01[1].3空间力系
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力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
空间力系介绍
y
x
3.空间力系的平衡
空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空
间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Mo [ M x (F)]2 [ M y (F)]2 [ M z (F)]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件：
M＝o０， F＝R０
平衡方程：
Fx 0
Fy 0
Fz Mx My
0 (F) (F)
00
M z(F) 0
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平 面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三 视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所 求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的 研究方法，称为空间问题的平面解法。
x
y Fx
Fxy
A Fy
2.力对轴之矩
合力矩定理 ：如一空间力系由F1、F2、…、Fn组 成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
M z (FR ) M z (F)
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
Fx
Fy
Fxy
x
5
Fy
Fx
Fxy
10
则力在三个坐标轴上的投影 分别为 ：
z
Fz
Fx Fy
F F
sin sin
cos sin
Fz F cos
若已知力在三个坐标轴上的投
F 影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小 x
和方向，即 :
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
第三章空间力系
y
x
b
求图示正立方体上的力F 在x y z三个坐标轴
上的投影
z
y
x
F
思考:何时力在坐标轴上的投影为零?
求图示正立方体上的力 F 在坐标轴AB上的投影
z F
A
y
x
B
7
静力学
第四章 空间力系
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 q ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z
z Fz
F
kj Fx i
Fy
y
x
2 间接投影法(二次投影法)。
Fz F cos
Fx F sin cos
F y F sin sin
z Fz
F
Fx
x
Fxy
Fy y
求图示正立方体上的力F 在x y z三个 坐标轴上的投影
z z
F
F
y
c
Fxy q
y
x
a Fxy q
1.力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡, 只能用力偶来平衡 。 2.力偶对空间内任意一点的矩矢都等于力偶矩矢， 与矩心无关 3.力偶的可传性
作用平面内移动+可平移到与作用平面平行的任意平面上
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
30
四、空间力偶系的合成 1 空间力偶系
力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为
z
B
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
F
[MO (F)]y zFx xFz
第三章 空间力系
①力偶矩的大小= m 等于力偶的力与力偶臂的乘积。
②力偶矩的方位——垂直于力偶所在的平面
③指向——遵循右手螺旋规则。
空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 由此可见：空间力偶矩是自由矢量
21
例3-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y , z 轴上的投影
1、若FR' 0, MO , 0 则该力系平衡（后面专门讨论）。 2、若 FR' 0, MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原
力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无 关。
3、若 FR' 0, MO 0 则力系可合成为一个合力，主矢 F ' R 等于原力系合力矢 FR ，合力 FR 通过简化中心O点。
My
F Fl cos
M z F F l a sin
18
19
五、空间力偶矩用矢量表示：
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面， 所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。
从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
20
空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
力系向点简化.avi
26
若取简化中心O点为坐标原点，则：
2 2 2 Fix FR Fiy Fiz FRy FRx FRz 主矢方向 cos , cos b , cosg FR FR FR 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: [ mO ( Fi ) ] x m x ( Fi ) mOx ; mOy [ mO ( F ) ] y m y ( F ); mOz [ mO ( F ) ] z m z ( F )
空间力系
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程 重心坐标 求重心法 小 结 总 结
第3-6节 重心坐标公式
• 1 重心坐标的一般公式：
Xc = Yc = Zc =
∑ PX
i
i
∑
P Pi Y i
P ∑ Pi Z i P
2 均质物体的重心坐标公式： 均质物体的重心坐标公式：
Xc = Yc = Zc =
3 薄板的重心： 薄板的重心：
空间平行力系的平衡方程： 空间平行力系的平衡方程：
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0
}
重心坐标
∑ m x (F ) ≡ 0 ∑ m y (F ) ≡ 0 ∑ m z (F ) ≡ 0
自然满足
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
∑Z = 0 ∑ mx (F ) = 0 ∑ my (F ) = 0
X A + 473 − 466 − 746 cos 20° = 0 X A = 729N
∑ m x ( F ) = 0,
200 Z B + 300 × 1400 − 50 × 746 sin 20 ° = 0 Z B = − 2040 N
200 Z B + 300 PZ − 50Q sin 20 ° = 0
物体重心的求法
2 分割法 它是将形状比较复杂的物体
分成几个部分，这些部分形状简单， 分成几个部分，这些部分形状简单， 其重心位置容易确定， 其重心位置容易确定，再根据重心坐 标公式求出组合形体的重心。 标公式求出组合形体的重心。
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
重心坐标
求重心法
小 结
总 结
例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。 求：该截面的重心位置。 解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
第3-6节 重心坐标公式
• 1 重心坐标的一般公式：
Xc = Yc = Zc =
∑ PX
i
i
∑
P Pi Y i
P ∑ Pi Z i P
2 均质物体的重心坐标公式： 均质物体的重心坐标公式：
Xc = Yc = Zc =
3 薄板的重心： 薄板的重心：
空间平行力系的平衡方程： 空间平行力系的平衡方程：
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0
}
重心坐标
∑ m x (F ) ≡ 0 ∑ m y (F ) ≡ 0 ∑ m z (F ) ≡ 0
自然满足
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
∑Z = 0 ∑ mx (F ) = 0 ∑ my (F ) = 0
X A + 473 − 466 − 746 cos 20° = 0 X A = 729N
∑ m x ( F ) = 0,
200 Z B + 300 × 1400 − 50 × 746 sin 20 ° = 0 Z B = − 2040 N
200 Z B + 300 PZ − 50Q sin 20 ° = 0
物体重心的求法
2 分割法 它是将形状比较复杂的物体
分成几个部分，这些部分形状简单， 分成几个部分，这些部分形状简单， 其重心位置容易确定， 其重心位置容易确定，再根据重心坐 标公式求出组合形体的重心。 标公式求出组合形体的重心。
力的投影 力对轴之矩 合力矩定理 平衡方程
重心坐标
求重心法
小 结
总 结
例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。 求：该截面的重心位置。 解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
空间力系分解课件
定性。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
第三章 空间力系
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例3-9
已知： F 2000N, F2 2F1, 30 , 60 , 各尺寸如图
求： F1, F2 及A、B处约束力
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
Fx 0 Fy 0
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
F2
F1
0
M z F 0 (F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
解： 研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Ft FBx FAx Fx 0
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
§3–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
第三章 空间力系
§3–1 空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
例3-9
已知： F 2000N, F2 2F1, 30 , 60 , 各尺寸如图
求： F1, F2 及A、B处约束力
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
Fx 0 Fy 0
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
F2
F1
0
M z F 0 (F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
解： 研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Ft FBx FAx Fx 0
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
§3–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
第三章 空间力系
§3–1 空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
工程力学教学课件模块3空间力系
转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。力矩
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0
第3章空间力系
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F xy
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
6
于是： mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积 结论：力对轴的矩等于该力在垂直于
此轴的平面上的投影对此轴与这个平
面交点的矩。 （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。
自重
迎风力
侧风力
摩擦里 地面反力 4
空间一般力系有以下三种特殊力系： 空间汇交力系：各力的作用线不全在同一平面内且汇交于一点
的力系。
空间平行力系：各力的作用线不全在同一平面内且相互平行的 力系。 空间力偶系：各力偶作用面不全在同一平面内的力偶系。
5
§3-1
一、定义 为了度量力使物体绕 轴转动的效应，引用 力对轴的矩。
1
第三章 空间一般力系
§3–1 力对轴的矩 §3–2 空间一般力系的简化与平衡
§3–3 物体的重心和形心
2
本章重点： 力对轴的矩的计算，空间一般力系的平衡条件
及其应用，重心的求法。
本章难点：
力对轴的矩的计算，平衡方程的应用，
3
空间一般力系：各力的作用线不全在同一平面内且任意分布的 力系。也称空间任意力系。所谓任意分布是指各力的作用线既 不完全相交也不完全相互平行。物体受空间一般力系作用是物 体受力最一般的情况，在工程实际中很普遍。
mx ( P)
m y ( P)
mz ( P)
14
方法四：合力矩定理
mz (P) mz (P x )
=0
空间力系
第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21同理 ∑∑==zi Rz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRRxRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
空间力系
M x F (a l ) F cos ; M y F Fl cos ; M z F a l F sin
工程力学
3.3 空间力偶
第 三 节 空 间 力 偶
一、力偶以矢量表示——力偶矩矢
M0 (F, F) M0 (F) M0 (F) rA F rB F
工程力学
四、合力矩定理
第 二 节 力 对 点 的 矩 和 力 对 轴 的 矩
空间力系的合力对任一点之矩等于力系 中各力对同一点之矩的矢量和，即
Mo(R)=ΣMo(Fi)
空间力系的合力对任一轴（例如z轴）之 矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和， 即
Mz(R)=ΣMz(Fi)=Σ(xFy-yFx)
工程力学
2a 2 3 F F 3 3a 2 a 3 F F 3 3a
Fy F sin sin
2a 2 3 F F 3 3a 2
工程力学
例题一
第 一 节 空 间 汇 交 力 系
一次投影
Fx
Fa
a 2 b2 c2 a 3 F F 3 3a Fb Fy － a 2 b2 c2 a 3 F F 3 3a
M O x yFz zFy M O y zFx xFz M O z xFy yFx
三、力对点的矩和力对轴的矩的关系
M 0 (F)x M x (F) M0 (F)y M y (F) M 0 (F)z M z (F)
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
Yc
A Yi Ai A
工程力学
物体重心的求法
• 1 对称性法具有对称轴、对称面、对 称中心物体，其重心一定在对称轴， 对称面或对称中心上。
第三章 空间力系
z
r Fz
γ
r F
β
r Fy
间接投影法 Fxy = F sin γ ;
Fx = F sin γ cos ; Fy = F sin γ sin
α
r Fx
x O
y
Fz = F cos γ ;
r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k
r Fxy
大小 F = F 2 + F 2 + F 2 ; x y z r r 方向 cos( F , i ) = Fx F
力对轴之矩的绝对值等于力在垂直于该轴的平面 上的投影对这个平面与该轴交点之矩。
r r r M z (F ) = M z ( Fxy ) + M z ( Fz ) = 0 r = M z ( Fxy ) = ± Fxy h = ±2 AΔOAB
z
r Fz
O h A
r F
r Fxy
B
正负: 迎着z轴,力使物体绕z轴逆时 针转,力矩为正;反之为负。 符合右手螺旋法则。 单位: N m 或 kN m
PAG 13
Northeastern University
§3-2
力对点的矩和力对轴的矩
例3-2 手柄ABCD的上作用一力F,已知F与xz平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。求力在三轴上的投影及对三轴之矩。 解:⑴ 定义法 力在轴上的投影
Fx = F cos α ; Fy = 0
z B a A x AB、BC、CD分别与 z轴、y轴、x轴平行 b C c
Northeastern University
第三章 空间力系
1
空间汇交力系
2 3 4 5
力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
r Fz
γ
r F
β
r Fy
间接投影法 Fxy = F sin γ ;
Fx = F sin γ cos ; Fy = F sin γ sin
α
r Fx
x O
y
Fz = F cos γ ;
r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k
r Fxy
大小 F = F 2 + F 2 + F 2 ; x y z r r 方向 cos( F , i ) = Fx F
力对轴之矩的绝对值等于力在垂直于该轴的平面 上的投影对这个平面与该轴交点之矩。
r r r M z (F ) = M z ( Fxy ) + M z ( Fz ) = 0 r = M z ( Fxy ) = ± Fxy h = ±2 AΔOAB
z
r Fz
O h A
r F
r Fxy
B
正负: 迎着z轴,力使物体绕z轴逆时 针转,力矩为正;反之为负。 符合右手螺旋法则。 单位: N m 或 kN m
PAG 13
Northeastern University
§3-2
力对点的矩和力对轴的矩
例3-2 手柄ABCD的上作用一力F,已知F与xz平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。求力在三轴上的投影及对三轴之矩。 解:⑴ 定义法 力在轴上的投影
Fx = F cos α ; Fy = 0
z B a A x AB、BC、CD分别与 z轴、y轴、x轴平行 b C c
Northeastern University
第三章 空间力系
1
空间汇交力系
2 3 4 5
力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
空间力系
定位矢量？ 滑移矢量？ 定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
空间力系
空间力偶
3.空间力偶系的合成与平衡 3.空间力偶系的合成与平衡
r r r r 合力偶矩矢： 合力偶矩矢：M = Mxi + My j + Mz k
r r r r r M = M1 + M2 +L+ Mn = ∑ Mi
r r r r r MO (F) = Mx (F) i + My (F) j + Mz (F)k = Fbsinα i −Fasinα j + (Fbsinα sin β − Fasinα cos β ) k
空间力系
空间力矩
思考题
A a F F b D
α
r r MA(F)
r r MAB (F) = MA(F) AB
空间力偶
r r r r r r r r r r 力偶矩矢 M = M( F , F′ ) = rA × F − rB × F′ = rBA × F
空间力系
空间力偶
2.空间力偶的性质 2.空间力偶的性质 （1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （2）空间力偶等效定理 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 对刚体的作用效果不变。 短，对刚体的作用效果不变。
x O z
r r MO (F)
B
F
r
理论力学4—空间力系
上式即为空间力偶系的平衡方程。
例2. 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b,
CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?
解：根据力偶只能与力偶平衡的性质,画出构 件的受力图见图示。约束反力ZA 和ZD 形成一 力偶, XA与XD形成一力偶。故该力系为一空间 力偶系。
3.3.2 力偶的矢量表示 由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。 力偶矩矢为一自由矢量。
[例] 图示传动轴，皮带轮直径D1=160mm，圆柱齿轮节圆直径 D2=240mm，T1=200N， T2=100N，=20°。 求：平衡时力P=？和轴承A , B的约束反力？ 分析： T2 T1 P 20°
YA
x
z ZA
P Py
Pz
20°
YB
ZB
T2
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
[例] 已知：如图 所示，试求力F 对点A的力矩的大小。 分析： x
Ax Az
A d
Ay O
z Fx
3
F
4
d
d
Fy y
先将力分解，在对A点 三个轴取矩。 4 Fx F 0.8F 2 2 3 4
3 Fy F 0.6F 2 2 3 4
m2 my 0, m2 Z A a 0, Z A a m3 mz 0, m3 YA a 0, YA a mx 0, m1 bZ A c X A 0
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M M F
X Y
0 0
Z
Z
0
X
第一章汽车常用构件力学分析
Y
空间力系的三种特殊情况
空间力偶系： 力偶中各力等值反向，有：∑Ｘ≡0，∑ Ｙ≡0，∑Z≡0，平衡方程为：
M M M
X Y Z
(F ) 0 (F ) 0 (F ) 0
X
Z
Y
第一章汽车常用构件力学分析
解空间力系平衡问题方法
Fx
x
Fy Fxy
空间力系
若已知力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz， 也可求出力的大小和方向，即 :
F Fx Fy Fz Fy Fx Fz cos ,cos ,cos F F F
2 2 2
第一章汽车常用构件力学分析
空间力系
二.力对轴之矩
如图： 门上作用一力 F，使其绕固定轴z转动。 Fxy对z轴之矩就是力F对z 轴之矩,用Mz（F）表示。 则：
第一章汽车常用构件力学分析
一.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法：已知力F 与三个坐标轴所夹的 锐角分别为、β、, 则力F在三个轴上的投 影等于力的大小乘以 该夹角的余弦 .
空间力系
z
Fz
F
o
β
y
Fx Fcos Fy Fcos Fz F cos
Fy
Fx
M Z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy d
= F x • b + Fy • a
a
O
b
Fx A x Fy
y
Fxy
规定：从z轴正端来看， 若力矩逆时针，规定为 正，反之为负。
空间力系
二、力对轴的矩
力对点的矩是力对轴的矩的特例（即平面力F对 垂直于平面P的Z轴的矩）：
M O ( F ) Fh
• • •
空间力系 —— 指力系中各力作用线在空间任 意分布的力系。 空间力系是物体受力的最一般情况，平面一 般力系是平面力系中的一般情况，却是空间 力系的特殊情形。 空间力系实例：图1-73汽车变速箱齿轮轴。
Y
X z
第一章汽车常用构件力学分析
空间力系的分类
空间任意力系
空间平行力系
空间汇交力系
空间力偶系
x
空间力系
二次投影法 : 若已知力 F 与 z轴的夹角为，力F 和z轴 所确定的平面与 x 轴的夹 角为 ，可先将力 F 在 oxy 平面上投影， 然后再向 x 、 y 轴进行投影。
z
Fz F
o
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
例1-18 汽车发动机曲轴，受到垂直于轴颈并与
铅 垂 线 成 75° 角 的 连 杆 压 力 Ｆ =12KN ， 飞 轮 重 为 G=4.2KN，略去曲轴重量，试求轴承A和B的约束反力 及保持曲轴平衡所需加于飞轮上的力偶矩M。
Z 解：①取曲轴与飞轮 F 为研究对象，画出其 分离体受力图（空间 FAZ 任意力系平衡问题）。 并建立如图所示直角 X A 坐标系。 FAY
FR ' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
M o [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2
2、空间一般力系的平衡条件
平衡充要条件： 平衡方程:
M o ＝０
FR ＝０，
F 0 F 0 F 0 M (F ) 0 M ( F ) 0 M (F ) 0
x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , A1 3.0 cm2 x2 0.5 cm , y2 3.0 cm , A2 4.0 cm2
x3 1.5 cm , y3 0.5 cm , A3 3.0 cm 2
xC A x
i i
A 3 (1.5) 4 0.5 3 1.5 3 43 0.2 cm
第一章汽车常用构件力学分析
Z
750
FBZ B FBY
M
Y
G
3.空间力系平衡问题的平面解法
空间问题的平面解法: 在工程中，常将空间力系投影到三个 坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯 视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡 方程，同样可解出所求的未知量。
例3：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿轮 的分度圆直径d=282.5mm,L=105mm，L1=110.5mm，圆周力 Ft=1284.8N，径向力Fr=467.7N，不计自重。求轴承A、B的约 束反力和联轴器所受转矩MT。 z A FAV FAH x FT L/2 L/2 L1
力对轴的矩是衡量空间 力使物体产生的转动效应 的物理量， P
Z O
h
F
第一章汽车常用构件力学分析
力对轴的矩取决于三个因素：
①力的大小；②力与转轴间的距离；③力的方向。 这三个因素可用力对轴的矩表示： Z
M Z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力对轴的矩等于该力在
FZ
X h A
2). 负面积法: 若物体内缺一部分,则视缺少部分的面积 (体积)为负值,仍同分割法一样代如公式.
③.实验法
1). 悬挂法:
2).
称重法:
C
称重法:
Nl xC P
xC
P
N
l
例:
已知Z 形截面，尺寸如图。
求：该截面的重心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
yC
S y
i
i
简单形体的形心位置
第一章汽车常用构件力学分析
pi z i zC pi
xC
lim i vi xi
n i 1 n
n
lim i vi
n i 1
V
xdV
V
dV
体积重心:
xC
xdV V
yC
ydV dS S xdl l
RAV Fr RBV 467.7 233.85 N 233.85 N
L Fr LRBV 0 2
xy面:
FAH x FT FBH
y
L Ft LRBH 0 2
RBH
RAH Ft RBH 0
Ft 1284.8 N 642.4 N 2 2
FBV
D Fr B FBH
MT
y
xz面:
x FAH FBH FT
z FBV FAV
MT
M
A
(F ) 0
Fr
d M T Ft 0 2
d 282.5 M T Ft 1284.8 N mm 2 2
181481N mm
yz面:
FAV
z
FBV Fr y
Fr 467.7 RBV N 233.85 N 2 2 RAV Fr RBV 0
yC
ydS S ydl l
zC
zdS S zdl l
线重心:
xC
yC
zC
除公式法外,以下方法也常用来确定重心:
①.利用对称性求重心 凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必 在其对称面、轴、中心上。 例：球体、立方体、等腰三角形等。 ②.组合法
1）.分割法: 将整个物体分割成若干个简单形体,在一个坐 标系下 标出各简单形体的重心位置坐标,直接代如公式即可.
yC
A y
i
i
A 3 (4.5) 4 3 3 0.5 3 43 2.7 cm
解 ：(2)负面积法: Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为 S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面 积为负值。
x1 0, y1 2.5 cm, S1 30 cm2
Z
FZ F FY
X
A (X，Y，Z） FX Y F′ O Z X Y A′
第一章汽车常用构件力学分析
例:已知图示各力大小均为100N,六面体为 30cmX30cmX40cm,
求:(1)各力在x,y,z轴上的投影; (2)F3对x,y,z轴之矩. z
40 30 F3 F1 x F2 y 30
例：图示力F=1000N，求F 对z 轴的矩Ｍz。
第一篇
汽车常用构件 力学分析
第一章汽车常用构件力学分析
第一章
第一章汽车常用构件力学分析
第六节
教学目标：
空间力系
•掌握力在空间三维坐标轴上投影计算方
法 •掌握力对轴之矩的概念及合力矩定理 •了解空间力系的简化方法 •空间力系的平衡条件、平衡方程及其应 用
第一章汽车常用构件力学分析
引子：
空间力系的定义
FZ
z
5
Fy
Fxy
y
Fx Fx
Fxy
x
Fy
10
x
三.空间力系的平衡问题
复习引入
1.平面力系平衡条件及应用. 2.空间力系特点及间化方法.
1.空间力系的简化：
与平面任意力系的简化方法一样，运用力的 平移规律，可将空间力系向任一点简化，得 到一个空间汇交力系和一个空间力偶系 . 再 简化为一个主矢和一个主矩。
F
垂直于轴平面内的分量 Fxy 对该平面与轴交点Ｏ 之矩。
FXY Y
第一章汽车常用构件力学分析
力对轴之矩为零的条件： 力与轴平行（Ｆxy=0，Ｍ z（F）=0）或力的作用线 与轴相交（ h=0 ，Ｍ z （ F ） =0）
Z
F2 P
F1