《必修5》第一章1.2《测量高度、角度问题》课件
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第一章 1.2 第3课时 角度问题
题型一 题型二
3.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因
为余弦函数在(0,π)内是单调递减的,而正弦函数在(0,π)内不是一一
对应的,一个正弦值可以对应两个角.皆可.
题型一 题型二
【变式训练1】 如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470 m,从 B到C,方位角是80°,距离是860 m,从C到D,方位角是150°,距离是640 m,试计算从A到D的方位角和距离.(角度精确到0.1°,距离精确到1 m)
②东南方向:指经过目标的射线是正东方向和正南方向的夹角的
平分线. (2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.
如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
解应用问题需注意的问题 剖析(1)注意作图的准确性,通过积累、归纳,学会根据题目已知 的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.特别当 一些题目的图形是空间立体图形时,除要作好图形外,还要发挥空 间想象力.
题时画图的关键是设出相遇点B,画出可以求解的三角形.
2.解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,
根据题意画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题,运用正
弦定理或余弦定理求解.体现了数形结合与方程的数学思想方法.
题型一 题型二
【变式训练2】 本题中其他条件不变,将“渔轮向小岛靠拢的速
题型一 题型二
解:如图,在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,得
AC= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������
2020版数学人教A版必修5课件：第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题
第一章§1.2 应用举例第1课时 距离、高度问题学习目标XUEXIMUBIAO1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角，如图所示.下方上方(2)方位角正北方向指从顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为140°(如图所示).(3)方向角①正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示).类似还有东北方向、西南方向等.知识点二 距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理知识点三 高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC ＝a ，∠BCA ＝C ，AB ＝a ·tan C .底部不可达点B 与C ，D 共线测得CD ＝a 及C 与∠ADB 的度数. 先由正弦定理求出AC 或AD ，再解三角形得AB 的值.点B 与C ，D 不共线测得CD ＝a 及∠BCD ，∠BDC ，∠ACB 的度数.在△BCD 中由正弦定理求得BC ，再1.南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.( )2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.( )3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( )4.高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2题型探究PART TWO解析 因为A ，B 间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三角形求出AB .题型一 距离问题命题角度1 不可通又不可视的两点间距离多维探究例1 (1)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为A .3B .2C .1 D .0√(2)A，B两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.解析 由余弦定理，得反思感悟 解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决.命题角度2 可视不可达的两点间的距离例2 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，反思感悟 求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.命题角度3 测量两个不可到达点间的距离例3 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为千米/分钟.解析 在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.同理，在△BCD中，在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB反思感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为例1中的题型.题型二 高度问题命题角度1 在同一铅垂面内的高度问题例4 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m .(精确到1 m)多维探究811解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).所以山的高度为811 m.反思感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.命题角度2 不在同一铅垂面内的高度问题例5 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是√解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.核心素养之数学抽象三角形测量中的数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG典例 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝ .求索道AB的长.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C所以索道AB的长为1 040 m.素养评析 数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象.在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.3达标检测PART THREE√解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，2.(2018·河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为√解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，3.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了34千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是.解析 由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负).4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，7A，B，C，D四点共圆，则AC的长为 km.解析 因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，课堂小结KETANGXIAOJIE1.测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题.2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.。
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第一章 1.2 第2课时 高度问题
β,∠CAD=β.
根据正弦定理,得
������������ sin ∠������������������
=
������������ ,
sin ∠������������������
即
������������ sin(90°-������)=
������������ sin(������-������),
即 202=(
3ℎ)2+h2-2
3ℎ × ℎ × 1.
2
∴h2 = 400 ≈176.4,∴h≈13.3(m).
4- 3
答:旗杆的高度约为13.3 m.
题型一 题型二
测量不能看到底部且不可到达的物体的高度
【例2】 在某一山顶观测山下两村庄A,B,测得A的俯角为30°,B的 俯角为40°,观测A,B两村庄的视角为50°.已知A,B在同一平面上,且 相距1 000 m,求山的高度.(结果精确到1 m)
题型一 题型二
【变式训练1】 如图,地面上有一旗杆OP,为了测得它的高度,在 地面上选一基线AB,测得AB=20 m,在A处测得点P的仰角为30°,在B 处测得点P的仰角为45°,同时可测得∠AOB=60°,求旗杆的高度.(结 果精确到0.1 m)
分析设旗杆的高度为h,由题意知∠OAP=30°,∠OBP=45°,旗杆OP 垂直于地面,即△AOP和△BOP都是直角三角形,在△AOB中,可利用余 弦定理构造方程求解.
即山高
CD为
ℎcos ������sin ������ sin (������-������)
.
题型一பைடு நூலகம்题型二
解:设旗杆的高度为h,
由题意,知∠OAP=30°,∠OBP=45°.
人教A版高中数学必修五课件1.2.2解三角形的实际应用举例——高度、角度问题.pptx
解得 t 2 或t 5 （舍去）.
3
12
所以舰艇需要 2 小时靠近渔船.
3
此时AB=14海里，CB=6海里，
由正弦定理，得 CB AB ，
sin CAB sin120
6 sin CAB
3 2 3
3，
14 14
∴∠CAB≈21.8°，21.8°+45°=66.8°,
∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.
【例】在海岛A上有一座海拔 1 km的山峰，山顶设有一个观 察站P.有一艘轮船按一固定方 向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15°， 俯角为30°的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45°， 俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度； (2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.
而PD最小.
此时，
AD AB AC sin 60
3
3 3
3 2
3
7,
BC
21
14
3
PD 1 ( 3 7)2 259 .
14
14
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 259 km.
14
方法二:由(1)知在△ACB中，由正弦定理
AC
BC
，sin ABC
3 3 3 2
【规范解答】在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β，
∴∠CBD=180°-(α+β),
BC sin
sin［180
s
，即
］
BC sin
sin
s
.
BC sin s. sin( )
数学-高二-必修5人教A版 第一章1.2第2课时高度、角度问题
第一章 解三角形1.2 应用举例第2课时高度、角度问题A 级 基础巩固一、选择题1．某人向正东走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 3 km ，那么x 的值是( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．23或 3解析：由正弦定理，得sin A ＝BC sin B AC ＝3sin 30°3＝32， 因为BC ＞AC ，所以A ＞B ，B ＝30°，所以A 有两解，即A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，∠ACB ＝90°，x ＝23；当A ＝120°时，∠ACB ＝30°，x ＝ 3.故选D.答案：D2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.203 3 mD.2003m 解析：如下图所示，由题意知∠PBC ＝60°，所以∠ABP ＝90°－60°＝30°，又∠BPA ＝60°－30°＝30°，所以AB ＝PA .又在Rt △PBC 中，BC ＝200·tan 30°， 所以在Rt △PAD 中，PA ＝BC cos 30°＝4003. 因为PA ＝AB ，所以AB ＝4003. 答案：A3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B.π3C.π6D.512π 解析：设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以α＝π6.答案：C4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：由题可得右图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h )2＝5002＋h 2－2·500·h ·cos 120°，所以h ＝500(米)．答案：C5．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为A ＝60°，所以第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11.所以a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16.所以a ＝4.答案：C二、填空题6．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：根据图示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3. 在△AMN 中，MN AM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150 (m)． 答案：1507. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝10，∠ABC ＝180°－105°＝75°，∠BCA ＝180°－135°＝45°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理得：x sin 45°＝10sin 60°， 所以x ＝1063(cm)． 答案：10638.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 位于北偏东α，前进m 海里后在B 处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．解析：在△ABM 中，由正弦定理得 BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 故BM ＝m cos αsin （α－β）， 要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin （α－β）>n . 所以当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案：m cos αcos β>n sin(α－β)三、解答题9．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解：如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，128t 2－60t －27＝0， 所以t ＝34或t ＝－932(舍去)， 所以甲船用34小时能最快追上乙船． 10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD (精确到1 m)．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝AB sin C， BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4(km)． CD ＝BC ×tan ∠DBC ≈BC ×tan 8°≈1 047(m)．B 级 能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m解析：如下图所示，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(cm)． 答案：B2．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.解析：宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 答案：5 856.43．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图所示)，求我炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 3°sin 135°＝22CD ， 在△ABD 中，∠ABD ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km.。
1.2第2课时 高度、角度问题 秋学期高中数学必修5(人教A版)PPT课件
由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD. 所以 BC＝CDsisnin∠∠CBBDDC＝sin s（·siαn＋ββ）. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝ssin·ta（n θα＋sinβ）β .
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 的大小(精确到 1°)．
所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东 30°，航行速度为 30 海里/ 时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．
[迁移探究] 典例 4 中若小艇无最高航行速度限制， 其他条件不变．问：
(1)若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为 多少？
(2)若保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)与轮船相遇， 试求小艇航行速度的最小值．
归纳升华 1．解决有关航行问题，关键是弄懂一些数学术语的 含义，根据题意作出草图后，再运用正弦、余弦定理来 求解． 2．解决这类问题时一定要搞清方位角，另外需注意 的一点就是选择好不动点．
[变式训练] 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50°的 方向，距小岛 12 海里的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一 艘走私船正开始向小岛北偏西 10°的方向行驶，测得其速 度为每小时 10 海里，问我巡逻艇需以多大速度朝什么方 向航行才能恰好在两小时后截获该走私船(参考数据：sin 38°≈0.62)?
由正弦定理得：sin5045°＝sin（9B0C°＋θ），
100sin 15° 即：sin5045°＝sin（si9n03°0＋°θ）， 解得 cos θ＝ 3－1， 所以 θ≈43°， 故山坡相对于水平面的倾斜角约为 43°.
2017春人教版高中数学必修五课件：1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例——高度、角度问题 知识
a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401,
∴a=49.
第四页，编辑于星期六：三点 一分。
5.(2010·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A, 则
AC 的值等于 2 ,AC的取值范围为 cos A
解析 由正弦定理 : BC AC , sin A sin B
( 2,. 3)
BC AC AC , AC 2BC 2. sin A sin 2A 2sin Acos A cos A
A B C ,3A C ,C 3A,
0
A
2
,
0
2
A
2
,
0
3A
2Байду номын сангаас
,
A , 2 cos A 3 ,又AC 2cos A,
6
42
2
2 AC 3.
素材库
请老师选择使用
第一页，编辑于星期六：三点 一分。
1. 解三角形在实际测量中的常见应用
两点（A，B）间
不可达又不可视
求 距 离
两点（A，B）
间可视但不可达
两点（A，B）
可视但都不可达
底部可达
求 高 度
底部不可达
第二页，编辑于星期六：三点 一分。
第三页，编辑于星期六：三点 一分。
4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积 S 220 3, 则a的值为（ D） A.20 6 B.25 C.55 D.49 解析 由S= b1csin A=220 ,得c3=55. 2
第五页，编辑于星期六：三点 一分。
1．在⊿ABC 中，已知 A=30°，且 3a 3b 12 ， 则 C 的值为（ C ）
2020版数学人教A版必修5课件：第一章 1.2 第2课时 角度、面积问题
第一章§1.2 应用举例第2课时 角度、面积问题学习目标XUEXIMUBIAO1.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.知识点二 用两边及其夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半,＝ab sin C＝＝.即S△ABC答案 BC边上的高.思考2 如何用AB，AD，角A表示▱ABCD的面积？答案 S＝AB·AD·sin A.▱ABCD1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( )2.在处理方向角时，两个正北方向线视为平行.( )3.航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角.( )4.△ABC 的面积S ＝ abc (其中R 为△ABC 外接圆半径).( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2题型探究PART TWO题型一 角度问题例1 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( －1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思感悟 解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度、时间等条件转化为三角形的角、边，化为解三角形问题.跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，B＝90°＋30°＝120°，∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.题型二 用两边夹角表示三角形面积命题角度1 求三角形面积例2 在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为√多维探究又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式(1) ×底×高.(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半.选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.命题角度2 涉及三角形面积的条件转化例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .解析 由sin B＝2sin A及正弦定理，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，反思感悟 表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角.跟踪训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝ (a2＋b2－c2)，则角C为√A.135°B.45°C.60°D.120°∴a2＋b2－c2＝2ab sin C，∴c2＝a2＋b2－2ab sin C.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得sin C＝cos C.又C∈(0°，180°)，∴C＝45°.核心素养之数学建模三角形中的建模问题HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO典例 如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5 千米，AC＝3千米，BC＝4 千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB，速度为5千米/时，乙的路线是ACB，速度为8千米/时.乙到达B地后原地等待.设t＝t1时乙到达C地.(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3.说明理由.设甲在P点，∴QB＝AC＋CB－8t＝7－8t，PB＝AB－AP＝5－5t，∴f(t)＝PB＝AB－AP＝5－5t，故f(t)的最大值没有超过3.素养评析 本题是关于对讲机有效通话距离的实际问题.其解决完整经历了数学建模的全过程：在实际情境中提出问题(警员能否在行动过程中保持通话)，分析问题.建立模型，计算求解.最终解决实际问题.3达标检测PART THREE1.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为√2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于√解析 设三角形外接圆的半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，3.已知三角形的面积为 ，其外接圆的面积为π，则这个三角形的三边之积为A.1B.2C.D.4√12344.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.解析 设灯塔位置为A ，船的初始位置为O ，船的终止位置为B ，由题意知∠AOB ＝30°，∠OAB ＝120°，则∠OBA ＝30°，课堂小结KETANGXIAOJIE1.各种测量问题本质上是把不能或不易直接测量的量转化为用能直接测量的量表示.而在三角形测量中易获得的数据方向角等多以铅垂线、正南正北为始边，需要准确地转化为三角形的元素.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.。
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 高度、角度问题课件 新人教A版必修5
[思考3] 若在△ACD中求CD，则关键需要求出哪条边？又 如何求出关键的这条边？
提示：关键是求出边AC.可在△ABC中利用正弦定理求AC， 然后在△ACD中求CD.
[思考4] 你能写出求山高CD的具体过程吗？ 提示：见教材P13～P14结论的解析过程．
‖小试身手‖
1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶
‖思考辨析‖ 1．观察下图(该图为教材P13－图1.2－4)． AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高 点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．
[思考1] 通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？ 提示：能够测量出的分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高h. [思考2] 你能说出求AE长的一个解题思路吗？ 提示：求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C 点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可 以计算出AE的长．
[思考3] 根据以上问题的思考，你能写出求高度AB的解题 过程吗？
提示：见教材P13－例3的解析过程．
2．观察下图(该图为教材P14－图1.2－5) 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α，在塔底C处测 得A处的俯角β.已知铁塔BC部分的高为h.
[思考1] 若要求山高CD，应放在哪个三角形中求解？ 提示：△ABD或△ACD. [思考2] 若在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边？又 如何求出关键的这条边？ 提示：关键是求出边BD的长度．可在△ABC中利用正弦定 理求出AB，然后在△ABD中求出BD，即可利用CD＝BD－BC求 得结论．
3．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船 的 3 倍，则甲船应沿_____________方向行驶才能追上乙船；追 上时甲船行驶了_____________n mile.
高中数学必修5课件：第1章1-2-2解三角形的实际应用举例-高度、角度问题
2．平行四边形 ABCD 中，AB＝4 6，AC＝4 3，∠BAC＝
45°，则 AD＝________.
解析： BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos 45°
＝(4
3)2＋(4
6)2－2×4
3×4
6×
2 2
＝48.
∴AD＝BC＝4 3.
答案： 4 3
数学 必修5
第一章 解三角形
三角形中的综合问题
第一章 解三角形
在点 A 处观察一物体的视角为 50°，请画出示意图． [解析] 如图所示．
数学 必修5
第一章 解三角形
3．坡角、坡比
(1)坡角 坡面与_水__平__面___的夹角．如下图中的角 α.
(2)坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的HL .
数学 必修5
第一章 解三角形
河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5m，迎水坡的坡比是 3 ， 则斜坡的坡角 α 等于________，斜坡 AB 的长度是________．
【正解】 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
1
∴根据正弦定理，有sin C＝ABA·sCin B＝2
23×2＝
3 2.
又∵AB>AC，∴C>B，则C有两解．
①当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，根据三角形的面积公
式，
得S＝12AB·AC·sin A＝2 3.
数学 必修5
第一章 解三角形
②当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，根据三角形的面积 公式，
所以tan C＝ 3，
4分
因为0<C<π，所以C＝π3.
6分
数学 必修5
第一章 解三角形
(2)由已知sin A＋sin B
高中数学人教版必修5《第1章 1.2 第2课时 角度问题》课件
1．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，
β 的关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
B [由仰角与俯角的水平线平行可知 α＝β.]
2．在某次高度测量中，在 A 处测得 B 点的仰角为 60°，在同一
铅垂平面内测得 C 点的俯角为 70°，则∠BAC 等于( )
2
3．在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从 A 到 D 前进，10 分钟后某人以 16 7 km/h 的速度沿小路直接由 A 到 C 追投 递员，问在 C 点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达 C 点的时间为 t1＝4＋ 248＝12(小时)＝30(分 钟)，追投递员的人所用时间由探究 2 可知
[提示] 如图所示：
2．在探究 1 中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从 A 点 到 C 点，则此人的速度至少是多少？
[提示] 在上图中，在△ABC 中，∠ABC＝60°＋(180°－ 120°)＝120°，由余弦定理得
AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°＝4 7，则此人的最小速度 为 v＝4 17＝8 7(km/h)．
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得
(2)如图所示，横断面是等腰梯形 ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m， 高 DE＝2 3 m，则 AE＝AB－2 CD＝2 m，
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答：此船沿北偏东30°的方向航行，需要航行10 6 n mile.
感悟
解决航海问题步骤： （1）定位: 选择好不动点， （2）画图：搞清方向角，画出示意图， （3）求解：分析已知与所求，解三角形，得实际 问题的解。
练习2.缉私船在A处发现一走私船在北偏东45°，距离为 10海里的B处，正沿南偏东75°的方向，以10海里/小时 的速度向前逃窜，缉私船立即以10 3海里/小时的速度 追赶，求缉私船追上走私船所需的最少时间和航向.
解三角形的应用举例（二） —测量高度、角度
学习目标
1 知识与技能
能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题；
2 过程与方法
通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的
能力； 3 情感、态度与价值观
体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价 值，提高学习兴趣。
AC =
a
\ AC = a sin b
sin b sin(a - b)
sin(a - b)
RtVACE中，AAEC = sin a \ AE=AC sin a
\ AB=AE +h=AC sin a +h = a sin a sin b +h sin(a - b)
解:在△ACD中，∠ADC=β，CD=a，∠ACD=180°-α， 根据正弦定理可得
重点：画出示意图，分析已知与所求，解三角形。 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。
知识回顾
a
1.正弦定理： sin A
=b sin B
=c sinC
= 2R
（R为三角形的外接圆半径）
可解下列两类三角形：
B
(1)已知任意两角及一边；
(2)已知两边与一边的对角。
A
c
b
a
C
2.余弦定理： a2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A b 2 =c 2 +a2 - 2ca cos B c 2 = a2 +b 2 - 2ab cosC
( ) 分析：在VABC中，AB=10 3 - 1 ，BC=20，
邪ABC=180 -75? 15鞍=120
求：AC,75靶- CAB
( ) 解：在DABC中，AB=10 3 - 1 ，BC=20，
邪ABC=180 -75? 15鞍=120
由余弦定理：
AC2 =AB2 + BC2 - 2AB创BC cos? ABC
∵AB⊥平面BCD，∠ACB=45°， ∴Rt△ABC中，AB=BC.
( ) AB=800 3 +1 米。
探究点2 测量角度问题
例2.如图一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行
( ) 10 3-1 n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东
15°的方向航行20 n mile后到达海岛C.如果下次航行直 接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要 航行多少距离？
sin(a - b)
感悟：
悟
解决高度问题步骤： （1）作高：作与地平面垂直的线段表示高度； （2）画图：分清仰角、俯角，画示意图（必含直角三 角形）； （3）求解：分析已知与所求，解三角形得实际问题的 解.
练习1.如图某人选择水平面上的两点C、D，AB⊥ 面BCD，CD=800m，在C点测得A的仰角∠ACB=45°， ∠BCD＝120°，又在D点测得∠BDC＝45°，求AB.
别是α ,β ,CD=a，且测角仪器的高是h，则AB=？
. AE+EB=AE+h
AE
分析：AB=_____________，应求_________
（1）在哪个三角形中求？
（2）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？
法一
法二
解:在△ACD中，∠ADC=β，CD=a，∠DAC=α-β， 根据正弦定理可得
解：设经过t小时在C点追上，如图所示， 在DABC中，邪ABC=75 + 45鞍=120 ，
BC=10t，AC=10 3t，AB=10 由余弦定理：
AC2 =AB2 +BC2 - 2AB创BC cos? ABC
( ) ( ) 10 3t 2 =102 + 10t 2 - 2创10 10t窗cos120
AD
= a \ AD = a sin(180? a) = a sin a
sin(180? a) sin(a - b)
sin(a - b) sin(a - b)
RtVADE中，AAED = sin b\ AE=AD sin b \ AB=AE +h=AD sin b +h= a sin a sin b +h
可解下列三类三角形： (1)已知三边长； (2)已知两边及夹角； (3)已知两边与一边所对角。
3.仰(俯)角:
在同一铅垂平面内，视线与水平线的 夹角，如所示.
4.方向角：
从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向 线的水平角,如图所示。
南偏西60°
情境引入 1.生活中,人们怎样测量底部不可到达的物体的 高度呢？ 2.海面上,如何确保轮船不迷失方向，保持航速 和航向呢？
( ) ( ) = 轾 犏 臌10
2
3 - 1 +202 - 2? 10
3 1 创20 cos120?=600，
\ AC =10 6 由正弦定理 BC = AC ，
sin行CAB sin ABC
\
sin?
CAB=
BC
sin 邪ABC AC
=
20 sin 120 10 6
=
2 2
Q 0? ? CAB 75癨, 邪CAB = 45°，75 -邪CAB=30
( ) 整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=- 1 舍 2 \ BC=10，AC=10 3，AB=10，邪CAB=30 ，30鞍+45 =75?，
(提示：sin15° = 6- 2 ) 4
解答
解:在△BCD中,DC=800, ∠BDC=45°, ∠DCB=120°,
∠DBC=180°-45 °-120°=15°,
由正弦定理：sinC1D5鞍=
BC sin 45
, 得BC
=
CDsin 45° sin 15?
=
800´ 6-
2 2 2
4
( ) = 800 3 +1
建立数学模型，转化为解三角形的问题解决。
合作探究
探究点1 测量高度问题 例1 如图AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为 建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的 方法.
思考：1.怎样作高？ 2.只选一个观测点行吗？
C
如图某同学选择H、G两点，使H、G、B三点在同一
条水平线上，在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分