大一数学下学期期末

华南农业大学珠江学院期末考试试卷(卷11)
2009—2010学年 下 学期 考试科目：高等数学（经管类本科） 考试年级：2009级 考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业
24分。

在每小
1.0x y →→=（ B ）
(A)1； (B)2； (C)不存在； (D)∞.
2.2
2
3
2d 1x x x
-=+⎰（ C ） (A)2； (B)4； (C)0； (D)2-. 3.二元函数3
3
2
2
33z x y x y =+--的极小值点为（ B ） (A)(0,0); (B)(2,2); (C)(0,2); (D)(2,0). 4.{}22(,)|4D x y x y =+≤，则二重积分
2
2)(d d D
y x x y +=⎰⎰（ C ）
(A)2π； (B)4π； (C)8π； (D)6π. 5.下列级数中，收敛的是（ D ）
(A)212n
n n
∞
=∑； (B)11n n n ∞
=+∑；
(C)132n
n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑； (D)∑∞
=--111)1(n n n .
6.级数2
1
sin n nx
n ∞
=∑
（ B ） (A)条件收敛； (B)绝对收敛；
(C)发散； (D)敛散性不确定．
7.微分方程2
22d d 2d d x y y y e x x ++=⎛⎫ ⎪⎝⎭
的阶数是（ B ） (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 8.微分方程1y y '-=的通解是（ A ）
(A) 1x y Ce =-； (B) 1x y Ce =+； (C) (1)x y C e =+； (D) x y Ce =.
二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

9.
已知 0 ()x
f x =
⎰，则()f x '=
10.22
ln(1)z x y =++，则在点(1,1)处的全微分d z =
22d d 3
3
x y +
11.设y
x
z e =，则2
2
z
y ∂=∂ 21y x
e x
12.设 1
I d (,)d y
y f x y x =
⎰
⎰，交换积分次序后 I =
11
d (,)d x
x f x y y ⎰⎰
13.设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,则d x y D
e σ+⎰⎰=_2
(1)e -___________
14.判断级数1!
n
n n n
∞
=∑的敛散性，得到该级数一定__发散__.(注：填收敛或发散) 15.
2
1
1x -展开成x 的幂级数为 24621n x x x x
++++++
16.微分方程2
y x ''=的通解为 4
12112
x C x C ++
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
17、
1
0ln(1)d e x x -+⎰
解：
1
1
00
1
0ln(1)d ln(1)d 1
e e e x
x x x x x x ---+=++-⎰
⎰
（2分） 1
011
1d 1
e x e x x -+-=--+⎰ 1
1(1d 1)1e e x x -=---
+⎰
（4分）
1
1(1d 1
)1
e e x x -=--
-
+⎰
10
1(1)l n 1e e e x -=-
--++ （5分）
1= （6分）
18.求二重积分3
d d D
x
ye x y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，，，，，为顶点的三角形区域.
解：3
3
1
00
d d d d x x x D
ye x y x ye y --=⎰⎰
⎰⎰ （2分）
3
2
1
1
d 2
x
x y x e -=⋅⎰ （4分） 3
2
10
1d 2
x x x e
-=⋅⎰3
130
1
d 6
()x e
x -=--⎰ （5分）
3
10
1
6
x e
-=-11
(1)6
e -=-- （6分）
19.求幂级数2
0(1)(3)n n
n x n
∞
=--∑的收敛半径与收敛域. 解: 令3t x =-，则级数化为2
1(1)n n
n t n ∞
=-∑ （1分）
2
12
lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+ （2分） 故1R =，在(1,1)-级数收敛 （3分）
当1t =时，级数化为21(1)n
n n
∞
=-∑，收敛；
当1t =-时，级数化为2
11
n n
∞
=∑
，收敛； （5分） 故级数2
1(1)n n
n t n ∞
=-∑的收敛域为[1,1]-，从而131x -≤-≤，
即原级数的收敛域为24x ≤≤ （6分）
20.求微分方程32
x
y y x '-=-的通解
3(),()2
x
P x Q x x =-=- （1分）
33
d d 2
(d )x
x x x x y e x C e ---⎰⎰=-⋅+⎰ （3分）
3
ln 31
(d )x x
x x C e =-⋅+⎰ （4分）
31
2(
)x
x C =+ （5分） 将初始条件11x y ==代入通解得 12
C =，因此特解为：311
2(1)y x x =+ （6分）
21.求5423y y y x '''++=+的通解.
解：5423y y y x '''++=+对应的特征方程为2540r r ++=
其特征根为 121,4r r =-=- （2分） 所以对应的齐次方程的通解为 412x x Y c e c e --=+ （3分） 由于()23,f x x =+设特解为*y ax b =+，将*y ax b =+代入所给方程，得 （4分）
11,28a b =
=，故*11
.28
y x =+ （5分） 所给方程的通解为41211
28x x y c e c e x --=+++ （6分）
四、综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
22.求由1,2,3xy y x ===所围成的图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转
所得旋转体的体积.
解：面积
312
1
(2-)d A x x
=⎰ （2分）
3
12
(2ln )x x =- （3分）
5ln 6=- （4分）
体积
2
2312
31212d d x x x x V ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=-⎰⎰
（6分）
5
103ππ=-
253
π= （8分）
23.某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。

每张磁盘8元，每盒磁带10元。

设效用函数(,)ln ln U x y x y =+，试用Lagrange 乘数法为该同学设计分配400元钱的最佳方案.（注：当效用函数达到最大值时，购物的分配方案最佳） 解：
该问题是在约束条件810400(>0>0)x y x y +=，下，函数
(),ln ln U x y x y =+
的条件极值问题. 令
(),,ln ln
(810400)U x y x y x y =λ++λ+- （2分）
1801100
8104000x y U x U y U x y λλλ⎧=+=⎪⎪
⎪
=+=⎨⎪
⎪=+-=⎪⎩
（5分） 得 25,20x y == （7分） 根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,
购买磁盘25张、磁带20盒时, 效用最大. （8分）
五、证明题（本大题共1小题，每小题6分，共6分） 24.设函数),(x
y
y z f x u k =，证明函数满足下列等式：
ku z
u z y u y x u x
=∂∂+∂∂+∂∂ 证明：
122(,)()k k u z y y
kx f x f x y x x -∂=+-∂ （2分） 1221
()k u z x f f y y x ∂=⋅-+⋅∂ （4分） 11
k u x f z y ∂=⋅∂ (5分) 故112121(,)k k k k k u u u z y z z
x
y z kx f x yf x f x yf x f x y z y x y y
--∂∂∂++=--++∂∂∂ ku = （6）。