九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角学案(新版)新人教版

课题名称：24.1.3弧、弦、圆心角
1.学习目标：
1)知识目标
1．能识别圆心角．
2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．
3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．
2)能力目标
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
2.学习重难点：
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
3.学习过程
1）自主学习：
1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)
宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：
2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．
2）即时巩固：
阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容：
举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？
顶点都在圆心上，两边都与圆相交．
归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角．
圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交．
范例：如图，下列各角是圆心角的是( B)
A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC 3）要点理解：
阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容：
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与O B′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵
.
归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； (2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等； (3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等． 4）难点探究：
典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？
(1)如图所示：因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵
. (2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵
.
解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．
范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD. 证明：∵AD＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵.
∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵. ∴DC ︵＝AB ︵
.∴AB ＝CD.
5）点评答疑：
1．在⊙O 中，圆心角∠AOB＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为( B )
A ．4 2
B ．8 2
C ．24
D ．16
2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵
，求证：OC∥AD.
证明：连接OD.∵BC ︵＝CD ︵
，∴∠BOC ＝∠COD，∴∠BOD ＝2∠COD.∵OA＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA，∴∠BOD ＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA，∴∠COD ＝∠ODA，∴OC ∥AD. 6）训练提升： 一、选择题
1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等; B ．这两个圆心角所对的弧相等
C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D ．以上说法都不对
2.下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A.3个
B.2个
C.1个
D.以上都不对 3.已知
、
是同圆的两段弧，且
=2
，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）
A.AB=2CD
B.AB<2CD
C.AB>2CD
D.不能确定
4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ） A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °
O
E D
C B
A
5、如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC，则AD 的长为（ ）
cm
cm
cm
D 6.在⊙O 中，圆心角∠AOB =90°,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( ) A.4 B.82 C.24 D.16 二、填空题
1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角∠AOB = .
2. 如图，AB 是 ⊙O
的直径，BC ⌒ =BD
⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= . O
D
C
B A
3.在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的4
1
，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB ＝ ；弦AB 的长为 .
4.如图，在⊙O 中，AB AC ，∠B =70°，则∠A 等于 ．
5．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=___ _____．
B
A
6. 等腰△ABC 的顶角∠A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于 .
A
三、解答题
1、如图，在⊙O 中 ,AB =AC ,∠ACB=
60°，求证∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .
2、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？
∠AOB 与∠COD 呢？
D
3．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N•在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；
（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？
B
A
4．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．
5、如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC
参考答案： 一、选择题 1．D
2.C 下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A.3个
B.2个
C.1个
D.以上都不对
3.B 已知
、
是同圆的两段弧，且
=2
，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）
A.AB=2CD
B.AB<2CD
C.AB>2CD
D.不能确定
4. C 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ） A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °
O
E D
C B
A
5、A 6.B 二、填空题 1. 60° 2.50°
3.90°, 122 .
4. 40° ． 5．3 6. 10 三、解答题
1∠︒∴∴∴∠∠∠、证明：AB=AC,ACB=60ABC 是等边三角形AB=AC=BC AOB=AOC=BOC
2、
D
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD 理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴AB=CD，∠AOB=∠COD
3．（1）连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，OA=OB，∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，
∴∠AOM=∠BON，∴AM NB
=
（2）AM MN NB
==
B
A
4．
A
O
F
E D
C
连结AC、BD，∵C、D是AB三等分点，
∴AC=CD=DB，且∠AOC=1
3
×90°=30°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD
7）课堂小结：
谈谈这节课你的收获有哪些？。