破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略

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破解椭圆中最值问题的常见策略

有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查，其中以解答题为重,在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。

第一类:求离心率的最值问题

破解策略之一:建立c b a ,,的不等式或方程

例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ,

求此椭圆离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a

x y

k a x y k BQ AQ -=

+=

,, 利用到角公式及0

120=∠AQB 得：0120tan 1=-++

--

+a

x y a x y a x y

a x y （a x ±≠），

又点A 在椭圆上,故2222

2y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b c

ab ≤2

232 则4

2

2

2

3)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432

4≥-+e e 解得

13

6

<≤e 。 故椭圆离心率的最小值为3

6

。（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤,由21()b e a =-,

故

13

6

<≤e ）(注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成

c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。

破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围

例2：已知椭圆C:22

221(0)x y a b a b

+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使

12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。

分析:根据条件可采用多种方法求解,如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解,也会有不错的效果。

解:根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:

α

αβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90sin 221210+=++===a PF PF PF PF c

故22

)

45sin(210

≥+=

αe ，故椭圆离心率的最小值为22。 点评:对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题,真是柳暗花明又一村。

第二类：求点点(点线)的最值问题

破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值(下面第三类、第四类最值也常用此法)

例３：(05年上海）点A 、Ｂ分别是椭圆

120

362

2=+y x 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上，且位于x 轴上方,PF PA ⊥。（1)求点P 的坐标；（2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。

解：(1）略 (2）直线AP 的方程是x -3y +6＝0。 设点M （m ,0),则M 到直线AP 的距离是

2

6+m 。

于是

2

6+m ＝6+m ，又－6≤m ≤6,解得m ＝２。 设椭圆上的点（x ,y ）到点M 的距离d

2

2

2

2

22549

(2)4420()15992

d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－６≤m ≤6， ∴当x =

2

9

时,ｄ取得最小值15 点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。

破解策略之四:利用椭圆定义合理转化

y

O

x

F 2 F 1

A 2

A 1

P

M

例４:定长为d d b a ≥⎛⎝

⎫

⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆

x a y b

a b 222

210+=>>()上移动,求A Ｂ的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。

解:设F 为椭圆的右焦点,如图作AA l '⊥于A',

BB ＇⊥l 于Ｂ'，M Ｍ＇⊥l 于Ｍ'，则

()e d

e AB BF AF e e BF e AF BB AA MM 2221212

||///=≥+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

+=

当且仅当ＡB 过焦点F 时等号成立。故M 到椭圆右准线的最短距离为

d

e

2。 点评：22b a 是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值，d b a

≥22

是AB 过焦点的充要条件。

通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。

第三类：求角的最值问题

例5：(0５年浙江)如图,已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F ２在x 轴上,长轴A 1A 2的长为4,左

准线ｌ与x 轴的交点为M ,|MA １|∶｜A １Ｆ1|＝２∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1:ｘ=ｍ(｜m |>1)，Ｐ为l １上的动点,使∠Ｆ1PF ２最大的点

P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示） 。

分析:本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 (夹角）公式或三角形中的正弦(余弦)定理，结合 本题的实际,考虑用夹角公式较为妥当。

解:(I ）(过程略）22

143

y x += （II)设P(0,),||1m y m >①当00y =时，120F PF ∠=

②当00y ≠时, 12102

F PF PF M π

<∠<∠< ∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可。

直线1PF 的斜率011y K m =

+，直线2PF 的斜率0

2,1

y K m =-利用夹角公式得: 021

12221202||tan ||11y K K F PF K K m y -∴∠==+-+11||12||220

20-=

⋅-≤m y m y