直线的点向式参数式一般式方程之间的互化课件

代入原方程组得 x 2 ，y 0 ，则点 M(2, 0, 0) 在直线上。
再求直线的方向向量a 。由于两平面的交线与这两平面
的法向量 n1 {1,
1, 1}
和
n2{2,
1,
3} 都垂直，
i jk
故取
a n1n2

1
1
1 {4, 1, 3} ，
2 1 3
与直线平行的非零向量称为直线的方向向量。
z 设直线 L 过点 M( x , y , z ) ，
方向向量为
a {l
,
m,
n} ，
M( x, y, z ) 是 L 上任意一点，
a
ML
M
o 则 MM { x x , y y , z z } ， x
y
由 MM ∥
a
方程组⑦称为直线的参数方程。
直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化
由直线的点向式方程容易得出参数式方程。反之，由
参数式方程显然能直接写出点向式方程。
把点向式方程的连等式 x x y y zz 写成
两个方程



x x
l y y

y y
m z z
l
mn

n
L
设直当线直的线方与向平向面量不为垂直a 时{l，,m直,n线} ，与它在平面上的投影L
平直面线的的法夹向角量 为(0n{A,B) ，,C称} ，为直线与平面的夹角。
2

直线与平面的夹角为 ，
当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角 。
则
(a ,n)

2

应是
(a1
,a2
)
或
(a1
,a2
) (a1
,a2
)
两者中的锐角，故
cos cos(a1,a2 ) ，即
a1a2
cos

l1l2 m1m2 n1n2
.
a1 a2 l12 m12 n12 l22 m22 n22
三、空间两直线的位置关系
八、过直线的平面束
通过定直线的所有平面的集合称为平面束。
设直线
L
的方程为

A1x B1 A2 x B2
y y
C1z D10 C2z D2 0
(
L 1 2
)
，
则过 L 的平面束为
( A1x B1 yC1z D1)( A2x B2 yC2z D2 ) 0 ，
设有两直线
L1 :
x x1 y y1 z z1 ，
l1
m1 n1
L2 :
x x2 y y2 zz2
l2
m2 n2
，
M1( x1, y1,z1)L1 ， M2( x2, y2 ,z2 )L2 ，
a1 {l1,m1,n1} 为L1 的 方向向量，
a2{l2,m2,n2} 为L2 的 方向向量。
r r at
上式称为直线的向量式方程。
（五）直线的两点式方程
求过点 M1( x1 , y1, z1 ) ， M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的直线的方程。 解：∵直线过点 M1, M2 ，
∴取 M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1} 作为方向向量 ，
∴直线的点向式方程为 x2 y z 。 4 1 3
（方法
2）在直线上取两点 M(2,
0,
0) ，M1(0,
1, 2
3) 2
，
则直线的方向向量为 MM1 {2,
1, 2
3} 。 2
∴直线的点向式方程为
x2 2
y 1

z 3
，
即 x2 y z ， 4 1 3
)

1

1 .
a1a2
33
公垂线
L
的
方向向量
a
a1a2
{ 1,
2,

2}
，
L 与 L1 所确定的平面记为1 ，
L 与 L2 所确定的平面记为2 ，
设
平面1和
2
的法向量分别为n1和n2
，则
n1 aa1 {1,2,2}{4,1,1}{0,9,9}9{0,
L2 a2
M2
[M1M2 a1 a2]
a1 a2

M1 a1
L1
例
10．求两异面直线
L1：
x3 4
y3 1
z1 1
，
L2：
x 2

y 0

z2 1
间的 距 离d
及
公垂线
L
的方程。
解： L1,
L2的方向向量为a1 {4, 1, 1},
a2
{ 2,
0,
1,
1}
，
n2
aa2
{1,2,2}{2,
0,
1}{2,5,4}
，
又 M1(3, 3, 1)1 ， M2(0, 0, 2)2 ，
∴ 1的方程为0( x3)1( y3)1(z1)0 ，
即 yz20 。
2的方程为2( x0)5( y0)4(z2)0 ，
例
8．设有直
线
L
：
x3 2 x
y 2z 1 0 y 10z 3 0
及
平面 ： 4 x2 y z20 ，则直线 L （C ）
（A） 平行于 ； （B）在 上 ； （C） 垂直于 ； （D）与 斜交 。
解： 直线 L 的方向向量为
a{1, 3, 2 }{2, 1, 10 }{28, 14, 7 } 7{4, 2, 1 } ，
和
a
为边
的平行四边形的面积为
M1 M a
，

则
d
M1 M a
。
a
七、两异面直线的距离
设L1，L2为 两 异 面 直 线， 方 向 向 量 分 别 为a1，a2，
M1 , M 2分 别 为L1，L2上 的 两 点 ， 则

M1M2 (a1 a2 )
d

a1 a2
22
x24t
令上式比值为t ，得直线的参数方程： yt 。
z3t
（四）直线的向量式方程
x x lt
在直线的参数方程

y

y

m
t
中，
zz nt
若记
r {x, y,z}
，
r
{ x ,
y ,
z }
， a {l ,
m,
n}
，则有
，即
m( x x )l( y

n(
y

y
)
m(z

y z
)0, )0.
m n
便是直线的一般方程。
把一般式方程化为点向式方程，归结为在直线上找出
一确定点和求出直线的方向向量。
例
6．用点向式方程及参数方程表示直线
2
x x
y y
z20 3z40
。
解：（方法 1）先在直线上找一点 M( x , y ,z ) ，令 z 0
（5） L1 与 L2 相交 L1 与 L2 共面且 a1 不平行于 a2
[M1M2 a1 a2]0 且 a1 a2 0 。
例 7．直线 L 过点A(1, 1, 1) 且与直线 L1:
x yz 和 1 23
L2:
x1 2

y 1
2

z
4
3
都相交，求直线
L
的方程。
解：设 L 的方程为 x1 y1 z1 ， l mn
，得：
x x y y z z ，
⑥
l
mn
⑥式称为直线的标准方程或点向式方程。
直线的任一方向向量
a
的三个坐标
l,
m,
n
称为直线的
一组方向数。 当 l, m, n 中有一个为零，例如 l 0 ，而 m, n0 ，
则⑥应理解为


x x 0 y y z z
7.3.2 直线的方程
一以、下直任何线一的种方情程形,都唯一确定一条直线z ：
（一）直线的一般方程
当（空1间）直作线为L两作个为相两交个平相面交1平与面2
的交线 ；
2
L
1
1 ：（2A）1x经 B过1 y两C点1zM1D,1M02，；
oy
2 ：（3A）2 x经 B过2 一y点C2MzD，2且0平，行于一个非零向量。
L,
L1 ,
L2的方向向量分别为a,
a1 ,
a2
，
则
a
{l
,
m,
n}
，
a1{1, 2, 3}
，
a2
{ 2,
1,
4}
。
B(0, 0, 0)L1 ，C(1, 2, 3)L2 ，
AB{1, 1, 1} ， AC {0, 1, 2} ，
l mn
L与L1共面[a
（1）
L1
∥
L2
a1
∥a2
l1 m1 n1 ， l2 m2 n2
（2）L1
L2 a1 a2
l1l2 m1m2 n1n2 0 ；
（3） L1与L2共面向量 M1M2 , a1 , a2 共面
[M1M2 a1 a2]0 ;
（4） L1 与 L2 异面[M1M2 a1 a2 ]0 ；
或 (a ,n)



2
，

(a,n)