01 第一节函数

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经济数学01

1.1 函数
例7 某化工厂生产的化肥，若每袋售价为50元，每月可销售10 000袋；
若每袋售价降5元，每月可增售2 000袋.试求该化肥的线性需求函数.
解
以Q表示需求量，p表示价格，根据线性需求函数公式
可得
Q a bp
解之得
10 12
000 000
a a
50b， 45b
因此可得
a b
30 000， 400
y 1 x2，y cos2 x，y ln x cos x sin x
等都是初等函数.
1.1 函数
1.1.5 常见经济函数
1.需求函数
需求是在一定的时期，在一既定的价格水平下，消费者愿意并且能够购买的商品数量.在某一价格下，消费者愿意购买的某一商品的总数量称为需求量.一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p关系密切. 通常，降低商品价格可使需求量增加，提高商品价格将使需求量减少.
不是相同的函数.
1.1 函数
若函数 y f (x) 在它的定义域的不同区间(或不同点)上有不同的表达式，则称这个函数为分段函数.
1，x 0 例如，函数 y sgn x 0，x 0 称为符号函数，它就是一
1，x 0
个分段函数，其定义域D (， )，值域 W 1，0 ，1 ，其
图形如图1-1所示。
周期函数的周期有无穷多个，通常所说的周期指的是最小正周期.周期函数的特征是：在定义域内每个长度为T 的区间上，函数图像有相同的形状.例如，正弦函数y=sinx 为周期函数，周期为2π，且在每个长度为的2π区间上，函数图像有相同的形状.
1.1 函数
1.1.3 反函数
引例
设某种商品的单价为p，销售量为x，则收入y是销售量x的函数，即 y px，

《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章函数、极限、连续高等数学第一章第9-10节

12
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察各极限
lim sin x x0 x

01第一章函数与极限

高等数学教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用教师姓名：________________________教学班级：________________________2005年9月1至2006年1月10微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念★集合的运算★区间★例1 ★邻域★函数概念★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★函数的表示法★分段函数举例★例7★函数关系的建立★例8 ★例9函数的特性★有界性★例10 ★单调性★例11★奇偶性★例12 ★例13★周期性★例14 ★例15★内容小结★课堂练习★ 习题 1- 1★ 返回内容要点：一、集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域；二、函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、函数关系的建立：为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；四、函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1 解下列不等式, 并将其解用区间表示.(1) ;312<-x (2) ;323≥+x (3) ().9102<-<x例2 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域{}.2=f R 例3（讲义例1）绝对值函数 ⎩⎨⎧<-≥==0,,||x x x x x y 例4判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) 1=y 与;cos sin 22x x y += (2) 12+=x y 与12+=y x .例5求函数 2112++-=x xy 的定义域. 例6 求函数()()245sin 3lg x x xx x f -++-=的定义域. 例7 设(),21,210,1⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f求函数()3+x f 的定义域.例8（讲义例4）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例9（讲义例5）某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.例10 证明(1)（讲义例6）函数 12+=x xy 在),(+∞-∞上是有界的; (2) 函数21xy =在()1,0上是无界的.例11（讲义例7）证明函数xxy +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数. 例12（讲义例8）判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性. 例13 判断函数()()1111ln 11<<-+-+-=x xxe e xf xx 的奇偶性. 例14（讲义例9）设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数)(b ax f +的周期，其中b a ,为常数，且0>a .例15 若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.例6（讲义例2）符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,1,0,0,0,1s g nx x x x y 例3（讲义例3）取整函数 ],[x y = 其中，][x 表示不超过x 的最大整数.函数的有界性：函数的增减性：函数的奇偶性：函数的周期性：课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性.3.设b a ,为两个函数, 且b a <. 对于任意实数x , 函数()x f 满足条件: ()(),x a f x a f +=- 及()()x b f x b f +=-证明: ()x f 以()a b T -=2周期.第二节初等函数内容分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 复合函数 ★ 例3-4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 幂函数、指数函数与对数函数★ 三角函数 ★ 反三角函数★ 初等函数 ★ 函数图形的迭加与变换★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-2 ★ 返回内容要点：一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、复合函数的概念四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.例题选讲：求反函数例1（讲义例1）求函数xx y 411411+++-=的反函数.例2 已知x x x x x sgn ,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=为符号函数,求()x x y sgn 12+=的反函数.函数的复合例3（讲义例2）设 u u f y sin )(==，1)(2+==x x u ϕ，求)]([x f ϕ. 例4 （讲义例3）设 u u f y arctan )(==，tt u 1)(==ϕ，)(x t φ=12-=x ，求 )]}([{x f φϕ. 例5 设(),1+=x x f (),2x x =ϕ 求()[]x f ϕ及()[],x f ϕ 并求它们的定义域. 例6（讲义例4）将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) ;sin ln 2x y = (2) ;2arctan x e y =(3) ).12ln(cos 22x y ++= 例7（讲义例5）设,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ求)].([x f ϕ例8 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 求().x f课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =若能, 写出其解析式、定义域、值域. .1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan x e y =的复合结构.第三节常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.内容分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 ★ 返回内容要点：一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(nn r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.三、贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为nr Rp )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nnr R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++=式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.nr )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q fp -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系. 六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca bd p ≡--=这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利; 当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲：单利与复利例1（讲义例1）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?贴现例2（讲义例2）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?市场均衡例3（讲义例3）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.例4（讲义例4）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.成本函数例5（讲义例5）某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.收入函数与利润函数例6（讲义例6）某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 例8（讲义例7）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.课堂练习 1．（1）设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q . （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.第四节数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.内容分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例7★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性★ 内容小结★ 习题1-4 ★ 返回内容要点：一、数列的定义二、数列的极限：N -ε论证法，其论证步骤为：（1）任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2）上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ；（3）取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、收敛数列的有界性四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性六、子数列的收敛性例题选讲：数列的极限例1（讲义例1）证明 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例2 设C C x n (≡为常数），证明C x n n =∞→lim .例3 证明 ,0lim 0=→nn q 其中.1<q例4 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证 .lima x n n =∞→例5 用数列极限定义证明 323125lim-=-+∞→n n n .例6（讲义例2）用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 例7（讲义例3）证明数列1)1(+-=n n x 是发散的.课堂练习 1．设,0>p 证明数列pn n x 1=的极限是0.第五节函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列{}n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大（∞→n ）时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容分布图示★ 自变量趋向无穷大时函数的极限★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 自变量趋向有限值时函数的极限★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 左右极限 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 函数极限的性质 ★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 ★ 返回内容要点：一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限三、左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性有界性保号性五、子序列的收敛性例题选讲：自变量趋于无穷大时函数的极限例1（讲义例1）用极限定义证明 .0sin lim=∞→xxx例2（讲义例2）用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)（讲义例3）利用定义证明 C C x x =→0lim （C 为常数）.(2) 证明 .lim 00x x x x =→例5（讲义例4）利用定义证明 211lim 21=--→x x x .例6 证明: 当00>x 时, 00lim x x x x =→.例7 验证xx x 0lim→不存在.左右极限的概念例8（讲义例5）设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 例9 设(),0,10,12⎩⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ().lim 0x f x → 例10（讲义例6）设 ,2121)(11xx x f +-=求 ).(lim 0x f x →子序列的收敛性例7（讲义例7）证明 xx 1sinlim 0→ 不存在.课堂练习 1. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0,80,20,1sin )(2x x x x x x x f ,试问函数在0=x 处的左、右极限是否存在? 当0→x 时, )(x f 的极限是否存在?2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第六节无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.内容分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 无穷大与无界变量★ 无穷小与无穷大的关系 ★ 例6★ 内容小结★ 习题1-6 ★ 返回内容要点：一、无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念四、无穷小与无穷大的关系例题选讲：无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 例2（讲义例1）求 x xx sin lim ∞→.无穷大的概念例3（讲义例2）证明 ∞=-→11lim1x x .例4 证明 ()().11lim >+∞=-+∞→a a xx例5（讲义例3）当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大的关系例6（讲义例4）求 5lim 34+∞→x x x .课堂练习1. 求 .)1(22lim22--∞→x xx x第七节极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形.内容分布图示★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例 12 ★ 例 13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-7 ★ 返回内容要点：一、极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、复合函数的极限运算法则：定理2定理2 （复合函数的极限运算法则）设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成, )]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 若,)(lim ,)(lim 00A u f u x g u u x x ==→→且存在,00>δ 当),(00δx U x∈时, 有0)(u x g ≠, 则.)(lim )]([lim 0A u f x g f u u x x ==→→例题选讲：极限的四则运算例1（讲义例1）求 )53(lim 22+-→x x x .例2（讲义例2）求 27592lim 223---→x x x x .例3（讲义例3）求 3214lim21-+-→x x x x .例4（讲义例4）求 321lim 221-+-→x x x x .例5（讲义例5）求 147532lim 2323-+++∞→x x x x x .例6（讲义例6）计算.231568lim323-+++∞→x x x x x例7（讲义例7）求 .21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n例8 计算 ()()()();1111lim3431x x x x x ----→例9（讲义例8）求 ).sin 1(sin lim x x x -++∞→例10 计算下列极限：（1）;1!sin lim32+∞→n n n n （2）.2tan lim /10x x ex+→ 例11（讲义例9）已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→复合函数的极限运算法则例12（讲义例10）求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 例13（讲义例11）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x , 求b a ,之值.课堂练习1. 求极限: .231lim)2(;lim )1(31sinxx ex xx x +-++∞→→2.在某个过程中, 若)(x f 有极限, )(x g 无极限, 那么)()(x g x f +是否有极限? 为什么?第八节极限存在准则两个重要极限内容分布图示★ 夹逼准则★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★1sin lim0=→xxx★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ e n xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ★ 例19 ★ 例21 ★ 例22★ 例23★ 例24 ★ 25★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8★ 返回内容要点：一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:a) ),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; b) ,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r , 按复利付息, 若一年分m 次付息, 则第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算rt mtm pe m r p s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1lim若要t 年末的本利和为s , 则初始本金rt se p -=.例题选讲：夹逼准则的应用例1（讲义例1）求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求.)321(lim 1n n n n ++∞→例3 求 ()().1111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ().1lim >∞→a a nn n例5 求 ().0!lim >∞→a n a nn 例6（讲义例2）求 .!limnn n n ∞→ 例7（讲义例3）求 .lim n n n ∞→例8（讲义例4）求证).0(1lim >=∞→a a n n例9（讲义例5）求极限.1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x单调有界准则的应用例10（讲义例6）设有数列31=x ，,,312 x x +=13-+=n n x x ,求 .lim n n x ∞→例11 设 0>a 为常数, 数列 n x 由下列定义: ),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n x a x x n n n 其中0x 为大于零的常数，求.lim n n x ∞→ 两个重要极限的应用例12（讲义例7）求 xxx tan lim0→.例13 求 .5sin 3tan lim0xxx →例14（讲义例8）求 .cos 1lim 20xxx -→ 例15 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x例16 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→例17 计算 ;cos sin 1lim2xx x x x -+→例18（讲义例9）求 3sin 2tan 2limxxx x +-+→. 例19（讲义例10）求 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .例20（讲义例11）求 ().21lim /10xx x -→例21（讲义例12）求 xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim 例22（讲义例13）求 .23lim 2xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→例23 求 .1lim 22xx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ 例24 计算 ().lim /10xxx xe +→例25 求极限 ().tan lim 2tan 4/xx x π→连续复利例26（讲义例14）一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本利和A .注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.课堂练习1. 求极限 .sin sin tan lim20xx xx x -→ 2. 求极限.)93(lim 1x x xx ++∞→第九节无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 例1 2 ★ 等价无穷小的充要条件★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 ★ 返回内容要点：一、无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=定理2 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较. （1）;233+-x x （2）;lg x （3）().11sin1--x x 例4 证明.~1x e x -例5（讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例6）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例7）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8求 ().1cos 11lim3/120--+→x x x例9（讲义例8）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 ().1ln lim 2cos 0x x e e xx x x +-→例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 例12 求 ()().cos sec 1ln 1ln lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例9）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→等价无穷小的应用：例3（讲义例3）证明: 11lim0=-→xe x x . 例5（讲义例5）设,0≠α证明: .11)1(lim 0=-+→xx x αα无穷小等价替换定理的应用：课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?第十节函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7★ 函数的间断点 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-10 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点跳跃间断点可去间断点；第二类间断点无穷间断点振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例4）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.。

第01章_复变函数

a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π

高等数学第01章：函数及其性质

果有一个对应法则 ,使得f对于每一个数值 x ,D变量都y有唯一确定的数值与之对应,则称变量是变y量的函数x ,记为
y f x, x D,
其中 x称为自变量, 称y 为因变量.集合称D为函数的定义域,记为 . D f
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0对应的 y 的
x3 y3 1 0 的显函数形式为y 3 1 x3 .而有的
隐函数则不能改写成显函数的形式,如
sinxy ex y 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐
函数的显化.
在函数的定义中,规定了对于变量的x每一个数值,变量有y唯一确定的数值与之对应,这样的函数称为单值函数;如果变量有两个y 或更多个确定的数值与之对应,就称是的y 多值x 函数,我们主要研究单值函数.
的周期.
显然,若是T周期函数的f 周x期,则也是kT f x的周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
如函数y sin x 和 y cosx 都是以2 为周期的周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法
1.解析法
例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t,下落的距离为 ,假s定开始下落的时刻为 ,那t 么0 与 s t
之间的依赖关系由下式给出:
s 1 gt2 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解析式表示,这成为分段函数.如符号函数

01第一章：集合与函数概念知识点总结

01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。

（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。

（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。

2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。

3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。

高等数学-01第一章第1节函数

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七、复合函数初等函数
1.复合函数设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分；（2）多元函数微积分；
（3）无穷级数；
（4）向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像；集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数

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0 1
第一节导数的概念及基本求导公式
0 2
第二节导数的计算法则
0 3
第三节微分的概念与应用
0 4
第四节微分中值定理及其应用
0 5
*第五节泰勒中值定理
0 6
第六节函数的性态与图形
第七节微分学的实际应用
本章小结
章节测试二拓展阅读
第三章一元函数积分学及其应用
0 1
《高等数学（上册）》
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目录
01 第一章函数、极限与连续
03
第三章一元函数积分学及其应用
02
第二章一元函数微分学及其应用
04 第四章微分方程来自本书是按照教育部大学数学教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前高等数学教材的精华，并结合数年来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本书为上册，是一元函数微积分部分，共四章，主要内容包括函数极限与连续，一元函数微分学及其应用，一元函数积分学及其应用，微分方程。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测试和拓展阅读。本书注重知识点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，适当降低了学习难度，对部分内容调整了顺序，使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例题的多样性和习题的丰富性、层次性，使读者在学习数学知识点的同时拓宽了视野，欣赏数学之美。本书可作为高等院校理工科类各专业的教材，也可作为社会从业人员的自学参考用书。
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第一章函数、极限与连续

专题01 函数定义域问题(学)

【变式演练4】
8.已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【变式演练5】9. 已知函数，则函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【变式演练6】10.已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
方法三实际问题的定义域
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内容
使用场景
函数的实际应用问题
方法一直接法
万能模板
内容
使用场景
函数的解析式已知的情况下
解题模板
第一步找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
（1）分式中分母不为0；
（2）偶次方根中被开方数非负；
（3）的底数不为零；
（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
（5）正切函数的定义域为 .
第二步列出不等式（组）；
30. 函数的定义域是______.
31.函数的定义域为_____.
32. 函数的定义域为________.
33. 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.
34.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.
(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域：
只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域.
【例4】
7.求下列函数的定义域：
（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域.
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域.
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.

01-一次函数的概念和图像-学生版

1、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．知识结构知识精讲模块一：一次函数的概念一次函数的概念及图像【例1】（1）一次函数y kx b =+（0k ≠），当_________时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的_________情况．（2）已知函数y =（a -2）x +1-2b 是一次函数，则a __________，b _____________．【难度】★ 【答案】【解析】【例2】下列函数中，哪些是一次函数?（1）12y x =；（2）2y x =-+；（3）2(21)y x x =-+；（4）5y x=；（5）2y x x =-；（4）()()y ax bx a a b =-+≠．【难度】★ 【答案】【解析】【例3】根据变量x ，y 的关系式，判断下列函数是什么函数？（1）1y x -=；（2）2xy =-；（3）33(1)x y +=+．【难度】★ 【答案】【解析】【例4】已知一个一次函数，当自变量3x =时，函数值为1y =-；当2x =时，8y =．求这个函数的解析式．【难度】★ 【答案】【解析】【例5】已知一次函数1()13f x x =-，（1）求(9)f -，3()2f ；（2）如果f （a ）= 4，求实数a 的值．【难度】★ 【答案】【解析】【例6】已知一次函数()2135m y m x +=--，求实数m 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例7】已知一次函数y kx b =+的图像经过点(20)，、(02)-，，求k b -的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例8】已知两个变量y 与x 的关系式是21(2)2a y a x a -=--，当y 是关于x 的一次函数时，那么函数是否经过点(35)，与点(11)--，？【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】已知y 与x 的关系式是(3)y a x a =-+（其中a 是常数），那么y 是x 的一次函数吗?请说明．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例10】已知一次函数解析式为()21345m y m x x +=-+-，求实数m 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】师生总结1、函数、是不是一次函数？2、你学过哪些实际问题中含有一次函数关系的，请举例．如=1、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ． 3、一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．【例11】在下面平面直角坐标系中，利用描点法画下列一次函数的图像：（1）12y x =-；（2）1122y x =-．并根据所画的图像求出两个函数交点坐标．【难度】★ 【答案】【解析】例题解析知识精讲模块二：一次函数的图像【例12】若一次函数2(2)(4)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像．【难度】★ 【答案】【解析】【例13】写出下列直线的截距：（1）34y x =-；（2）12(2y x =；（3）y -4=2（x -3）；（4）y -x =0．【难度】★ 【答案】【解析】【例14】若一次函数y = k (x +1)-2的图像在y 轴上的截距是-4，求这个一次函数的解析式．【难度】★ 【答案】【解析】【例15】若直线y = kx +b 与直线y =2x -3无交点，且直线y = kx +b 的截距是-9，求这个一次函数的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例16】某一次函数解析式向下平移5个单位可得13y x=-+，（1）求该一次函数的解析式；（2个单位后得到的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例17】若把函数y=2x-1的图像向下平移2个单位，再向左平移1个单位，求平移后的函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例18】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过点（3，2）以及点（1，1）；（2）直线经过点（7，0）以及截距是14；（3）直线经过点(30)-，以及截距是【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知直线y kx b=+经过点(12)A-，和点1(3)2B，，求这个一次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例20】根据已知条件求出一次函数解析式：（1）与直线3y x=-平行，且截距是-2017；（2）经过点(11)-，，且与直线1y=-平行；（3）与直线213y x=--平行，且与x轴交点离原点距离为1．【难度】★★【答案】【解析】【例21】某函数解析式通过向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得直线y x=-+求该函数的解析式，并求出其截距．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知一次函数1y x=-+的图像与y=-2x-5相交于点B，两个函数分别与x轴相交于A、C两点，求△ABC的面积．【难度】★★★【答案】【解析】1、一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）与x 轴交点坐标为(0)b k-，，与y 轴交点坐标为(0)b ，，当0b ≠时，一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，且其面积公式为22b S k∆=．【例23】根据下列函数解析式，判断其是否能与坐标轴围成三角形，如果能，请求出该三角形的面积．（1）21y x =-；（2）2y x =--；（3）213y x =+．【难度】★★ 【答案】【解析】【例24】已知直线3y x b =+与坐标轴围成的三角形面积为18，求b 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析知识精讲模块三：简单的数形结合xyO【例25】求下列两组一次函数的交点坐标：（1）2y x=-+与31y x=-；（2）312xy-=与32y x=-．【难度】★★【答案】【解析】【例26】如图，直线AC与直线BD交于点E，其中点(02)A，、点(01)B，、点(23)C，，点3(2)2D，，求出△ABE的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例27】已知两条直线123y x=-和25y x=-.（1）求出它们的交点A坐标；（2）求出这两条直线与x轴围成的ABC的面积．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEO yxOxyBD AC P 【例28】如图，已知一条直线经过点A （0，4）和点B （2，0），将这条直线向左平移与x负半轴、y 负半轴分别交于点C 、D ，使得BD =CD ，求CD 所在直线的函数解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例29】如图，一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A (2，0)，B (0，4)．（1）求该函数的解析式；（2）若O 为坐标原点，设AB 、OA 的中点分别为D 、C ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】如图，反比例函数2y x=的图像与一次函数的图像交于点(2)A m ，，点(2)B n -，，一次函数图像与轴的交点为C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求一次函数的解析式；（3）求△ABC 的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】b kx y +=CDABxy【习题1】下列说法正确的是（）A ．正比例函数是一次函数B ．一次函数是正比例函数C ．正比例函数不是一次函数D ．不是正比例函数就不是一次函数【难度】★ 【答案】【解析】【习题2】已知函数2(1)1y k x k =-+-，当k ________时，它是一次函数；当k _______时，它是正比例函数．【难度】★ 【答案】【解析】【习题3】根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?（1）23y x +=-；（2）21xy x =-；（3）31x y -+=-；（4）30.382016yx =+；（5）32x y x-=；（6）y kx b =+．【难度】★ 【答案】【解析】【习题4】当m 为何值时，函数23(2)(4)m y m x m -=--+-是一次函数．【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测x【习题5】在同一直角坐标系内画出下列一次函数图像：（1）32y x =-；（2）34y x =-+．【难度】★ 【答案】【解析】【习题6】已知一次函数23()32f x x =-，（1）求(1)f -，(3)f ；（2）如果5()2f a =，求实数a 的值；（3）求该一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】在同一坐标系中，对于函数①1y x =--，②1y x =+，③1y x =-+，④2(1)y x =-+的图象，通过点（-1，0）的是___________，相互平行的是__________，两条函数图像交点在y 轴上的是___________．（填写序号）【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】已知直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标为2，与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1，求直线l 的函数关系式．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】根据下列要求求一次函数解析式：（1）一次函数经过A (23)，且其与y 轴的截距为-2；（2）一次函数的截距为-5，且与31y x =--无交点；（3）一次函数的图像经过原点，且其经过A (3)(0)a a a ≠，．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题10】一次函数2(4)(1)y m x m =-+-和2(1)3y m x m =-+-的图象与y 轴分别交于点P和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =______．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题11】当k 为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限? 【难度】★★ 【答案】【解析】yxD -1.53CA (4,0)BO 【习题12】如图，△ACB 是边长为6的等边三角形，求：（1）点A 的坐标；（2）求直线AC 、AB 的解析式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题13】一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图象经过点(21)-，，（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积；（3）求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题14】如图所示，直线L 1的解析表达式为33y x =-+，且L 1与x 轴交于点D ，直线L 2经过点A ，B ，直线L 1，L 2交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线L 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；（4）在直线L 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】O ABCx yyxABO 【习题15】已知直线3y x =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】判断下列函数类型：（1）33y x =-；（2）32y x=；（3）52x y -=；（4）33(1)y x -=-；（5）722y x =-；（6）2016y x =．【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】已知1()22f x x =-，求：（1）1(3)()2f f ，；（2）若()1f a =，求a 的值．【难度】★ 【答案】【解析】课后作业x【作业3】在同一坐标系内画出下列一次函数图像：（1）21y x =-；（2）23y x =+；【难度】★ 【答案】【解析】【作业4】一次函数24y x =-+的图象与x 轴交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是__________，与坐标轴围成的三角形面积是___________．【难度】★ 【答案】【解析】【作业5】函数28(3)m y m x m -=-+的图像是一条倾斜的直线，求m 的值．【难度】★ 【答案】【解析】【作业6】根据下列条件求解相应函数解析式：（1）直线经过点(45)，且与x 轴无交点；（2(1．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业7】直线y kx b =+与坐标轴只有一个公共点，且其还经过1)，求k b +的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业8】直线y kx b =+与直线54y x =-平行，且与直线3(6)y x =--相交，交点在y 轴上，求此直线的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】把直线y x =-先向上平移求平移后的函数与坐标轴所围成的三角形面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业10】如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3，4），B 为一次函数与y 轴的交点，且OA=OB ．（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业11】一次函数y kx b=+的截距为-2，且其与坐标轴所围成的三角形面积为1，求该一次函数的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】【作业12】一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形面积为2，且其经过(11)，，求该一次函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】。

第01讲_函数的概念与定义域(学生版)A4

第01讲函数的概念与定义域一. 函数的定义1. 传统定义：在某个变化过程中有两个变量,x y，如果对于在某个范围内的任何一个，都有唯一的y值与之对应，则成y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量.2. 现代定义：设,A B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作()()y f x x A=∈，其中x叫做自变量，x的取值集合A 叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x B∈叫做函数的值域．二. 相同函数x的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域()f A和对应法则f.当函数的定义域A函数的概念与表示因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的符号没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.三. 区间的概念及表示设,a b 是两个实数，且a b <，则,a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.四. 映射1．对应关系设有两个非空集合,A B ,如果有法则f ，把集合A 和集合B 的一个子集的元素联系起来，那么就形成了集合A 到集合B 的一个对应．它是两个集合中的元素之间的一种联系．2. 映射的概念设,A B 是两个非空集合，按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，那么，这样的对应关系就叫从集合A 到集合B 的3. 象与原象若f 是从A 到B 的映射，那么与A 中的元素x 对应的B 中的元素y 叫做x 的象，x 称为原象． 4. 一一映射如果f 是从集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，我们称这个映射为从集合A 到集合B 的一一映射 5. 函数与映射的关系对于定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化，所以函数也就是非空数集到非空数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.五. 函数的表示方法1. 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2. 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质． 3. 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．一. 注意事项1. 函数符号()y f x =意义是“y 是x 的函数”，可以用任意的字母表示，如“()y g x =”；其中的()f x 表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ；2. ()f a 与()f x 既有区别又有联系，()f a 表示当自变量x a =时函数()f x 的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，一般情况下是一个变量；()f a 是()f x 在x a =时的一个特殊值。

高等数学上册第一章函数与极限

例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记 ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切
y
1 y th x
或
交集 A B x
且
差集 A \ B x
且 xB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x , y) x A, y B
特别有 R R 记 R 2
为平面上的全体点集
A B
B A
A\B AB
AB BAc
B AB
A
返回
集合运算法则：
（1）交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;
f
f 1
f (D)
的逆映射记成 y f 1(x) , x f (D)
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射
定义设有映射链
g xD
f u D1
u g(x) g(D)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D) f g
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,

01函数f(x)的符号概要

函数)(x f 的符号知道了圆的周长，就能算出它的面积。

为什么能算出来呢？因为圆的周长和它的面积这两个数量之间有联系。

有联系，是不是就一定能算出来呢？平行四边形的周长和它的面积之间有没有联系呢？总不能说没有。

但是，仅知道平行四边形的周长，你却算不出它的面积来。

可见，两个量之间仅有联系是不够的，还必须有确定性的联系。

圆的周长可以确定它的面积，它们之间有确定性的联系。

平行四边形的周长和面积之间虽然有联系，可是这种联系不是确定性的关系。

这种反映两种量的确定性联系的数学关系，就是函数概念的基本思想。

从历史上来看，人们对函数关系的认识，经历了从低级到高级的演变过程：在欧洲，函数（function ）这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的。

他在1692年发表的数学论文中，就应用了函数这一概念。

不过，莱布尼兹仅用函数一词表示幂，即x ，x 2，x 3，…，其后他用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等与曲线上点相关的某些几何量。

1718年，瑞士数学家贝努利使用变量概念给出了不同于几何形式的函数定义：函数就是变量和常量以任何方式组成的量。

贝努利还采用了莱布尼兹“x 的函数”一词作为这个量的名称，首先用符号“x φ”作为函数的记号。

数学家欧拉在其著作《无穷小分析引论》中，把凡是给出解析式表示的变量，统称为函数。

1734年，欧拉首先创用了符号“)(x f ”作为函数的记号。

中的字母“f ”取自function （函数）第一个字母。

其实，欧拉关于函数的定义，并没有真正揭示出函数概念的实质。

德国数学家狄利克雷，在总结前辈数学家工作的基础上，在1837年给出了至今还常用的函数的定义：如果对于给定区间上的每一x 的值，都有唯一的y 值与它对应，那么y 是x 的函数，用符号记作：)(x f y =。

随着数学的不断进步和完善，当19世纪集合论出现后，函数也是映射，是数集合到数集合的映射。

设A ，B 都是非空的数的集合，f 是从A 到B 的一个对应法则，那么A 到B 的映射B A f →:，就叫做A 到B 的函数，记作：)(x f y =，其中B y A x ∈∈,。

课01-第一章(复变函数1)

3
• 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
4
• 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
说明
任何一个复数 z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角
那么 z 的全部辐角为
如果 θ 1 是其中一个辐角,
Argz = θ 1 + 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z = 0 时, z = 0,
辐角不确定. 辐角不确定
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辐角主值的定义: 辐角主值的定义
在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0 称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . arctan y , x > 0, z ≠ 0 辐角的主值 x π x = 0, y ≠ 0, ± 2, arg z = arctan y ± π , x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
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第一章复数与复变函数 1.1 复数
• 向量与复数
7
实数 x 复数｛复数｛纯虚数 yi 虚数｛非纯虚数 x+yi
x+yi （虚数似乎不可理解）
<=> 有序数组(x,y) <=> 平面上的点 <=> 矢量或向量

概率论与数理统计01 第一节随机变量及其分布函数

第二章随机变量及其概率分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节一维随机变量及其分布函数内容分布图示★随机变量概念的引入★随机变量的定义★例1★例2★例3★引入随机变量的意义★课堂练习★习题2-1内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)XX(e 为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1 (讲义例1) 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为=S {正面, 反面},记赢钱数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面ϖϖϖX 例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH ϖ易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.四. 随机变量的分布函数定义设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ解 (1)由题设, )(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 并有,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.(2)因)(x F 在),2/(ππ上单调下降, 所以)(x F 不可能是分布函数. (3)因为)(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 且有 ,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.离散型随机变量的分布函数例5（讲义例2）设随机变量X 的分布律为 ,2/16/13/121i p X求)(x F .解 }{)(x X P x F ≤=当0<x 时，,}{∅=≤x X 故0)(=x F 当10<≤x 时，31}0{}{)(===≤=X P x X P x F 当21<≤x 时, 216131}1{}0{)(=+==+==X P X P x F 当2≥x 时，1}2{}1{}0{)(==+=+==X P X P X P x F 故 ,2,121,2/110,3/10,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=x x x x x F )(x F 的图形是阶梯状的图形, 在2,1,0=x 处有跳跃, 其跃度分别等于},0{=X P },1{=X P }.2{=X P例6 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F )2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤= )3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当例7（讲义例3）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.解由于)(x F 是一个阶梯型函数, 故知X 是一个离散型随机变量, )(x F 的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图.故X 的概率分布为 .19/419/619/9321i p X课堂练习设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1321i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P。

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第二节函数的求导法则与基本初等函数求导公式
第五节函数的微分
第三节高阶导数
总习题二
第二章导数与微分
第一节导数概念
一、引例
六、导数
01
二、导数
的几何意
义
06
的定义
02Βιβλιοθήκη 05五、导函数
04
四、单侧导数
三、函数
03
的可导性与连续性
的关系
第二章导数与微分
第二节函数的求导法则与基本初等函数求导公式
高等数学（上册）（第二版） (张明望,沈忠环,杨雯靖主编)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
目录
01. 第一章函数与极限
02. 第二章导数与微分
03. 第三章微分中值定理与导数的应用
04. 第四章不定积分
05. 第五章定积分及其应用
06. 第六章常微分方程
07. 部分习题答案与提示
08. 附录
公式
三、曲率圆
04 第四章不定积分
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
第三节分部积分法
第五节mathematica在不定积分计算中的应用
第二节换元积分法
第四节有理函数的不定积分
总习题四
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数
二、不定积分的定义
四、基本积分表
三、不定积分的性质
三、γ函数
02
二、无界函数的反
常积分
01
一、无穷限的反常
积分
第五章定积分及其应用
第五节定积分在几何上的应用
一、定积分的元素法
二、平面图形的面积