河北省衡水市2020届高三数学第三次模拟考试试题理

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专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间万能模板内容使用场景知函数()f x 的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x 的定义域；第二步求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二判定含参数的函数的单调性万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三由函数单调性求参数取值范围万能模板内容使用场景由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间；（2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性；（2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数．（1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。

2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学(理)试卷及答案解析

2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（）A.{}0,2B.{}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（）A.1B.2C.3D.44.平面向量a 与b 的夹角为60︒， ()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 125.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（）A.()|sin cos |f x x x =+B.22()sin cos f x x x =+C.()|sin ||cos |f x x x =+D.()sin ||cos ||f x x x =+6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（） A.240B.120C.48D.367.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（）A.297B.302C.307D.3128.设函数()()2sin f x x ωϕ=+， x R ∈，其中0ω>，ϕπ<.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=， 12πϕ= B. 23ω=， 1112πϕ=- C. 13ω=， 1124πϕ=- D. 13ω=，724πϕ= 9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）A.乙丁B.乙丙C.丙丁D.甲丁10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）A.121 C.3111.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（） A.2e -B.e -C.e 2-D.1e-12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（）B. C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______．14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望；（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21.已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值；（2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值． 23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤．（1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案1.C【解析】1.求出集合A ，利用交集的定义可得出集合AB .{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C. 2.D【解析】2.先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i--+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D. 3.C【解析】3.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-，将直线l ：1y x z =-+-进行平移，当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值，因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3．故选：C ．4.B【解析】4.因为2,1a b ==， a 与b 的夹角为60︒，故cos601a b a b ⋅=⋅=，则244a b +=+=B 。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题49 直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)

考点49 直线与圆、圆与圆的位置关系1．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( )A ．34B ．1-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为11= ，解m=34故选：A ．2．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）过点()1,1P 的直线l 将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分为两部分，其面积分别为12,S S ，当12S S -最大时，直线l 的方程是（）A ．20x y +-=B ．20x y ++=C ．20x y --=D ．10x y +-=【答案】A 【解析】因为点P 坐标满足224x y +≤，所以点P 在圆224x y +=内，因此，当OP 与过点P 的直线垂直时，12S S -最大，此时直线OP 的斜率为10110OP k -==-，所以直线l 的斜率为1k =-，因此，直线l 的方程是1(1)y x -=--，整理得20x y +-=. 故选A ．3．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）圆221x y +=的一条切线与圆224x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，则1212x x y y +=（）A．-B ．2-C ．2D．【答案】B切线与圆221x y +=切于点E ，由题干知圆心均为O 点，则根据向量点积坐标公式得到：1212OA OB x x y y ⋅=+||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=∠，2,1OA OB OE ===12,cos 2AOB AOE AOE ∠=∠∠=21cos 2cos 1.2AOB AOE ∠=∠-=-故得到：||||cos 2.OA OB OA OB AOB ⋅=∠=- 故答案为：B.4．（2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学理）已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（）A ．1±B ．C ．D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m ＞3或m ＜-3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=±5．（2017届福建省宁德市高三第一次（3月)质量检查数学理）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】依题意可知直线过圆心()1,2-，即32110,4a a +-==.故(),1,144a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.圆方程配方得()()22125x y -++=， ()1,1-与圆心距离为1，故弦长为4=.6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．2C ．3D 【答案】D 【解析】如图，c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==．7．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为l 的斜率为（）A B ．C D ．±【答案】D 【解析】解：可得圆心（0，0）到直线:2l x ay +=的距离，由直线与圆相交可得，2232d +=，可得d=1，即=1，可得a=±y=33x ±+故斜率为故选D.8．（四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学理）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率22P ==,故选C.9．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）经过点(3,0)M 作圆222430x y x y +---=的切线l ，则l 的方程为（） A ．30x y +-= B ．30x y +-=或3x = C ．30x y --= D ．30x y --=或3x =【答案】C 【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12x x ，当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为12x x，所以有1k ==，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线；因此切线方程为30x y --=,故本题选C ．10．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三）“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,k =∴=. 所以“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A ．11．（吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试数学理）已知圆C ： (()2211x y +-=和两点()0A t -，， ()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（）A ．3B ．2CD ．1【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1. 本题选择D 选项.12．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（） A ．[]13,3- B ．[]3,1-C ．[]3.13-D ．[]13.13-【答案】A 【解析】过点F （1，0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3，2），|AB |=x 1+x 2+p=8，所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=，圆心D 为：（3，2），半径为r=4， ∵在圆C 上存在两点M ，N ，在直线l 上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，∴在直线l 上存在一点Q ，使得Q 到C （3，2=，∴只需C （3，2）到直线l 的距离小于或等于133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．13．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：14．（四川省百校2019年高三模拟冲刺卷理）在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题圆方程为两动圆均过定点故,得同理又即（）（）=1整理得,故故选：C ．15．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）圆：被直线截得的线段长为（） A ．2 B ．C ．1D ．【答案】C 【解析】解：圆：的圆心为，半径为1圆心到直线的距离为，弦长为，故选C ．16．（安徽省濉溪二中2018-2019学年高二下学期4月联考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则b a =（）A ．43B ．34C ．169D ．916【答案】B 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B ． 17．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）过坐标轴上一点()0M x ,0作圆221C :x y 12⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两条切线，切点分别为A 、B .若||AB ≥0x 的取值范围是（）A．,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B．(),-∞⋃+∞C．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．][(),22,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】根据题意，画出图形，如图所示，由圆221:()12C x y +-=，可得圆心坐标1(0,)2C ，半径1R =，过点M 作圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A 和B ，分别连接CA 、CB 、CM 、AB ，根据圆的性质可得,,CA AM CB BM CM AB ⊥⊥⊥，当||AB =因为1CA CB ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，所以22CN AN BN ===, 又由ANC AMN ∆∆，所以1AN CN MN AN ==，所以MN AN ==，所以CM CN NM =+=要使得||AB ≥CM ≥≥整理得274x ≥，解得0x ≤0x ≥0x的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭，故选C.18．（广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学理）设过点()20P －，的直线l 与圆22:4210C x y x y +--+=的两个交点为A B ，，若85PA AB =，则AB =（）A B C ．5D 【答案】A 【解析】由题意，设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，由2242102x y x y x my ⎧+--+=⎨=-⎩得()()22182130m y m y +-++=，则121222821311m y y y y m m ++==++，，又85PA AB =，所以()()112121825x y x x y y +=--，，，故()12185y y y =-，即21135y y =，代入122131y y m =+得：21251y m =+，故2221695251y m =⨯+，又()22122821m y y m +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即222121222219452682225111m y y y y m m m +⎛⎫++=⨯+= ⎪+++⎝⎭，整理得：240760m m -+=，解得2m =或38m =，又AB ==当2m =时，5AB =；当38m =时，AB =；综上AB =. 故选A19．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，且过双曲线的右焦点2F 与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A ，B ，OAB ∆的面积为） A ．18 B．C．D．【答案】C 【解析】设双曲线的渐近线为y kx =，1=，所以k =，渐近线为y x =，将x c =代入双曲线方程得2b y a =±，所以22b AB a =，2122OAB b S c a ∆=⋅⋅=b a =a =，b =所以双曲线实轴长为2a =故选C.20．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）已知,x y 满足约束条件20220x y x y x y +-≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若20x y k ++≥恒成立，则直线20x y k ++=被圆()()221125x y +++=截得的弦长的最大值为______．【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：若20x y k ++≥恒成立，则()min 20x y k ++≥平移直线20x y +=可知，当直线过B 点时，2x y k ++最小由202x y x y -=⎧⎨-=-⎩得：()4,2B --即440k --+≥ 8k ∴≥则圆心()1,1--到直线20x y k ++=的距离为：d =≥=∴弦长≤=本题正确结果：21．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【来源】)试题【答案】12m =-或136m =-. 【解析】由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：=解得：12d =，结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 22．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.【答案】【解析】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得k =±故答案为15±. 23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______．【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ，过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 24．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得k <<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k 的取值范围是(33-.25．（天津市和平区2018-2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学理）若直线2y x =-+与曲线1222x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)交于两点,A B ，则AB =_________.【解析】曲线12(22x cos y sin θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数)消去参数θ可得：()()22124x y ++-=，表示圆心为()1,2-，半径为2r =的圆，圆心到直线20x y +-=的距离：2d ==，由弦长公式可得弦长为：2==26．（河北省武邑中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学理）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线22y x =-围成的平面区域的直径为_____．【答案】4 【解析】曲线22y x =-围成的平面区域如下图所示：该平面区域与y 轴的交点为()0,2A ，()0,2B -，4AB =，平面区域内的任意一个点都在以原点为圆心，半径为2的圆上或圆内，所以平面区域内任意两点间的距离都小于等于4，因此，该平面区域的直径为4.。

2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)

A．0B．9C． D．10
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数有零点，则a的范围是（）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（）
A． B． C． D．
11．函数的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆的右顶点，． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
14．若双曲线的两个焦点都在轴上，且关于轴对称，焦距为，实轴长与虚轴长相等，则双曲线的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是，规定 ( 为线段的长度)叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”.设曲线上不同两点，且，则的取值范围是_________.

河北省邯郸市第一中学2023届高三一轮复习收官考试三数学试卷

2023届高三一轮复习收官考试三数学试题一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数(1−i 1+i)2023=A ．1−B ．1C ．i −D ．i2.已知集合A ={x||x −1|>1},集合{}10B x mx =+<,若A B A ⋃=,则m 的取值范围是 A ．[−12,0]B ．1,13⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．[−12,+∞)D ．1,0(0,1]3⎡⎫−⎪⎢⎣⎭3.已知()sin ,14cos 2a αα=−,()1,3sin 2b α=−,α∈(π2,π),若//a b ,则tan 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．17B ．17−C ．7D ．-74.2022年北京冬奥会开幕式中,当《雪花》这个节目开始后,一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央,十分壮观．理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6,则图③中OM ON ⋅的值为A ．12√3B ．24C ．24√3D ．12√25.在甲、乙、丙三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:6:9,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为 0.5150.04950.0485,C ．2127m πD ．2136m π7.已知()21cos 2=+f x x x ,若3 44(),(ln )5a f e b f −==,(2c f =−,则a ,b ,c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．<<b a cD ．a c b <<8.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1,0A −,点P 是圆22:5+=O x y 上的任意一点,过点()1,0B 作直线BT 垂直AP 于点T ,则23+PA PT 的最小值是 A．B． C．D．二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要10.设双曲线的两个焦点分别是1F ,2F ,以线段12F F 为直径的圆交渐近线于A ,B ,C ,D 四点,若A ,B ,C ,D ,1F ,2F 恰为正六边形的六个顶点,则下列说法正确的是 A. 122F BF π∠=B. 四边形ABCD 22)a b +C. 双曲线的离心率为1+D. 双曲线的渐近线方程为y =±√3x11.在正方体1111ABCD A B C D −中,1AB =,点P 满足1CP CD CC λμ=+,其中[][]0,1,0,1λμ∈∈,则下列结论正确的是A ．当1//B P平面1A BD 时,存在P 点使得11B P CD ⊥B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4,则点P 的轨迹长度为π4C ．当1λ=时,正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为]D ．当λμ=时,1||||DP A P +12.已知函数()e xf x x =−,()lng x x x=−,则下列说法正确的是A ．()e xg 在()0,∞+上是减函数B ．1x ∀>,不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立,则正实数a 的最小值为2e22221(0,0)x y a b a b−=>>C ．若方程()f x t =有两个根12,x x ,则120x x +>D ．若()()()122f x g x t t ==>,且210x x >>,则21ln t x x −的最大值为1e三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知n的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中有理项的个数为_________．14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)(2022)f x f x f ++−=,(2)(22)f x f x −=+,则(2022)f =__________15数列{}n a 满足12a =,()()1221n n n a a n n *++=∈+N ,则2023122022a a a a =++⋅⋅⋅+_____________ 16.已知抛物线y x M 4:2=,圆1)2(:22=−+y x C ,在抛物线M 上任取一点P ,向圆C 作两条切线PA 和PB ,切点为A ,B ,设t CA CB =⋅,则t 的取值范围是____________.(结果用不等式表示)18.已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若.,1111n n n S S a a +==++且 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若n T ≤λ恒成立,求λ的取值范围．已知锐角ABC 的内角________求ABC 的周长．注：若选不同的组合分别解答则按第一个解答计分．20.如图,边长为2的正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直,AN BM ∥ ,24==BM AN ,CN =(1)判断平面BCN 与平面CMN 的位置关系并证明；(2)在线段CM 上是否存在一点E ,使得二面角E BN M −−的正弦值为3若存在,求出E 的位置,若不存在,说明理由.。

2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．622．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺3．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（） A ．97B ．53C ．43D ．13104．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．36．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．②C ．②③D ．③7．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（） A ．12B ．1C ．2D ．48．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体9．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 10．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．611．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥12．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2．故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2．故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =，所以75531752a a d --===-．故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,．故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值，因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多，因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确；选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大，而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ，故选A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称，所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=．故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+；所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时，取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时，取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________．【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有3127q =，解得13q =，则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--．故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=；（2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解；（2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】（1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==．【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？【答案】（1）平均数和中位数都为260件；（2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=，所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260531001000⨯-⨯=元，所以该网点平均每天的利润有1000元．【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积．【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <，所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-，所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞，因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值．【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=，又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=．【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集．（Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立．【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。

2020届高三2月联考(线上)数学(理)试题)

2.
已知
i
为虚数单位，
a、b

R
，复数
1 2
i i

i

a

bi
,则
A. 1 2 i
B. 1 2 i
C. 2 1 i
D. 2 1 i
55
55
55
55

3. 已知 A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若 BA BC BA BC ，则 AC2 =
(II)若 M , N 分别为曲线 C1 和曲线 C2 上的动点，求 MN 的最大值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4 —5：不等式选讲
已知函数 f x 2x 7 2x 5 (I )解不等式 f x 6 ；
(II)设函数
f
x 的最小值为 m
，已知正实数 a,
若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积

相等.如图（1）,函数
f

x

sin x , x 2, 0
2
的图象与 x

1 x 12 , x 0, 2
轴围成一个封闭区域 A（阴影部分），将区域 A A（阴影部分）沿 Z 轴的正方向上移
6 个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其
数学（理科）试題（第 1 页，共 6 页）
7. 已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，现在 ABC 内随机取一点，此
点取自， GAB 、 GAC 、 GBC 的概率分别记为 P1、P2、P3 ，则
A.P1 P2 P3

河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题(含答案)

河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知不等式x2−2x−3<0的解集为A，不等式x+3x−2<0的解集为B，则A∩B为( )A. [−3,3]B. (−3,3)C. [−1,2]D. (−1,2)2.已知|a|=63,|b|=1,a⋅b=−9，则向量a与b的夹角为( )A. 2π3B. 5π6C. π3D. π63.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN= 30∘，C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC=75∘，从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=100m，则山高MN=( )A. 120mB. 150mC. 503mD. 160m4.已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n、T n，若S nT n =3n+4n+2，则a3+a7+a8b2+b10=( )A. 11113B. 3713C. 11126D. 37265.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点N在另一条渐近线上．若cos∠PF2F1=35，则双曲线C的离心率为( )A. 53B. 54C. 2D. 56.点P(−2,−1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )A. 13；3x+2y−5=0B. 11；3x+2y−5=0C. 13；2x−3y+1=0D. 11；2x−3y+1=07.已知函数f(x)的定义域为(−3,3)，且f(x)={lg 3−x 3+x +2x−3,−3<x <0,lg 3+x 3−x−2x +3,0⩽x <3.若3f[x(x−2)]+2>0，则x 的取值范围为( )A. (−3,2) B. (−3,0)∪(0,1)∪(1,2)C. (−1,3)D. (−1,0)∪(0,2)∪(2,3)8.已知x x−1≥ln x +ax 对∀x >0恒成立，则a 的最大值为( )A. 0B. 1eC. eD. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。

2020届高三数学章末综合测试题(20)计数原理、概率、随机变量及其分布

2020届高三数学章末综合测试题（20）计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A 33＝6个，后者有C 13·A 33＝18个，共24个．2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 C T r ＋1＝C r 24(x )24－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24x 12－56r ，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共5项，故选C.3．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元解析 C 设11时至12时销售额为x 万元，由直方图，得0.10.4＝2.5x，∴x ＝10. 4．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析 B 对于T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，则含x 4的项的系数是C 25(－1)2＝10.5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ( )A.13B.35 C.34D.56解析 A 由题意1－(1－p )4＝6581，p ＝13.6．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )(参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析 B P (200－18<X ≤200＋18)＝0.682 6.7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种解析 B 不受限制的选法有A 37＝210种，其中全为男生的选法有A 34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310B.25C.12D.35解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n ＝10，不相克的事件数为m ＝10－5＝5，∴m n ＝510＝12.9．已知C 7n ＝C 711＋C m11，则m ，n 的值为( )A ．m ＝7，n ＝12B ．m ＝7，n ＝11C ．m ＝6，n ＝11D ．m ＝6，n ＝12解析 D ∵C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，∴n ＝12，m ＝6.10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为( )A.27B.29C.310D.15解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A ，第二次抽到中奖券记为事件B ，则两次都抽到中奖券为事件AB .则P (A )＝310；P (AB )＝3×210×9＝115；P (B |A )＝P ABP A ＝115310＝29.11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析 C 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C 12·C 27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C 22·C 17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：甲公司最大值 2 500 最小值 800 极差 1 700 众数 1 200 中位数 1 200 平均数 1 320 标准差433.128 2乙公司最大值 20 000 最小值 700 极差 19 300 众数1 000根据以上的统计信息，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙解析 A 由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13，C 23，C 33，即所求系数是3＋3＋1＝7. 【答案】 714．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34； P (ξ＝1)＝13×13＝19； P (ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；P (ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.【答案】 4915．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝____，b ＝____.解析由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，①∵EX ＝0， ∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，② ∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③ 联立①②③解得a ＝512，b ＝14.【答案】512 1416．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是________．解析试验结果共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.【答案】512三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(1)在(1＋x )n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋13x n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．解析 (1)由已知，得C 2n ＝C 5n ⇒n ＝7. (2)由已知，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128,2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T 4＋1＝C 48(x x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝70x 43x 2.18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ>0)＝710. (1)求文娱队的人数；(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.解析设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队共有(7－x )人，那么只会一项的人数是(7－2x )人．(1)∵P (ξ>0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，∴P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，∴7－2x6－2x 7－x6－x ＝310，∴x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，ξ的概率分布为：ξ 0 1 2 P31035110∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×10＝5.20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产缺损零件数y (件)11985(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解析 (1)根据表中的数据画出散点图，如图：(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i1761269640x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729， a ^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.∴y ∧＝0.729x －0.863.(3)令0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.(2)显然，随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34，故P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝2764.ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 P125636427128276481256∴Eξ＝0×1256＋1×64＋2×128＋3×64＋4×256＝3.22．(12分)在2020年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．(1)求这名大学生先去买火车票的概率；(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．解析 (1)设先去买火车票的概率为P (A )，先去买汽车票的概率为P (B )，则由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝3P B ，PA ＋PB ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝0.75，PB ＝0.25.即先去买火车票的概率为0.75.(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45， ∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：ξ 120 280 P0.450.55Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.。

2020届河北省保定市高三上学期10月摸底考试数学(理)试题(解析版)

（2）设从A到D汽车的速度为50km/h，从D到C火车的速度为100km/h，求由A经D到C所用的最短时间.
【答案】（1），（2）10.75h
【解析】（1）在中，由正弦定理，求得，，进而求得
（2）根据题意，设，再用导数求解.
【详解】
（1）在中，由正弦定理得
，
，，
（2）设
，
令，得
因为，
,解得或（舍去）
所以 ,
∴
而
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.
20．在一带一路战略引领下，某企业打算从生产基地A，将货物经过公路运输到仓储点D，然后再由列车运输到目的地点C（如图），已知，，，记 .
（1）试用表示AD与CD；
（2）因为，所以，
即数列为首项为1，公差为2的等差数列
所以，
时，，
时，
结合（1）可知：
∴ ，
∴
【点睛】
本题主要考查了等差中项的应用、等差数列的前项和、裂项求和法，需熟记公式，属于中档题.
22．已知函数 .
（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；
（2）若，，对，恒成立，求的最大值.
.
故 .
又由正弦定理 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.
15．如图，某城市人口呈指数（，，，）增长，则该城市人口从8万人开始增长到16万人，大约需要经过________年.
【答案】20
【解析】根据图象，函数过点（20，10），（40，20）建立方程组，解得，当人口从8万人开始增长到16万人，建立方程组，利用所得数据求解.

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。

河北省衡水市衡水中学2025届高三3月份模拟考试英语试题含解析

河北省衡水市衡水中学2025届高三3月份模拟考试英语试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．Many young people just can’t live without the Inte rnet, they depend on for whatever information they need. A．which B．when C．where D．what2．________enough money, the young man was unable to buy his girlfriend expensive jewelry.A．Not to save B．Not savingC．Not having saved D．Not saved3．Our company is seeking for a manager, especially ________ with creativity and imagination.A．the one B．eachC．one D．that4．—To apply for a short-term study visa in the UK, I have to be able to speak some English, but I want to go there just to learn English.—Oh, it’s really____.A．a confidential source B．a catch-22 situationC．a Pandora’s box D．a Herculean task5．Nobody knows why the boy can tell what’s written on the paper in another room without looking at it. It really_______ explanation.A．prevents B．challenges C．interrupts D．confuses6．The whole nation is struggling to work out an inexpensive ______ effective solution to smog.A．yet B．still C．or D．though7．After I left _______ Linchuan No.2 Middle School, I began college classes in _______ September 2010.A．a; the B．不填; the C．the; the D．不填；不填8．This was returned because the person ________ this letter was addressed had died three years ago.A．to whom B．to whichC．which D．whom9．— I am worn out. —Me too, all work and no play. So it’s time to ________.A．burn the midnight oil B．push the limitsC．go with the flow D．call it a day10．—Jenny, how was your trip to Beijing?—Oh, I missed it. I wish I ________ my vacation there.A．am spending B．will spend C．have spent D．had spent11．Many people fall into pa nic due to the earthquake and tsunami in Japan but experts don’t expect this to be ________ as proper measures have been taken.A．compulsory B．contemporary C．temporary D．permanent12．The bus would not have run into the river ________ for the bad tempered lady.A．if it were not B．had it not beenC．if it would not be D．should it not be13．As often happens after long sleeplessness, he was ________ by an unreasoning panic.A．seized B．fascinatedC．impressed D．embarrassed14．Could I speak to__________ is in charge of International Sales please?A．who B．whatC．whoever D．whatever15．Parents need to encourage kids to develop their potential _____ putting too much pressure on them.A．without B．besidesC．by D．for16．A grand banquet was held by Elizabeth II _____ President Xi’s current state visit to the UK.A．in terms of B．in honor ofC．in favor of D．in memory of17．AlphaGo’s beating Go grandmaster Lee Sedol 4-1 has ________ an international debate about whether robots will completely take the place of humans.A．give off B．work outC．set off D．put out18．– She will finish the project within three days!-- ______________! I could do it in three hours.A．Y ou are right. B．I’m stuck. C．Oh, come on D．Don’t mention it.19．If I _____it wi th my own eyes ,I wouldn’t have believed it.A．didn’t see B．weren’t seeingC．wouldn’t see D．hadn’t seen20．If it _____ earlier, the printing machine would not have broken down．A．has been repaired B．is repairedC．had been repaired D．was repaired第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

衡水2020届高三第三次联考(附答案)(1)

1. A E解析】由题意知M= {xlx<-1或x >O} ,N=
2COC+OJ)十OJ = 2α：：＋30J，所以m = 2,n = 3，所
{x lx>2｝所，以M二N.故选A. 2. C E解析E z= c2+D 2 = 3+4i，所以z的虚部为4.故
选 c.
以n主＝三.i ．故选B. 10. D E解析】如图，
理科鼓学试题第 4页（共4页）
河北衡水中学2020 届全国高兰第兰次联合考试 CI)
·理科数学·
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河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（ I ) .理科数学
－、选择题
9. B 一－[，M :一tl一rl，由--平--.行四一边－”形法一一则，，，在＝200＋δj=
B. 8
C.12
D.16
理科数学试题第2页（共4页）
11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可
知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以
下结论：
①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中
c
A点和B点；②己知地球公转轨道的长半轴长约为149 600 000千
个主要的数学模型．在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边
可以是直线段，也可以是曲线段．我们规定图中元重边（即两个点之间最多只有一条边）且
无孤立点（即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连）．现有 A,B,C,D 四个点，若图
中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为
A.4
94 3.8% 290 19.9%

河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题(含答案解析)

河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}321330,12A x x x x B x x ⎧⎫=--+<=+≥⎨⎬⎩⎭∣，则（）A ．()3,1,32AB ⎛⎫⋃=-∞-⋃ ⎝⎭B ．()1,1,2A B ⎡⎫⋃=-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．()(),11,3A B ∞⋂=--⋃D ．31,,322A B ∞⎛⎡⎫⋂=--⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝∣2．已知复数122z =-+，则20231ii z =∑的值为（）A ．12-+B ．122--C ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有2,CE ED AE = 与对角线BD 交于F ，则AF =（）A ．1233AB AD +B ．3144AB AD +C ．1344AB AD+D ．13AD AB+4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例.则椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（）A ．24π3a bB ．24π3ab C ．34π3aD ．34π3b5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（）A ．110B ．15C ．310D ．256．已知()()()π2tan 0,,023f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎝⎭，周期π3ππ,,,0446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．B CD ．7．若2ln1.01,,1201a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c ba <<8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长2l ∈∣，则其体积的取值范围是（）A ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27⎡⎢⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎣二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，,αβ为不同的两个平面，若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥C ．,m n 为不同的直线，α为平面，若//,//m n αα，则m n ∥D ．,m n 为不同的直线，α为平面，若,m n αα⊥⊥，则m n∥10．关于函数()331f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 的图像关于原点对称C ．()f x 有三个零点D ．2sin10︒是()f x 的一个零点11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点()1,2,M 是C 准线l 上的一点，F 为抛物线焦点，过M 作C 的切线,MA MB ，与抛物线分别切于A B ､，则（）A ．C 的准线方程是1x =-B ．2||MF FA FB=C ．2||AM AF AB=D ．0MA MB ⋅≠ 12．直线l ：y ax =与e x y =的图象交于()11,A x y 、()22,B x y 两点()12x x <，e x y =在A ､B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（）A ．ea ≤B ．点C 的横坐标大于1C ．12x x -<D ．CD 的斜率大于0三、填空题13．()623x y ++中4x y 的系数为__________（用数字作答）.14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程__________.①焦点在x 轴上②渐近线与圆22(2)3x y -+=有交点15．已知函数()()(),f x g x g x ､的图像关于1x =对称，且()()()()()1,121,13f x g x f x g x g -=++-==，则231()i f x ==∑__________.16．已知224x y +=__________.四、解答题17．已知数列{}n a 满足()12n n n a a S +=，其中n S 是{}n a 的前n 项和.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若121,2a a ==，求()121n n n n n a b a a +-=的前n 项和n T .18．在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2222222a b c a R a a c b +--=+-，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角.(1)若π6B =，求A 的大小；(2)求2222a c b-的最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面,ABCD O 为AB 中点，AC 与OD 交于点,E PAB 的重心为G.(1)求证：EG //平面PCD(2)若5,8,4PA PB AB BC ====，求二面角C GE D --的正弦值.20．某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布()10,0.25X N ~（单位：mm ）.(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在()8.5,11.5之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：15(33)0.9973,0.99730.9603P X μσμσ-<<+=≈）(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．已知()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足PA 与PB 的斜率之积为34-.(1)求P 的轨迹C 的方程.(2)12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，1l 交椭圆于2,MN l 交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和.22．已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈(1)求()f x 在()0,0处的切线方程；(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证：①2a <；②12ππa x x a -≤--.参考答案：1．B【分析】根据因式分解以及数轴穿根法可化简A ,由绝对值不等式可求解,B 根据集合的交运算和并运算即可求解.【详解】{}()()(){}{3233011301A xx x x x x x x x x =--+<=+--<=<-∣∣或}13x <<，11122B x x x x ⎧⎫⎧=+≥=≥⎨⎬⎨⎩⎩⎭或32x ⎫≤-⎬⎭，所以()1,1,2A B ⎡⎫⋃=-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，()3,1,32A B ⎛⎤⋂=-∞-⋃ ⎥⎝⎦，故选：B 2．A【分析】根据复数i 的性质计算可得31z =，由此利用等比数列的前n 项和公式计算20231i i z =∑，即可求得答案.【详解】由于复数13i 22z =-+，故221313(i)i 2222z =-+=--，3131313(i)(i)1222244z =---+=+=，故()()()2023674312023122023111113i 11122i i z z z z z z z z z z z zzz ⨯+=---=+++=====-+---∑ ，故选：A.3．C【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】如图，正方形ABCD 中，2CE ED = ，则3131DE CD AB==因为AB CD ∥,所以DEF BAF ∽ ,则13EF DE AF AB ==,故3333131()4444344AF AE AD DE AD AB AD AB ==+=+⨯=+ ,故选：C4．B【分析】将半椭圆()222210x y y a b+=≥和半圆()2220x y b y +=≥绕着x 轴旋转一圈后，利用垂直于y 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S 、S '，计算出SS '，再利用题中结论以及球体的体积公式可求得结果.【详解】如下图所示：直线y h =交半椭圆()222210x y y a b+=≥于A 、B 两点，交半圆()2220x y b y +=≥于C 、D 两点，由题意可得ABa CDb =，将半椭圆()222210x y y a b+=≥和半圆()2220x y b y +=≥绕着x 轴旋转一圈后，利用垂直于y 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S 、S '，由题意可知21414AB CD S a S b CD ππ⋅⋅=='⋅，设半椭圆()222210x y y a b+=≥绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V ，半圆绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V '则V a V b ='，所以，324π4π33a ab ab V V b b '==⋅=.故选:B 5．C【分析】根据每个数的因数个数，根据组合数的计算即可计算总数，列举即可求解所满足要求的个数，由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】11的因数有11和1，共有2个因数，12的因数有1，2，3，4，6，12，共有6个，13的因数有13和1，共有2个因数，14的因数有1，2，7，14，共有4个，15的因数有1，3，5，15，共有4个，从5个数中选两个数，共有25C 10=种选择，而2个数的因数个数之和为8，则这两个数可以是11和12，或者12和13，或者15或14，共三种，故2个数的因数个数之和为8的概率是310故选：C 6．D【分析】根据条件()03f =，列出方程即可求得ϕ，然后根据对称中心以及周期范围求出ω，即可得到()f x 的解析式，从而得到结果.【详解】因为()()π2tan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，由()03f =可得2tan tan 33ϕϕ=⇒=，且π2<ϕ，所以π6ϕ=，又因为π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故πππ,662k k ω+=∈Z 解得31,k k ω=-∈Z且π3π,44T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ34π4443ωω<<⇒<<所以，当1k =时，2ω=即()π2tan 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2tan 23363f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:D 7．B【分析】由于ln1.01ln(10.01),11a c ==+==，故构造函数()ln(1)1,(0)f x x x =+->，利用导数判断其单调性，可比较,a c的大小，根据()20.01ln 10.01,20.01a b ⨯=+=+，构造函数2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+，判断其单调性，可比较,a b 大小，由此可得答案.【详解】由于ln1.01ln(10.01),11a c ==+==，故设函数()ln(1)1,(0)f x x x =+->，则1()1f x x '==+0x >，由于222(1)0x x -+=-<，所以22(1)x <+，(1)0x +<，即()0f x '<，故()ln(1)1,(0)f x x x =++>为单调递减函数，故()(0)0f x f <=，即ln(1)1,(0)x x +<->，令0.01x =，则ln(10.01)1+<，即a c <；又220.01ln1.01ln(10.01),20120.01a b ⨯==+==+，令2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+，则22214()0,(0)1(2)(1)(2)x g x x x x x x '=-=>>++++，即2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+为单调递增函数，故()(0)0g x g >=，即2ln(1),(0)2xx x x+>>+，令0.01x =，则20.012ln1.0120.01201⨯>=+，即a b >，故b a c <<，故选：B【点睛】关键点点睛：此类比较数的大小的题目类型，一般是要构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，关键是要能对数的特征进行变化，根据数的特征选定自变量，从而构造函数.8．B【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.【详解】如图所示：设该正六棱锥的高1PO h =，侧棱长为a ，设该正六棱锥外接球的半径为r ，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有216π4π2r r =⇒=，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以2h ≥，设OPB θ∠=，在正六边形ABCDEF ，因为正六边形边长为l ∣，所以1O B l =，在OPB △中，由余弦定理可知244cos 224a aa θ+-==⋅，在直角三角形1O PB 中，cos h a θ=，所以有2cos 44h a a h a θ==⇒=，由勾股定理可知222222244h l a h l h l h h +=⇒+=⇒=-，因为2l ∈∣，所以2[3,4l ∈∣，因此有234413h h h ≤-≤⇒≤≤，而2h ≥，所以23h ≤≤，该正六棱锥的体积223116(4)(4)32222V l l h h h h h h =⨯⨯⋅⋅⋅=-=-，28()(83)(223V h h h h h '=-=--，当823h ≤<时，()0,()V h V h '>单调递增，当833h <≤时，()0,()V h V h '<单调递减，所以max 8()()3V h V ==(2)(3)V V ==，(2)(3)V V <，所以min ()V h =，因此该正六棱锥的体积的取值范围是⎡⎢⎣⎦，故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质求值域是解题的关键.9．BD【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错，对于B ，由于,m m αβ⊥⊥，所以αβ∥，故B 正确，对于C,若//,//m n αα，则,m n 可以异面，也可以相交，也可以m n ∥，故C 错误，对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确.故选：BD 10．ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，作图，根据图像变换，结合奇偶性，函数零点的定义，可得答案.【详解】对于函数()331f x x x =-+，求导可得：()()()233311f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得1x =±，可得下表：x (),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+-+()f x 极大值极小值则()()13f x f =-=极大，()()11f x f ==-极小，即可作图，通过图像可知，()f x 有两个极值点，故A 正确；函数()f x 的图像不关于原点对称，故B 错误；函数()f x 有三个零点，故C 正确；因为()sin 3sin 2sin cos 2cos sin 2θθθθθθθ=+=+()2sin 12sin cos 2sin cos θθθθθ=-+⋅()32sin 2sin 2sin 1sin θθθθ=-+-33sin 4sin θθ=-即()31sin 3sin sin 34θθθ=-将2sin10︒代入()f x 解析式可得，()()332sin102sin102sin1018sin 106sin1013f =-︒︒︒+=︒⨯-︒+()3sin10sin 30sin1011864=︒⨯--︒︒+sin102sin 306sin10106=︒-︒-︒+=，故D 正确.故选:ACD 11．ABC【分析】根据抛物线过的点，确定p 的值，求得抛物线方程以及准线，判断A;设切线方程为(1),0y k x m k =++≠,利用判别式可得1212,1k k m k k +=-=-，判断D;再证明,,A B F 三点共线，以及证明MF AB ⊥，即可判断BC .【详解】由抛物线C ：22(0)y px p =>过点()1,2，可得42,2p p =∴=，即24y x =，设焦点为,(10)F F ，,则C 的准线方程是12px =-=-，A 正确；设点(1,)M m -，先考虑0m ≠情况，则过点M 作C 的切线,MA MB ，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为(1),0y k x m k =++≠，联立24y x =，可得24440m y y k k-++=，则21616(1)0mk k∆=-+=，即210k mk +-=，240m '∆=+>，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则1212,1k k m k k +=-=-，即MA MB ⊥，即0MA MB ⋅=，D 错误；设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，B在第四象限，则12y y ==-，由于24y x =，对于曲线在第一象限内部分有y y '==,则1k =对于曲线在第四象限内部分有y y '=-∴=则2k =由于121k k =-12(1x x =-∴=1,，则2121212()1416,4y y x x y y ==∴=-，由于0m ≠，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ux v =+，联立24y x =，得2440v y y u u -+=，故121244,4,v y y y y u v u u+===-∴=-，则直线AB 的方程为(1)y ux u u x =-=-，即直线AB 过定点(1,0)F ，所以,,A F B 三点共线，由于121212122422211AB k k k u y y k k m m k k -======++-+，2MF mk =-，故1,AB MF k k MF AB =-∴⊥,在Rt AMB △中，MFB AFM AMB ∽∽V V V ,则2||MF FA FB =，2||AM AF AB =，当0m =时，即(1,0)M -,,A B 关于x 轴对称，12120,1k k k k +==-，0MA MB ⋅=成立；此时AB 斜率不存在，不妨取121,1k k ==-，则:1,:1MA y x MB y x =+=-+，联立24y x =，解得(1,2),(12)A B -，,则AB 过定点(1,0)，且MF AB ⊥,则2||MF FA FB =，2||AM AF AB =成立，综合上述，BC 正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决此类关于直线和抛物线的位置关系类题目，要注意设直线方程，并联立抛物线方程，得根与系数的关系，然后化简，这是解决这类问题的一般解决方法，解答此题的关键在于要注意到证明直线AB 过定点(1,0)F ，即,,A F B 三点共线，然后证明MF AB ⊥.12．BC【分析】通过AB 为两函数图象交点，转化为直线y a =与曲线exy x=有两个不同的交点，研究e xy x=的图象，数形结合可判断A ；联立两条切线求得点C 的横坐标，利用极值点偏移思想可求得12,x x 之间关系，即可判断B ；通过构造函数建立2e ,(2e)1x ax x a x --+-+之间的关系，将问题转化为二次函数两根之间距离问题可判断C 正确；化简CD k ，结合前面的条件可判断D.【详解】对A ，因为直线y ax =与曲线e x y =交于()11,A x y 、()22,B x y 两点()12x x <，e e xxax a x=⇔=有两个不同正根，即直线y a =与曲线exy x=有两个不同的交点.2e e (1)(x x x x x-'= e x y x ∴=在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，且min e y =，0,,,x y x y →→+∞→+∞→+∞e a ∴>，故A 错误.对B ，由题意得，1212e ,e x xax ax ==()12x x <∴1201x x <<<e ()=xg x x，设()()(2(01)h x g x g x x =--<<），()()()'2222e e e e 122x x x x h x x x x x x --⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪--⎢⎭⎣'⎥⎝⎦令23e e (2)(),()x x x m x m x x x -'==()m x ∴在(0,2)单调递减.(0,1),2(1,2)()(2)x x m x m x ∈-∈∴>- ，()0,()h x h x '∴<在(0,1)单调递减，()(1)0,()(2)h x h g x g x ∴>=>-.1201x x <<< ，11()(2)g x g x ∴>-又1221()()()(2)g x g x g x g x =∴>-，212112(2,),2(2,)2,2x x x x x x ∈+∞-∈+∞∴>-+> .AC 的方程：111e e ()x xy x x -=-，BC 的方程：222e e ()x x y x x -=-，联立可解得12122212121212e e 1111e e x x x x x x ax ax x x x ax ax --=-=-=+->--，故选项B 正确.对C ，设()()()2e 2e 1,e 22e x xs x ax x a x s x x ⎡⎤=---+-+=-+-⎣'⎦，()e 20,ln 2x s x x ''=-==，(0,ln 2),()0,(ln 2,),()0x s x x s x ''''∈<∈+∞>，且(1)0s '=，min ()(ln 2)(1)0,s x s s '''=<=(0)0s '> ，设(0,1)m ∈,(0,),()0,(,1),()0,(1,),()0x m s x x m s x x s x '''∈>∈<∈+∞>，(0)(1)0s s == ，min ()0,s x =()()2e 2e 10x s x ax x a x ⎡⎤∴=---+-+≥⎣⎦，2e (2e)1x ax x a x ∴-≥-+-+，12,x x 是e 0x ax -=的两个根，34,x x 是方程()22e 10x a x -+-+=的两根，1234x x x x ∴-<-=C 正确.对D ，12121212()(,(1,)22x x a x x D C x x ax x +++- []1212122()2CD a x x x x k x x -+∴=+-，12e,2,a x x >+> 1201x x <<<，设2()e (ln ),()e (ln )2x xa f x ax x a f x ax a x a '=---=---，()e x f x a ''∴=-.(0,ln ),()0,()(ln )0x a f x f x f a ''''∈<>=，(ln ,),()0,()(ln )0x a f x f x f a ''''∈+∞>>=，(0,),()0,x f x '∴∈+∞≥()f x 在(0,)+∞单调递增，且(ln )0f a =，22(0,ln ),e (ln )0,e (ln ),22x x a ax a ax x a ax x a ∈---<-<-22(ln ,),e (ln )0,e (ln ),22x x a ax a ax x a ax x a ∈+∞--->->-1201x x <<< ，221212(ln )(ln ),ln ln ,22a ax a x a a x x a ->-->-122ln x x a ∴+<，12221212e ,1x x a x x a x x +∴=<<.也可以利用对数均值不等式证明如下：对数均值不等式：ln ln 2b a a bb a b a -+>><<-，1201x x <<<，211221ln ln 2x x x xx x -+<<-，12121122e ,e ln ln ,ln ln x x ax ax a x x a x x ==∴+=+= ，11222121ln ln ,ln ln x x x x x x x x -=--=-，21211ln ln x x x x -∴=-，121,12x x +<>，即12x x <1,122x x +>，0CD k <.所以D 错误.故选：BC【点睛】函数综合问题的处理，要通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合图象寻找等与不等关系，研究问题需要探究的结论，选择题还要注意特值，验证，排除等方法的灵活运用.du 13．1620【分析】()623x y ++的二项展开式的通项为()()6216C 3rrrr T x y -+=+，令()624rx x -=，再求出()43y +展开式中y 的系数，从而可求解.【详解】()()622633x y x y ⎡=+++⎤⎣⎦+，其二项展开式的通项为()()6216C 3rrrr T x y -+=+，要得到4x y ，则()624rx x -=，解得4r =.()43y +的二项展开式的通项为414C 3kkk k T y-+=，令41k -=，可得3k =.故()623x y ++中4x y 的系数为43364C C 3=154271620⨯⨯⨯⨯=.故答案为:1620.14．221x y -=（答案不唯一）【分析】根据直线与圆22(2)3x y -+=有交点，确定双曲线的渐近线方程，进而可写出双曲线方程.【详解】不妨设双曲线的渐近线方程为()0y kx k =±>，22(2)3x y -+=的圆心为(2,0)因为渐近线与圆22(2)3x y -+=有交点，所以圆22(2)3x y -+==，解得0k <≤故取1k =，双曲线的渐近线方程为y x =±，此时焦点在x 轴上的双曲线方程为221x y -=，故答案为：221x y -=（答案不唯一）15．26【分析】由题意可得()()2g x g x =-，故可得()()12f x f x ++=，可得()f x 的周期为2.由()13g =可得()1f ，故可求解.【详解】因为()g x 的图像关于1x =对称，所以()()2g x g x =-.所以()()()()1,11f x g x f x g x ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，两式相加可得()()12f x f x ++=.故()()122f x f x +++=，可得()()2f x f x =+.故函数()f x 的周期为2.因为()()()1,13f x g x g -==，所以()()1114f g =+=.所以()()()()()()()231()1234212223i f x f f f f f f f =⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ()()22223221224262f f =⨯+=+=+=.故答案为:26.16【分析】将原式变形为t ===为求)min min ,2t PM PN M ''''=+=再利用几何意义及相似求解即可.【详解】设t ===+令圆224x y +=上任意一点()()(),,0,2,1,0P x y M N ，则12t PM PN =+设()(),0,0,,N n M m ''使得,PN PM ''==，则()min min ,2t PM PN M ''''=+=又12ON ON OM OM =⎧=⎪∴⎨=''''⎪⎩=)(N M ''由勾股定理可得：2N M ''=M ''=17．(1)见解析(2)1221n n n T +-=+【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得()()1121n n n a a n a --=-+-，根据此递推关系即可根据等差中项求证，（2）根据裂项求和即可求解.【详解】（1）由()12n n n a a S +=得：当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，两式子相减得()()1121n n n a a n a --=-+-①，因此可得()111n n n a a na +-=-+②，①②相减得：()()()112211n n n n a n a n a +--=-+-，由于10n ->，所以112n n n a a a +-=+，所以{}n a 是等差数列；（2）由（1）知{}n a 是等差数列，121,2a a ==，所以n a n =，因此()()()1121212211n n n n n n n n a n b a a n n n n ++--===-++，所以12231122222222122311n n n n n n T n ++⎛⎫⎛⎫=++⎛⎫---=-⎪++⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .18．(1)π6(2)7【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出A 的大小.(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解2222a c b -的最小值.【详解】（1）在ABC 中，()2222222cos 2c 2os a b c a R a a c Bb a bc Aac +--=+-⨯= cos cos b AB=，进而2cos cos cos R B a B b A -=，2cos 2sin cos 2sin cos R B R A B R B A -=，cos sin cos cos sin B A B A B ∴=+sin()sin A B C =+=，又A 不为直角，则π2B C +≠，π2C B ∴=+，π6B =，ππ6A B C ∴=--=.（2）由(1)知，()2222222a b c a R a a c b +--=+- 转化为cos sin B C =，又πA B C ++=，π2C B =+，π22A B ∴=-.2222a c b -∴2222sin sin sin A CB -=222222π2sin (2)cos 2cos 2cos 2sin sin B BB B B B ---==()()22242222212sin 1sin 8sin 8sin 21sin sin sin B B B B BBB----+-+===422228sin 7sin 118sin 7sin sin B B B B B-+=+277≥=-，当且仅当2218sin sin B B =，即sin B =2222a c b -∴的最小值为7.19．(1)证明见解析；【分析】（1）由题可得EG //PD ，然后根据线面平行的判定定理即得；（2）根据面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【详解】（1）因为PAB 的重心为G ，O 为AB 中点，所以13OG OP =，又1//,2OA CD OA CD =，所以12OE DE =，即13OE OD =，又13OG OP =，所以OE OG OD OP=，所以EG //PD ，又PD ⊂平面PCD ，EG ⊄平面PCD ，所以EG //平面PCD ；（2）因为PA PB =，O 为AB 中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图以O为原点建立空间直角坐标系，则()()()444,4,0,4,4,0,0,0,1,,,033C D G E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以8164488,,0,,,1,,,0333333EC GE ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面CGE 的法向量为(),,m x y z=，则81603344033m EC x y m GE x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ ，令1y =-，可得()2,1,4m =- ，设平面GED 的法向量为(),,n a b c = ，则8803344033m ED a b m GE a c ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ ，令1a =，可得()1,1,0n = ，所以cos ,42m n m n m n ⋅=⋅ ，所以二面角C GE D --42.20．(1)见解析；(2)0.【分析】（1）()8.511.50.9973P X <<=，故至少有1个次品的概率为1510.99730.0397-≈，根据小概率事件说明即可；（2）次品的概率为10.99730.0027-=，设次品数为Y ,则()~100,Y B p ，其中0.0027p =，设次品数最可能是k 件，则()()()()100101111001001009911100100C 1C 1C 1C 1k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p ------++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为()210,0.5X N ~，所以()8.511.50.9973P X <<=,所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1510.99730.0397-≈，如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.（2）次品的概率为10.99730.0027-=，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ,则()~100,Y B p ，其中0.0027p =，故()()100100C 1k k k P Y k p p -==-，设次品数最可能是k 件，则()()()()100101111001001009911100100C 1C 1C 1C 1k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p ------++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，即()()()()()()()()100!100!1!100!1!101!100!100!1!100!1!99!p p k k k k p p k k k k ⎧⋅≥⋅-⎪---⎪⎨⎪⋅-≥⋅⎪-+-⎩，即110111001p p k k p pk k -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-+⎩，解得()1011101p k p k *-≤≤∈N .因为0.0027p =，所以1010.2727,10110.7273p p =-=-，故0k =.故这100个零件中的次品数最可能是0.21．(1)221(2)43x y x +=≠±；(2)0.【分析】（1）根据直线斜率公式，结合已知进行求解即可；（2）根据四点共圆的性质，结合直线的参数方程进行求解即可.【详解】（1）因为(),P x y 满足PA 与PB 的斜率之积为34-，所以有223(2)1(2)22443y y x y x x x x ⋅=-≠±⇒+=≠±+-；（2）设00(,)D x y ，因为D 在C 内，所以22220000131243x y x y +<⇒+<，设1l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，α为直线1l 的倾斜角，把00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩代入221(2)43x y x +=≠±中，得222220000(3cos 4sin )(6cos 8sin )34120t t x y x y αααα+++++-=，22220000122222341212(34)3cos 4sin 3cos 4sin x y x y t t αααα+--+==++，即2200122212(34)3cos 4sin x y PA PB t t αα-+⋅==+，设直线2l 的倾斜角为β，上式用β代α，同理可得2200342212(34)3cos 4sin x y PE PF t t ββ-+⋅==+，因为12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，1l 交椭圆于2,MN l 交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，所以由圆的相交弦定理可知：22220000222212(34)12(34)3cos 4sin 3cos 4sin x y x y PA PB PE PF ααββ-+-+⋅=⋅⇒=++，因为2200312x y +<，所以有222222223cos 4sin 3cos 4sin 3sin 3sin sin sin ααββαβαβ+=+⇒+=+⇒=，因为,αβ是直线的倾斜角，所以sin 0,sin 0αβ≥≥，所以22sin sin sin sin αβαβ=⇒=，因为12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，所以αβ≠，因此由sin sin ππtan tan(π)tan tan αβαβαβαβαβ=⇒+=⇒=-⇒=-⇒=-，设12,l l 的斜率为12,k k ，因此有12120k k k k =-⇒+=，即这两条直线斜率之和为0.【点睛】关键点睛：利用直线的参数方程、圆的相交弦定理是解题的关键.22．(1)πy x =；(2)①证明见解析；②证明见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出；（2）①令[]π0,πx t -∈=，方程()f x a =在定义域上有两解12,x x ，等价转化()()sin f x t t t a ϕ===在[]0,π上有两个不同的根，再判断出函数()t ϕ的单调性，求出最值，由直线y a =与函数()t ϕ在[]0,π上的图象有两个交点，即可证出；②根据①，再利用“切线夹”原理放缩即可证出．【详解】（1）因为()sin (π)cos f x x x x '=-+-，所以(0)πf '=，即()f x 在()0,0处的切线方程为πy x =．（2）①易得()00f =，()π0f =，因为()()()()πsin πsin πf x x x x x =-=--，设[]π0,πx t -∈=，所以()()sin f x t t t ϕ==，所以()f x a =在定义域上有两解12,x x 等价于()t a ϕ=在[]0,π上有两个不同的根12,t t ，即直线y a =与函数()t ϕ在[]0,π上的图象有两个交点.因为()sin cos t t t t ϕ'=+，易知当π0,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0t ϕ'>，当π,π2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，设()()sin cos h t t t t t ϕ'==+，()2cos sin 0h t t t t '=-<，而ππππsin cos 102222ϕ⎛⎫'=+=> ⎪⎝⎭，()πsin ππcos ππ0ϕ'=+=-<，所以存在唯一的0π,π2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()00t ϕ'=，即000sin cos 0t t t +=，故当0π,2t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增，()0,πt t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，综上可知，当()00,t t ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增，()0,πt t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，()max 000sin f t t t ϕ==，所以max 0a f ≤<.设()2sin F x x x =-，[)2,πx ∈，()2222cos 2cos x x F x x x x+'=+=，设()2cos 2H x x x =+，所以()()22cos sin 2cos sin 0H x x x x x x x x x '=-=-<，因为π2π3<<，所以11cos 22-<<-，()24cos 220H =+<，从而，()F x 在[)2,πx ∈上递减，故()()2sin 210F x F ≤=-<，即2sin x x <，当π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，显然2sin x x <，故()0,πx ∈时，2sin x x <恒成立.故()max 000sin 2f t t t ϕ==<，即方程()f x a =在定义域上有两解12,x x 时，02a ≤<，原命题得证.②由①知，设[]π0,πx t -∈=，所以()()sin f x t t t ϕ==，所以()f x a =在定义域上有两解12,x x 等价于()t a ϕ=在[]0,π上有两个不同的根12,t t ，不妨设12t t <，且02a ≤<，所以121221x x t t t t -=-=-，设()()sin ππs t t t t =+-，[]0,πt ∈，所以()()sin ππsin cos ππ0s t t t t t t t t '=+-=++≥-≥，所以，()()π0s t s ≤=，即()sin ππt t t ≤--，又sin t t t ≤，所以，1111sin a t t t t a =≤⇒≥，()2222sin ππππa a t t t t =≤--⇒≤-，即21ππa t t a -≤--，所以12ππa x x a -≤--，原不等式得证.【点睛】本题第二问的解题关键是等价转化，一是方程根的个数转化为图象的交点个数，二是利用“切线夹”将直线与函数的图象交点的横坐标之差，转化为研究直线与两条切线之间的交点的距离之差，再根据位置关系从而证出．。