(7)(教师版)考点专题七 函数(1)

考点专题七 函数第1课时 函数的概念与反函数【考情分析】从近四年的高考试卷分析来看，理科对于函数的知识每年考查5到6题，所占的分值比例为17%左右，难度以中等题、较难题为主；文科对于函数的知识每年考查5到6题，所占的分值比例为18%左右，难度以中等题、较难题为主.本专题的知识是整个高中数学的重点内容和主干知识，是高考数学每年必考的内容，高考对本专题知识点的考查形式灵活多变，可单独考查，也可作为载体与其他知识结合考查. 本专题的知识以填空题、选择题、解答题的形式均有考查，理科主要考查反函数，分段函数，函数模型，函数的奇偶性、单调性，指数函数、对数函数的图像和性质，指数方程和对数方程等知识；文科主要考查反函数，分段函数，函数的应用，二次函数的最值，函数的奇偶性、单调性，指数函数的图像和性质，指数方程和对数方程等知识.本专题知识常与一元二次不等式、数列、解析几何、三角函数等知识结合考查，涉及到的思想方法主要有分类讨论、函数与方程和数形结合.【重难点知识梳理】一、反函数难点：1.原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，在解决有关原函数与反函数的图像的相关问题时，要注意学会运用这一性质解题.2.原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域.当已知点),(b a 在反函数的图像上，求原函数的解析式时，可利用这一性质将点),(a b 代人原函数的解析式求解，这样可简化运算.易错点：求反函数的解析式时容易忽略函数的定义域而造成错误. 二、分段函数难点：分段函数的解析式不能用同一个式子来表示，这时需要通过分段来表示，分段时要做到不重不漏，即要保证各段上的函数的定义域的并集为函数的定义域，交集为空集，同时还要保证每一个分段上的函数解析式均是正确的. 易错点：1.写分段函数的解析式时，分段不正确. 2.没有将函数的解析式写成分段的形式. 三、函数模型 难点：正确判断函数模型，如分段函数，一元二次函数，指数、对数函数等常见的函数模型. 易错点：利用函数解应用题时易忽略实际问题的限制条件.【基础练习】定义域、值域、反函数、零点、函数值1.函数142--=x x y 的定义域为_______________.【答案】[)(]2,11,2 -2.函数)0(1)(2≥-=x x x f 的反函数为)(1x f -，则)2(1-f 的值是_____.【答案】33.函数)1(log )(2≥=x x x f 的反函数为_________________. 【答案】)0(2≥=x y x4.函数312-+=x x y 的值域为___________.【答案】()()+∞∞-,22, 5.已知函数⎩⎨⎧>-<=-.0),1(,0,2)(1x x f x x f x 则)5.3(f 的值为__________.6.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）（2012北京文）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B.【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数.7. 已知函数311()1x x f x x x a⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()02f f ≥，则实数a 的取值范围是 .【答案】(]0,1（2013年10月南洋中学）8.已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（ D ）（2013年10月松江） A ．1(0,]4 B ．1[,)4+∞ C ．1(0,]8D ．1[,)8+∞【例题精讲】例1.设集合函数2ln(28)y x x =--+的定义域为A ,集合B 为函数11y x x =++（1x >-）的值域，集合C 为不等式(1)(4)0ax x ++≤()0a >的解集． （1）求B A ；（2）若R C C A ⊆，求a 的取值范围.解：（1）()4,2A =-，[1,)B =+∞，[1,2)A B = . （2）(][),42,R C A =-∞-⋃+∞ ，当14a >时， 14,C a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，不满足R C C A ⊆，当104a <≤时， 1,4C a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，满足 R C C A ⊆，故所求a 的取值范围是104a <≤ .例 2.对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[,]x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[,]x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。

（1）求证：函数()|1||3|f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式|1||2|()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 解：（1）当[1,3]x ∈时，()132f x x x =-+-=；当(3,)x ∈+∞时，()13242f x x x x =-+-=->； 当(,1)x ∈-∞时，()13422f x x x x =-+-=->。

故存在闭区间[,][1,3]a b R =⊆和常数2C =符合条件。

所以函数()|1||3|f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数。

（2）因为不等式|1||2|()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，所以min |1||2|()t t f x -+-≤。

由（1）可知，min min ()(|1||3|)2f x x x =-+-=，所以|1||2|2t t -+-≤。

①2522322t t t ≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩； ②1113222t t t ≤⎧⇒≤≤⎨-≤⎩； ③12t <<时，不等式显然成立。

综上所述，可知t 的取值范围是15[,]22.例3. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若对任意的R x ∈，0)(<x f 或()0g x <，求实数m 的取值范围.（2012北京文）解：首先看()22x g x =-没有参数，从()22x g x =-入手，显然1x <时，()0g x <，1x ≥时，()0g x ≥，而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可，故只要1x ∀≥时，()0f x <（*）恒成立即可。

当0m =时，()0f x =，不符合（*），所以舍去；当0m >时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<，并不对1x ∀≥成立，舍去；当0m <时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<，注意20,1m x ->≥，故20x m ->，所以30x m ++>，即(3)m x >-+，又1x ≥，故(3)(,4]x -+∈-∞-，所以4m >-，又0m <，故(4,0)m ∈-，综上，m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像的开口，根的大小，涉及到指数函数，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论的思想，对m 进行讨论。

例4.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 （2008上理）【解析】由题目中的提示知，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图像与函数x y 4=的图像交点的横坐标，由题意作出xy 4=与x y =的图象得两个交点A （2，2）、B （－2，－2）. 因x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，所以只需将函数a x y +=3的图像向下平移过A （2，2）点，或向上平移过B （－2，－2）点，由此得实数a 的取值范围是(－∞, －6)∪(6,+∞)【能力强化】1.函数()()1ln 1f x x =+ ）（2012山东文）A [)(]2,00,2-B ()(]1,00,2-C []2,2-D (]1,2- 答案：B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考查. 解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,l n (1)0,0,22,40,x x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈- .2.已知2()121xf x =-+，1()f x -是()f x 的反函数，则13()5f -=2-。

上海市进才中学2013—2014学年第一学期月考二高三数学试卷3.已知函数12)(-=x x f ，则_____)1(=-x f .【答案】32-x4.函数[]5,3,2126)(2∈-+-=x x x x x f 的值域为____________.5.设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π=x 解答：令0)0())((==f g f π.6. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________（2011江苏）解法1：由题意可设直线方程为：y=kx （k>0）,解方程组2y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点为：，4PQ ∴==当且仅当k=1时取等号； 解法2：由函数x x f 2)(=图像的对称性，可设交点为2(,)x x ，2(,)x x--，则4PQ =，当且仅当x =;点评：该题考查函数与方程、直线方程、两点间距离公式以及基本不等式。

解答过程主要有三步：1.求直线与函数xx f 2)(=的图象的交点，2.求两个交点间的距离；3.用基本不等式求最小值。