有 升 有 降；
（C） 总 压 线 及 位 压 线 总 是 沿 程
下 降 的， 势 压 线 沿 程 可 能 有 升
有 降；
（D） 总 压 线 沿 程 总 是 下 降 的，
势压线与位压线沿程可能有升
有 降。
精品课件
15. 流体在作恒定流动时，过流
场同一固定点的流线和迹线相互
(
)
A 平行；
同一条流线上两点A、B，A点的流速大 于B点的流速，则
（A）A 点 的 测 压 管 水 头>B 点 的 测 压 管 水 头； （B）A 点 的 测 压 管 水 头<B 点 的 测 压 管 水 头； （C）A 点 的 压 强 水 头>B 点 的 压 强 水 头； （D）A 点 的 压 强 水 头<B 点 的 压 强 水 头。 精品课件
D 前三种情况都有可能。
精品课件
18. 水 流 一 定 方 向 应 该
是（ ）
A. 从 高 处 向 低 处 流；
B. 从 压 强 大 处 向 压 强
小 处 流；
C. 从 流 速 大 的 地 方 向
流 速 小 的 地 方 流；
D. 从 单 位 重 量 流 体 机
械能高的地方向低的
地方流
高等流体力学-3章
p 2 p ( 1 V 2 ) ( ) 0 x 1 V 2 t
（I）
（6）
（II）
5
又： dV V V ,
dx
x
t
dp p p dt , dx x t dx
同向膨胀波Vw2 Vw1 不交
Vw2 Vw1 互相削弱或抵消 Vw2 Vw1
不交
31
3.4激波管简介 （1）低压区 （3）高压区（V=0） (2)(4)高速区（5）高温区 接触面——另一种间断面 两侧气体p,V相等，但T, ,S不等，且互 不穿越
3
1
4
2
1
32
接触面
5
4
2
3
1
33
d dV a
15
动量方程：
p dp pA aA a dV a
dp dV p a
（17）
dp d dT 2 da p 1 T 1 a
代入 （17）：
2 da dV 0 1
2 a V const Q 即 1
p
由等熵关系，
பைடு நூலகம்
T 2 取对数后微分，可得 dp da a 1
11
c,
p
1
c, 和a 2 RT
代入（12）： 2 da dV 0 1
2 积分之： 1 a V P
（13）
2 a V Q 1
Riemann不变量 （14）
以未扰区音速 a1 无量纲化
（ 7）
对比（6）和（7），欲使（6）成为全微分方程，只须
dp （I）= dx dV （II）= dx
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学第3章流体静力学
√（c）质量力有势
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
24
(1)重力场中静止液体的压力公式
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m
M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33
由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
A V V
A
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
24
(1)重力场中静止液体的压力公式
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m
M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33
由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
A V V
A
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学-第3章
ux
uy
E
u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 ux u x dx u x dy u x dz x 2 y 2 z 2
v1
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
注1：在非恒定流情况下，流线会随时间变化。在恒定流情况下， 流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。故： 恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中流线与迹线不重合
流线动画
注2：迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在 不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同 一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉 观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者 仍是完全不同的概念。
恒定流动 质量守恒定律
1v1 A1dt 2 v2 A2 dt 3v3 A3 dt vAdt
1v1 A1 2 v2 A2 3v3 A3 vA
不可压缩流体 1 2 3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 vA Q
同理： 任一元流断面：dA1，d A2， …… 对应流速： u1， u2， ……
Qm
例6 如图气流压缩机用直径d1=76.2mm的管子吸入密度 ρ1=4kg/m3的氨气，经压缩后，由直径d2=38.1mm的管子以 v2=10m/s的速度流出 ，此时密度增至ρ2=20kg/m3 。求（1）质 量流量；（2）流入流速。 v
1
解：（1）质量流量为
Qm Q 2 v2 A2 20 10
一、流动的分类
1、恒定流和非恒定流(定常流和非定常流) 恒定流动：流动参量不随时间变化的流动。 u u ( x, y , z )
高等流体力学第三章
热力学第一定律 ,
1 de dq pd ( )dq
无热传导条件下 , dq 0 于是
de 0
f g g k G
即流体质点内能不变。 设外力只有重力，当Z轴垂直向上时
G gz
1 p ( uu ) g z C 2
3.3 克罗柯方程
热力学关系式
u ( r , t ) 因为 u 为单值函数，
D u D D u i d r d x i D t C D t D t () t C () t
2 u ud u d( ) 0 2 C (t) C (t)
沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上 的加速度的环量．
以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
正压流体
设流体的密度仅是压强的函数 场论公式
§3.1 开尓文定理
(p ) d r ( d x i d y j d z k ) ( ) i ( )j ( ) k x y z
p
d p r
因为δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有
p dp
开尓文定理
D D u d r D t C(t) D t
§3.1 开尓文定理
设理想流体,质量力有势且为单值函数,
D u p G D t
设正压流体
D p G d r D t Ct ( )
第 三 章 特殊方程
3.1 开尓文定理
欧拉方程
u 理想流体, ( u ) u p f t f G 设质量力有势且为单值函数, u p ( u ) u G 代入欧拉方程得 t
1 de dq pd ( )dq
无热传导条件下 , dq 0 于是
de 0
f g g k G
即流体质点内能不变。 设外力只有重力，当Z轴垂直向上时
G gz
1 p ( uu ) g z C 2
3.3 克罗柯方程
热力学关系式
u ( r , t ) 因为 u 为单值函数，
D u D D u i d r d x i D t C D t D t () t C () t
2 u ud u d( ) 0 2 C (t) C (t)
沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上 的加速度的环量．
以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
正压流体
设流体的密度仅是压强的函数 场论公式
§3.1 开尓文定理
(p ) d r ( d x i d y j d z k ) ( ) i ( )j ( ) k x y z
p
d p r
因为δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有
p dp
开尓文定理
D D u d r D t C(t) D t
§3.1 开尓文定理
设理想流体,质量力有势且为单值函数,
D u p G D t
设正压流体
D p G d r D t Ct ( )
第 三 章 特殊方程
3.1 开尓文定理
欧拉方程
u 理想流体, ( u ) u p f t f G 设质量力有势且为单值函数, u p ( u ) u G 代入欧拉方程得 t
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学第3章
相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。
22.04.2021
12
二、流体平衡条件
对于不可压缩均质流体，有
dpfxdxfydyfzdz
上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学
分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条
件是
f y f z z y
f z f x x z
f x f y y x
22.04.2021
15
第三节 重力场中流体的平衡帕斯卡原理
一、重力作用下的静力学基本方程式
P0
P2 P1 Z1 Z2
推导静力学基本方程式用图
22.04.2021
16
作用在液体上的质量力只有重力G=mg，其单位质 量力在各坐标轴上的分力为 fx=0，fy=0，fz=-g
代入压强差公式，得
dpgdz
及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地
方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表示，
则
pv pa p
如以液柱高度表示，则
hv
pv
g
pa p
g
式中hv称为真空高度。
22.04.2021
29
（1）当地大气压强是某地气压表上测得的压强值， 它随着气象条件的变化而变化，所以当地大气压强 线是变动的。
M点的绝对压强为 p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
M点的计示压强为 pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1
于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2计 算出被测点的绝对压强和计示压强值。
22.04.2021
37
• (2) 被测容器中的流体压强小于大气压强(即p<pa)：
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学选择题:.2dr v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（b）t；（c）（v ）v；v（V ）v（d）t odv va —— v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt t v（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d ）【3.6 ］变直径管，直径d i 320mm, d2 160mm，流速V i 1.5m/s。
V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。
V| — d；V2— d；解：按连续性方程，4 4 ，故V V虫1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随时间变化而变化；（d）与时间无关。
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第三章流体力学
因为时间∆ 极短，所以a 因为时间∆t极短，所以a1b1和a2b2 是两段极短的位移， 是两段极短的位移，在每段极短的位移 压强p 截面积S和流速v 中，压强p、截面积S和流速v都可看作 不变。 不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是 a b 1 1 处流体的压强、 a1b1与a2b2处流体的压强、截面积和流 p v 2 则后面流体的作用力是p S1， 速，则后面流体的作用力是p1S1，位移S2 1 所作的正功是p 是v1 ∆t，所作的正功是p1S1v1 ∆t ，而 h1 前面流体作用力作的负功是前面流体作用力作的负功是-p2S2v2 ∆t ， 由此， 由此，外力的总功是
A
3、流线 、
A
vB
B
在流体内做一微小的闭合曲线， 在流体内做一微小的闭合曲线，通 过其上各点的流线围成的管状区域称为流管。 过其上各点的流线围成的管状区域称为流管。 因为流线不可相交， 因为流线不可相交，则 在任意时刻， 在任意时刻，流体质点 只能在流管内部或流管 表面流动， 表面流动，而不能穿越 流管。 流管。
vS
v1
S2
§3.2 伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律， 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了 理想流体在管道中作稳定流动时， 理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压 流速v和高度h 强p、流速v和高度h三个量之间的关系为 ρv2 p + + ρ gh = 常量
2
式中ρ是流体的密度，g是重力加速度。试用功能 式中ρ是流体的密度， 是重力加速度。 a1 b1 原理导出伯努利方程。 原理导出伯努利方程。 我们研究管道中一段流体的p2 S2 v 1 运动。设在某一时刻， 运动。设在某一时刻，这段 a2 流体在a 位置， 流体在a1a2位置，经过极短 b2 h1 时间∆ 时间∆t后，这段流体达到 v h2 p S 2 b1b2位置 2 2
第3章_流体力学.
n
Cii i 1
2
x2
2
y 2
2
z 2
n i 1
Ci
2i
x2
2i
y 2
2i
z 2
0
• 速度也可叠加
vx
x
x
(a11
a22
a1v1x a2v2x anvnx
ann )
下冲气流在平壁上的流线与等位线
vx ax vy ay
EXIT
3.2、几种简单的二维位流
1、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
位函数为
ua vb
；
u a v b
x
y
d dx dy adx bdy
x y
ax by c
动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有υr，而没有v 。
设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是
Q 2rvr
vrBiblioteka Q21 r
流量是常数，故流速υr与半径成反比。
EXIT
3.2、几种简单的二维位流
流函数的表达式是
Q 或 Q arctg y
2
2
x
vr
1 r
EXIT
（4）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值 。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相 互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。
流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密 的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。
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时，在（2，4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流 还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？
§3.2 欧拉法的基本概念
【解】(1)加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
(4 y 6x) (4 y 6x)t(6t) (6 y 9x)t(4t)
(4 y 6x)(1 6t 2 6t 2 )
速度场
u u(x、y、z、t)
(3- 4)
§3.1 流体运动的描述
§3.1 流体运动的描述
3.1.2 欧拉法
压强场
p p(x、y、z、t)
(3- 6)
密度场
(x、y、z、t)
(3- 7)
式中，空间坐标x、y、z和时间变量t称为欧拉变数。
§3.1 流体运动的描述
3.1.3 流体质点的加速度，质点导数
i jk dx dy dz 0 ux uy uz
(x、y、z)
或物理量的时变导数为零
A 0 t
(3-12) (3 -13)
§3.2 欧拉法的基本概念
2. 一维、二维和三维流动 若各空间点上的流动参数（主要是速度）是三个空间 坐标（x，y，z）和时间变量的函数，流动是三维流动。
若流动参数只是两个 空间坐标（x，y）和时间 变量的函数，流动是二维 流动。
t
迁移加速度
ux
ux x
为正值
加速度
ax
ux
ux x
当地加速度 ux 0
t
迁移加速度
ux
ux x
0
加速度 ax 0
§3.1 流体运动的描述
欧拉法描述流体运动，质点的物理量，不论矢量还是 标量，对时间的变化率称为该物理量的随体导数或质点导 数。如物理量A =A(x，y，z，t)的随体导数
DA A (u)A Dt t
§3.2 欧拉法的基本概念
3.2.2 流 线 恒定流流线的形状和位置不随时间变化。
流线为平行直线的流动是均匀流。
§3.2 欧拉法的基本概念
2. 流线方程
根据流线的定义，过该点的速 度矢量 u与 ds共线，满足
dsu 0
(3 -15)
i jk
即
dx dy dz 0
ux uy uz
§3.2
欧拉法的基本概念
§3.1 流体运动的描述
3.1.1 拉格朗日法 朗格朗日法是把流体的运动，看作是无数个质点运动 的总和，以个别质点作为观察对象加以描述，将各个质点 的运动汇总起来，就得到整个流动。
朗格朗日法为识别所指定 的质点，用起始时刻的坐标（a、 b、c）作为该质点的标志，其 位移是起始坐标和时间变量的 连续函数。
i
j
k
x y z
(3-9) (3 -10)
§3.1 流体运动的描述
式中 u——当地加速度（时变加速度，不稳定性引起）
t
(u )u——迁移加速度（位变加速度，不均匀性引起）
当地加速度 ux 为负值
t
迁移加速度
ux
ux x
为正值
加速度
ax
ux t
ux
ux x
§3.1
流体运动的描述
当地加速度 ux 0
ux x
uy
ux y
)i (ux
uy x
uy
uy y
)j
0
此流动是均匀流。
§3.2 欧拉法的基本概念
1. 流线的概念
3.2.2 流 线
流线是速度场的矢量线，它是某一确定时刻，在速度 场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量 都与曲线相切。
流线在一般情况下不相交，只在一些特殊点相交。流 线是光滑的曲线或直线。
若流动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，流 动是一维流动，如管道和渠道内的流动。
§3.2 欧拉法的基本概念
3. 均匀流和非均匀流
若质点的迁移加速度为零，即
(u)u 0
(3 -14)
流动是均匀流，反之是非均匀流。
【例3-1】已知速度场 u（4y 6x)ti。(6试y 问9x：)tj（1）t=2s
欧拉法的速度表达式u=u(x，y，z，t)中的坐标x，y，z 是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时 间t的函数x=x(t) 、 y=y(t)、 z=z(t)。因此加速度需按复合函 数求导法则导出。
a Du u udx udy udz Dt t x dt y dt z dt u u u u
(3 -11)
式中
A t
和
(u
)
A
分别称为物理量A的时变导数和位变
导数。
例如密度的随体导数
D (u) 0
Dt t
§3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1 流动的分类
1. 恒定流和非恒定流
以时间为标准，若各空间点上的流动参数皆不随时间 变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流。
对恒定流
u u(x、y、z) p p(x、y、z)
速度 加速度
§3.1 流体运动的描述
ux
x t
x(a、b、c、t) t
uy
y t
y(a、b、c、t) t
uz
z t
z(a、b、c、t) t
ax
ux t
2x t 2
ay
uy t
2 y t 2
az
uz t
2z t 2
(3-2) (3-3)
§3.1 流体运动的描述
3.1.2 欧拉法
欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻 各空间点上流体质点的运动参数，即研究运动流体所占空 间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时 间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变 化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变 化。从而得出整个流体的运动情况。
以t=2s，x=2，y=4，代入上式，得
ax 4m/s 2
同理
ay 6m/s2
a ax2 ay2 7.21m/s2
§3.2 欧拉法的基本概念
(2)速度的时变导数
u
ux
i
u
y
j (4y 6x)i (6y 9x) j 0
t t t
此流动是非恒定流。
(3)迁移加速度
(u )u
(ux
§3.1 流体运动的描述
x x(a、b、c、t) y y(a、b、c、t) z z(a、b、c、t)
(3-1)
式中 a、b、c、t称为拉格朗日变数。
当研究某一指定的流体质点时，起始坐标a、b、c是 常数，上式为该质点的运动轨迹。
将式（3-1）对时间求一阶和二阶偏导数，在求导过 程中a、b、c 视为常数，便得该质点的速度和加速度。
t ux x uy y uz z
(3 - 8)
§3.1 流体运动的描述
分量形式
ax
ux t
ux
ux xuyFra bibliotekux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
上式也可表示为
a Du u (u)u Dt t
算子
§3.2 欧拉法的基本概念
【解】(1)加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
(4 y 6x) (4 y 6x)t(6t) (6 y 9x)t(4t)
(4 y 6x)(1 6t 2 6t 2 )
速度场
u u(x、y、z、t)
(3- 4)
§3.1 流体运动的描述
§3.1 流体运动的描述
3.1.2 欧拉法
压强场
p p(x、y、z、t)
(3- 6)
密度场
(x、y、z、t)
(3- 7)
式中，空间坐标x、y、z和时间变量t称为欧拉变数。
§3.1 流体运动的描述
3.1.3 流体质点的加速度，质点导数
i jk dx dy dz 0 ux uy uz
(x、y、z)
或物理量的时变导数为零
A 0 t
(3-12) (3 -13)
§3.2 欧拉法的基本概念
2. 一维、二维和三维流动 若各空间点上的流动参数（主要是速度）是三个空间 坐标（x，y，z）和时间变量的函数，流动是三维流动。
若流动参数只是两个 空间坐标（x，y）和时间 变量的函数，流动是二维 流动。
t
迁移加速度
ux
ux x
为正值
加速度
ax
ux
ux x
当地加速度 ux 0
t
迁移加速度
ux
ux x
0
加速度 ax 0
§3.1 流体运动的描述
欧拉法描述流体运动，质点的物理量，不论矢量还是 标量，对时间的变化率称为该物理量的随体导数或质点导 数。如物理量A =A(x，y，z，t)的随体导数
DA A (u)A Dt t
§3.2 欧拉法的基本概念
3.2.2 流 线 恒定流流线的形状和位置不随时间变化。
流线为平行直线的流动是均匀流。
§3.2 欧拉法的基本概念
2. 流线方程
根据流线的定义，过该点的速 度矢量 u与 ds共线，满足
dsu 0
(3 -15)
i jk
即
dx dy dz 0
ux uy uz
§3.2
欧拉法的基本概念
§3.1 流体运动的描述
3.1.1 拉格朗日法 朗格朗日法是把流体的运动，看作是无数个质点运动 的总和，以个别质点作为观察对象加以描述，将各个质点 的运动汇总起来，就得到整个流动。
朗格朗日法为识别所指定 的质点，用起始时刻的坐标（a、 b、c）作为该质点的标志，其 位移是起始坐标和时间变量的 连续函数。
i
j
k
x y z
(3-9) (3 -10)
§3.1 流体运动的描述
式中 u——当地加速度（时变加速度，不稳定性引起）
t
(u )u——迁移加速度（位变加速度，不均匀性引起）
当地加速度 ux 为负值
t
迁移加速度
ux
ux x
为正值
加速度
ax
ux t
ux
ux x
§3.1
流体运动的描述
当地加速度 ux 0
ux x
uy
ux y
)i (ux
uy x
uy
uy y
)j
0
此流动是均匀流。
§3.2 欧拉法的基本概念
1. 流线的概念
3.2.2 流 线
流线是速度场的矢量线，它是某一确定时刻，在速度 场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量 都与曲线相切。
流线在一般情况下不相交，只在一些特殊点相交。流 线是光滑的曲线或直线。
若流动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，流 动是一维流动，如管道和渠道内的流动。
§3.2 欧拉法的基本概念
3. 均匀流和非均匀流
若质点的迁移加速度为零，即
(u)u 0
(3 -14)
流动是均匀流，反之是非均匀流。
【例3-1】已知速度场 u（4y 6x)ti。(6试y 问9x：)tj（1）t=2s
欧拉法的速度表达式u=u(x，y，z，t)中的坐标x，y，z 是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时 间t的函数x=x(t) 、 y=y(t)、 z=z(t)。因此加速度需按复合函 数求导法则导出。
a Du u udx udy udz Dt t x dt y dt z dt u u u u
(3 -11)
式中
A t
和
(u
)
A
分别称为物理量A的时变导数和位变
导数。
例如密度的随体导数
D (u) 0
Dt t
§3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1 流动的分类
1. 恒定流和非恒定流
以时间为标准，若各空间点上的流动参数皆不随时间 变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流。
对恒定流
u u(x、y、z) p p(x、y、z)
速度 加速度
§3.1 流体运动的描述
ux
x t
x(a、b、c、t) t
uy
y t
y(a、b、c、t) t
uz
z t
z(a、b、c、t) t
ax
ux t
2x t 2
ay
uy t
2 y t 2
az
uz t
2z t 2
(3-2) (3-3)
§3.1 流体运动的描述
3.1.2 欧拉法
欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻 各空间点上流体质点的运动参数，即研究运动流体所占空 间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时 间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变 化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变 化。从而得出整个流体的运动情况。
以t=2s，x=2，y=4，代入上式，得
ax 4m/s 2
同理
ay 6m/s2
a ax2 ay2 7.21m/s2
§3.2 欧拉法的基本概念
(2)速度的时变导数
u
ux
i
u
y
j (4y 6x)i (6y 9x) j 0
t t t
此流动是非恒定流。
(3)迁移加速度
(u )u
(ux
§3.1 流体运动的描述
x x(a、b、c、t) y y(a、b、c、t) z z(a、b、c、t)
(3-1)
式中 a、b、c、t称为拉格朗日变数。
当研究某一指定的流体质点时，起始坐标a、b、c是 常数，上式为该质点的运动轨迹。
将式（3-1）对时间求一阶和二阶偏导数，在求导过 程中a、b、c 视为常数，便得该质点的速度和加速度。
t ux x uy y uz z
(3 - 8)
§3.1 流体运动的描述
分量形式
ax
ux t
ux
ux xuyFra bibliotekux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
上式也可表示为
a Du u (u)u Dt t
算子