必修二3.3直线的交点坐标与距离公式学案
高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线的交点坐标与距离公式含答案
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′的方程．
解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，
则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
设对称点为 M′(a，b)，则
Error!
4 两点间距离公式
[典例] (1)已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|
的值；
(2)已知 M(x，－4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
解析：选 B 设对称点坐标为(a，b)，
Error!解得Error!即 Q(－2,5)．
题点三：线关于点对称
3．与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
-5-
A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
即 x2－4x－45＝0，
解得 x1＝9 或 x2＝－5.
故所求 x 的值为 9 或－5.
若已知两点的坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离 公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆
-3-
用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过 P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为 a－b( ) (2)不论 m 取何值，x－y＋1＝0 与 x－2my＋3＝0 必相交( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为( ) A．1 B．－5 C．1 或－5 D．－1 或 5 解析：选 C ∵|AB|＝ a＋22＋3＋12＝5， ∴a＝－5 或 a＝1. 3．两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________．
高中数学必修二3.3.1-2两条直线的交点坐标 两点距离公式
顺德区容山中学__高二__年级__数学_学科活力课堂导学案课题 §3.3.1两条直线的交点坐标 §3.3.2 两点间的距离 设计者：__杨时香 黄宗勤_审核者：__叶建华 _日期：___10月24日____ 学习目标：1.会求二元一次方程组的解；2.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；3.了解过两条直线交点的直线系方程的问题；4.理解平面内两点间距离公式的推导过程；5.掌握两点间距离公式及其简单应用。
学习重点：求两条直线的交点坐标及掌握两点间距离公式应用学习难点：过两条直线交点的直线系方程第一部分：个体自学（预习教材P 102~ P 106，找出疑惑之处）问题：1.如何用代数方法求方程组的解?2.如何利用方程判断两直线的位置关系？3.若两条直线相交，如何求直线的交点坐标？4. 设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第二部分：合作探究探究一：直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a ,b )，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？ 看下表，并填空。
几何元素及关系 代数表示点A A （a ，b ）直线LL ：Ax+By+C=0 点A 在直线上直线L 1与 L 2的交点A 探究二：如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 1．若方程组无解，则1l 与2l2.若方程组有且只有一个解，则1l 与2l3.若方程组有无数解，则1l 与2l探究三：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？结论：经过直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的交点的直线可表示为： 0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ探究四：在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第三部分：展示分享例1：求下列两条直线的交点坐标: 1l ：3x+4y-2=02l :2x+y+2=0例2：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）1l ：0243=-+y x 022:2=++y x l（2）043:1=+-y x l 026:2=-y x l（3）0543:1=-+y x l 01086:2=-+y x l例3：求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
学习目标重点难点 重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。
难点：点到直线的距离公式的推导。
学习过程学习内容（任务）及问题 学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。
例2、判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点的坐标。
⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。
【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？ 评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。
【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。
【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。
【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。
人教A版高中数学必修二3.3.3-点到直线的距离公式-教案课件
y
P L
Q PN
o
x
MQ
求点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离
课题引入 课题解决 例题练习 小结作业
(1) 特殊直线时；
y
(2) 一般直线时；
特殊点P(0,0)： 方案1: 面积法求|PQ|
P L
方案2: Rt相似
P N
方案3: 解直角三角形
o
（利用倾斜角及三角同角关系） M
Q
x
一般点P(x0,y0)：
(1)2x+y-10=0 (2)3x-2=0 (3)2y+3=0 2.已知点A(a,b)到直线3x-4y=2的距离取下列各值,求的
值(1)d=4 (2)d>4 3.与直线7x+24y=5平行,并且距离等于3的直线方程为: 4.已知点(a,2),(a>0)到直线x-y+3=0的距离为1,则a等
于: 5.求两条平行线2x+y-10=0和4x+2y+3=0的距离
L
x
求点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离
课题引入 课题解决 例题练习 小结作业 1. 求|PM|；
2. ∠P与倾斜角的关系； y ∠P = 或 －
3.解Rt△PMQ，求|PQ|。
| PQ| | Ax0 By0 C |
A2 B2
o
(cos | B | | PD|)
A2 B2 | PN |
返回
创设情景
铁路
建模
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
仓库
o
x
几何画板动态演示
人教课标版高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案-新版
直线的交点坐标与距离公式一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法． （二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤． （三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用． （四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后 联立求解 ．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是 交点 的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线 重合 ．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和 ．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点． 【解题过程】联立求解． 点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定 答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系． 【解题过程】直线方程相同，直线重合． 点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（ ） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解． 点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行； 若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合． 【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系． 两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？ 表示直线，且过定点(2,2)-． 该直线有可能恰好是12,l l 吗？ 可以表示1l ，不能表示2l ． 那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式． 探究二 初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论） （向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三 平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的． 探究四 师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点． 【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练 对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点 ． 【知识点】恒过已知两直线交点的直线系． 【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题． 【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（ ） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用． 【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=． 【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程． 【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=． 【思路点拨】整体设置直线方程． 【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小； （2）使得PB PA -最大． 【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值． 【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练 已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结 知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题． （2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标． 【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)． 点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式． 【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1． 点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =． 点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______． 答案：2m >．解析：【知识点】直线交点． 【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型 多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________． 答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为． 点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥． 答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥． 点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。
高中数学 3.3.3点到直线的距离教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路： 利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法； 〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用． 〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。
高中数学 3.3直线的交点坐标与距离公式教案 新人教必修2
{3.3-1两直线的交点坐标三维目标知识与技能：1。
直线和直线的交点2．二元一次方程组的解过程和方法：1。
学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
情态和价值：1。
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。
引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。
由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学教学过程：一．情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？二．讲授新课三．1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
（2）若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
（3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？2． 例题讲解，规范表示，解决问题例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。
新人教版高中数学必修二教案：3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3直线的交点坐标与距离公式【知识要点】1. a. 两直线的交点：11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,求解这个方程组。
b. 两点间距离公式：22122121||()()PP x x y y =-+- 2. a. 点到直线的距离公式：点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）的距离d=0022||Ax By C A B +++b. 平行线间的距离：两条平行线112212:0,:0()l Ax by C l Ax By C C C ++=++=≠，则两平行线间的距离d=1222||C C A B -+3. 对称问题：a. 已知点关于点的对称点：(,)P x y ''关于点Q 00(,)x y 的对称点为00(2,2)x x y y ''--b. 点关于直线的对称点：设P 00(,)x y ，:0l Ax By C ++=22(0)A B +≠,若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则Q 的坐标 0000()1022y y A x x B x x y y A B C -⎧∙-=-⎪-⎪⎨++⎪∙+∙+=⎪⎩ c. 直线关于点的对称直线：设l 的方程为：0Ax By C ++=22(0)A B +≠和点P 00(,)x y ，则l 关于点P 的对称直线为：0Ax By C '''++=d. 直线关于直线的对称的直线：求直线a 关于直线l 的对称直线b ，由平面几何知，若直线a ，b 关于直线l 对称，它有以下性质：若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这是AB l ⊥，且AB 中点D 在l 上4. 对称问题的应用（求最大值和最小值）【知识应用】1. 方法：a. 求两直线交点坐标，就是求解方程组，若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无穷个解，则两直线重合；当有交点时，方程组的解就是交点坐标。
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会用代数方法判定两直线的位置关系；3.记住两点间的距离公式并会应用．[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用．[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应关系的理解．知识点一 两条直线的交点坐标[填一填]1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．2．应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 当方程组有唯一解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组无解时，l 1与l 2平行；当方程组有无数组解时，l 1与l 2重合．[答一答]1．在下列直线中，与直线x ＋3y －4＝0相交的直线为( C )A.x ＋3y ＝0B.y ＝－13x －12C.x 2＋y 3＝1D.y ＝－13x ＋4解析：A 、B 、D 选项的斜率都是－13，且与x ＋3y －4＝0平行，C选项的斜率是－32，所以x 2＋y 3＝1与x ＋3y －4＝0相交．2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？ 提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．知识点二 两点间的距离公式[填一填]1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．[答一答]3．两点间的距离公式中点P 1，P 2的位置有先后之分么？提示：点P 1，P 2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.4．对于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2平行于x 轴时，如何求P 1，P 2的距离，当P 1P 2平行于y 轴时，如何求P 1，P 2的距离？提示：当P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.当P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|.5．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．类型一 求两条直线的交点[例1] (1)直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2) (2)两直线2x ＋3y －k ＝0与x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k 的值为( )A.－24B.6C.±6D.24 [解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.即直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k 3，在x －ky ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12k ，所以12k ＝k 3，解得k ＝±6.[答案] (1)C (2)C解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.[变式训练1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12.(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.解：(1)解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－103，y ＝143. 所以l 1与l 2相交，且交点坐标为－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.类型二 求过两条直线交点的直线方程[例2] 已知两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)求两直线的交点；(2)求过两直线的交点和坐标原点的直线l 的方程．[解] (1)由方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2.即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．(2)解法1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1，∴直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.解法2：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.解法2用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路，使思路更开阔.[变式训练2] 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：方法1：由方程组⎩⎨⎧ 2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3.∴根据点斜式有y －(－75)＝－3[x －(－35)]，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.方法2：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 从而所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.类型三 两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为________．[解析] 设P (x,2)，∵点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋(2－1)2＝(x －1)2＋(2＋2)2，解得x ＝2.∴P (2,2)．[答案] (2,2)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.[变式训练3] 已知点A (－1,2)，B (1,3)，P 在直线y ＝2x 上，求|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标．解析：设P点坐标为(x,2x)，∵|P A|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－2)2＋(x －1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，∴|P A|2＋|PB|2≥5.(当且仅当x＝1时取等号)∴当|P A|2＋|PB|2取得最小值5时，点P的坐标为(1,2)．类型四对称问题命题视角1：点关于点的对称问题[例4]已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3,4)对称，则ab＝()A.－5B.14C.－14D.5[分析]利用中点坐标公式求解．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋12＝3，a－b－12＝4，即⎩⎨⎧a＋b＝5，a－b＝9，解得⎩⎨⎧a＝7，b＝－2，故ab＝7×(－2)＝－14.[答案] C点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决．[变式训练4]点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)，则x＝－3，y＝－2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1，y ＋22＝0得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.命题视角2：点关于线、线关于线的对称问题[例5] 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求(1)点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在对称轴上，且直线PP ′垂直于对称轴，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x ′＝－2，y ′＝7.所以点P ′的坐标是(－2,7)．(2)由题意，得l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3，y 1－y 2x 1－x 2×3＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95，y 1＝35x 2＋45y 2＋35. 把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0，所以直线l 2的方程为7x ＋y＋22＝0.(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．[变式训练5] 已知两点A (3，－3)，B (5,1)，直线l ：y ＝x ，在直线l 上求一点P 使|P A |＋|PB |最小．解：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ′，易知A ′(－3,3)．连接BA ′交直线l 于点P ，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |.又直线A ′B 的方程为x ＋4y －9＝0，与y ＝x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，95.1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( C )A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：由方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( A )A.5B.37C.13D.4 解析：|MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( A )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是a ≠2.解析：l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．已知△ABC 的三个顶点的坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)因为|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.——本课须掌握的两大问题1．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．。
2012年高一数学新人教A版必修二学案3.3《直线的交点坐标与距离公式》
§ 3.1两条直线的交点坐标12.体会判断两直线相交中的数形结合思想.五、预习与自学（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？应用：可以利用两直线的 个数判断两直线的位置关系： （1）若二元一次方程组有一个解，则1l 与2l 。
（2）若二元一次方程组无解，则1l 与2l 。
（3）若二元一次方程组有无数个解，则1l 与2l 。
探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？求法：用代数法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的 就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可。
尝试：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:20l x y -=，2:34100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:6210l x y -+=； ⑶1:3460l x y +-=，2:68120l x y +-=.§ 3.3.1两条直线的交点坐标1.一、当堂检测：1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）. A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与n 的值有关3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点?二、综合提高 例1、求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例2、当λ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出这些图形的交点坐标。
直线的交点坐标与距离公式 教案
教师引导学生先从点与直线的
位置关系入手，看表一，并填空.
几 何 元 素 及 关 代数表示
系
点A
A （a，b）
直线 L
L：Ax + By + C =
0
点 A 在直线上
直线 L1 与 L2 的 交点 A
师生互动 课堂设问一：由直线方 程的概念，我们知道直线上 的一点与二元一次方程的解 的关系，那如果两直线相交 于一点，这一点与这两条直 线的方程有何关系？
【解析】当 l1∥l2（或重合） 时：
A1B2 – A2B1 = 1×3 – （m – 2）·m = 0，解得：m = 3，m = –1.
（1）当 m = 3 时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以 l1 与 l2 重合；
（2）当 m = –1 时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以 l1∥l2；
教学过程 教学 环节
教学内容
创设 情景 导入 新课
用大屏幕打出直角坐标系中两 直线，移动直线，让学生观察这两 直线的位置关系.
概念 形成 与 深化
1．分析任务，分组讨论，判断
两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0.
如何判断这两条直线的关系？
回忆数轴上两点间的距
概念的 P2 (x2 , y2 ) 分别向 y 轴和 x 轴作垂线， 离公式，同学们能否用以前所
形成与 垂足分别 N1 0，y1 ，M2 x2，0 ， 学的知识来解决平面直角坐
高二新课程教案：《数学·必修2》《直线的交点坐标与距离公式》
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 §3.3.1 两条直线的交点坐标一、教材分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.二、教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 几何元素及关系代数表示②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.（三）应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合. 变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练 求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.（四）知能训练课本本节练习1、2.（五）拓展提升问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围.解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上.（六）课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.（七）作业课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
必修二3.3直线的交点坐标与距离公式学案
§3.3.1 两条直线的交点坐标一、学习目标1、判断两直线是否相交，并会求交点坐标。
2、理解两直线的交点与方程组的解之间的关系。
二、学习重点、难点根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解三、合作探究1、如何用代数方法求方程组的解?2、直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a,b)，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？看下表，并填空。
3两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线1l和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 1．若方程组无解，则1l 与2l ，有 个公共点；2.若方程组有且只有一组解，则1l 与2l ，有 个公共点；3.若方程组有无数组解，则1l 与2l，有 个公共点。
四、当堂检测求下列两条直线的交点坐标: 1l ：3x+4y-2=0 2l :2x+y+2=0例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：1l ：x-y=0 2l ：3x+3y-10=01l ：3x-y+4=0 2l ：6x-2y-1=01l ：3x+4y-5=0 2l ：6x+8y-10=0五、课后练习1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程2、经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程3、两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是4、直线12:32:440l y kx k l x y =+-+-=与直线的交点在第一象限，则k 的取值范围是5、已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M ∩N 为6、思考：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？§3.3.2 两点间的距离一、学习目标:1、理解平面内两点间距离公式公式的推导过程。
高中数学必修二教案-两条直线的交点坐标示范
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标整体设计教学分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.三维目标1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.重点难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 推进新课新知探究提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即 直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点： (ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2). 变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0.(2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0.(3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0. 解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4),∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. 解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上. 课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.作业课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax ＋By ＋C=0中A 、B 、C 就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.。
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教学设计教学背景：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
教学目标：知识目标：让学生掌握点到直线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。
能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结,发现问题，解决问题，从而达到培养学生的自学能力,思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
重点难点：教学重点：公式的推导与应用。
教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。
情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。
以激发学生的创造力。
增强学生知难而进的决心。
教学过程：一、创设情境，引入问题问题1直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求？(学生回答)是Ax+By+C=0(A、B不同时为0）（板书）问题2两点A、B间的距离公式是什么？(学生回答)PQ=问题3当直线AB垂直y轴或x轴时，公式又成什么样子的？(动画)(学生回答)AB=|x|或|y问题4点B在直线Ax+By+C=0上,点A在直线外,则什么时候它们最近？(学生回答)当直线AB与直线Ax+By+C=0垂直时。
(动画)这时AB就是点A到直线Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？这就是现在我们要研究的问题。
（板书课题）二、课题解决研究一般性的问题往往从研究特殊情形入手。
问题1如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？（作图）问题2变为求点P(3,5)到直线L：x=2/3的距离？如何求？学生思考一会儿，教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x），当直线平行x轴时，为d=|y|；当直线平行y轴时，为d=|x|。
【高中数学必修二】3.3(第2节)直线的交点坐标与距离公式(2)
1 d | SR | 2
二、点到直线的距离:
已知P0(x0 , y0)到直线l:Ax+By+C=0的
距离公式：
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
注：1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 2.如果A或B中有一个为0，此公式也成立； 3.用此公式时直线方程要先化成一般式。
(2)x1=x2
y1
y
P ，y1 1 x1
o
y2
P2 x2，y2
x
P 1P 2 y2 y1
P ，y1 和 P2 x2，y2 ， 已知： 求:两点间的距离 1 x1
(3) x1 x2 , y1 y2
y
P ，y1 1 x1
o P2 x2，y2
Qx1，y2
l2 x
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
O
Q
d
Ax0 By0 C2
C1 C2
2
A B
2
2
C1 C2 A B
2 2
A B
2
三、两条平行直线的距离:
两条平行直线l1 :Ax+By+C1=0与 l2 :Ax+By+C2=0
间的距离公式：
d
| C1 C2 | A B
3.3 直线的交点坐标与距离公式
第二课时
P ，y1 和 P2 x2，y2 ， 已知： 求:两点间的距离 1 x1
(1)y1=y2
y
P ，y1 1 x1
P2 x2，y2
x1 o
《3.3直线的交点坐标与距离公式》教学案
《3.3直线的交点坐标与距离公式》教学案一、教学目标：1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2掌握两点间距离公式并会应用.3学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法.4掌握点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，并能熟练运用公式.二、教学重难点教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；点到直线的距离公式 教学难点：推导两点间距离公式三、预习导学(一) 知识梳理1、两条直线的交点坐标直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=一般地，将两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的方程组联立，得到方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ 若方程组有 ，则两条直线 ，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线 ，此时两条直线 .2.两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =3.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：4. 已知两条平行线直线 1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离d =(二)预习交流求经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y -7＝0的直线方程.三、问题引领，知识探究问题1：已知两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，如何求这两直线交点的坐标？练习内化1：判断下列两条直线的位置关系(1) 直线1l :0=-y x 与直线2l :01033=-+y x(2) 直线1l :043=+-y x 与直线2l :0126=--y x(3) 直线1l :0543=-+y x 与直线2l :01086=-+y x变式1：求满足下列条件的直线方程.(1) 经过两直线2x -3y +10=0与3x +4y -2=0的交点，且过点(1，0)的直线(2) 经过两直线2x -3y +10=0与3x +4y -2=0的交点，且和直线3x -2y +4=0垂直.问题2：已知平面上两点),(),,(222111y x p y x p ，如何求21,p p 的距离？练习内化2：已知点P 1(2，-1)和P 2(-3，2)，求｜P 1P 2｜变式2：已知点A (-1，2) 和B (2，7) ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |， 并求|P A |的值.问题3：已知点),(00y x P ，直线0=++C By Ax ，如何求点P 到直线l 的距离？练习内化3：求点)2,1(-P 到直线23=x 的距离变式3：已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求ABC ∆的面积.四、目标检测1.求经过两条直线231003420x y x y -+=+-=和的交点且垂直于直线3240x y -+=的直线方程.2.求点)2,1(0-P 到下列直线的距离.(1)0102=-+y x ；(2)23=y3.求两平行线1l ：2780x y -+=，2l ：2760x y --=的距离.五、分层配餐A 组题1.已知直线经过点(2，3)且经过两条直线12:340,:5260l x y l x y +-=++=的交点，求该直线的方程.2.求下列点到直线的距离：(1)A (－2，3)，3x ＋4y ＋3＝0； (2)C (1，－2)，4x ＋3y ＝0.3.求下列两条平行线的距离：(1)2x ＋3y －8＝0，2x ＋3y ＋18＝0，(2)3x ＋4y ＝10，3x ＋4y ＝0.B 组题4.求点P (－5，7)到直线12x ＋5y －3＝0的距离.5.已知点A (a ，6)到直线3x －4y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)d ＝4，(2)d ＞46. 直线a x ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，求a 的值.C 组题7.直线54210230x y m x y m +--=+-=与直线的交点在第四象限，求m 的取值范围.。
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§3.3.1 两条直线的交点坐标
一、学习目标
1、判断两直线是否相交，并会求交点坐标。
2、理解两直线的交点与方程组的解之间的关系。
二、学习重点、难点
根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点 对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解
三、合作探究
1、如何用代数方法求方程组的解?
2、直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a,b)，这一点与两直线0:1111
=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？
看下表，并填空。
3两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线1l
和2l 的方程
联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++0
222111C y B x A C y B x A
1．若方程组无解，则1l 与2l
，有 个公共点； 2.若方程组有且只有一组解，则1l 与2l
，有 个公共点； 3.若方程组有无数组解，则1l 与2l
，有 个公共点。
四、当堂检测
求下列两条直线的交点坐标:
1l ：3x+4y-2=0 2l :2x+y+2=0
例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
1l ：x-y=0 2l ：3x+3y-10=0 1l ：3x-y+4=0 2l ：6x-2y-1=0 1l ：3x+4y-5=0 2l ：6x+8y-10=0
五、课后练习
1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,
l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程
2、经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程
3、两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是
4、直线12:
32:440l y kx k l x y =+-+-=与直线的交点在第一象限，则k 的取值范围
是
5、已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M ∩N 为
6、思考：当λ变化时，方程0)22(243=++
+-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？
§3.3.2 两点间的距离
一、学习目标:
1、理解平面内两点间距离公式公式的推导过程。
2、掌握两点间距离公式及其简单应用。
二、学习重点、难点
平面内两点间距离公式以及公式的推导
如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 三、合作探究 思考：已知平面上两点1P (
1x ,1y )，
2P (
x |
1P 2P | 呢?
(1) 1x
≠2x , 1y =2y
|
1P 2P |=
(2) 1x =2x , 1y ≠2y
|
1P 2P |=
(3)
1x ≠2x , 1y ≠2y ？
如图，从点
1P ，2P 分别向y 轴和x 轴
作垂线，相交于点Q ，在Rt △1P 2P Q
中 |
1P 2P |²= +
|1P Q|= |Q 2
P |= 由此得到两点1P (
1x ,1y )，
2P (
2x ,
2y )间的距离公式：
|
1P 2P |=
四、当堂检测：
1、求下列两点间的距离：
（1）A （6,0），B （-2,0） （2）C （0,-4），D （0,-1） （3）E （2,4），F （5,3） （4）M （-3,2），N （5,-1）
、已知点A （-1,2），B （2，
7
），在x 轴上求一点P ，使|ＰA ｜＝｜ＰB ｜，并求|ＰA ｜的值。
、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
A （a,-5）与
B （2,7）间的距离是17，a 的值为 P 点在y 轴上且与点A(5,12)的距离为13，则P 点的坐标为
B （0,2）的直线交x 轴于点A ，且|AB|=4，则直线AB 的方程为 A （1,3），B （-3,1），在x 轴上取一点P ，使得PA PB +最小,最小值为
ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛23,
21C ，则三角形的形状为
6、若直线L 在y 轴上的截距为－2，L 上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线的方程为
§3.3.3 直线到点的距离 §3.3.4两条平行直线间的距离
一、学习目标
1、理解点到直线距离公式的推导。
2、熟练掌握点到直线的距离公式及其应用。
二、合作探究：
问题1：如何求点
到直线
的距离？
提示一：能求Q 点坐标利用两点间距离公式求出距离吗？ 提示二：能利用面积相等求距离吗？
问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点0P 的坐标为（0x ，0y ）
，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点0P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?
如图：设
0,0≠≠B A ,则直线l
与x ，y 轴都相交.过点
0P
分别作两坐标轴的平行线，交直线l 于R 、S ，则直线0P R 的方
程为 ，R 的坐标为 ；直线S
P 0的方程为
S 的坐标为 .于是有
R P 0= ； S
P 0= ；
RS
= .
设
Q
P 0=d ，由三角形面积公式可得： ,于是得到点
P 到直线
0:=++C By Ax l 的距离公式为：
三、当堂检测
1、求点0P （-1,2）到直线l ：3x=2的距离。
2、已知点A （1,3），B （3,1），C （-1,0），求△ABC 的面积。
问题3：设直线1l ∥2l ，如何求1l 与2l 间的距离？
例7：已知01216:,0872:21
=--=--y x l y x l ，1l 与2
l 是否
平行？若平行，求1l 与2l 间的距离。
四、课后练习
1、求下列点到直线的距离：
（1）A （0,0） l ：3x+2y-26=0 （2）B （-2,3）， l ：3x+4y+3=0 （3）C （1，-2） l ：4x+3y=0 （4）D （1,0）， l ：
3x+y-3=0
2、两条平行直线:3x+4y-6=0与3x+4y+4=0间距离为_____________
3、已知直线x-y+4=0,定点C （1，1），点M 在直线上，则|CM|的最小值为
4、经过点A （2，1）且到原点的距离等于1的直线方程是
5、两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为0:11=++C By Ax l ，
0:22=++C By Ax l ，证明：1l 与2
l 的距离为
2
2
21B
A C C d +-=
6、与两条平行线1l ：3x+2y-6=0，2l ：6x+4y-3=0等距离的平行线。